江苏省南京市2012届高三3月第二次模拟考试数学试卷

江苏省南京市2012届高三3月第二次模拟考试数学试卷
数学试卷
填空题
1.已知集合,若,则实数的取值范围是_______________
2.已知，其中，为虚数单位，则=_____________
3.某单位从4名应聘者A,B,C,D中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则A,B两人中至少有1人被录用的概率是________________
4.某日用品按行业质量标准分为五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5，现从一批该日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f的分布表如下：
则在所抽取的200件日用品中，等级系数X=1的件数为_______________
5.已知变量x,y满足约束条件则目标函数的取值范围是_________
6.已知双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心率e=_______
7.已知圆C经过直线与坐标轴的两个交点,又经过抛物线的焦点,则圆C 的方程为________________
8.设是等差数列的前n项和，若,则_____________
9.已知函数的部分图像如图所示，则的值为___
10.在如果所示的流程图中，若输入n的值为11.则输出A的值为______
11.一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥容器，当x=6cm时，该容器的容积为__________________.
12.下列四个命题：
（1）“”的否定;
(2)“若”的否命题；
(3)在中，“”是“”的充分不必要条件；
(4)“函数为奇函数”的充要条件是“”.
其中真命题的序号是____________________(真命题的序号都填上)
13.在面积为2的中，E,F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则的最小值是______________
14.已知关于x的方程有唯一解，则实数a的值为________
二、解答题
15．（本题满分14分）
设向量a＝(2，sinθ)，b＝(1，cosθ)，θ为锐角
（1）若a·b=,求sinθ+cosθ的值；
（2）若a//b,求sin(2θ+)的值．
16. （本题满分14分）
如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD平面BCE，BEEC.
（1） 求证：平面AEC平面ABE；
（2） 点F在BE上，若DE//平面ACF，求的值。
17．（本题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xoy中， 椭圆C：的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P(0,1),Q(0,2),设M,N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T。求证：点T在椭圆C上。
18．（本小题满分16分）
某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC,CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA,AD用一根9米长的材料弯折而成，要求和互补，且AB=BC,
(1) 设AB=x米，cosA=,求的解析式，并指出x的取值范围．
(2) 求四边形ABCD面积的最大值。 ．
19．（本小题满分16分）
已知函数其中e为自然对数的底.
（1）当时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；
（2）若函数y=f(x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围；
（3）当b>0时，判断函数y=f(x)在区间（0，2）上是否存在极大值，若存在，求出极大值及
相应实数b的取值范围.
20．（本小题满分16分）
已知数列{an}满足：
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）当=4时，是否存在互不相同的正整数r,s,t,使得成等比数列？若存在，给出r,s,t满足的条件；若不存在，说明理由；
（3）设S为数列{an}的前n项和，若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围。
数学附加题
1.设矩阵
（1）求矩阵M的逆矩阵；
（2）求矩阵M的特征值.
2.在平面直角坐标系xoy中，判断曲线C:与直线（t为参数）是否有公共点，并证明你的结论
3.甲、乙两班各派三名同学参加青奥知识竞赛，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分，假设甲班三名同学答对的概率都是，乙班三名同学答对的概率分别是，且这六名同学答题正确与否相互之间没有影响.
(1)用X表示甲班总得分，求随机变量X的概率分布和数学期望；
(2)记“两班得分之和是30分”为事件A，“甲班得分大于乙班得分”为事件B，求事件A,B同时发生的概率.
4.记的展开式中，的系数为，的系数为,其中
(1)求
（2）是否存在常数p,q(p