10.3频率与概率 讲义-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册

第三节频率与概率
知识点1
概率的稳定性
频率与概率的联系
在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率，而且试验的次数越多，频率与概率之间差距很小的可能性越大.
知识点2
概率意义
1.游戏的公平性
一个游戏包含两个随机事件A和B,规定事件A发生则甲获胜,事件B发生则乙获胜.判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等如:
2.“降水概率是90%”的正确理解
“降水的概率为90%比较合理的解释是:大量观察发现，在类似的气象条件下,大约有90%的天数要下雨.
只有根据气象预报的长期记录,才能评价预报的准确性.如果在类似条件下预报要下雨的那些天里，大约有90%确实下雨了，可认为是准确的，反之则不准确
知识点3频率估计概率
频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率可能不同;概率是一个确定的数,是客现存在的，与每次试验无关.概率可看作频率
在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，而频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率，即事件A发生的频率(A)它以会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率(A
)估计概率P(A).
例题1．随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高，某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查，现从消费者人群中随机抽取500人次作为样本，得到下表（单位：人次）：
满意度
老年人
中年人
青年人
酸奶
鲜奶
酸奶
鲜奶
酸奶
鲜奶
满意
100
120
120
100
150
120
不满意
50
30
30
50
50
80
（1）从样本中任取1个人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率；
（2）从该地区的老年人中抽取2人，青年人中随机选取1人，估计这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率；
（3）依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写结果）．
【答案】（1）；（2）；（3）青年人．
【详解】
解：（1）设这个人恰好对生产的酸奶满意人数事件为A，总人次为500人，
共抽取了100+120+150=370人次对酸奶满意，所以．
（2）由频率估计概率，由已知抽取老年人满意度的概率为，抽取青年人满意度的概率为，抽取这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率，
，
所以这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率为．
（3）青年人.
例题2．某企业质量检验员为了检测生产线上零件的情况，从生产线上随机抽取了个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm），得到如下的频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，求这个零件尺寸的中位数（结果精确到）；
（2）已知尺寸在上的零件为一等品，否则为二等品.
将这个零件尺寸的样本频率视为概率，从生产线上随机抽取个零件，试估计所抽取的零件是二等品的概率.
【答案】（1）63.47（2）0.2
【详解】
（1）由频率分布直方图的性质得：
，，
所以中位数在，内，设为，
则，
解得，
所以估计中位数为63.47；
（2）尺寸在，上的频率为，
且，
所以从生产线上随机抽取1个零件，估计所抽取的零件是二等品的概率为0.2．
例题3．设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：
T（分钟）
25
30
35
40
频数（次）
20
30
40
10
刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返月老校区共用时间不超过120分钟的概率.
【答案】
【详解】
解：由统计结果可得T的频率分布为
T（分钟）
25
30
35
40
频率
0.2
0.3
0.4
0.1
以频率估计概率得T的分布为
T
25
30
35
40
P
0.2
0.3
0.4
0.1
设，，分别表示往、返所需时间，，的取值相互独立，且与T的分布相同.
设事作A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.
解法一：
；
解法二：
，
故．
例题4．面对流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫前的概率分别是，，.求：
（1）他们都研制出疫前的概率；
（2）他们都失败的概率；
（3）他们能够研制出疫苗的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】
解：令事件A，B，C分别表示A，B，C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A，B，C相互独立，且，，．
（1）他们都研制出疫苗，即事件发生，
故；
（2）他们都失败即事件同时发生，
故；
（3）“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件的概率关系可得，
所求事件的概率．
1.甲乙两位同学进行乒乓球比赛，甲获胜的概率为0.4，现采用随机模拟的方法估计这两位同学打3局比赛甲恰好获胜2局的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，制定1，2，3，4表示甲获胜，用5，6，7，8，9，0表示乙获胜，再以每三个随机数为一组，代表3局比赛的结果，经随机模拟产生了30组随机数
102??
231??
146??
027??
590??
763??
245??
207??
310??
386??
350??
481??
337??
286??
139
579??
684??
487??
370??
175??
772??
235??
246??
487??
569??
047??
008??
341??
287??
114
据此估计，这两位同学打3局比赛甲恰好获胜2局的概率为（??
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
2.已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，表示没有击中目标，2，3，4，5，6，，7，8，9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
5727?
0293?
7140?
9857?
0347?
4373?
8636?
9647?
1417?
4698
0371?
6233?
2616?
8045?
6011?
3661?
9597?
7424?
6710?
4281
据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（　　）
A.?0.85????????????????????????????????????B.?0.8192????????????????????????????????????C.?0.8????????????????????????????????????D.?0.75
3.如图在区域Ω={（x，y）|﹣2≤x≤2，0≤y≤4}中随机撒900粒豆子，如果落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，试估计落在图中阴影部分的豆子数为（　　）
A.?300??????????????????????????????????????B.?400??????????????????????????????????????C.?500??????????????????????????????????????D.?600
4.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为
，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为（??
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
5.我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6
，
S6=________．
6.关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1
的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后再根据统计数m来估计π的值．假如统计结果是m=56，那么可以估计π≈________．（用分数表示）
7.由计算机产生2n个0～1之间的均匀随机数x1
，
x2
，
…xn
，
y1
，
y2
，
…yn
，
构成n个数对（x1
，
y1），（x2y2），…（xn
，
yn）其中两数能与1构成钝角三角形三边的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为________．
答案解析
1.【答案】
B
【解析】解：由题意知模拟打3局比赛甲恰好获胜2局的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在30组随机数中表示打3局比赛甲恰好获胜2局的有：102，146，245，310，481，337，139，235，246，共9组随机数，
∴所求概率为
=
．
故答案为：B．
2.【答案】
D
【解析】解：由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：
5727?
0293?
9857?
0347?
4373?
8636?
9647?
4698
6233?
2616?
8045?
3661?
9597?
7424?
4281．
共15组随机数，
∴所求概率为=0.75．
故选D．
3.【答案】
D
【解析】解：区域Ω的面积为S1=16．
图中阴影部分的面积：S2=S1﹣2．
设落在阴影部分的豆子数为m，由已知条件，
即m=600．
因此落在图中阴影部分的豆子约为600粒．
4.【答案】B
【解析】解：在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形的概率为
，
不妨设大正方形面积为5，小正方形面积为1，
∴大正方形边长为
，小正方形的边长为1．
∴四个全等的直角三角形的斜边的长是
，
较短的直角边的长是1，较长的直角边的长是2，
故sinθ=
，
故选：B．
5.【答案】
【解析】解：如图所示，
单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF中，
△AOB是边长为1的正三角形，
所以正六边形ABCDEF的面积为
S6=6×
×1×1×sin60°=
．
故答案为：
．
6.【答案】
【解析】解：由题意，200对都小于l的正实数对（x，y），对应区域的面积为1，
两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＜1且x，y都小于1，x+y＞1，面积为
﹣
，
因为统计两数能与l
构成钝角三角形三边的数对（x，y）
的个数m=56，
所以
=
﹣
，所以π=
．
故答案为：
．
7.【答案】
【解析】解：由题意，n对0～1之间的均匀随机数x，y，满足
，相应平面区域面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足
且
面积为
，所以
，得π=
．
故答案为
．