2021小升初数学专题复习第九讲思维应用题综合教师版+学生版

2021
专题讲解+配套练习
小升初数学专题复习
小升初
第九讲 思维应用题综合-教师版
一、知识梳理
思维应用题型目前已逐步成为小升初数学应考部分内容的重中之重，相应题型较多且难度加大，分值占比高的基本特点是将小学三至六年级思维基础和课本培优知识应用于解决现实问题，旨在促使学生能学以致用，提升对所学知识迁移运用方面的综合能力，强化“数学建模”应试心理与加深培养逻辑思维、进一步拓展并完善解题灵活性及创造性。

二、例题精讲
例1： 方程问题。（算式解题小升初应用题解答占比一般不超过40%，方程解题占比则往往超过60%）
知识回顾：是指在应用题中运用方程列式运算的思想和基本方法解决现实问题的基础题型。列方程解应用题的一般步骤是：
①审清题意，弄清楚题目意思以及数量之间的关系，；
　　②合理设未知数x，设未知数的方法有两种：问什么设什么（直接设未知数），间接设未知数；
　　③依题意确定等量关系，根据等量关系列出方程；
　　④解方程；
　　⑤将结果代入原题检验。
概括成五个字就是：“审、设、列、解、验”。
（1）某一汽车以每小时72公里的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4秒后听到回音，听到回音时汽车离山谷多远？（声音的速度以340米/秒计算）。
（2）已知从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米。车从甲地开往乙地需9小时，从乙地到甲地需7.5小时，问：甲乙两地公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？
（3）六年级一班数学期末考试的平均分数是85分，其中的人得80分以上（含80分），他们的平均分数是90分。求低于80分的人的平均分。
（4）快乐超市有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶。问：大、小油桶各几个？
【解析】解：（1）72千米/小时=72000米/3600秒=2米/秒，设听到回音时汽车离山谷x米，根据题意可得：
340×4=2x+2×4，解得x=676（米）。答：听到回音时汽车离山谷676米。
（2）解：由于从甲地到乙地的上坡路，就是从乙地到甲地的下坡路；从甲地到乙地下坡路，就是从乙地到甲地的上坡路。设从甲地到乙地的上坡路为x千米，下坡路为y千米，依题意可得：
解得x＝140，y=70。答：甲、乙两地间的公路有210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路。
（3）解：设该班级有名同学，低于80分的人的平均分为，则得方程: ,解得x=75。答：低于80分的人的平均分是75分。
（4）解：设有大油桶x个，小油桶y个。由题意8x+5y=44，知8x≤44，所以x＝0、1、2、3、4、5。相应的将x的所有可能值代入方程，可得x＝3时，y=4 。答：大油桶有3个，小油桶有4个。此题在解答时，也可联系数论的知识，注意到能被5整除的数的特点，便可轻松求解。
变式1：小明从自己家到奶奶家时，前一半路程步行，后一半路程乘车；他从奶奶家回家时，前1/3时间乘车，后2/3时间步行．结果去奶奶家的时间比回家所用的时间多2小时．已知小明步行每小时行5千米，乘车每小时行15千米，那么小明从自己家到奶奶家的路程是多少千米?
【解析】解：设小明家到奶奶家的路程为x千米，而小明从奶奶家返回家里所需要的时间是y小时，那么根据题意有：

答：小明从自己家到奶奶家的路程是150千米。用方程解题关键在于未知数设定的合理性，解答中的一个路程未知数，一个时间未知数，恰好能够把题目中的所有关系都利用到。
变式2：有甲、乙、丙、丁4个人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为29，23，21和17，这4人中最大年龄与最小年龄的差是多少？
【解析】设甲、乙、丙、丁4个人的年龄分别为a、b、c、d，那么有：
答：这4人中最大年龄与最小年龄的差是18岁。
变式3：某人在公路上行走，往返公共汽车每隔4分就有一辆与此人迎面相遇，每隔6分就有一辆从背后超过此人。如果人与汽车均为匀速运动，那么汽车站每隔几分发一班车？
【解析】解：此题看起来似乎不易找到相等关系，注意到某人在公路上行走与迎面开来的车相遇，是相遇问题，人与汽车4分所行的路程之和恰是两辆相继同向行驶的公共汽车的距离；每隔6分就有一辆车从背后超过此人是追及问题，车与人6分所行的路程差恰是两车的距离，再引进速度这一未知常量作参数，问题就解决了。
设汽车站每隔x分发一班车，某人的速度是v1，汽车的速度为v2，依题意得：
答：汽车站每隔4.8分发一班车。
变式4：某校师生为贫困地区捐款1995元．这个学校共有35名教师，14个教学班．各班学生人数相同且多于30人不超过45人．如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元？
【解析】解：设每班有a(30＜a≤45)名学生，每人平均捐款x元(x是整数)，依题意有：x(14a+35)=1995．于是14a+35|1995．又3l＜a≤45，所以469＜14a+35≤665，而1995=3×5×7×19，在469与665之间它的约数仅有665，故14a+35=665，x=3，平均每人捐款3元。
例2：行程问题反映物体匀速运动的应用题，更是小升初奥数应用题中的一大基本问题，包含有相遇问题、追及问题等近十种，是问题类题型较多的题型之一，现在也已成为数学竞赛中的热门问题。行程问题主要是研究物体运动速度、时间、行程三者之间的关系。
　　基本公式：路程＝速度×时间；
路程÷时间＝速度；
路程÷速度＝时间
　　关键问题：确定行程过程中的位置
相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程
相遇路程÷速度和=相遇时间
相遇路程÷相遇时间= 速度和
　　相遇问题：（直线）：甲的路程+乙的路程=总路程
　　相遇问题：（环形）：甲的路程 +乙的路程=环形周长
追及问题：追及时间＝路程差÷速度差
速度差＝路程差÷追及时间　
追及时间×速度差＝路程差　
　　追及问题：（直线）：距离差=追者路程-被追者路程=速度差X追击时间
　　追及问题：（环形）：快的路程-慢的路程=曲线的周长
　 流水问题：顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间 逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间
　　顺水速度=船速＋水速 逆水速度＝船速－水速
　　静水速度=（顺水速度＋逆水速度）÷2 水速：（顺水速度－逆水速度）÷2
　 流水速度＋流水速度÷2 水速：流水速度－流水速度÷2
列车过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
两车站相距275km，慢车以50km/一小时的速度从甲站开往乙站，1h时后，快车以每小时75km的速度从乙站开往甲站，那么慢车开出几小时后与快车相遇？
一辆汽车以每小时40km的速度由甲地开往乙地，车行3h后，因遇雨，平均速度被迫每小时减少10km，结果到乙地比预计的时间晚了45min，求甲乙两地距离。
甲乙两人在同一道路上从相距5千米的A、B两地同向而行，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，甲带着一只狗，当甲追乙时，狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反复，直至甲追上乙为止，已知狗的速度为15千米/小时，求此过程中，狗跑的总路程是多少？
有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长。
【解析】（1）[分析]相遇问题
解：设慢车开出x小时后与快车相遇，依据题意：
50x+75（x-1）=275
50x+75x-75=275
125x=350
x=2.8
答：需要2.8小时相遇。
（2）解：设原定时间为a小时，45分钟=3/4小时，根据题意：
40a=40×3+（40-10）×（a-3+3/4）
40a=120+30a-67.5
10a=52.5
a=5.2 =21/4
答：甲乙距离40×21/4=210千米。
（3）[分析]追及问题，不能直接求出狗的总路程，但间接的问题转化成甲乙两人的追及问题。狗跑的总路程=它的速度×时间，而它用的总时间就是甲追上乙的时间
解：设甲用X小时追上乙，根据题意列方程：
5X=3X+5 解得X=2.5，狗的总路程：15×2.5=37.5（千米）
答：狗的总路程是37.5千米。
（4）解：设第一铁桥的长为x米，那么第二铁桥的长为（2x-50）米，过完第一铁桥所需的时间为分．过完第二铁桥所需的时间为分．依题意，可列出方程：
+= 解方程x+50=2x-50 得x=100
∴2x-50=2×100-50=150（米）
答：第一铁桥长100米，第二铁桥长150米。
变式1：甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑240米，乙每分钟跑200米，二人同时同地同向出发，几分钟后二人相遇？若背向跑，几分钟后相遇？
【解析】此题为环形跑道上，同时同地同向的追及与相遇问题。
解：① 设同时同地同向出发x分钟后二人相遇，则：
240x－200x＝400
x＝10
② 设背向跑，x分钟后相遇，则：
240x＋200x＝400
x＝
答：二人同时同地同向出发，10分钟后二人相遇，若背向跑，分钟后相遇。
变式2：一架飞机飞行于甲、乙两城之间，顺风时需要5小时30分钟，逆风时需要6小时，若风速是每小时24公里，求两城之间的距离。
【解析】解：设两城之间距离为x 公里，则顺风速为公里/小时，逆风速为公里/小时，等量关系：顺风时飞机本身速度=逆风时飞机本身速度。
依题意得：
答：两城之间的距离为3168公里。
变式3：一艘轮船在甲、乙两码头之间航行，顺水航行需要4小时，逆水航行需要5小时，水流的速度为2千米/时，求甲、乙两码头之间的距离。
【解析】解：设甲、乙两码头之间的距离为x千米。则：
x=80
答：甲、乙两码头之间的距离是80千米。
变式4：在3时和4时之间的哪个时刻，时钟的时针与分针：⑴重合；⑵ 成平角；⑶成直角。
【解析】解：数量关系：分针的速度是时针的12倍，二者的速度差为11/12，通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。
⑴ 设分针指向3时x分时两针重合。
答：在3时分时两针重合。
⑵ 设分针指向3时x分时两针成平角。
答：在3时分时两针成平角。
⑶设分针指向3时x分时两针成直角。
答：在3时分时两针成直角。
例3：工程问题是小学数学应用题教学中的重点；是分数应用题的引申与补充；是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具；它是函数一一对应思想在应用题中的有力渗透。工程问题具体来说，是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有灵活性和抽象性，也是奥数教材的学习难点之一。
工效×时间=工作总量 工效=工作总量÷工作时间 工作时间=工作总量÷工效
1. 一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？
2. 一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？
【解析】1.解：本题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的 1/10；乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/10＋1/15）。由此可以列出算式：1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）
答：两队合做需要6天完成。
2.解：设总工作量为1，则甲每小时完成1/6，乙每小时完成1/8，甲比乙每小时多完成（1/6－1/8），二人合做时每小时完成（1/6＋1/8）。因为二人合做需要［1÷（1/6＋1/8）］小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件，所以
（1）每小时甲比乙多做多少零件？
24÷［1÷（1/6＋1/8）］＝7（个）
（2）这批零件共有多少个？
7÷（1/6－1/8）＝168（个）
答：这批零件共有168个。
变式1：一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？
【解析】解:注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。
要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出。
我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为（1×4×5），2个进水管15小时注水量为（1×2×15），从而可知
每小时的排水量为??? （1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1
即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知
一池水的总工作量为?? 1×4×5－1×5＝15
又因为在2小时内，每个进水管的注水量为? 1×2，所以，2小时内注满一池水至少需要多少个进水管？?
（15＋1×2）÷（1×2）
＝8.5≈9（个）
答：至少需要9个进水管。
变式2：一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？
【解析】解:必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是
60÷12＝5??? 60÷10＝6??? 60÷15＝4
因此余下的工作量由乙丙合做还需要
（60－5×2）÷（6＋4）＝5（小时）
答：还需要5小时才能完成。
例4：经济问题（商品利润问题）是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。
利润＝售价－进货价
利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100%
售价＝进货价×（1＋利润率）
亏损＝进货价－售价
亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100%
1. 某商品的平均价格在一月份上调了10%，到二月份又下调了10%，这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何？
2. 某服装店因搬迁，店内商品八折销售。苗苗买了一件衣服用去52元，已知衣服原来按期望盈利30%定价，那么该店是亏本还是盈利？亏（盈）率是多少？
【解析】1.解：设这种商品的原价为1，则一月份售价为（1＋10%），二月份的售价为（1＋10%）×（1－10%），所以二月份售价比原价下降了
1－（1＋10%）×（1－10%）＝1%
答：二月份比原价下降了1%。
2.解：要知亏还是盈，应知实际售价52元比成本少多少或多多少元，进而需知成本。因为52元是原价的80%，所以原价为（52÷80%）元；又因为原价是按期望盈利30%定的，所以成本为? 52÷80%÷（1＋30%）＝50（元）
可以看出该店是盈利的，盈利率为? （52－50）÷50＝4%
答：该店是盈利的，盈利率是4%。
变式1：成本0.25元的作业本1200册，按期望获得40%的利润定价出售，当销售出80%后，剩下的作业本打折扣，结果获得的利润是预定的86%。问剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣？
【解析】解：问题是要计算剩下的作业本每册实际售价是原定价的百分之几。从题意可知，每册的原定价是0.25×（1＋40%），所以关键是求出剩下的每册的实际。售价，为此要知道剩下的每册盈利多少元。剩下的作业本售出后的盈利额等于实际总盈利与先售出的80%的盈利额之差，即：
0.25×1200×40%×86%－0.25×1200×40%×80%＝7.20（元）
剩下的作业本每册盈利? 7.20÷［1200×（1－80%）］＝0.03（元）
又可知：（0.25＋0.03）÷［0.25×（1＋40%）］＝80%
答：剩下的作业本是按原定价的八折出售的。
变式2：某种商品，甲店的进货价比乙店的进货价便宜10%，甲店按30%的利润定价，乙店按20%的利润定价，结果乙店的定价比甲店的定价贵6元，求乙店的定价。
【解析】解：设乙店的进货价为1，则甲店的进货价为? 1－10%＝0.9
甲店定价为? 0.9×（1＋30%）＝1.17
乙店定价为? 1×（1＋20%）＝1.20
由此可得：? 乙店进货价为? 6÷（1.20－1.17）＝200（元）
乙店定价为： 200×1.2＝240（元）
答：乙店的定价是240元。
例5：溶液浓度问题是在生产和生活中，我们经常会遇到的问题。这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度等几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。
溶液＝溶剂＋溶质
浓度＝溶质÷溶液×100%
1. 爷爷有16%的糖水50克，（1）要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它变成30%的糖水，需加糖多少克？
2. 要把30%的糖水与15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？
【解析】1.解：（1）需要加水多少克？? 50×16%÷10%－50＝30（克）
（2）需要加糖多少克？? 50×（1－16%）÷（1－30%）－50
＝10（克）
答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。
2.解：假设全用30%的糖水溶液，那么含糖量就会多出600×（30%－25%）＝30（克）
这是因为30%的糖水多用了。于是，我们设想在保证总重量600克不变的情况下，用15% 的溶液来“换掉”一部分30%的溶液。这样，每“换掉”100克，就会减少糖100×（30%－15%）＝15（克）所以需要“换掉”30%的溶液（即“换上”15%的溶液）
100×（30÷15）＝200（克）
由此可知，需要15%的溶液200克。
需要30%的溶液：600－200＝400（克）
答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。
变式1：甲容器有浓度为12%的盐水500克，乙容器有500克水。把甲中盐水的一半倒入乙中，混合后再把乙中现有盐水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中，使甲乙两容器中的盐水同样多。求最后乙中盐水的百分比浓度。
【解析】解：由条件可知，倒了三次后，甲乙两容器中溶液重量相等，各为500克，因此，只要算出乙容器中最后的含盐量，便会知所求的浓度。下面列表推算：
情境
甲容器
乙容器
原? 有
盐水500
盐500×12%＝60
水500
第一次把甲中一半倒入乙中后
盐水500÷2＝250
盐60÷2＝30
盐水500＋250＝750
盐30
第而次把乙中一半倒入甲中后
盐水250＋375＝625
盐30＋15＝45
盐水750÷2＝375
盐30÷2＝15
第三次使甲乙中
盐水同样多
盐水500
盐45－9＝36
盐水500
盐45－36＋15＝24
由以上推算可知，
乙容器中最后盐水的百分比浓度为? 24÷500＝4.8%
答：乙容器中最后的百分比浓度是4.8%。
变式2：现有浓度为10％的盐水20千克，再加入多少千克浓度为30％的盐水，可以得到浓度为22％的盐水？
【解析】解：设需加入浓度为30％的盐水x千克，依据混合前后溶质的量不变，列方程得：
　　 20×10％＋30％·x=（20+x）·22％
　　 解得： x=30
答：再加入30千克浓度为30％的盐水，可以得到浓度为22％的盐水。
例6： 方案选择是指从相应不同方案中选择最优解决方法的一类奥数应用题型，也是热门考点之一。
1. 某同学在A、B两家超市发现他看中的英语学习机的单价相同，书包单价也相同，英语学习机和书包单价之和是452元，且英语学习机的单价比书包单价的4倍少8元．
（1）求该同学看中的英语学习机和书包单价各是多少元？
（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打7.5折销售；超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的英语学习机、书包，那么在哪一家购买更省钱？
2.一牛奶制品厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获利500元；若将鲜奶制成奶粉销售，每加工1吨鲜奶可获利2000元；若将鲜奶制成酸奶销售，每加工1吨鲜奶可获利1200元。该厂的生产能力是：若专门生产奶粉，则每天可用去鲜奶1吨；若专门生产酸奶，则每天可用去鲜奶3吨，由于受设备和人员的限制，奶粉和酸奶不能同时生产，为保证生产质量，这批鲜奶必须在不超过4天的时间内全部销售或加工完毕，请问：你能设计出哪几种生产方案？哪种生产方案获利最大，最大利润是多少？
【解析】1.解： (1)设书包价格为x元，则：
4x-8+x=452
5x=460
x=92
4x-8=360（元）
答:书包价格为92元,学习机360元。
(2) 超市A:452×0.8＝361.6（元）
超市B:〔360÷100〕＝3.6取整为3
3×30＝90（元） 92－90＝2（元） 360＋2＝362（元）
因为362＞361.6（元）
答：在超市A买更省钱。
2. 解：（1） 将9吨鲜奶全部制成酸奶，则可获利1200×9=10800（元）。
（2） 4天内全部生产奶粉，则有鲜奶得不到加工而浪费，且利润仅为
2000×4=80000（元）
（3） 4天中，用x天生产酸奶，用(4-x)天生产奶粉，并保证9吨鲜奶如期加工完毕。
由题意，得3x+（4-x）×1=9
解得： x=2.5
∴4-X=1.5(天)
故在4天中,用2.5天生产酸奶,用1.5天生产奶粉,则利润为：
2.5×3×1200+1.5×1×2000=12000(元)
答:按第三种方案组织生产能使工厂获利最大,最大利润是12000元.
变式1：某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：
如果对蔬菜进行精加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多地对蔬菜进行粗加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成。
你认为哪种方案获利最多？为什么？
【解析】解：方案一：获利140×4500=630000（元）
方案二：获利15×6×7500+（140-15×6）×1000=725000（元）
方案三：设精加工x吨，则粗加工（140-x）吨．
依题意得=15 解得x=60
获利60×7500+（140-60）×4500=810000（元）
因为第三种获利最多，所以应选择方案三。
变式2：某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．
（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．
（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？
【解析】解：按购A，B两种，B，C两种，A，C两种电视机这三种方案分别计算，设购A种电视机x台，则B种电视机y台。
（1）①当选购A，B两种电视机时，B种电视机购（50-x）台，可得方程
1500x+2100（50-x）=90000 即5x+7（50-x）=300 2x=50 x=25
50-x=25
②当选购A，C两种电视机时，C种电视机购（50-x）台，
可得方程1500x+2500（50-x）=90000 3x+5（50-x）=1800 x=35
50-x=15
③当购B，C两种电视机时，C种电视机为（50-y）台．
可得方程2100y+2500（50-y）=90000
21y+25（50-y）=900，4y=350，不合题意
由此可选择两种方案：一是购A，B两种电视机25台；二是购A种电视机35台，C种电视机15台．
（2）若选择（1）中的方案①，可获利 150×25+250×15=8750（元）
若选择（1）中的方案②，可获利 150×35+250×15=9000（元）
9000>8750
故为了获利最多，选择第二种方案。
例7：资源调配（劳力调配）问题：实际生活中，我们经常会遇到根据工作量的需要去调配人数问题，这类问题须注意:
（1）既有调入又有调出；
（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；
（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。
1. 在甲处劳动的有27人，在乙处劳动有19人，现另外调20人去支援，使在甲处工作的人数是乙处的2倍，问往甲、乙处各调多少人？
2. 某工厂第一车间比第二车间人数的少30人，如果从第二车间调出10人到第一车间去，则第一车间人数是第二车间人数的，这两个车间原来各有多少人？
【解析】1.[分析]线段图：
表格图：
相等关系：甲原有人数＋调入人数＝（乙原有人数＋调入人数）×2
解：设调往甲处x人，则调乙处（）人
由题意得：
解方程得：
答：调甲处17人，调乙处3人。
2.[分析]表格图：
相等关系：第一车间原有人数＋调入＝（第二车间原有人数－调出）
解：设第二车间原有x人，则第一车间原有人
根据题意得：
解得：
答：第一车间原有170人，第二车间原有250人。
变式1：某工厂有甲、乙、丙三个车间，分别有工人55人、45人、30人，现各车间按相同比例裁减工人，最后留下104人，求裁减后乙车间还有多少工人？
【解析】解：设相同比例x，则裁减后乙车间还有人
答：乙还有36人。
变式2：两个水池共存水40吨，甲池注进水4吨，乙池放出水8吨，甲池中水吨数与乙池中水吨数相等，两个水池原来各有水多少吨？
【解析】按劳力调配问题方法分析：
解：设甲池原有水x吨，乙池原有水（）吨
由题意得：
解得：
答：甲池原有水14吨，乙池原有水26吨。
例题8 年龄问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系却随着年龄的增长在不断发生变化。
年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点；可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。
1. 爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？
2. 母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍？
【解析】1.解：1.35÷5＝7（倍）
（35+1）÷（5+1）＝6（倍）
答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。
2. 解：（1）母亲比女儿的年龄大多少岁？37－7＝30（岁）
（2）几年后母亲的年龄是女儿的4倍？30÷（4－1）－7＝3（年）
列成综合算式：（37－7）÷（4－1）－7＝3（年）
答：3年后母亲的年龄是女儿的4倍。
变式1：3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父子今年各多少岁？
【解析】解：今年父子的年龄和应该比3年前增加（3×2）岁，今年二人的年龄和为：??
49＋3×2＝55（岁）
把今年儿子年龄作为1倍量，则今年父子年龄和相当于（4＋1）倍，因此，今年儿子年龄为：55÷（4＋1）＝11（岁）
今年父亲年龄为：11×4＝44（岁）
答：今年父亲年龄是44岁，儿子年龄是11岁。
变式2：甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”。乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？
【解析】解：这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析：
过去某一年
今? 年
将来某一年
甲
□岁
△岁
61岁
乙
4岁
□岁
△岁
表中两个“□”表示同一个数，两个“△”表示同一个数。
因为两个人的年龄差总相等：□－4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61成等差数列，所以，61应该比4大3个年龄差，
因此二人年龄差为：（61－4）÷3＝19（岁）
甲今年的岁数为：△＝61－19＝42（岁）
乙今年的岁数为：□＝42－19＝23（岁）
答：甲今年的岁数是42岁，乙今年的岁数是23岁。
例9：还原问题又称逆运算问题，解这类问题利用加减互为运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意顺序由后向前逆推计算直至按要求算出原数应得结果为止。
某数减去2，乘以9，再加上3，最后除以4，结果等于12。求这个数？
2. 小虎做一道减法题时，把被减数十位上的6错写成9，减数个位上的9错写成6，最后所得的差是577，这题的正确答案应该是多少？
【解析】1.解：通过读题我们可以发现某数经过减去2，乘以9，加上3，除以4，这四步有序的运算的结果等于12，要想求出某数，我们只需要将其运算过程从结果开始逆向运算即可。
（12×4－3）÷9＋2
=（48－3）÷9＋2
=45÷9＋2
=5＋2
=7
答：这个数是7。
2.解：“把被减数十位上的6错写成9”其结果就写了（9×10－6×10），“减数个位上的9错写成6”就会使差多了（9－6），我们只需要将少减的部分减去就可以得到正确的结果。
577－（9×10－6×10）－（9－6）
=544
答：正确的答案应该是544。
变式1：三只猴子分一堆桃，大猴子先拿了这堆桃的一半少1个；第二只猴子拿了余下的桃子的一半多1个；小猴子分得余下的8个桃，桃子就被全分完了。问，这堆桃子共多少个？
【解析】解：此题条件较复杂，我们可以通过画图进行分析，你能从图中发现哪个部分是大猴子拿的桃子吗？其实解决这类问题我们关键是要找到“一半”所对应的数量，从最后进行推算。
剩下的一半：8＋1=9（个）
剩下多少个：9×2=18（个）
一半是多少个：18－1=17（个）
一共有多少个桃子：17×2=34（个）
答：这堆桃子共34个。
变式2：同学们玩扔沙袋游戏，甲乙两班共有140袋沙袋，如果甲班先给乙班5只，乙班又给甲班8只，这时两班沙袋相等，两班原来各有沙袋多少只？
【解析】解：通过题中“甲乙两班共有140只沙袋”和“这时两班沙袋相等”这两个条件，我们可以知道甲、乙两班各有140÷2=70（袋），然后可以列表推算
甲
乙
这时
70
70
第2次
70－8
70＋8
第3次
70－8＋5
70＋8－5
最后甲、乙两班各有多少袋：140÷2=70（袋）
甲班原有多少袋70－8＋5=67（袋）
乙班原有多少袋70＋8－5=73（袋）
答：甲班原有67袋，乙班原有73袋沙袋。
例10： 假设替换（鸡兔同笼）问题，也是古典的算术问题之一。已知笼子里鸡、兔共有多少只头和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题。
鸡兔同笼问题：
假设全都是鸡，则有兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）
假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）
鸡兔同笼问题：
假设全都是鸡，则有兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）
假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）
解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。
长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？
2. 李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本 3 .20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本？
【解析】1. 解:假设35只全为兔，则:
鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）
兔数＝35－23＝12（只）
也可以先假设35只全为鸡，则
兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）
鸡数＝35－12＝23（只）
答：有鸡23只，有兔12只。
2. 解:此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本，则有:
作业本数＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）
日记本数＝45－15＝30（本）
答：作业本有15本，日记本有30本。
变式1：鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？
【解析】解:假设100只全都是鸡，则有:
兔数＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）
鸡数＝100－20＝80（只）
答：有鸡80只，有兔20只。
变式2：有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人？
【解析】解:假设全为大和尚，则共吃馍（3×100）个，比实际多吃（3×100－100）个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100不变的情况下，以“小”换“大”，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍（3－1/3）个。因此，共有小和尚:
（3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人）
共有大和尚:100－75＝25（人）
答：共有大和尚25人，有小和尚75人。
三、课堂总结
（1）应用题是培养学生应用能力的重要途径，但不再是对解题模式的简单应用，而是真正让数学与现实联系，让学生学习用数学的眼光、数学的思维、数学的方法去认识世界，去主动解决所碰到的现实问题。应用题将成为培养学生实践能力和开展探索、合作、交流的重要载体。
（2）小升初奥数应用题的重点考查无疑是对选拔优秀学生最有效的数学建模解答方式，只有真正做到熟悉各类应用题型，懂得原理和意义，才能行之有效解决现实生活中常见的数学问题，让数学知识学以致用，招福人类。
（3）应用题综合训练注重基础到拓展培优循序渐进的学习过程，促使学生理解并掌握重要的解题思路及其方法技巧不仅帮助其学会解决问题的策略，还能从本质上提升个人逻辑思维能力，更将发挥创造性。
四、课后作业
1、从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲、乙两地相距x千米，则列方程为 。
【解析】解：该题等量关系是步行时间－乘公交车的时间＝3.6小时
列出方程是：
2、小明打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果小明从家一开始就跑步，可比原来步行早9分钟到学校，求小明跑步的速度。
【解析】解：本题小明手表慢了10分钟，就等于晚出发10分钟，如果按原速走下去，就要迟到（10－5）分钟，后段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用了 （10－5）分钟。如果从家一开始就跑步，可比步行少9分钟，由此可知，行1千米，跑步比步行少用［9－（10－5）］分钟。所以，小明步行1千米所用时间为：1÷［9－（10－5）］＝0.25（小时）＝15（分钟）
跑步1千米所用时间为:15－［9－（10－5）］＝11（分钟）
跑步速度为每小时1÷11／60＝5.5（千米）
答：小明跑步速度为每小时 5.5千米。
3、一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？
【解析】解：该题必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是：
60÷12＝5??? 60÷10＝6??? 60÷15＝4
因此余下的工作量由乙丙合做还需要
（60－5×2）÷（6＋4）＝5（小时）
答：还需要5小时才能完成。
4、一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？
【解析】解：设这种服装每件的进价是x元，则：
X(1+40﹪)×0.8-x=15 解得：x=125
答：这种服装每件的进价是125元。
现有浓度为10%的盐水20千克，再加入多少千克浓度为30%的盐水，可以得到浓度为22%的盐水？
【解析】这是一个溶液混合问题，混合前后溶液的浓度改变了，但是总体上溶质和溶液的总重量不变。
即：10%盐水中的盐＋30%盐水中的盐＝22%盐水中的盐
解：设加入浓度30%的盐水x千克



答：加入了浓度为30%的盐水30千克。
6、双休日，某公司决定组织48名员工到附近一水上公园坐船游园，公司先派一人去了解船只的租金情况，此人看到的租金价格如下：
船型
每只船限载人数
租金（元/小时）
大船
5
3
小船
3
2
若计划每人坐船2时，问怎样设计租船方案，才能使所付租金最少？
附：方案①：只租大船，则所需船只为只，因不能超载，故需租大船10只，租金3×10×2=60（元）
方案②：只租小船，则需租船只=16只，租金为：16×2×2=64（元）
方案③：设租大船x台，小船y只，租金m元。
【解析】解：据题意，得
消去y， 。因为0＜5x＜48且为正整数，
所以x=9时，m最小为58元，这时9×5=45人坐大船，3人坐小船。
故方案三为58元所付租金最少（租大船9只，小船1只）。
7、某车间有两个小组，甲组是乙组人数的2倍，若从甲组调12人到乙组，使甲组人数比乙组人数的一半还多3人，求原来甲、乙两组人数？
【解析】解：设原乙组人数x人，甲组人数2x人
X=14
14×2=28（人）
答：原来甲组28人，乙组14人。
8、15年前父亲的年龄是儿子的7倍，10年后父亲的年龄是儿子的2倍。现在各多少岁？
【解析】解：设十五年前儿子x岁，爸爸7x岁.则今年爸爸（7x+15）岁，儿子（x+15）岁
(7x+15)+10=2[(x+15)+10]
7x+25=2x+50
5x=25
x=5
7x+15=50（岁）
x+15=20（岁）
答：今年爸爸50岁，儿子20岁。
9、甲、乙、丙三人钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果丙的钱最多；最后丙拿出一些钱给甲和乙，使甲和乙的钱数都比原来增加了两倍，结果三人钱数一样多了。如果他们三人共有81元，那么三人原来的钱分别是多少元？
【解析】解：三人最后一样多，所以都是81÷3=27元，然后我们开始还原：1. 甲和乙把钱还给丙：每人增加2倍，就应该是原来的3倍，所以甲和乙都是27÷3=9，丙是81-9-9=63；2. 甲和丙把钱还给乙：甲9÷3=3，丙63÷3=21，乙81-3-21=57；3. 最后是乙和丙把钱还给甲：乙57÷3=19元，丙21÷3=7元，甲81-19-7=55元。
答：甲原来有55元、乙原来有19元，丙原来有7元。
10、鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚92只。鸡兔各几只？
【解析】解：(100－92÷2)=4（只）
鸡:(100－4×4)÷(2＋4)=14（只）
兔:14＋4=18（只）
答：鸡有14只，兔有18只。
第九讲 思维应用题综合-学生版
一、知识梳理
思维应用题型目前已逐步成为小升初数学应考部分内容的重中之重，相应题型较多且难度加大，分值占比高的基本特点是将小学三至六年级思维基础和课本培优知识应用于解决现实问题，旨在促使学生能学以致用，提升对所学知识迁移运用方面的综合能力，强化“数学建模”应试心理与加深培养逻辑思维、进一步拓展并完善解题灵活性及创造性。

二、例题精讲
例1： 方程问题。（算式解题小升初应用题解答占比一般不超过40%，方程解题占比则往往超过60%）
知识回顾：是指在应用题中运用方程列式运算的思想和基本方法解决现实问题的基础题型。列方程解应用题的一般步骤是：
①审清题意，弄清楚题目意思以及数量之间的关系，；
　　②合理设未知数x，设未知数的方法有两种：问什么设什么（直接设未知数），间接设未知数；
　　③依题意确定等量关系，根据等量关系列出方程；
　　④解方程；
　　⑤将结果代入原题检验。
概括成五个字就是：“审、设、列、解、验”。
（1）某一汽车以每小时72公里的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4秒后听到回音，听到回音时汽车离山谷多远？（声音的速度以340米/秒计算）。
（2）已知从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米。车从甲地开往乙地需9小时，从乙地到甲地需7.5小时，问：甲乙两地公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？
（3）六年级一班数学期末考试的平均分数是85分，其中的人得80分以上（含80分），他们的平均分数是90分。求低于80分的人的平均分。
（4）快乐超市有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶。问：大、小油桶各几个？
【解析】解：（1）72千米/小时=72000米/3600秒=2米/秒，设听到回音时汽车离山谷x米，根据题意可得：
340×4=2x+2×4，解得x=676（米）。答：听到回音时汽车离山谷676米。
（2）解：由于从甲地到乙地的上坡路，就是从乙地到甲地的下坡路；从甲地到乙地下坡路，就是从乙地到甲地的上坡路。设从甲地到乙地的上坡路为x千米，下坡路为y千米，依题意可得：
解得x＝140，y=70。答：甲、乙两地间的公路有210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路。
（3）解：设该班级有名同学，低于80分的人的平均分为，则得方程: ,解得x=75。答：低于80分的人的平均分是75分。
（4）解：设有大油桶x个，小油桶y个。由题意8x+5y=44，知8x≤44，所以x＝0、1、2、3、4、5。相应的将x的所有可能值代入方程，可得x＝3时，y=4 。答：大油桶有3个，小油桶有4个。此题在解答时，也可联系数论的知识，注意到能被5整除的数的特点，便可轻松求解。
变式1：小明从自己家到奶奶家时，前一半路程步行，后一半路程乘车；他从奶奶家回家时，前1/3时间乘车，后2/3时间步行．结果去奶奶家的时间比回家所用的时间多2小时．已知小明步行每小时行5千米，乘车每小时行15千米，那么小明从自己家到奶奶家的路程是多少千米?
【解析】解：设小明家到奶奶家的路程为x千米，而小明从奶奶家返回家里所需要的时间是y小时，那么根据题意有：

答：小明从自己家到奶奶家的路程是150千米。用方程解题关键在于未知数设定的合理性，解答中的一个路程未知数，一个时间未知数，恰好能够把题目中的所有关系都利用到。
变式2：有甲、乙、丙、丁4个人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为29，23，21和17，这4人中最大年龄与最小年龄的差是多少？
【解析】设甲、乙、丙、丁4个人的年龄分别为a、b、c、d，那么有：
答：这4人中最大年龄与最小年龄的差是18岁。
变式3：某人在公路上行走，往返公共汽车每隔4分就有一辆与此人迎面相遇，每隔6分就有一辆从背后超过此人。如果人与汽车均为匀速运动，那么汽车站每隔几分发一班车？
【解析】解：此题看起来似乎不易找到相等关系，注意到某人在公路上行走与迎面开来的车相遇，是相遇问题，人与汽车4分所行的路程之和恰是两辆相继同向行驶的公共汽车的距离；每隔6分就有一辆车从背后超过此人是追及问题，车与人6分所行的路程差恰是两车的距离，再引进速度这一未知常量作参数，问题就解决了。
设汽车站每隔x分发一班车，某人的速度是v1，汽车的速度为v2，依题意得：
答：汽车站每隔4.8分发一班车。
变式4：某校师生为贫困地区捐款1995元．这个学校共有35名教师，14个教学班．各班学生人数相同且多于30人不超过45人．如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元？
【解析】解：设每班有a(30＜a≤45)名学生，每人平均捐款x元(x是整数)，依题意有：x(14a+35)=1995．于是14a+35|1995．又3l＜a≤45，所以469＜14a+35≤665，而1995=3×5×7×19，在469与665之间它的约数仅有665，故14a+35=665，x=3，平均每人捐款3元。
例2：行程问题反映物体匀速运动的应用题，更是小升初奥数应用题中的一大基本问题，包含有相遇问题、追及问题等近十种，是问题类题型较多的题型之一，现在也已成为数学竞赛中的热门问题。行程问题主要是研究物体运动速度、时间、行程三者之间的关系。
　　基本公式：路程＝速度×时间；
路程÷时间＝速度；
路程÷速度＝时间
　　关键问题：确定行程过程中的位置
相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程
相遇路程÷速度和=相遇时间
相遇路程÷相遇时间= 速度和
　　相遇问题：（直线）：甲的路程+乙的路程=总路程
　　相遇问题：（环形）：甲的路程 +乙的路程=环形周长
追及问题：追及时间＝路程差÷速度差
速度差＝路程差÷追及时间　
追及时间×速度差＝路程差　
　　追及问题：（直线）：距离差=追者路程-被追者路程=速度差X追击时间
　　追及问题：（环形）：快的路程-慢的路程=曲线的周长
　 流水问题：顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间 逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间
　　顺水速度=船速＋水速 逆水速度＝船速－水速
　　静水速度=（顺水速度＋逆水速度）÷2 水速：（顺水速度－逆水速度）÷2
　 流水速度＋流水速度÷2 水速：流水速度－流水速度÷2
列车过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
两车站相距275km，慢车以50km/一小时的速度从甲站开往乙站，1h时后，快车以每小时75km的速度从乙站开往甲站，那么慢车开出几小时后与快车相遇？
一辆汽车以每小时40km的速度由甲地开往乙地，车行3h后，因遇雨，平均速度被迫每小时减少10km，结果到乙地比预计的时间晚了45min，求甲乙两地距离。
甲乙两人在同一道路上从相距5千米的A、B两地同向而行，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，甲带着一只狗，当甲追乙时，狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反复，直至甲追上乙为止，已知狗的速度为15千米/小时，求此过程中，狗跑的总路程是多少？
有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长。
【解析】（1）[分析]相遇问题
解：设慢车开出x小时后与快车相遇，依据题意：
50x+75（x-1）=275
50x+75x-75=275
125x=350
x=2.8
答：需要2.8小时相遇。
（2）解：设原定时间为a小时，45分钟=3/4小时，根据题意：
40a=40×3+（40-10）×（a-3+3/4）
40a=120+30a-67.5
10a=52.5
a=5.2 =21/4
答：甲乙距离40×21/4=210千米。
（3）[分析]追及问题，不能直接求出狗的总路程，但间接的问题转化成甲乙两人的追及问题。狗跑的总路程=它的速度×时间，而它用的总时间就是甲追上乙的时间
解：设甲用X小时追上乙，根据题意列方程：
5X=3X+5 解得X=2.5，狗的总路程：15×2.5=37.5（千米）
答：狗的总路程是37.5千米。
（4）解：设第一铁桥的长为x米，那么第二铁桥的长为（2x-50）米，过完第一铁桥所需的时间为分．过完第二铁桥所需的时间为分．依题意，可列出方程：
+= 解方程x+50=2x-50 得x=100
∴2x-50=2×100-50=150（米）
答：第一铁桥长100米，第二铁桥长150米。
变式1：甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑240米，乙每分钟跑200米，二人同时同地同向出发，几分钟后二人相遇？若背向跑，几分钟后相遇？
【解析】此题为环形跑道上，同时同地同向的追及与相遇问题。
解：① 设同时同地同向出发x分钟后二人相遇，则：
240x－200x＝400
x＝10
② 设背向跑，x分钟后相遇，则：
240x＋200x＝400
x＝
答：二人同时同地同向出发，10分钟后二人相遇，若背向跑，分钟后相遇。
变式2：一架飞机飞行于甲、乙两城之间，顺风时需要5小时30分钟，逆风时需要6小时，若风速是每小时24公里，求两城之间的距离。
【解析】解：设两城之间距离为x 公里，则顺风速为公里/小时，逆风速为公里/小时，等量关系：顺风时飞机本身速度=逆风时飞机本身速度。
依题意得：
答：两城之间的距离为3168公里。
变式3：一艘轮船在甲、乙两码头之间航行，顺水航行需要4小时，逆水航行需要5小时，水流的速度为2千米/时，求甲、乙两码头之间的距离。
【解析】解：设甲、乙两码头之间的距离为x千米。则：
x=80
答：甲、乙两码头之间的距离是80千米。
变式4：在3时和4时之间的哪个时刻，时钟的时针与分针：⑴重合；⑵ 成平角；⑶成直角。
【解析】解：数量关系：分针的速度是时针的12倍，二者的速度差为11/12，通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。
⑴ 设分针指向3时x分时两针重合。
答：在3时分时两针重合。
⑵ 设分针指向3时x分时两针成平角。
答：在3时分时两针成平角。
⑶设分针指向3时x分时两针成直角。
答：在3时分时两针成直角。
例3：工程问题是小学数学应用题教学中的重点；是分数应用题的引申与补充；是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具；它是函数一一对应思想在应用题中的有力渗透。工程问题具体来说，是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有灵活性和抽象性，也是奥数教材的学习难点之一。
工效×时间=工作总量 工效=工作总量÷工作时间 工作时间=工作总量÷工效
1. 一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？
2. 一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？
【解析】1.解：本题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的 1/10；乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/10＋1/15）。由此可以列出算式：1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）
答：两队合做需要6天完成。
2.解：设总工作量为1，则甲每小时完成1/6，乙每小时完成1/8，甲比乙每小时多完成（1/6－1/8），二人合做时每小时完成（1/6＋1/8）。因为二人合做需要［1÷（1/6＋1/8）］小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件，所以
（1）每小时甲比乙多做多少零件？
24÷［1÷（1/6＋1/8）］＝7（个）
（2）这批零件共有多少个？
7÷（1/6－1/8）＝168（个）
答：这批零件共有168个。
变式1：一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？
【解析】解:注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。
要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出。
我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为（1×4×5），2个进水管15小时注水量为（1×2×15），从而可知
每小时的排水量为??? （1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1
即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知
一池水的总工作量为?? 1×4×5－1×5＝15
又因为在2小时内，每个进水管的注水量为? 1×2，所以，2小时内注满一池水至少需要多少个进水管？?
（15＋1×2）÷（1×2）
＝8.5≈9（个）
答：至少需要9个进水管。
变式2：一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？
【解析】解:必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是
60÷12＝5??? 60÷10＝6??? 60÷15＝4
因此余下的工作量由乙丙合做还需要
（60－5×2）÷（6＋4）＝5（小时）
答：还需要5小时才能完成。
例4：经济问题（商品利润问题）是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。
利润＝售价－进货价
利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100%
售价＝进货价×（1＋利润率）
亏损＝进货价－售价
亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100%
1. 某商品的平均价格在一月份上调了10%，到二月份又下调了10%，这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何？
2. 某服装店因搬迁，店内商品八折销售。苗苗买了一件衣服用去52元，已知衣服原来按期望盈利30%定价，那么该店是亏本还是盈利？亏（盈）率是多少？
【解析】1.解：设这种商品的原价为1，则一月份售价为（1＋10%），二月份的售价为（1＋10%）×（1－10%），所以二月份售价比原价下降了
1－（1＋10%）×（1－10%）＝1%
答：二月份比原价下降了1%。
2.解：要知亏还是盈，应知实际售价52元比成本少多少或多多少元，进而需知成本。因为52元是原价的80%，所以原价为（52÷80%）元；又因为原价是按期望盈利30%定的，所以成本为? 52÷80%÷（1＋30%）＝50（元）
可以看出该店是盈利的，盈利率为? （52－50）÷50＝4%
答：该店是盈利的，盈利率是4%。
变式1：成本0.25元的作业本1200册，按期望获得40%的利润定价出售，当销售出80%后，剩下的作业本打折扣，结果获得的利润是预定的86%。问剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣？
【解析】解：问题是要计算剩下的作业本每册实际售价是原定价的百分之几。从题意可知，每册的原定价是0.25×（1＋40%），所以关键是求出剩下的每册的实际。售价，为此要知道剩下的每册盈利多少元。剩下的作业本售出后的盈利额等于实际总盈利与先售出的80%的盈利额之差，即：
0.25×1200×40%×86%－0.25×1200×40%×80%＝7.20（元）
剩下的作业本每册盈利? 7.20÷［1200×（1－80%）］＝0.03（元）
又可知：（0.25＋0.03）÷［0.25×（1＋40%）］＝80%
答：剩下的作业本是按原定价的八折出售的。
变式2：某种商品，甲店的进货价比乙店的进货价便宜10%，甲店按30%的利润定价，乙店按20%的利润定价，结果乙店的定价比甲店的定价贵6元，求乙店的定价。
【解析】解：设乙店的进货价为1，则甲店的进货价为? 1－10%＝0.9
甲店定价为? 0.9×（1＋30%）＝1.17
乙店定价为? 1×（1＋20%）＝1.20
由此可得：? 乙店进货价为? 6÷（1.20－1.17）＝200（元）
乙店定价为： 200×1.2＝240（元）
答：乙店的定价是240元。
例5：溶液浓度问题是在生产和生活中，我们经常会遇到的问题。这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度等几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。
溶液＝溶剂＋溶质
浓度＝溶质÷溶液×100%
1. 爷爷有16%的糖水50克，（1）要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它变成30%的糖水，需加糖多少克？
2. 要把30%的糖水与15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？
【解析】1.解：（1）需要加水多少克？? 50×16%÷10%－50＝30（克）
（2）需要加糖多少克？? 50×（1－16%）÷（1－30%）－50
＝10（克）
答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。
2.解：假设全用30%的糖水溶液，那么含糖量就会多出600×（30%－25%）＝30（克）
这是因为30%的糖水多用了。于是，我们设想在保证总重量600克不变的情况下，用15% 的溶液来“换掉”一部分30%的溶液。这样，每“换掉”100克，就会减少糖100×（30%－15%）＝15（克）所以需要“换掉”30%的溶液（即“换上”15%的溶液）
100×（30÷15）＝200（克）
由此可知，需要15%的溶液200克。
需要30%的溶液：600－200＝400（克）
答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。
变式1：甲容器有浓度为12%的盐水500克，乙容器有500克水。把甲中盐水的一半倒入乙中，混合后再把乙中现有盐水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中，使甲乙两容器中的盐水同样多。求最后乙中盐水的百分比浓度。
【解析】解：由条件可知，倒了三次后，甲乙两容器中溶液重量相等，各为500克，因此，只要算出乙容器中最后的含盐量，便会知所求的浓度。下面列表推算：
情境
甲容器
乙容器
原? 有
盐水500
盐500×12%＝60
水500
第一次把甲中一半倒入乙中后
盐水500÷2＝250
盐60÷2＝30
盐水500＋250＝750
盐30
第而次把乙中一半倒入甲中后
盐水250＋375＝625
盐30＋15＝45
盐水750÷2＝375
盐30÷2＝15
第三次使甲乙中
盐水同样多
盐水500
盐45－9＝36
盐水500
盐45－36＋15＝24
由以上推算可知，
乙容器中最后盐水的百分比浓度为? 24÷500＝4.8%
答：乙容器中最后的百分比浓度是4.8%。
变式2：现有浓度为10％的盐水20千克，再加入多少千克浓度为30％的盐水，可以得到浓度为22％的盐水？
【解析】解：设需加入浓度为30％的盐水x千克，依据混合前后溶质的量不变，列方程得：
　　 20×10％＋30％·x=（20+x）·22％
　　 解得： x=30
答：再加入30千克浓度为30％的盐水，可以得到浓度为22％的盐水。
例6： 方案选择是指从相应不同方案中选择最优解决方法的一类奥数应用题型，也是热门考点之一。
1. 某同学在A、B两家超市发现他看中的英语学习机的单价相同，书包单价也相同，英语学习机和书包单价之和是452元，且英语学习机的单价比书包单价的4倍少8元．
（1）求该同学看中的英语学习机和书包单价各是多少元？
（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打7.5折销售；超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的英语学习机、书包，那么在哪一家购买更省钱？
2.一牛奶制品厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获利500元；若将鲜奶制成奶粉销售，每加工1吨鲜奶可获利2000元；若将鲜奶制成酸奶销售，每加工1吨鲜奶可获利1200元。该厂的生产能力是：若专门生产奶粉，则每天可用去鲜奶1吨；若专门生产酸奶，则每天可用去鲜奶3吨，由于受设备和人员的限制，奶粉和酸奶不能同时生产，为保证生产质量，这批鲜奶必须在不超过4天的时间内全部销售或加工完毕，请问：你能设计出哪几种生产方案？哪种生产方案获利最大，最大利润是多少？
【解析】1.解： (1)设书包价格为x元，则：
4x-8+x=452
5x=460
x=92
4x-8=360（元）
答:书包价格为92元,学习机360元。
(2) 超市A:452×0.8＝361.6（元）
超市B:〔360÷100〕＝3.6取整为3
3×30＝90（元） 92－90＝2（元） 360＋2＝362（元）
因为362＞361.6（元）
答：在超市A买更省钱。
2. 解：（1） 将9吨鲜奶全部制成酸奶，则可获利1200×9=10800（元）。
（2） 4天内全部生产奶粉，则有鲜奶得不到加工而浪费，且利润仅为
2000×4=80000（元）
（3） 4天中，用x天生产酸奶，用(4-x)天生产奶粉，并保证9吨鲜奶如期加工完毕。
由题意，得3x+（4-x）×1=9
解得： x=2.5
∴4-X=1.5(天)
故在4天中,用2.5天生产酸奶,用1.5天生产奶粉,则利润为：
2.5×3×1200+1.5×1×2000=12000(元)
答:按第三种方案组织生产能使工厂获利最大,最大利润是12000元.
变式1：某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：
如果对蔬菜进行精加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多地对蔬菜进行粗加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成。
你认为哪种方案获利最多？为什么？
【解析】解：方案一：获利140×4500=630000（元）
方案二：获利15×6×7500+（140-15×6）×1000=725000（元）
方案三：设精加工x吨，则粗加工（140-x）吨．
依题意得=15 解得x=60
获利60×7500+（140-60）×4500=810000（元）
因为第三种获利最多，所以应选择方案三。
变式2：某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．
（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．
（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？
【解析】解：按购A，B两种，B，C两种，A，C两种电视机这三种方案分别计算，设购A种电视机x台，则B种电视机y台。
（1）①当选购A，B两种电视机时，B种电视机购（50-x）台，可得方程
1500x+2100（50-x）=90000 即5x+7（50-x）=300 2x=50 x=25
50-x=25
②当选购A，C两种电视机时，C种电视机购（50-x）台，
可得方程1500x+2500（50-x）=90000 3x+5（50-x）=1800 x=35
50-x=15
③当购B，C两种电视机时，C种电视机为（50-y）台．
可得方程2100y+2500（50-y）=90000
21y+25（50-y）=900，4y=350，不合题意
由此可选择两种方案：一是购A，B两种电视机25台；二是购A种电视机35台，C种电视机15台．
（2）若选择（1）中的方案①，可获利 150×25+250×15=8750（元）
若选择（1）中的方案②，可获利 150×35+250×15=9000（元）
9000>8750
故为了获利最多，选择第二种方案。
例7：资源调配（劳力调配）问题：实际生活中，我们经常会遇到根据工作量的需要去调配人数问题，这类问题须注意:
（1）既有调入又有调出；
（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；
（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。
1. 在甲处劳动的有27人，在乙处劳动有19人，现另外调20人去支援，使在甲处工作的人数是乙处的2倍，问往甲、乙处各调多少人？
2. 某工厂第一车间比第二车间人数的少30人，如果从第二车间调出10人到第一车间去，则第一车间人数是第二车间人数的，这两个车间原来各有多少人？
【解析】1.[分析]线段图：
表格图：
相等关系：甲原有人数＋调入人数＝（乙原有人数＋调入人数）×2
解：设调往甲处x人，则调乙处（）人
由题意得：
解方程得：
答：调甲处17人，调乙处3人。
2.[分析]表格图：
相等关系：第一车间原有人数＋调入＝（第二车间原有人数－调出）
解：设第二车间原有x人，则第一车间原有人
根据题意得：
解得：
答：第一车间原有170人，第二车间原有250人。
变式1：某工厂有甲、乙、丙三个车间，分别有工人55人、45人、30人，现各车间按相同比例裁减工人，最后留下104人，求裁减后乙车间还有多少工人？
【解析】解：设相同比例x，则裁减后乙车间还有人
答：乙还有36人。
变式2：两个水池共存水40吨，甲池注进水4吨，乙池放出水8吨，甲池中水吨数与乙池中水吨数相等，两个水池原来各有水多少吨？
【解析】按劳力调配问题方法分析：
解：设甲池原有水x吨，乙池原有水（）吨
由题意得：
解得：
答：甲池原有水14吨，乙池原有水26吨。
例题8 年龄问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系却随着年龄的增长在不断发生变化。
年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点；可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。
1. 爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？
2. 母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍？
【解析】1.解：1.35÷5＝7（倍）
（35+1）÷（5+1）＝6（倍）
答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。
2. 解：（1）母亲比女儿的年龄大多少岁？37－7＝30（岁）
（2）几年后母亲的年龄是女儿的4倍？30÷（4－1）－7＝3（年）
列成综合算式：（37－7）÷（4－1）－7＝3（年）
答：3年后母亲的年龄是女儿的4倍。
变式1：3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父子今年各多少岁？
【解析】解：今年父子的年龄和应该比3年前增加（3×2）岁，今年二人的年龄和为：??
49＋3×2＝55（岁）
把今年儿子年龄作为1倍量，则今年父子年龄和相当于（4＋1）倍，因此，今年儿子年龄为：55÷（4＋1）＝11（岁）
今年父亲年龄为：11×4＝44（岁）
答：今年父亲年龄是44岁，儿子年龄是11岁。
变式2：甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”。乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？
【解析】解：这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析：
过去某一年
今? 年
将来某一年
甲
□岁
△岁
61岁
乙
4岁
□岁
△岁
表中两个“□”表示同一个数，两个“△”表示同一个数。
因为两个人的年龄差总相等：□－4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61成等差数列，所以，61应该比4大3个年龄差，
因此二人年龄差为：（61－4）÷3＝19（岁）
甲今年的岁数为：△＝61－19＝42（岁）
乙今年的岁数为：□＝42－19＝23（岁）
答：甲今年的岁数是42岁，乙今年的岁数是23岁。
例9：还原问题又称逆运算问题，解这类问题利用加减互为运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意顺序由后向前逆推计算直至按要求算出原数应得结果为止。
某数减去2，乘以9，再加上3，最后除以4，结果等于12。求这个数？
2. 小虎做一道减法题时，把被减数十位上的6错写成9，减数个位上的9错写成6，最后所得的差是577，这题的正确答案应该是多少？
【解析】1.解：通过读题我们可以发现某数经过减去2，乘以9，加上3，除以4，这四步有序的运算的结果等于12，要想求出某数，我们只需要将其运算过程从结果开始逆向运算即可。
（12×4－3）÷9＋2
=（48－3）÷9＋2
=45÷9＋2
=5＋2
=7
答：这个数是7。
2.解：“把被减数十位上的6错写成9”其结果就写了（9×10－6×10），“减数个位上的9错写成6”就会使差多了（9－6），我们只需要将少减的部分减去就可以得到正确的结果。
577－（9×10－6×10）－（9－6）
=544
答：正确的答案应该是544。
变式1：三只猴子分一堆桃，大猴子先拿了这堆桃的一半少1个；第二只猴子拿了余下的桃子的一半多1个；小猴子分得余下的8个桃，桃子就被全分完了。问，这堆桃子共多少个？
【解析】解：此题条件较复杂，我们可以通过画图进行分析，你能从图中发现哪个部分是大猴子拿的桃子吗？其实解决这类问题我们关键是要找到“一半”所对应的数量，从最后进行推算。
剩下的一半：8＋1=9（个）
剩下多少个：9×2=18（个）
一半是多少个：18－1=17（个）
一共有多少个桃子：17×2=34（个）
答：这堆桃子共34个。
变式2：同学们玩扔沙袋游戏，甲乙两班共有140袋沙袋，如果甲班先给乙班5只，乙班又给甲班8只，这时两班沙袋相等，两班原来各有沙袋多少只？
【解析】解：通过题中“甲乙两班共有140只沙袋”和“这时两班沙袋相等”这两个条件，我们可以知道甲、乙两班各有140÷2=70（袋），然后可以列表推算
甲
乙
这时
70
70
第2次
70－8
70＋8
第3次
70－8＋5
70＋8－5
最后甲、乙两班各有多少袋：140÷2=70（袋）
甲班原有多少袋70－8＋5=67（袋）
乙班原有多少袋70＋8－5=73（袋）
答：甲班原有67袋，乙班原有73袋沙袋。
例10： 假设替换（鸡兔同笼）问题，也是古典的算术问题之一。已知笼子里鸡、兔共有多少只头和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题。
鸡兔同笼问题：
假设全都是鸡，则有兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）
假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）
鸡兔同笼问题：
假设全都是鸡，则有兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）
假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）
解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。
长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？
2. 李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本 3 .20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本？
【解析】1. 解:假设35只全为兔，则:
鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）
兔数＝35－23＝12（只）
也可以先假设35只全为鸡，则
兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）
鸡数＝35－12＝23（只）
答：有鸡23只，有兔12只。
2. 解:此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本，则有:
作业本数＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）
日记本数＝45－15＝30（本）
答：作业本有15本，日记本有30本。
变式1：鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？
【解析】解:假设100只全都是鸡，则有:
兔数＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）
鸡数＝100－20＝80（只）
答：有鸡80只，有兔20只。
变式2：有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人？
【解析】解:假设全为大和尚，则共吃馍（3×100）个，比实际多吃（3×100－100）个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100不变的情况下，以“小”换“大”，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍（3－1/3）个。因此，共有小和尚:
（3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人）
共有大和尚:100－75＝25（人）
答：共有大和尚25人，有小和尚75人。
三、课堂总结
（1）应用题是培养学生应用能力的重要途径，但不再是对解题模式的简单应用，而是真正让数学与现实联系，让学生学习用数学的眼光、数学的思维、数学的方法去认识世界，去主动解决所碰到的现实问题。应用题将成为培养学生实践能力和开展探索、合作、交流的重要载体。
（2）小升初奥数应用题的重点考查无疑是对选拔优秀学生最有效的数学建模解答方式，只有真正做到熟悉各类应用题型，懂得原理和意义，才能行之有效解决现实生活中常见的数学问题，让数学知识学以致用，招福人类。
（3）应用题综合训练注重基础到拓展培优循序渐进的学习过程，促使学生理解并掌握重要的解题思路及其方法技巧不仅帮助其学会解决问题的策略，还能从本质上提升个人逻辑思维能力，更将发挥创造性。
四、课后作业
1、从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲、乙两地相距x千米，则列方程为 。
2、小明打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果小明从家一开始就跑步，可比原来步行早9分钟到学校，求小明跑步的速度。

3、一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？

4、一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？
现有浓度为10%的盐水20千克，再加入多少千克浓度为30%的盐水，可以得到浓度为22%的盐水？
6、双休日，某公司决定组织48名员工到附近一水上公园坐船游园，公司先派一人去了解船只的租金情况，此人看到的租金价格如下：
船型
每只船限载人数
租金（元/小时）
大船
5
3
小船
3
2
若计划每人坐船2时，问怎样设计租船方案，才能使所付租金最少？
7、某车间有两个小组，甲组是乙组人数的2倍，若从甲组调12人到乙组，使甲组人数比乙组人数的一半还多3人，求原来甲、乙两组人数？

8、15年前父亲的年龄是儿子的7倍，10年后父亲的年龄是儿子的2倍。现在各多少岁？

9、甲、乙、丙三人钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果丙的钱最多；最后丙拿出一些钱给甲和乙，使甲和乙的钱数都比原来增加了两倍，结果三人钱数一样多了。如果他们三人共有81元，那么三人原来的钱分别是多少元？
10、鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚92只。鸡兔各几只？