2021小升初数学专题复习第三讲定义新运算教师版+学生版

2021
专题讲解+配套练习
小升初数学专题复习
小升初
第三讲 定义新运算-教师版
一、知识梳理
定义新运算经常出现在小学四至六年级思维数学和部分初一衔接学习中，有别于我们已熟悉的“＋”、“－”、“×”、“÷”基础四则运算，不再只是简单传统的运算意义和计算法则，而是通过人为赋予数或式利用各种不同的运算符号创新运算定义和算理，更融入例如字母运算、方程，甚至是找规律思想在内的一种综合计算形式，系统学习这些知识，不仅可以开阔我们的视野，而且还能进一步拓展数学思维。
1、基础运算型
定义新运算基础题型是指通过字母表示，依据四则运算组合和运用括号进行计算的一种简单运算方式。
2、复合运算型
定义新运算复合运算题型是指反复利用字母表示及其结合四则运算，在符合运算定律基础上的一种混合运算方式。
3、方程思想引入型
定义新运算方程思想引入题型是指在基础和复合运算基础上，把方程计算引入的一种高级运算方式。
4、找规律思想引入型
定义新运算找规律思想引入题型是指在基础和复合运算基础上，把找规律计算引入的一种更高级运算方式。
5、综合运算型
定义新运算综合运算题型是指在探索规律背景下，融合四则基础和复合运算内容，进一步拓展方程思想参与计算的一种最高级运算方式。
二、例题精讲
例1： 设a、b为两个数，规定a&b=a×5－b×3，试计算：4&2=？。
【解析】 该题运算最重要的是抓住定义的本质，即a、b是怎样去运算，然后运用这样的定义进行运算。这种新的运算方法还要很快的适应，并能很好的应用，以达到解题的目的。
本题规定的运算本质是：用“&”前面的数乘以5减去“&”后面的数乘以3进行计算。
∴4&2=4×5－2×3=14
变式1：定义运算☆为 A☆B=（A＋B）÷3，试算：11☆7=？。
【解析】 这种新运算的本质是用符号“☆”前面的数加上“☆”后面的数的和除以3。
∴11☆7=（11+7）÷3=18÷3=6
变式2：设a◎b=a×b－(a＋b),试求：3◎4=？。
【解析】 这种新运算的本质是用符号◎前后两个数的积减去两个数的和，请注意运算顺序：有括号先算括号里面的。
∴3◎4=3×4-（3+4）=12-7=5
例2： 设p、q是两个数，规定：p△q = 3×p－（p＋q）÷2，试求7△（2△4）=？。
【解析】 这种新运算的本质是用符号△前后两个数的积减去两个数的和的一半，请注意运算顺序：有括号先算括号里面的。
∴7△（2△4）= 7△【3×2－（2＋4）÷2】= 7△3 = 3×7－（7＋3）÷2 = 16
变式1：设a%b = 4×a－b，试求（5%4）%（10%6）=？。
【解析】 这种新运算的本质是用符号*前数的4倍减去后一个数，请注意运算顺序：有括号先算括号里面的。
∴（5%4 ）%（10%6）= （4×5－4 ）%（4×10－6）= 16%34=16×4－34 = 30。
变式2：设a,b表示两个不同的数,规定a^b=3a+4b，试求(8^7)^6=？。
【解析】 这种新运算的本质是用符号△前数的3倍加上后一个数的4倍，请注意运算顺序：有括号先算括号里面的。
∴(8^7)=3×8+4×7 52^6=3×52+4×6
=24+28 =156+24
=52 =180
例3： 设a※b = 5a－3b，已知x※（3※2）= 18，求x。
【解析】 这种新运算的本质是用符号※前数的5倍减去后一个数的3倍，请注意运算顺序：有括号先算括号里面的；还应留意方程算理融入特点。
∴3※2 = 5×3－3×2 = 9，
x※9 = 5x－3×9
5x－27=18
x=9
变式1：规定a*3 = a＋（a＋1）＋（a＋2），那么x*5 = 45，x = ________。
【解析】 这种新运算的本质是用符号*前的数开始算起，依次相差1累加连续自然数，直至加到比后一个数少1的数为止，请注意运算顺序：有括号先算括号里面的；还应留意方程算理融入特点。
∴x＋（x＋1）＋（x＋2）＋（x＋3）＋（x＋4）= 45，
5x =35
x =7
变式2：有两个整数是m和n,m☆n表示 m和n的平均数，如果m☆6=17,那么，m是多少？。
【解析】 这种新运算的本质是用符号☆前后的数计算平均数，请注意方程算理融入特点。
∴m☆6=17
（m+6）÷2=17
m+6=34
m=28
例4： 如果1★3=1＋2＋3，4★5=4＋5＋6＋7＋8，那么，3★6=？。
【解析】 这种新运算的本质是用符号★前的数开始算起，依次相差1累加连续自然数，直至加到★后的数位为止。
∴3★6=3+4+5+6+7+8=33
变式1：如果1▽3=1×2×3，5▽3=5×6×7，根据此规律计算：6▽3=？。
【解析】 这种新运算的本质是用符号▽前的数开始算起，依次相差1累积连续自然数，直到加到▽后的数位为止。
∴6▽3=6×7×8=336
变式2：如果1#5 = 1＋11＋111＋1111＋11111，2#4 = 2＋22＋222＋2222，3#3 = 3＋33＋333，……，那么4#3 = ________；105#2 = ________。
【解析】 这种新运算的本质是用符号#前的数开始算起，依次增加1个数位的相同数累加，直至加到#后的数位为止。
∴4#3 = 4＋44＋444 = 492；
105#2 = 105＋105105 = 105210
例5： 定义两种运算“☆”，“○”，对于任意两个整数a、b，a☆b = a＋b－1，a○b = a×b－1，求：（1） 4○【（6☆8）☆（3☆5）】的值；（2） 若x☆（x○4）= 30，求x的值是多少？。
【解析】 这种新运算的本质是分别利用符号☆和○前后的数的和或积减去1，请注意运算顺序：有括号先算括号里面的；还应留意方程算理融入特点。
∴（1） 6☆8 = 6＋8－1 = 13
3☆5 = 3＋5－1 = 7
13☆7 = 13＋7－1 = 19
4○19 = 4×19－1 = 75
（2） x☆（4x－1）= 30
x＋4x－1－1 = 30
5x－2 = 30
x = 6.4
变式1：设x，y表示两个数,规定新运算“*”及“△”如下:x*y=mx+ny,x△y=kxy,其中 m,n,k均为自然数,已知 1*2=5,(2*3)△4=64,试求(1△2)*3的值。
【解析】 本题我们应采用逐级运算分析法。首先计算1*2,根据"*"的定义:1*2=5可以分类讨论求出m,n的值,然后通过(2*3)△4=64求出 k的值，最后再求(1△2)*3的值。
∴由1*2=m×1+n×2=m+2n,则m+2n=5.又m,n均为自然数,故解出:
①当m=1,n=2时:
(2*3)△4=(1×2+2×3)△4=8△4=k×8×4=32k
有32k=64,解出k=2.
②当m=3,n=1时:
(2*3)△4=(3×2+1×3)△4=9△4=k×9×4=36k=64，则k不为自然数，故不符合题意，舍去该种可能性。
所以m=1,n=2,k=2.
(1△2)*3=(2×1×2)*3=4*3=1×4+2×3=10.
变式2：▽表示一种运算符号，它的意义是X▽Y=1/XY+1/【(X+1) ×(Y+1) 】,已知2▽1=1/2+1/【3×（1+A）】=2/3,那么2015▽2016=？。
【解析】 本题应从已知条件入手，首选通过方程运算计算出A值，然后代入到新运算中得出运算式，最后计算2015▽2016的值。
∴2▽1=1/2+1/【3×（1+A）】=2/3
A=1
则： X▽Y=1/XY+1/【(X+1) ×(Y+1)】
2015▽2016=1/（2015×2016）+1/（2016×2017）=1/2015-1/2017=2/4064255
三、课堂总结
（1）解决此类问题，关键是应首选准确且透彻地理解新运算的算式含义，然后严格按照新定义的计算顺序，逐步将符合要求的数值代入算式中进行运算，最后再把它转化为四则混合或方程运算等予以计算，得出合理结果。
（2）我们还应知晓，这是一种人为规定的运算形式，它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、、Δ、◆、■等来表示的一种创新运算。
（3）新定义的算式中，如有括号的，要先算括号里面的，还须格外留意方程和找规律思想引入对解题计算的特殊要求。
四、课后作业
1、如果A*B=3A+2B，那么7*5=？。
【解析】 这种新运算的本质是用符号*前数的3倍加上后数的2倍的和进行计算。
∴7*5=3×7+2×5=21+10=31
2、如果任何数A和B有A¤B=（A+B）×（A-B），试求（5¤3）¤4=？。
【解析】 这种新运算的本质是用符号¤前后数的乘积减去前后两数的和，请注意运算顺序：有括号先算括号里面的。
∴（5¤3）¤4=【（5+3）×（5-3）】¤4=（8×2）¤4=16¤4=（16+4）×（16-4）=20×12=240
3、规定a$b=a+(a+1)+(a+2)+…(a+b-1),(a,b均为自然数，b>a).如果x$10=65,那么x的值是多少？。
【解析】 这种新运算的本质是用符号$前的数开始算起，依次相差1累加连续自然数，直至加到$后的数位少1为止，还应留意方程算理融入特点。
∴X$10=x+(x+1)+(x+2)+…(x+10-1)
=10x+45
则: 10x+45=65
10x=20
X=2
4、有一个数学符号“@”，使下列等式成立：2@4=8，5@3=13，3@4=10，9@7=25，那么，7@3=？。
【解析】 这种新运算的本质是用等式左边符号@前数的2倍加上后数的和等于等式右边的数进行计算。
∴7@3=7×2+3=17
5、如果：1⊕2=1＋11=12，
2⊕3=2＋22＋222=246，
3⊕4=3＋33＋333＋3333=3702，
那么1⊕5=（ ）。
【解析】 这种新运算的本质是用符号⊕前的数开始算起，依次增加1个数位的相同数累加，直至加到⊕后的数位为止。
∴1⊕5=1+11+111+1111+11111=12345
第三讲 定义新运算-学生版
一、知识梳理
定义新运算经常出现在小学四至六年级思维数学和部分初一衔接学习中，有别于我们已熟悉的“＋”、“－”、“×”、“÷”基础四则运算，不再只是简单传统的运算意义和计算法则，而是通过人为赋予数或式利用各种不同的运算符号创新运算定义和算理，更融入例如字母运算、方程，甚至是找规律思想在内的一种综合计算形式，系统学习这些知识，不仅可以开阔我们的视野，而且还能进一步拓展数学思维。
1、基础运算型
定义新运算基础题型是指通过字母表示，依据四则运算组合和运用括号进行计算的一种简单运算方式。
2、复合运算型
定义新运算复合运算题型是指反复利用字母表示及其结合四则运算，在符合运算定律基础上的一种混合运算方式。
3、方程思想引入型
定义新运算方程思想引入题型是指在基础和复合运算基础上，把方程计算引入的一种高级运算方式。
4、找规律思想引入型
定义新运算找规律思想引入题型是指在基础和复合运算基础上，把找规律计算引入的一种更高级运算方式。
5、综合运算型
定义新运算综合运算题型是指在探索规律背景下，融合四则基础和复合运算内容，进一步拓展方程思想参与计算的一种最高级运算方式。
二、例题精讲
例1： 设a、b为两个数，规定a&b=a×5－b×3，试计算：4&2=？。
【解析】 该题运算最重要的是抓住定义的本质，即a、b是怎样去运算，然后运用这样的定义进行运算。这种新的运算方法还要很快的适应，并能很好的应用，以达到解题的目的。
本题规定的运算本质是：用“&”前面的数乘以5减去“&”后面的数乘以3进行计算。
∴4&2=4×5－2×3=14
变式1：定义运算☆为 A☆B=（A＋B）÷3，试算：11☆7=？。
【解析】 这种新运算的本质是用符号“☆”前面的数加上“☆”后面的数的和除以3。
∴11☆7=（11+7）÷3=18÷3=6
变式2：设a◎b=a×b－(a＋b),试求：3◎4=？。
【解析】 这种新运算的本质是用符号◎前后两个数的积减去两个数的和，请注意运算顺序：有括号先算括号里面的。
∴3◎4=3×4-（3+4）=12-7=5
例2： 设p、q是两个数，规定：p△q = 3×p－（p＋q）÷2，试求7△（2△4）=？。
【解析】 这种新运算的本质是用符号△前后两个数的积减去两个数的和的一半，请注意运算顺序：有括号先算括号里面的。
∴7△（2△4）= 7△【3×2－（2＋4）÷2】= 7△3 = 3×7－（7＋3）÷2 = 16
变式1：设a%b = 4×a－b，试求（5%4）%（10%6）=？。
【解析】 这种新运算的本质是用符号*前数的4倍减去后一个数，请注意运算顺序：有括号先算括号里面的。
∴（5%4 ）%（10%6）= （4×5－4 ）%（4×10－6）= 16%34=16×4－34 = 30。
变式2：设a,b表示两个不同的数,规定a^b=3a+4b，试求(8^7)^6=？。
【解析】 这种新运算的本质是用符号△前数的3倍加上后一个数的4倍，请注意运算顺序：有括号先算括号里面的。
∴(8^7)=3×8+4×7 52^6=3×52+4×6
=24+28 =156+24
=52 =180
例3： 设a※b = 5a－3b，已知x※（3※2）= 18，求x。
【解析】 这种新运算的本质是用符号※前数的5倍减去后一个数的3倍，请注意运算顺序：有括号先算括号里面的；还应留意方程算理融入特点。
∴3※2 = 5×3－3×2 = 9，
x※9 = 5x－3×9
5x－27=18
x=9
变式1：规定a*3 = a＋（a＋1）＋（a＋2），那么x*5 = 45，x = ________。
【解析】 这种新运算的本质是用符号*前的数开始算起，依次相差1累加连续自然数，直至加到比后一个数少1的数为止，请注意运算顺序：有括号先算括号里面的；还应留意方程算理融入特点。
∴x＋（x＋1）＋（x＋2）＋（x＋3）＋（x＋4）= 45，
5x =35
x =7
变式2：有两个整数是m和n,m☆n表示 m和n的平均数，如果m☆6=17,那么，m是多少？。
【解析】 这种新运算的本质是用符号☆前后的数计算平均数，请注意方程算理融入特点。
∴m☆6=17
（m+6）÷2=17
m+6=34
m=28
例4： 如果1★3=1＋2＋3，4★5=4＋5＋6＋7＋8，那么，3★6=？。
【解析】 这种新运算的本质是用符号★前的数开始算起，依次相差1累加连续自然数，直至加到★后的数位为止。
∴3★6=3+4+5+6+7+8=33
变式1：如果1▽3=1×2×3，5▽3=5×6×7，根据此规律计算：6▽3=？。
【解析】 这种新运算的本质是用符号▽前的数开始算起，依次相差1累积连续自然数，直到加到▽后的数位为止。
∴6▽3=6×7×8=336
变式2：如果1#5 = 1＋11＋111＋1111＋11111，2#4 = 2＋22＋222＋2222，3#3 = 3＋33＋333，……，那么4#3 = ________；105#2 = ________。
【解析】 这种新运算的本质是用符号#前的数开始算起，依次增加1个数位的相同数累加，直至加到#后的数位为止。
∴4#3 = 4＋44＋444 = 492；
105#2 = 105＋105105 = 105210
例5： 定义两种运算“☆”，“○”，对于任意两个整数a、b，a☆b = a＋b－1，a○b = a×b－1，求：（1） 4○【（6☆8）☆（3☆5）】的值；（2） 若x☆（x○4）= 30，求x的值是多少？。
【解析】 这种新运算的本质是分别利用符号☆和○前后的数的和或积减去1，请注意运算顺序：有括号先算括号里面的；还应留意方程算理融入特点。
∴（1） 6☆8 = 6＋8－1 = 13
3☆5 = 3＋5－1 = 7
13☆7 = 13＋7－1 = 19
4○19 = 4×19－1 = 75
（2） x☆（4x－1）= 30
x＋4x－1－1 = 30
5x－2 = 30
x = 6.4
变式1：设x，y表示两个数,规定新运算“*”及“△”如下:x*y=mx+ny,x△y=kxy,其中 m,n,k均为自然数,已知 1*2=5,(2*3)△4=64,试求(1△2)*3的值。
【解析】 本题我们应采用逐级运算分析法。首先计算1*2,根据"*"的定义:1*2=5可以分类讨论求出m,n的值,然后通过(2*3)△4=64求出 k的值，最后再求(1△2)*3的值。
∴由1*2=m×1+n×2=m+2n,则m+2n=5.又m,n均为自然数,故解出:
①当m=1,n=2时:
(2*3)△4=(1×2+2×3)△4=8△4=k×8×4=32k
有32k=64,解出k=2.
②当m=3,n=1时:
(2*3)△4=(3×2+1×3)△4=9△4=k×9×4=36k=64，则k不为自然数，故不符合题意，舍去该种可能性。
所以m=1,n=2,k=2.
(1△2)*3=(2×1×2)*3=4*3=1×4+2×3=10.
变式2：▽表示一种运算符号，它的意义是X▽Y=1/XY+1/【(X+1) ×(Y+1) 】,已知2▽1=1/2+1/【3×（1+A）】=2/3,那么2015▽2016=？。
【解析】 本题应从已知条件入手，首选通过方程运算计算出A值，然后代入到新运算中得出运算式，最后计算2015▽2016的值。
∴2▽1=1/2+1/【3×（1+A）】=2/3
A=1
则： X▽Y=1/XY+1/【(X+1) ×(Y+1)】
2015▽2016=1/（2015×2016）+1/（2016×2017）=1/2015-1/2017=2/4064255
三、课堂总结
（1）解决此类问题，关键是应首选准确且透彻地理解新运算的算式含义，然后严格按照新定义的计算顺序，逐步将符合要求的数值代入算式中进行运算，最后再把它转化为四则混合或方程运算等予以计算，得出合理结果。
（2）我们还应知晓，这是一种人为规定的运算形式，它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、、Δ、◆、■等来表示的一种创新运算。
（3）新定义的算式中，如有括号的，要先算括号里面的，还须格外留意方程和找规律思想引入对解题计算的特殊要求。
四、课后作业
1、如果A*B=3A+2B，那么7*5=？。
2、如果任何数A和B有A¤B=（A+B）×（A-B），试求（5¤3）¤4=？。
3、规定a$b=a+(a+1)+(a+2)+…(a+b-1),(a,b均为自然数，b>a).如果x$10=65,那么x的值是多少？。
4、有一个数学符号“@”，使下列等式成立：2@4=8，5@3=13，3@4=10，9@7=25，那么，7@3=？。
5、如果：1⊕2=1＋11=12，
2⊕3=2＋22＋222=246，
3⊕4=3＋33＋333＋3333=3702，
那么1⊕5=（ ）。