河南省商丘名校2020-2021学年高一下学期期中联考文科数学试题 扫描版含答案解析

商丘名校 2020—2021 学年下期期中联考
高一数学（文）参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C A B C D B A D D C B
4π 4π 4 2π π
1．【解析】与角 ?
终边相同的角是 2k k Zπ? ∈( )
，令 k =1，得 2π? = .故
3 3 3 3
选 C.
??2r＋ l＝ 6， ??r＝ 1， ??r＝ 2，
2．【解析】设扇形的半径为 r，弧长为 l，则 ?1 解得 ?
或 ?
＝ ， ＝ ＝
?? rl 2 ?l 4 ?l 2.
2 ? ?

从而 l 4
α＝ ＝ ＝ l 2
4或 α＝ ＝ ＝ 1.故选 C．
r 1 r 2
3．【解析】依据互斥和对立事件的定义知， B， C 都不是互斥事件； D 不但是互斥事件而且
是对立事件；只有 A是互斥事件但不是对立事件．故选 A.
4．【解析】
cos2020 cos 5 360 220 cos220 0,tan 2020 tan 5 360 2° = × °+ ° = ° < ° = × °+ ° = ° >( ) ( 20 tan 220 0)
，
所以点 (cos 2020 , tan 2020° °)
在第二象限，故选 B.
sin( )cos(2 )π π? ?x x sin cosx x
5．【 解 析 】 由 f x( )=
， f x( )= = ?cosx ， 所 以
cos( ) tan? ?π x x ?cos tanx x
? ? ? ? ? ?31 31π π 1
f ? ? ? ? ? ?? = ? ? = ? ? ? = ?π cos cos 10π
；故选 C.
? ? ? ? ? ?3 3 3 2
6．【解析】第一象限角 370°不小于第二象限角 100°，故①错；∵ 4kπ＋ 2π<2α<4kπ＋ 3π， k∈ Z，
∴ π 5π π
2α是第一或第二象限角或 y轴非负半轴上的角 .故②错；③正确；由于 sin ＝ sin ，但
6 6 6
与 5π
的终边不相同，故④错；综上可知，只有③正确 . 故选 D.
6
7．【解析】模拟运行程序，输入 i=1， S =0，第一次循环， S = + × + =0 1 (1 1) 2， i=2；第
二次循环， S = + × + =2 2 (2 1) 8， i=3；第三次循环， S = + × + =8 3 (3 1) 20， i=4；第四次
循环， S = + × + =20 4 (4 1) 40， i=5，退出循环，输出 i=5．故选 B．
8．【解析】由题意知只有一个面有油漆的共有 54个，所以 54
P(A)＝ .故选 A．
125
高一数学（文）参考答案 第 1页（共 7页）
1 1
9．【解析】 1 0.82 0.81 0.9＞ ＞2 2 ， 1 π π 3
= = 2 6 3 2
1
lg32
88＋ 90＋ 93＋ 94＋ 95
10．【解析】甲同学的历史平均成绩为 5 ＝ 92(分 )，若甲同学的历史平均成
86＋ 88＋ 92＋ 98＋ 90＋ a
绩不低于乙同学的历史平均成绩，则 5 ≤92，得 a≤6.因为 3≤a≤8，所以
3≤a≤6且 a∈ N，记 “甲同学的历史平均成绩不低于乙同学的历史平均成绩 ”为事件 A，则事件
4 2
A包含 4个基本事件，而基本事件总数为 6，所以事件 A的概率 P(A)＝ 6＝ 3.故选 D.
π
11．【解析】因为 f x x( ) sin(3 )= +?
的图象关于直线 x=
对称，所以
4
π π π π π
3× + = + ∈? πk k Z( ) ，得 ? π= ? +k ， k Z∈
，因为 ? < ，所以
4 2 4 2 2
π ? ?π
k = = ?0,?
，所以 f x x( ) sin 3= ?? ?，故 D项错误；
4 ? ?4
? ? ? ?π ? π π? ? ?π
对于 A： f x? ? ? ?+ = + ? =sin 3? x ? sin 3x，所以 f x? ?+
为奇函数，故选项 A
? ? ? ?12 ? 12 4? ? ?12
π π π 3π π π
错误；对于 ? ? ? ? ? ?
B： x∈ ， 时，
? ? 3x? ∈ 0, ，函数 f x( )
在 ， 上不是单调函
? ?12 3 4 ? ?? 4 ? ?
? ? ?12 3
数；故选项 B不正确；对于 C：因为 f x( )
，
max =1 f x( )
min = ?1，又因为 f x f x(
1)? =(
2) 2，
2 1π π
所以 x x1 2?
的最小值为半个周期，即 × =
，故 C正确；故选 C.
3 2 3
1 1
12．【解析】令 f x( )=0，得 = ?2sin( )πx ，函数 f x( )
的零点就是函数 y =
与
x?1 x?1
1
函数 y x= ?2sin(π )
图象交点的横坐标 .又函数 y =
的图象关于点 (1,0)
对称，函数
x?1
y x= ?2sin(π )
的周期为 2，其图象也关于点 (1,0)
对称，画出两函数图象如图：
共有 8个交点，这 8个点两两关于点 (1,0)
对称，故其横坐标的和为 8.故选 B.

高一数学（文）参考答案 第 2页（共 7页）
二、填空题
2 π 5π π ? ?11
13． 14． ?2kπ＋ ， 2kπ＋ ?(k∈ Z) 15． 16． ? ?,3
π ? 3 6? 6 ? ?4
13．【解析】设分别以 OA， OB 为直径的两个半圆交于点 C， OA 的中点为 D，如图，连接
OC， DC.

不妨令 OA＝ OB＝ 2，则 OD＝ DA＝ DC＝ 1.在以 OA为直径的半圆中，空白部分面积 π
S1＝ ＋
4
1 π 1
×1×1－ ?
－ ×1×1?
＝ 1，所以整个图形中空白部分面积 S ＝ 2.
2 ?4 2 2
?
又因为 1 2 2
S扇形 OAB＝ ×π×2 ＝ π，所以此点取自空白部分的概率 P＝ .
4 π
1
sin x> ，
??2sin x－ 1>0， ?
2
14．【解析】要使原函数有意义，必须有 ?
即 如图，在单位圆中
??1－ 2cos x≥0， ?
1
cos x≤ .
? 2
作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为 ? π 5π
2kπ＋ ， 2kπ＋ ?(k∈ Z).
? 3 6?

?sin A＝ 2sin B， 2 2
15．【解析】由已知得 ? 化简得 2cos A＝ 1，即 cos A＝ ± .
? 3cos A＝ 2cos B， 2

当 2
cos A＝ 时， 3
cos B＝ ，又 π
A， B是三角形内角，∴ B＝ ；
2 2 6
当 2 3
cos A＝－ 时， cos B＝－ ，又 A， B是三角形内角，
2 2
∴ A＝ 3π
， 5π π
B＝ ，不合题意，舍去，综上可知 B＝ .
4 6 6
π
16．【解析】因为 sin α＝ 1－ sin?
＋ β?
＝ 1－ cos β，
?2 ?
所以 cos β＝ 1－ sin α.
因为－ 1≤cos β≤1，
所以－ 1≤1－ sin α≤1,0≤sin α≤2，
高一数学（文）参考答案 第 3页（共 7页）
又－ 1≤sin α≤1，所以 sin α∈ [0,1].
π
所以 2 2
sin α＋ sin?
－ 1 11
β?
＋ 2＝ 2 2
sin α＋ cos β＋ 2＝ sin α－ sin α＋ 3＝ ?sin α－ ?
＋ .(*)
?2 ? ? 2? 4
11
又 1
sin α∈ [0,1]，所以当 sin α＝ 时， (*)式取得最小值 ；
2 4
当 ? ?11
sin α＝ 1或 sin α＝ 0时， (*)式取得最大值 3，故所求范围为 ? ?,3 .
? ?4
三、解答题
17．【解析】
3 π ?2 3 π π? 1
由题知： ? ? ? ?
f ? ? ? ?α+ = + + +sin? ?α
? ? ? ?2 2 3 2 2 6 2? ?
? ?π 1 1 23
= + + = + =sin? ?α αcos .…………………………………………4分
? ?2 2 2 26
5 12
解得 cosα=
，因为 α
是第一象限角，故 sinα=
， …………………6分
13 13
π π3
sin( )cos( ) tan( )α? + +α π α
所以 2 2
π
tan( )sin( )? + ?π α α
2
sinα
? ×cos sinα α
= cosα
…………………………………………………………8分
sinα×cosα
cosα
= ?sinα
12
= ? ..…………………………………………………………………………10分
13
18．【解析】
（ 1）由频率分布表可得该校高一（ 10）班身高在 [165,175)的男生有 12名，女生有 6名，
所以该班学生身高在 6 12+ 9
[165,175)的频率为 = ， …………………………4分
50 25
所以估计该校高一学生身高在 9
[165,175)的概率为 ． ……………………5分
25
（ 2）因为该校高一（ 10）班身高在 [155,165)的学生中男生有 8名，女生有 12名，
按性别用分层抽样的方法抽取 5名，男生应抽取 2名，记为 a b, ，
女生应抽取 3名，记为 A B C, , ， ………………………………………………7分
高一数学（文）参考答案 第 4页（共 7页）
从中任选 2名学生的所有情况有：
( , ),( , ),( , ),( , ),a b a A a B a C ( , ),( , ),( , ),b A b B b C ( , ),( , ),( , )A B A C B C ，
共 10种， ………………………………………………………………………10分
其中抽取的 2名学生中恰有 1名女生的情况有：
( , ),( , ),( , ),a A a B a C ( , ),( , ),( , )b A b B b C ，共 6种，
所以所求的概率为 6 3
= ． ……………………………………………12分
10 5
19．【解析】
（ 1）记标有数字 “1”的球为 a， b， c，标有数字 “2”的球为 d， e，标有数字 “3”的球为 f，则甲
的可能取球共有以下 20种情况： abc， abd， abe， abf， acd， ace， acf， ade， adf， aef，
bcd， bce， bcf， bde， bdf， be f， cd e， cdf， ce f， def， ……………………………3分
由于 6个小球总分为： 3 1 2 2 1 3 10× + × + × = 分，故甲乙平局时都得 5分，所以甲取
出的三个小球是 1个数字 “1”的球和 2个数字 “2”的球，或 2个数字 “1”的球和 1个数字 “3”
的球，共有 6种情况， ……………………………………………………………………5分
6 3
故平局的概率 P1 = = . ……………………………………………………6分
20 10
（ 2）甲获胜时，得分只能是 7分或 6分，即取出的是 1个数字 “3”的球和 2个数字 “2”的球，
或 1个数字 “3”的球和 1个数字 “2”的球和 1个数字 “1”的球，共 7种情况，故先取者（甲）
7
获胜的概率 P2 =
， ………………………………………………………………9分
20
6 7 7
后取者（乙）获胜的概率 P3 = ? ? =1 .………………………………11分
20 20 20
所以 P P
2 3=
，故先取后取获胜的概率一样 . ……………………………………12分
20．【解析】
1＋ 2＋ 3＋ 4＋ 5
（ 1）由题意知 t＝ ＝ 3，
5
0.5＋ 0.6＋ 1＋ 1.4＋ 1.7
y＝ 5 ＝ 1.04， ………………………………………………2分
5
2 2 2 2 2 2
∑ti ＝ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5 ＝ 55，
i=1
5
∑t y t yi i ?5 18.8－ 5×3×1.04
i=1
b= 2
5 ＝ － ＝ 0.32， ……………………………………4分
2 2 55 5×3
∑t ti ?5
i=1
a y bt= ? ＝ 1.04－ 0.32×3＝ 0.08，
则 y关于 t的线性回归方程为 y＝ 0.32t＋ 0.08， …………………………………5分
当 t＝ 6时， y＝ 2.00，即返还 6个点时该商品每天销量约为 200件． …………6分
高一数学（文）参考答案 第 5页（共 7页）
（ 2）根据题意，这 200位拟购买该商品的消费者对返还点数的心理预期值的样本平均数设
为 x， 则 x＝ 2×0.1＋ 4×0.3＋ 6×0.3＋ 8×0.15＋ 10×0.1＋ 12×0.05＝ 6， ……………9分
100－ 20－ 60
中位数的估计值为： 2
5＋ 2× ＝ 5＋ ≈5.7..……………………………12分
60 3
21．【解析】
（ 1）第 6小组的频率为 1－ (0.04＋ 0.10＋ 0.14＋ 0.28＋ 0.30)＝ 0.14， …………………2分
∴ 总人数为 7
＝ 50. ……………………………………………………………………3分
0.14
由题图易知第 4,5,6组的学生均进入决赛，
人数为 (0.28＋ 0.30＋ 0.14)×50＝ 36， …………………………………………………5分
即进入决赛的人数为 36. ………………………………………………………………6分
（ 2）设甲 、 乙 各跳 一次的成绩分别为 x， y米 ，
??8≤x≤10，
则基本事件 满足 的 区 域为 ? ……………………………………………7分
??9.5≤y≤10.5，
事件 A“甲 比 乙 跳 得 远 的概率 ”满足 的 区 域为 x>y， …………………………………8分
如图所 示 ， ………………………………………………………………………………10分

1 1 1
× ×
2 2 2
∴ 由 几何 概 型 得 1
P(A)＝ ＝ .…………………………………………………11分
1×2 16
即甲 比 乙 跳 得 远 的概率为 1
.…………………………………………………………12分
16
22．【解析】
π π π ωπ π2
（ 1）因为 x∈(0, ]时， 2 ( , ]ωx+ ∈ +
， ………………………………1分
3 6 6 3 6
π 1
f x( ) 1=
恰 好 有两个解，即 sin(2 )ωx+ =
恰 好 有两个解， ………………… 2分
6 2
13 2 17π ωπ π π 2 8ωπ π
所以 + <
，即 2π <
， ……………………………4分
6 3 6 6 3 3
解得 3 4ω<
，
所以 实 数 ω
的取值范围是 3 4ω<
． ………………………………………………5分
π 2π
（ 2）由题意，函数 ? ?
g x x( ) 2sin= ?? ?ω
，可得函数的周期为 T =
，
? ?3 ω
高一数学（文）参考答案 第 6页（共 7页）
π π ωπ π π
因为 ? ? ? ?
x∈? ?,π
，可得 ωx? ∈ ? ?? ,ωπ ?……………………………6分
? ?3 3 3 3 3? ?
π π
又由函数 ? ? ? ?
y x= ?2sin? ?ω (ω>0)在 区间 ? ?,π
上有且 仅 有一个零点，
? ?3 ? ?3
? ωπ π
?( 1)k? ≤ ? <π kπ
? 2π π
且 满足 3 3
? ，且 ≥ ?π
，可得 ω≤3，
? π ω 3
kπ ωπ< ? ≤ +( 1)k π
?? 3
? ω 1
?k? ≤ ? <1 k
?
即 3 3
? ，且 ω≤3， …………………………………………………8分
? 1
k k< ? ≤ +ω 1
?? 3
? ω 1
?? ≤ ? <1 0 ?? ≤ <2 1ω
? ? 1
当 3 3
k =0时， ? ，解得 ?1 4 ，所以 < <ω 1； …………9分
? 1 < ≤ω
0 1< ? ≤ω ? 3
?3 3
?? 3
? ω 1
?0 1≤ ? < ?1 4≤ <ω
? ? 4 7
当 3 3
k =1时， ? ，解得 ?4 7 ，所以 < ≤ω
； ……………10分
? 1 < ≤ω
1 2< ? ≤ω ? 3 3
?3 3
?? 3
? ω 1
?1 2≤ ? < ?4 7≤ <ω
? ?
当 3 3
k =2时， ? ，解得 ?7 10 ，此时解 集 为空 集 ， …………11分
? 1 < ≤ω
2 3< ? ≤ω ??3 3
?? 3
易知，当 k >2或 k <0时不 符 合题意，
1 4 7
综上可得， 实 数 ? ? ? ?
ω
的取值范围为 ? ? ?,1 ,∪
分
3 3 3?.…………………………………12
? ? ? ?

高一数学（文）参考答案 第 7页（共 7页）