四川省古蔺县中学校2011-2012学年高二下学期第一次能力监测数学（理）试题

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、若，则复数( )
A． B． C． D．
2、命题“存在R，0”的否定是（ ).
A.不存在R, >0 B.存在R, 0
C.对任意的R, 0 D.对任意的R, >0
3、某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取一个容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取人数分别为（　　）
A.15，5，25 B.15，15，15
C.10，5，30 D.15，10，20
4、有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书5本,
从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有(　 )种
　A．21 B.315 C. 143 D.153
5、如果执行右面的程序框图，那么输出的（　　）
A．22 B．46 C． D．190
6、某学校路口,红灯时间为30秒,黄灯时间为5秒, 绿灯时间为45秒,当你到这个路口时,看到黄灯的概率是( )
A. ; B. ; C. ; D.
7、展开后共有不同的项数为( )
A.9 B.12 C.18 D.24
8、若为圆的弦的中点，则直线的方程是（ ）
A B
C D ( http: / / wxc. / )
9、若椭圆的焦距为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10、已知函数在处的导数为1，则 ( )
A．3 B． C． D．
11、有下列四个命题
①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题。
其中真命题为（ ）
A.①② B.②③ C.①③ D.③④
12、若上是减函数，则的取值范围是（ )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，
13．若向量，则__________
14. 数据－2，－1，0，1，2的方差是____
15、将53（8）转化为十进制数为
16．下列命题中，假命题的有
①两个复数不能比较大小；
②，若，则；
③若是纯虚数，则实数；
④若是两个相等的实数，则是纯虚数；
⑤的一个充要条件是．
三、解答题：本题6小题共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 ：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根；如果与中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．
18、抛掷两颗骰子，求：
（Ⅰ）点数之和出现7点的概率；（Ⅱ）出现两个4点的概率.
19、设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．
（Ⅰ）求，，的值；（Ⅱ）求函数的单调递增区间．
（Ⅲ）求函数在上的最大值和最小值
20、已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。
（Ⅰ）证明：面面；
（Ⅱ）求与所成的角的余弦值；
（Ⅲ）求面与面所成二面角的余弦值。
21、已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A、B两点，
（1）若以AB线段为直径的圆过坐标原点，求实数a的值。
（2）是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线对称？说明理由。
22．（本小题满分14分）已知函数，，其中．
（1）若是函数的极值点，求实数的值；
（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有≥成立，求实数的取值范围．
古蔺中学高2013级第一次月考数学试题（理科）
命题人 唐昌金 审题人 魏书利
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D D D C C D D A C B C C
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。
13． -212 14. 2 15 43 16 1234
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
１７给定两个命题,
：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根；如果与中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．
１８.抛掷两颗骰子，求：
（1）点数之和出现7点的概率；（2）出现两个4点的概率.
作图，从下图中容易看出基本事件空间与点集S={（x，y）|x∈N，y∈N，1≤x≤6，1≤y≤6}中的元素一一对应.因为S中点的总数是6×6=36（个），所以基本事件总数n=36.
（1）记“点数之和出现7点”的事件为A，从图中可看到事件A包含的基本事件数共6个：（6，1），（5，2），（4，3），（3，4），（2，5），（1，6），所以P（A）=.
（2）记“出现两个4点”的事件为B，则从图中可看到事件B包含的基本事件数只有1个：（4，4）.所以P（B）=.
１９、设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．
（Ⅰ）求，，的值；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值．
（Ⅰ）∵为奇函数， ∴
即 ∴
∵的最小值为 ∴
又直线的斜率为
因此，
∴，，．
（Ⅱ）．
　　　，
列表如下：
极大 极小
　　　所以函数的单调增区间是和
∵，，
∴在上的最大值是，最小值是
２０、已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。
（Ⅰ）证明：面面；（Ⅱ）求与所成的角的余弦值；
（Ⅲ）求面与面所成二面角的余弦值。
证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
.
（Ⅲ）解：在上取一点，则存在使
要使
为
所求二面角的平面角.
２１、已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A、B两点，（1）若以AB线段为直径的圆过坐标原点，求实数a的值。（2）是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线对称？说明理由。
(2)假定存在这样的a，使A(),B()关于直线对称。
那么：，两式相减得：，从而
因为A(),B()关于直线对称，所以
代入（*）式得到：-2=6，矛盾。
也就是说：不存在这样的a，使A(),B()关于直线对称。
22．（本小题满分14分）已知函数，，其中．
（1）若是函数的极值点，求实数的值；
（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有≥成立，求实数的取值范围．
（1）解法1：∵，其定义域为， ∴．
∵是函数的极值点，∴，即．
∵，∴．
经检验当时，是函数的极值点，
∴．　
解法2：∵，其定义域为，∴．
令，即，整理，得．
∵，
∴的两个实根（舍去），，
当变化时，，的变化情况如下表：
— 0 ＋
极小值
依题意，，即，
∵，∴．
（2）解：对任意的都有≥成立等价于对任意的都有≥．
当［1，］时，．∴函数在上是增函数．
∴．
∵，且，．
②当1≤≤时，若1≤＜，则，
若＜≤，则．
∴函数在上是减函数，在上是增函数．
∴.
由≥，得≥，
又1≤≤，∴≤≤．
③当且［1，］时，，
∴函数在上是减函数．
∴.
由≥，得≥，
又，∴．
综上所述，的取值范围为．