北师大版数学六年级上册1.6 圆的面积（一） 教案

第6课时　圆的面积(一)
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一、教学内容
推导圆的面积计算公式。(教材第14页)
二、教学目标
1．了解圆的面积的含义，经历估算和小组操作、讨论等探索圆的面积公式的过程。
2．理解并掌握圆的面积公式，能正确运用公式进行计算，并能解决一些简单的实际问题。
3．体验推导圆面积公式时的探索性和结论的确定性，感受“化曲为直”的数学思想和方法。
三、重点难点
重点：掌握圆的面积的计算公式。
难点：理解圆的面积的计算公式的推导过程。
四、教学准备
教师准备：课件PPT、被8等分的圆形纸片、被16等分和32等分的教具模型、剪刀
学生准备：被8等分和16等分的圆形纸片、剪刀
教学过程
一、复习引入
师：什么叫面积？长方形的面积计算公式是怎样的？平行四边形呢？(指名学生回答)
师生小结：长方形的面积＝长×宽
平形四边形的面积＝底×高
师：请同学们回忆一下长方形、平行四边形的面积公式是怎样推导出来的？(指名学生回答，集体订正)
二、学习新课
1．估算圆的面积。
师：圆的面积指什么？
教师引导学生明确：圆所占平面的大小就是圆的面积。[教师板书课题：圆的面积(一)]
师：怎样知道一个圆的面积？(课件出示下面两幅图，小组交流、讨论，教师巡视，派小组代表汇报结果)
教师引导学生明确：①根据第一幅图只能求出圆内最大正方形的面积，剩下的面积只能估算出来。
②根据第二幅图可以数整方格，但不是整格的就只能估算，这样圆的面积也只能估算出来。
教师归纳：用这样的方法我们只能估算出圆的面积，根本不能知道圆的实际面积。所以要想知道圆的面积，我们应该探究圆的面积计算公式，这样才比较准确。
2．推导圆的面积公式。
(1)师：猜一猜圆的面积与什么有关，并说说这样猜想的根据。(指名学生回答)
学生回答：①圆的面积与半径有关，因为半径决定圆的大小。
②圆的面积可能与直径有关，因为圆的大小与直径有关。
(2)师：我们之前研究平行四边形、三角形、梯形面积公式时，都是把未知的问题转化成已知的问题，那么能否将圆转化成以前学过的图形呢？(组织学生分组操作，教师巡视指导)
课件出示教材第14页问题2中被8等分的圆形纸片，再拼成一个近似的平行四边形的图的过程。
师：我们刚才把这个圆拼成了近似什么形状的图形？(指名学生回答)
学生回答：平行四边形。
师：除了老师的拼接方法外，你还有什么方法？(组织学生讨论，指名学生回答)
课件出示拼接结果。
(3)师：等分的份数越多，拼出的图形真的是越行四边形吗？(学生思考，指名学生回答)
师：看一看，想一想。拼成的平行四边形与原来的圆之间有什么联系？(小组讨论、交流，汇报结果)
教师直接拿出被平均分成16份的圆的教具。
师：能不能把这个圆拼成一个近似什么形状的图形？(组织学生拿出课前准备的图形，拼一拼，并互相交流)
指名拼得正确的学生到前面去演示拼的过程，再让其他学生拼一拼。
教师直接拿出被平均分成32份的圆的教具拼成一个近似的四边形。
师：我们刚刚把这个圆拼成一个近似什么形状的图形？(指名学生回答)
学生回答：平行四边形。
师：把这个圆平均分的分数越多，这个图形越怎么样？(指名学生回答)
学生回答：把这个圆平均分的分数越多，这个图形越近似于平行四边形。
教师引导学生明确：平行四边形的面积相当于圆的面积；平行四边形的底相当于圆周长的一半；平行四边形的高相当于圆的半径。
(4)师：根据平行四边形的面积计算公式，你能得出圆的面积计算公式吗？(小组讨论、交流，汇报结果)
教师小结：圆的半径是r，平行四边形的底近似于圆的周长的一半(πr)，高近似于圆的半径(r)，因为平行四边形的面积等于底乘高，所以圆的面积等于圆的周长的一半乘半径(πr×r)。那么：
平行四边形的面积＝底×高
　　　　　　
　S＝πr×r
师：我们现在已经知道了圆的面积的计算公式，只要知道什么就可以求出圆的面积？(教师指名学生回答)
教师总结：计算圆的面积只需知道半径，如果已知直径、周长要先根据r＝d÷2或r＝C÷π÷2求出圆的半径。
三、巩固反馈
完成教材第15页“练一练”第1～3题。(指名学生回答，集体订正)
第1题：38　154
第2题：发现：圆的面积比圆外的正方形的面积小，比圆内的正方形的面积大；正多边形的边数越多，它们的面积越接近圆的面积。
第3题：长方形的长相当于圆周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径。
圆的面积＝长方形的面积＝长×宽＝×r＝πr×r＝πr2。
四、课堂小结
这节课我们学习了圆的面积的计算方法，你有什么收获与感受吗？
圆的面积(一)
平行四边形的面积＝底×高
　↓　　　　
　　　↓　↓
圆的面积　　　　
＝×r
＝×2πr×r
＝πr2
1．以旧引新，渗透转化思想。
在学习新知之前，引导学生去回忆以前探究长方形、平行四边形、三角形梯形面积公式的推导方法，引导学生发现转化是探究新的数学知识、解决数学问题的好方法，为下面探究圆的面积计算公式的方法奠定了基础。
2．动手剪、拼，体验“化曲为直”。
在了解圆的面积的意义以后，通过对比复习平面图形的面积推导方法，让学生大胆猜测圆的面积怎样推导。学生猜测后，再拿出准备好的圆形纸片，平均分成若干份，然后拼成近似的平行四边形，学生动手拼好后，选择其中的2～3组进行观察对比，发现如果把一个圆形平均分成的份数越多，这个拼成的图形就越行四边形。再对比圆和这个拼成的图形之间的关系。通过剪、拼图形和原图形的对比，为后面推导面积的计算公式做了充分的铺垫。
3．演示操作，感受知识的形成。
通过观察、比较、分析，发现圆的面积、周长、半径和拼成的近似平行四边形的面积、底、高之间的关系，让学生推导出圆的面积计算公式。这样由扶到放，由现象到本质地引导，使学生始终参与到如何把圆转化为平行四边形的探索活动中来，从而感受知识的形成过程。
4．我的补充：
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备课资料参考
【例题】如图所示，已知长方形是由圆近似拼成的，求阴影部分的面积。
分析：根据图意可知，阴影部分的面积等于长方形的面积减去个圆的面积，长方形是由圆近似拼成的，则长方形的面积等于圆的面积。
解答：(方法一)3.14×62－×3.14×62＝84.78(cm2)
(方法二)×3.14×62＝84.78(cm2)
答：阴影部分的面积为84.78
cm2。
解法归纳：解决此类问题，关键是根据图形特点，将阴影部分进行割补，得到规则的图形。相关知识阅读
圆面积公式的来源
开普勒当数学老师时，他对求圆面积的问题非常感兴趣，曾进行过深入的研究。他想，古代数学家用分割的方法去求圆面积，所得到的结果都是近似值。为了提高近似程度，他们不断地增加分割的次数。但是不管分割多少次，几千几万次，只要是有限次，所求出来的总是圆面积的近似值。要想求出圆面积的精确值，必须分割无穷多次，把圆分成无穷多等份才行。
开普勒也仿照切西瓜的方法，把圆分割成许多小扇形，不同的是，他一开始就把圆分成无穷多个小扇形。圆面积等于无穷多个小扇形面积的和，所以S＝r，各段小弧相加就是圆的周长2πr，所以有S＝r＝r·2πr＝πr2，这就是我们所熟悉的圆面积公式。
开普勒运用无穷分割法，求出了许多图形的面积。1615年，他将自己创造的这种求圆面积的新方法，发表在《葡萄酒桶的立体几何》一书中。
开普勒大胆地把圆分割成无穷多个小扇形，并果敢地断言：无穷小的扇形面积，和它对应的无穷小的三角形面积相等。他在前人求圆面积的基础上，向前迈出了重要的一步。
《葡萄酒桶的立体几何》一书，很快在欧洲数学界传开了。数学家们高度评价开普勒的工作，称赞这本书是人们创造求圆面积和体积新方法的灵感源泉。