2020-2021学年安徽省合肥市蜀北初中教育发展联盟七年级（下）期中数学试卷（word版 含解析）

2020-2021学年安徽省合肥市蜀北初中教育发展联盟七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．9的算术平方根是（　　）
A．±3 B．3 C． D．
2．在﹣2，，，3.14，，，这6个数中，无理数共有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．若a＞b，则下列变形中正确的是（　　）
A．a+1＜b+1 B．ac2＞bc2 C．ac＞bc D．﹣a+3＜﹣b+3
4．生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（　　）
A．3.2×107 B．3.2×108 C．3.2×10﹣7 D．3.2×10﹣8
5．下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a3）2＝a6 B．a2?a3＝a6
C．a9÷a3＝a3 D．（﹣bc）4＝﹣b4c4
6．下列各式中不能用平方差公式进行计算的是（　　）
A．（m﹣n）（m+n） B．（2x+y）（y﹣2x）
C．（﹣x﹣y）（x+y） D．（a+b﹣c）（a﹣b+c）
7．如果一元一次不等式组的解集为x＞3，则a的取值范围是（　　）
A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3
8．已知（x﹣2）（x2+mx+n）的乘积项中不含x2和x项，则m，n的值分别为（　　）
A．m＝2，n＝4 B．m＝3，n＝6 C．m＝﹣2，n＝﹣4 D．m＝﹣3，n＝﹣6
9．在一次科技知识竞赛中，共有20道选择题，每道题的四个选项中，有且只有一个答案正确，选对得10分，不选或错选倒扣5分，如果得分不低于90分才能得奖，那么要得奖至少应选对的题数是（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
10．小颖用4张长为a，宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若a＝2b，则S1，S2之间的数量关系为（　　）
A．S1＝S2 B．S1＝2S2 C．S1＝S2 D．S1＝3S2
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．比较大小：　 　﹣2．（填＞、＝或＜）
12．若x2+2kx+是一个完全平方式，则k＝　 　．
13．已知3m＝5，3n＝2，则33m+2n的值等于　 　．
14．已知关于x的不等式2x﹣k＞3x只有两个正整数解，则k的取值范围为　 　．
15．按图中程序计算，规定：从“输入一个值x”到“结果是否≥14”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，则x的取值范围为　 　．
三、（本大题共1小题，每小题10分，满分10分）
16．（1）（﹣2）2﹣（）﹣1+﹣（）0．
（2）计算（3a﹣2）2﹣4a（2a﹣1）+5，并求出a2﹣8a+1＝0时代数式的值．
四、（本大题共1小题，每小题10分，满分10分）
17．解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．
（1）3（x﹣2）≤5x+4；
（2）．
五、（本大题共2小题，每小题6分，满分12分）
18．已知某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣2．求的平方根．
19．已知中的x，y满足4＜y﹣x＜5，求k的取值范围．
六、（本大题7分）
20．观察下列等式：9﹣1＝2×4，16﹣4＝3×4，25﹣9＝4×4，36﹣16＝5×4，…，这些等式反映自然数间的某种规律，设n表示自然数，请猜想出这个规律，用含n的等式表示出来，并加以证明．
七、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
21．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式．
图1　 　，
图2　 　，
图3　 　．
（2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系．
（3）根据（2）中你探索发现的结论，计算：当x+y＝3，xy＝﹣10时，求x﹣y的值．
22．为抗击疫情，全国所有人民群策群力．合肥市某公司有甲、乙两个口罩生产车间，甲车间每天生产普通口罩6万个，N95口罩2.2万个．乙车间每天生产普通口罩和N95口罩共10万个，且每天生产的普通口罩比N95口罩多6万个．
（1）求乙车间每天生产普通口罩和N95口罩各多少万个？
（2）现接到市防疫指挥部要求：需要该公司提供至少156万个普通口罩和尽可能多的N95口罩．因受原料和生产设备的影响，两个车间不能同时生产，且当天只能确保一个车间的生产，已知该公司恰好用20天完成防疫指挥部下达的任务．问：
①该公司至少安排乙车间生产多少天？
②该公司最多能提供多少个N95口罩？
参考答案
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，满分30分）
1．9的算术平方根是（　　）
A．±3 B．3 C． D．
【分析】根据开方运算，可得算术平方根．
解：9的算术平方根是3，
故选：B．
2．在﹣2，，，3.14，，，这6个数中，无理数共有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：﹣2是整数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
是无理数；
3.14是有限小数，属于有理数；
是无理数；
是无理数；
无理数有，，共3个．
故选：B．
3．若a＞b，则下列变形中正确的是（　　）
A．a+1＜b+1 B．ac2＞bc2 C．ac＞bc D．﹣a+3＜﹣b+3
【分析】根据a＞b，应用不等式的性质，逐项判断即可．
解：∵a＞b，
∴a+1＞b+1，
∴选项A不符合题意；
∵a＞b，c＝0时，
∴ac2＝bc2＝0，
∴选项B不符合题意；
∵a＞b，c≤0时，
∴ac≤bc，
∴选项C不符合题意；
∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
∴﹣a+3＜﹣b+3，
∴选项D符合题意．
故选：D．
4．生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（　　）
A．3.2×107 B．3.2×108 C．3.2×10﹣7 D．3.2×10﹣8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.00000032＝3.2×10﹣7；
故选：C．
5．下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a3）2＝a6 B．a2?a3＝a6
C．a9÷a3＝a3 D．（﹣bc）4＝﹣b4c4
【分析】分别计算各选项即可．
解：A．（﹣a3）2＝（﹣1）2（a3）2＝a6，该选项正确，符合题意；
B．a2?a3＝a5，该选项错误，不符合题意；
C．a9÷a3＝a6，该选项错误，不符合题意；
D．（﹣bc）4＝（﹣b）4c4＝b4c4，该选项错误，不符合题意．
故选：A．
6．下列各式中不能用平方差公式进行计算的是（　　）
A．（m﹣n）（m+n） B．（2x+y）（y﹣2x）
C．（﹣x﹣y）（x+y） D．（a+b﹣c）（a﹣b+c）
【分析】平方差公式的结构要求有一项完全相同，另一项互为相反项，分别计算各选项即可．
解：A．（m﹣n）（m+n）＝m2﹣n2，该选项正确，不符合题意；
B．（2x+y）（y﹣2x）＝（y+2x）（y﹣2x）＝y2﹣4x2，该选项正确，不符合题意；
C．没有完全相同的项，不能用平方差公式计算，该选项错误，符合题意；
D．（a+b﹣c）（a﹣b+c）＝[a+（b﹣c）][a﹣（b﹣c）]＝a2﹣（b﹣c）2＝a2﹣（b2﹣2bc+c2）＝a2﹣b2+2bc﹣c2，该选项正确，不符合题意．
故选：C．
7．如果一元一次不等式组的解集为x＞3，则a的取值范围是（　　）
A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3
【分析】由题意不等式组中的不等式分别解出来为x＞3，x≥a，已知不等式解集为x＞3，再根据不等式组解集的口诀：同大取大，得到a的范围．
解：由题意x＞3，x≥a，
∵元一次不等式组的解集为x＞3，
∴a≤3．
故选：D．
8．已知（x﹣2）（x2+mx+n）的乘积项中不含x2和x项，则m，n的值分别为（　　）
A．m＝2，n＝4 B．m＝3，n＝6 C．m＝﹣2，n＝﹣4 D．m＝﹣3，n＝﹣6
【分析】多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；不含某一项就是说这一项的系数为0；依此即可求解．
解：∵原式＝x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，
又∵乘积项中不含x2和x项，
∴m﹣2＝0，n﹣2m＝0，
解得m＝2，n＝4．
故选：A．
9．在一次科技知识竞赛中，共有20道选择题，每道题的四个选项中，有且只有一个答案正确，选对得10分，不选或错选倒扣5分，如果得分不低于90分才能得奖，那么要得奖至少应选对的题数是（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
【分析】设选对了x道题目，则不选或错选（20﹣x）道题目，根据总分＝10×选对题目数﹣5×不选或错选题目数，结合得分不低于90分才能得奖，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中最小整数值即可得出结论．
解：设选对了x道题目，则不选或错选（20﹣x）道题目，
依题意得：10x﹣5（20﹣x）≥90，
解得：x≥12，
又∵x为整数，
∴x的最小值为13．
故选：C．
10．小颖用4张长为a，宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若a＝2b，则S1，S2之间的数量关系为（　　）
A．S1＝S2 B．S1＝2S2 C．S1＝S2 D．S1＝3S2
【分析】先用a、b的代数式分别表示S1＝a2+2b2，S2＝2ab﹣b2，再根据a＝2b代入计算即可得出S1，S2之间的数量关系．
解：S1＝b（a+b）×2+ab×2+（a﹣b）2＝a2+2b2，
S2＝（a+b）2﹣S1＝（a+b）2﹣（a2+2b2）＝2ab﹣b2，
∵a＝2b，
∴S1＝a2+2b2＝6b2，S2＝2ab﹣b2＝3b2
∴S1＝2S2，
故选：B．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．比较大小：　＜　﹣2．（填＞、＝或＜）
【分析】求出2＝＜，再根据实数的大小比较法则比较即可．
解：∵2＝＜，
∴﹣＜﹣2，
故答案为：＜．
12．若x2+2kx+是一个完全平方式，则k＝　±　．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
解：∵x2+2kx+是一个完全平方式，
∴k＝±，
故答案为：±．
13．已知3m＝5，3n＝2，则33m+2n的值等于　500　．
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则将原式变形得出答案．
解：∵3m＝5，3n＝2，
∴33m+2n
＝33m?32n
＝（3m）3?（3n）2
＝53×22
＝125×4
＝500．
故答案为：500．
14．已知关于x的不等式2x﹣k＞3x只有两个正整数解，则k的取值范围为　﹣3≤k＜﹣2　．
【分析】根据一元一次不等式的解法即可求出答案．
解：∵2x﹣k＞3x，
∴2x﹣3x＞k，
∴x＜﹣k，
由题意可知：2＜﹣k≤3，
∴﹣3≤k＜﹣2，
故答案为：﹣3≤k＜﹣2．
15．按图中程序计算，规定：从“输入一个值x”到“结果是否≥14”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，则x的取值范围为　2≤x＜5　．
【分析】根据运行程序，第一次运算结果小于14，第二次运算结果大于等于14列出不等式组，然后求解即可．
解：由题意得，，
解不等式①得，x＜5，
解不等式②得，x≥2，
∴2≤x＜5，
故答案为：2≤x＜5．
三、（本大题共1小题，每小题10分，满分10分）
16．（1）（﹣2）2﹣（）﹣1+﹣（）0．
（2）计算（3a﹣2）2﹣4a（2a﹣1）+5，并求出a2﹣8a+1＝0时代数式的值．
【分析】（1）根据乘方、负指数幂、立方根、零指数幂利用实数的运算法则求解即可；
（2）利用完全平方公式及实数的运算求解即可，再整体代入求代数式的值．
解：（1）原式＝4﹣+2﹣1
＝4﹣+2﹣1
＝4﹣2+2﹣1
＝3．
（2）（3a﹣2）2﹣4a（2a﹣1）+5
＝9a2﹣12a+4﹣8a2+4a+5
＝a2﹣8a+9．
当a2﹣8a+1＝0时，原式＝a2﹣8a+1+8＝8．
四、（本大题共1小题，每小题10分，满分10分）
17．解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．
（1）3（x﹣2）≤5x+4；
（2）．
【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
解：（1）3（x﹣2）≤5x+4，
去括号，得3x﹣6≤5x+4，
移项，合并同类项，得﹣2x≤10，
解得x≥﹣5，
在数轴上的表示如图所示：
；
（2），
解不等式①，得x≥﹣1．
解不等式②，得x＜4．
在数轴上表示不等式①②的解集，如图所示：
，
∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜4．
五、（本大题共2小题，每小题6分，满分12分）
18．已知某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣2．求的平方根．
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，列出方程求出a的值；根据b的立方根是﹣2求出b的值；然后求出的值，再求它的平方根．
解：根据题意得：a﹣3+2a+15＝0，
解得：a＝﹣4，
∵b的立方根是﹣2，
∴b＝（﹣2）3＝﹣8，
∴＝＝＝4，
∴4的平方根为±2．
答：的平方根为±2．
19．已知中的x，y满足4＜y﹣x＜5，求k的取值范围．
【分析】方程组两方程相减表示出y﹣x，代入不等式计算即可求出k的范围．
解：，
①﹣②得：y﹣x＝3k﹣1，
代入不等式得：4＜3k﹣1＜5，
解得：＜k＜2．
六、（本大题7分）
20．观察下列等式：9﹣1＝2×4，16﹣4＝3×4，25﹣9＝4×4，36﹣16＝5×4，…，这些等式反映自然数间的某种规律，设n表示自然数，请猜想出这个规律，用含n的等式表示出来，并加以证明．
【分析】先将等式进行整理，仔细观察分析整理后的等式不难发现存在的规律，用关于n的等式表示出来即可．
解：将等式进行整理得：
32﹣12＝4（1+1）；
42﹣22＝4（2+1）；
52﹣32＝4（3+1）；
…
所以规律为：（n+2）2﹣n2＝4（n+1）．
证明：左边＝n2+4n+4﹣n2＝4n+4，
右边＝4n+4，
左边＝右边，
所以（n+2）2﹣n2＝4（n+1）．
七、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
21．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式．
图1　（a+b）（a+b）＝a2+2ab+b2　，
图2　（a﹣b）（a﹣b）＝a2﹣2ab+b2　，
图3　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　．
（2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系．
（3）根据（2）中你探索发现的结论，计算：当x+y＝3，xy＝﹣10时，求x﹣y的值．
【分析】根据正方形得面积计算公式，解决问题．
解：（1）图1、；
图2、；
图3、．
（2）由题意可知，阴影部分的面积＝大正方形面积﹣4×小长方形面积，
大正方边长为（a+b），面积为（a+b）2，小长方形长为a，宽为b，面积为ab，
则
＝a2+2ab+b2﹣4ab
＝a2﹣2ab+b2
＝（a﹣b）2，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．
（3）由（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，
∴（x﹣y）2＝32﹣4×（﹣10）＝49，
∴x﹣y＝±7．
22．为抗击疫情，全国所有人民群策群力．合肥市某公司有甲、乙两个口罩生产车间，甲车间每天生产普通口罩6万个，N95口罩2.2万个．乙车间每天生产普通口罩和N95口罩共10万个，且每天生产的普通口罩比N95口罩多6万个．
（1）求乙车间每天生产普通口罩和N95口罩各多少万个？
（2）现接到市防疫指挥部要求：需要该公司提供至少156万个普通口罩和尽可能多的N95口罩．因受原料和生产设备的影响，两个车间不能同时生产，且当天只能确保一个车间的生产，已知该公司恰好用20天完成防疫指挥部下达的任务．问：
①该公司至少安排乙车间生产多少天？
②该公司最多能提供多少个N95口罩？
【分析】（1）设乙车间每天生产N95口罩x万个，则每天生产普通口罩（x+6）万个，根据每天生产的普通口罩比N95口罩多6万个，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）①设该公司应安排乙车间生产y天，则甲车间生产（20﹣y）天，根据y，（20﹣y）均为非负整数及该公司提供至少156万个普通口罩，即可得出关于y的一元一次不等式组，解之取其中的最小值即可得出结论；
②设该公司能提供w万个N95口罩，根据工作总量＝工作效率×工作时间，即可得出w关于y的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
解：（1）设乙车间每天生产N95口罩x万个，则每天生产普通口罩（x+6）万个，
依题意得：x+x+6＝10，
解得：x＝2，
∴x+6＝8（万个）．
答：乙车间每天生产普通口罩8万个，N95口罩2万个．
（2）①设该公司应安排乙车间生产y天，则甲车间生产（20﹣y）天，
依题意得：，
解得：18≤y≤20．
答：该公司至少安排乙车间生产18天．
②设该公司能提供w万个N95口罩，则w＝2y+2.2（20﹣y）＝﹣0.2y+44．
∵k＝﹣0.2＜0，
∴w随y值的增大而减小，
∴当y＝18时，w取得最大值，最大值＝﹣0.2×18+44＝40.4（万个）．
答：该公司最多能提供40.4万个N95口罩．