河北省邯郸市大名一高2020-2021学年高一下学期5月月考数学试卷 Word版含答案

大名一高2020-2021学年高一下学期5月月考
数学试题
单选（每题5分，共40分）
1.设，其中是实数，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，是水平放置的的直观图，轴，轴，，，则中，（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，则在上的投影向量为 （ ）
A． B． C． D．
4．已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，，，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
5．在中，角所对的边分别是，已知，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
6．已知圆柱的两个底面的圆周在体积为的球的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．设点在内部，且有，点是边的中点，设与的面积分别为，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为
A． B． C． D．
二、多选题（每小题5分，共20分。全部选对5分，部分选对3分，有选错的0分）
9．已知复数满足为虚数单位，复数的共轭复数为，则（ ）
A． B．
C．复数的实部为 D．复数对应复平面上的点在第二象限
10．下面的四个问题中，可以用抽样调查方法的是（ ）
A．武汉火神山医院供应库房工作人员对新入库的万只一次性医用口罩进行质检
B．中国银行兰山分行对天元公司万元存款的现钞的真假检验
C．空降兵战士检查个伞包及伞的质量
D．一汽大众质检部门检验最新一批斯柯达汽车的防碰撞性能
11．在管理学研究中，有一种衡量个体领导力的模型，称为“五力模型”，即一个人的领导力由五种能力——影响力?控制力?决断力?前瞻力和感召力构成.如图是某企业对两位领导人领导力的测评图，其中每项能力分为三个等级，“一般”记为4分?“较强”记为5分?“很强”记为6分，把分值称为能力指标，则下列判断正确的是（ ）
A．甲?乙的五项能力指标的均值相同
B．甲?乙的五项能力指标的方差相同
C．如果从控制力?决断力?前瞻力考虑，乙的领导力高于甲的领导力
D．如果从影响力?控制力?感召力考虑，甲的领导力高于乙的领导力
12.在正方体中，点是线段上的动点，以下结论正确的有（ ）.
A. B.
C.
D.当是中点时，直线与平面所成的角最小
三、填空题（每题5分，共20分）
13．若复数，则实数的值为________.
14．设为单位向量，且，则 .
15．某班40名学生，在一次考试中统计所得平均分为80分，方差为70，后来发现有两名同学的成绩有损，甲实得80分错记为60分，乙实得70分错记为90分，则更正后的方差为______．
16．在直三棱柱中(侧棱与底面垂直的三棱柱)，，，四边形为正方形，M为中点，则直线与直线所成角的余弦值为______.
三、解答题（17题10分，其他各题12分，共70分）
17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．
在中，内角，，的对边分别为，，，且______．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，、分别为、的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求三棱锥的体积.
19．某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位：)，并绘制频率分布直方图如下：
（1）请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数；(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
（2）一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能80%地满足顾客的需求(在10天中，大约有8天可以满足顾客的需求).请问每天应该进多少千克苹果？(精确到整数位)
20．如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面.
（1）证明：平面平面；
（2）设，，求二面角的余弦值.
21．在中，分别为角的对边，且.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，，求的取值范围.
22．已知四边形．现将沿BD边折起，使得平面平面BCD，．点P为线段的中点．请你用几何法解决下列问题：
（1）求证：平面ACD；
（2）若M为CD的中点，求MP与平面BPC所成角的正弦值．
参考答案
1.B 由可知：，故，解得：．所以，．
2．B 在直观图中，，，
由斜二侧画法知，在中，，，且；
所以．
3．A ，∴，又∵向量，
∴向量在的投影为，
所以，向量在方向上的投影向量为.
4．D 对于A项，需要加上与相交才符合线面垂直的判定定理，故A错误；
对于B项，有可能，故B错误；
对于C项，与没有关系，斜交?垂直平行都有可能，故C错误；
对于D项，若，，则，而，故，故D正确.
5．A 由余弦定理,
故代入边角互化得: ,整理得:
所以,故三角形为等腰三角形.
6．B 设球的半径为，由球体的体积公式有，得.
设圆柱的上底面半径为，球的半径与上底面夹角为，则，圆柱的高为，
圆柱的侧面积为，
当且仅当时，时，圆柱的侧面积最大，
圆柱的侧面积的最大值为．
故选：B．
7．C
由，所以
设为的中点，由为的中点.
则,
所以,则三点共线，且,如图.
所以,则点到的距离是点到的距离的倍.所以
8．A
9．BD 因为复数满足，所以
所以，故A错误； ，故B正确；
复数的实部为 ，故C错误；
复数对应复平面上的点在第二象限，故D正确.
10．AD 对于A选项，万只一次性医用口罩容量很大，应采用抽样调查的方法；
对于B选项，万元存款的现钞的真假检验必须普查，不能放过任何一张假钞；
对于C选项，伞包以伞的质量决定人的生命，必须普查；
对于D选项，防碰撞性能的检测会对产品产生破坏，应采取抽样调查的方法.
11．AB 甲的五项能力指标为6，5，4，5，4.平均值为；
乙的五项能力指标为6，4，5，4，5，平均值为，则A正确；
由于均值相同，各项指标数也相同(只是顺序不同)，所以方差也相同，则B正确；
从控制力?决断力?前瞻力考虑，甲的均值为，乙的均值为，所以甲的领导力高于乙的领导力，则C不正确；
从影响力?控制力?感召力考虑，甲?乙的指标均值相同，方差也相同，所以甲?乙水平相当，则D不正确.
12.ABC
13．3 因为复数不能比较大小，所以为实数，
可得解得
所以实数的值为，
14．
15．60 因为甲实得分，记为分，少记分，乙实得分，记为分，多记分，
所以总分没有变化，因此更正前后的平均分没有变化，都是分，
设甲乙以外的其他同学的成绩分别为，
因为更正前的方差为，
所以，
所以，
更正后的方差为：
，
所以更正后的方差为，
16． 不妨设，因为，，所以，
取中点，连结，，所以，所以或其补角为异面直线所成角，
因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，所以，
因为，，所以平面，
所以，因为，
所以，
在中，，，所以，
则.
17．解：（1）方案一：选条件①．
因为，所以．
因为，所以，所以，
所以，即．
因为，所以，所以．
方案二：选条件②．
因为，
所以，
则，
因为，所以，
因为，，所以，．
方案三：选条件③．
因为，所以，
所以，
因为，所以，，又，所以．
（2）因为，所以，由，得，
所以，
则的面积．
18．(1)证明：∵、分别为、的中点，∴，
又∵平面，平面，∴平面；
(2)证明：∵，为的中点，∴，
又∵平面平面，平面平面，
且平面，∴平面，又平面，
∴平面平面；
(3)解：在等腰直角三角形中，，
∴，，∴等边三角形的面积，
又∵平面，∴三棱锥的体积，
∴.
19．（1）如图示：区间频率最大，所以众数为85，
平均数为：
（2）日销售量[60，90)的频率为，日销量[60，100)的频率为，
故所求的量位于由得
故每天应该进98千克苹果.
20．（1）
证明：∵是圆的直径，∴，又∵平面，
∴，∵，平面，平面，
∴平面.又平面，∴平面平面；
（2）∵平面，平面，所以
过作于，连接，
,平面，所以平面
则，∴即为二面角的平面角，
，，∴.
∴.
所以MP与平面BPC所成角的正弦值．
21．（1）由正弦定理得：，
，，
，
整理可得：，
，，，
又，；
（2）为锐角三角形，，，即，
解得：；
由正弦定理可得：，
，，则，，
即的取值范围为.
22．
，为等边三角形，为中点．
取中点﹐连接则，
平面平面平面平面平面
又，平面
平面又且
平面.
由可知，，所以，
作于H，连接BM，因为平面所以平面又点P为线段的中点，所以，　
又M为CD的中点，所以，所以，
在中，，所以满足，所以，所以，
设点M到面PCB的距离为，，所以，解得，
又，设MP与平面BPC所成角为，所以，
6