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（2019人教版）高一数学必修二
第九章
统计
单元检测提升卷（原题）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为8的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001，002，003……899，900.若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表进行读取，从第一行的第5个数开始，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端.则样本编号的分位数为（
）
05
26
93
70
60
22
35
85
58
51
51
03
51
59
77
59
56
78
06
83
52
91
05
70
74
07
97
10
88
23
09
98
42
99
64
61
71
62
99
15
06
51
29
16
93
58
05
77
09
51
51
26
87
85
85
54
87
66
47
54
73
32
08
11
12
44
95
92
63
16
29
56
24
29
48
A．680
B．585
C．467
D．159
2．现要完成下列两项抽样调查：①从20罐奶粉中抽取4罐进行食品安全卫生检查；②从某社区100户高收入家庭，270户中等收入家庭，80户低收入家庭中选出45户进行消费水平调查.较为合理的抽样方法是（
）
A．①简单随机抽样，②简单随机抽样
B．①分层随机抽样，②分层随机抽样
C．①分层随机抽样，②简单随机抽样
D．①简单随机抽样，②分层随机抽样
3．2020年春节后，因受疫情影响，某高中学校为学生导学助学开展网课，为了解网课教学方式对学生视力影响情况，在学校抽取了名同学进行视力调查.如图为这名同学视力的频率分布直方图，其中前组的频率成等比数列，后组的频数成等差数列，设最大频率为，在4.6到5.0之间的数据个数为，则的值分别为（
）
A．
B．
C．
D．
4．为了普及环保知识，增强环保意识，随机抽取某大学30名学生参加环保知识测试，得分如图所示，若得分的中位数为me，众数为m0，平均数为，则( )
A．me＝m0＝
B．m0＜＜me
C．me＜m0＜
D．m0＜me＜
5．演讲比赛共有10位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从10个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到8个有效评分．8个有效评分与10个原始评分相比，不变的数字特征是（
）．
A．中位数
B．平均数
C．方差
D．极差
6．一组数据的平均数为，现定义这组数据的平均差.下图是甲、乙两组数据的频率分布折线图
根据折线图，判断甲、乙两组数据的平均差的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．无法确定
7．为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平.某市抽调三所中学进行中学生体育达标测试，现简称为校、校、校.现对本次测试进行调查统计，得到测试成绩排在前200名学生层次分布的饼状图、校前200名学生的分布条形图，则下列结论不一定正确的是（
）
A．测试成绩前200名学生中校人数超过校人数的2倍
B．测试成绩前100名学生中校人数超过一半以上
C．测试成绩前151—200名学生中校人数最多33人
D．测试成绩前51—100名学生中校人数多于校人数
8．已知一组数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是10，8，8，11，16，8，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为
A．12
B．20
C．25
D．27
二、多选题
9．下列说法正确的是（
）
A．普查是对所有的对象进行调查
B．样本不一定是从总体中抽取的，没有抽取的个体也可能是样本
C．当调查的对象很少时，普查是很好的调查方式，但当调查的对象很多时，普查要耗费大量的人力、物力和财力
D．普查不是在任何情况下都能实现的
10．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各项中，一定符合上述指标的是（
）
A．平均数
B．标准差
C．平均数且极差小于或等于
D．众数等于且极差小于或等于
11．已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图，则下列说法正确的是（
）
A．若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则
B．若甲、乙两组数据的方差分别为，，则
C．甲成绩的极差小于乙成绩的极差
D．甲成绩比乙成绩稳定
12．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日，A、B、C、D四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是（
）
A．A地：中位数为2，极差为5
B．B地：总体平均数为2，众数为2
C．C地：总体平均数为1，总体方差大于0
D．D地：总体平均数为2，总体方差为3
三、填空题
13．某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：）：
152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，，174，175，若样本数据的第90百分位数是173，则的值为________.
14．已知数据，，，，的平均数为3，标准差为4，则数据，，，，的平均数和方差分别为______．
15．为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取名学生，收集了他们一年内的课外阅读量（单位：本）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分.
下面有四个推断：
①这名学生阅读量的平均数可能是本；
②这名学生阅读量的分位数在区间内；
③这名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间内；
④这名学生中的初中生阅读量的分位数可能在区间内.
所有合理推断的序号是________.
16．已知数据，，…，的方差为1，且，则数据，，…，的平均数是________.
四、解答题
17．某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位：)，并绘制频率分布直方图如下：
（1）请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数；(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
（2）一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能80%地满足顾客的需求(在10天中，大约有8天可以满足顾客的需求).请问每天应该进多少千克苹果？(精确到整数位)
18．为了估计一次性木质筷子的用量，2017年从某市共600家高?中?低档饭店中抽取10家进行调查，得到这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为0.6，3.7，2.2，1.5，2.8，1.7，2.1，1.2，3.2，1.0.
（1）通过对样本的计算，估计该市2017年共消耗了多少盒一次性筷子.(每年按350个营业日计算)
（2）2019年又对该市一次性木筷的用量以同样的方式做了抽样调查，调查结果是10家饭店平均每家每天使用一次性筷子2.42盒，求该市2018年，2019年这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率.
（3）假如让你统计你所在省一年使用一次性木质筷子所消耗的木材量，如何利用统计知识去做？简单地说明你的做法.
19．为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的用电量都在50kW·h至350kW·h之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图如图所示．
（I）求a的值；
（Ⅱ）求被调查用户中，用电量大于250kW·h的户数；
（III）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯定价，希望使80%的居民缴费在第一档（费用最低），请给出第一档用电标准（单位：kW·h）的建议，并简要说明理由．
20．某市2020年4月1日~4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物):
61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，91，
77，86，81，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45，
（1）完成频率分布表；
（2）作出频率分布直方图；
（3）根据国家标准，污染指数在0~50之间时，空气质量为优；在51~100之间时，空间质量为良；在101~150之间时，空间质量为轻微污染；在151~200之间时，空间质量为轻度污染.
请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价.
21．某玻璃工艺品加工厂有2条生产线用于生产其款产品，每条生产线一天能生产200件该产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为等品，低于10分的为等品.厂家将等品售价定为2000元/件，等品售价定为1200元/件.
下面是检验员在现有生产线上随机抽取的16件产品的评分：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得，，其中为抽取的第件产品的评分，.
该厂计划通过增加生产工序来改进生产工艺，已知对一条生产线增加生产工序每年需花费1500万元，改进后该条生产线产能不变，但生产出的每件产品评分均提高0.05.已知该厂现有一笔1500万元的资金.
（1）若厂家用这1500万元改进一条生产线，根据随机抽取的16件产品的评分.
（i）估计改进后该生产线生产的产品中等品所占的比例；
（ii）估计改进后该厂生产的所有产品评分的平均数和方差.
（2）某金融机构向该厂推销一款年收益率为的理财产品，请你利用所学知识分析，将这1500万元用于购买该款理财产品所获得的收益，与通过改进一条生产线使产品评分提高所增加的收益相对比，一年后哪种方案的收益更大？
（一年按365天计算）
22．某学校高一名学生参加数学竞赛，成绩均在分到分之间.学生成绩的频率分布直方图如图：
（1）估计这名学生分数的中位数与平均数；（精确到）
（2）某老师抽取了名学生的分数：，已知这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和两个分数，求剩余个分数的平均数与标准差.（参考公式：）
（3）该学校有座构造相同教学楼，各教学楼高均为米，东西长均为米，南北宽均为米.其中号教学楼在号教学楼的正南且楼距为米，号教学楼在号教学楼的正东且楼距为米.现有种型号的考试屏蔽仪，它们的信号覆盖半径依次为米，每个售价相应依次为元.若屏蔽仪可在地下及地上任意位置安装且每个安装费用均为元，求让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费.（参考数据：）
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（2019人教版）高一数学必修二
第九章
统计
单元检测提升卷（解析）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为8的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001，002，003……899，900.若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表进行读取，从第一行的第5个数开始，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端.则样本编号的分位数为（
）
05
26
93
70
60
22
35
85
58
51
51
03
51
59
77
59
56
78
06
83
52
91
05
70
74
07
97
10
88
23
09
98
42
99
64
61
71
62
99
15
06
51
29
16
93
58
05
77
09
51
51
26
87
85
85
54
87
66
47
54
73
32
08
11
12
44
95
92
63
16
29
56
24
29
48
A．680
B．585
C．467
D．159
【答案】A
【分析】
利用随机数表法进行抽样即可
【详解】
由已知，从第一行的第5个数开始，即从数字“9”开始，每次选取三位数进行抽取：
937（超范围，剔除），060（保留），223（保留），585（保留），585（重复，剔除），151（保留），035（保留），159（保留），775（保留），956（超范围，剔除），780（保留）
故留下的8个编号为：060，223，585，151，035，159，775，780，
按从小到大的顺序进行排序为：035，060，151，159，223，585，775，780，
因为数据的个数为8，而且，所以样本编号的分位数为.
故选：A.
2．现要完成下列两项抽样调查：①从20罐奶粉中抽取4罐进行食品安全卫生检查；②从某社区100户高收入家庭，270户中等收入家庭，80户低收入家庭中选出45户进行消费水平调查.较为合理的抽样方法是（
）
A．①简单随机抽样，②简单随机抽样
B．①分层随机抽样，②分层随机抽样
C．①分层随机抽样，②简单随机抽样
D．①简单随机抽样，②分层随机抽样
【答案】D
【分析】
利用简单随机抽样法、系统抽样法、分层抽样法的性质直接判断求解．
【详解】
①中个体数量较少，且个体间无明显差异，故采用简单随机抽样；
②中高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭的消费水平差异明显，故采用分层随机抽样.
故选：D.
【点睛】
本题考查统计学中的抽样方法，关键是明确不同抽样方法所适用的情况，属于基础题.
3．2020年春节后，因受疫情影响，某高中学校为学生导学助学开展网课，为了解网课教学方式对学生视力影响情况，在学校抽取了名同学进行视力调查.如图为这名同学视力的频率分布直方图，其中前组的频率成等比数列，后组的频数成等差数列，设最大频率为，在4.6到5.0之间的数据个数为，则的值分别为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据频率分布直方图，分别求得，，，，进而求得的频率，在结合等差数列，求得，求得，，，，，进而求得的值，即可求解.
【详解】
这100名同学视力的频率分布直方图，其中前4组的频率成等比数列，
因为的频率为；
的频率为；
的频率为；
的频率为；
的频率为，
所以后6中的频数成等差数列，所以，解得，
所以的频率为，的频率为，的频率为，
的频率为，的频率为，
所以的频率为，
所以，在到之间的数据个数为.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图的频率、频数的求法，以及等差数列、等比数列的性质等基础知识的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
4．为了普及环保知识，增强环保意识，随机抽取某大学30名学生参加环保知识测试，得分如图所示，若得分的中位数为me，众数为m0，平均数为，则( )
A．me＝m0＝
B．m0＜＜me
C．me＜m0＜
D．m0＜me＜
【答案】D
【解析】
由条形图知，30名学生的得分情况依次为2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分，中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数，即me＝5.5,5出现的次数最多，故众数为m0＝5，平均数为＝(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10)≈5.97，故m0＜me＜.
故答案为D.
点睛：这个题目考查的是条型分布直方表的应用，以及基本量：均值，平均数的考查；一般在这类图中平均数就是将数据加到一起除以数据的个数即可，在频率分布直方表中是取每个长方条的中点乘以相应的频率并相加即可.
5．演讲比赛共有10位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从10个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到8个有效评分．8个有效评分与10个原始评分相比，不变的数字特征是（
）．
A．中位数
B．平均数
C．方差
D．极差
【答案】A
【分析】
根据平均数、中位数、方差、极差的概念来进行求解，得到答案.
【详解】
设10位评委评分按从小到大排列为，
则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，中位数仍为，A正确．
②原始平均数，后来平均数，平均数受极端值影响较大，
与不一定相同，B不正确；
③，
由②易知，C不正确．
④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确．
故选：A.
【点睛】
本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.属于较易题.
6．一组数据的平均数为，现定义这组数据的平均差.下图是甲、乙两组数据的频率分布折线图
根据折线图，判断甲、乙两组数据的平均差的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．无法确定
【答案】C
【分析】
利用平均差公式知数据越集中于平均值附近，平均差越小，再结合甲乙数据的频率分布折线图即可得到结果.
【详解】
由给定的平均差公式可知：数据越集中于平均值附近，平均差越小.
甲乙两图的纵坐标表示的为频率/组距，即指数据落在此处的概率，甲图中，不同组距区间的概率相差不大，即指数据较为均匀的分布在各区间，而乙图数据较为集中的分布在乙图最高处指代的区间，其他区间分布的比较少，故乙图平均差比较小.
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题考查了平均差，解题的关键是理解新定义，弄清楚已知条件折线图的纵坐标表示的是概率，考查学生的转化能力，属于基础题.
7．为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平.某市抽调三所中学进行中学生体育达标测试，现简称为校、校、校.现对本次测试进行调查统计，得到测试成绩排在前200名学生层次分布的饼状图、校前200名学生的分布条形图，则下列结论不一定正确的是（
）
A．测试成绩前200名学生中校人数超过校人数的2倍
B．测试成绩前100名学生中校人数超过一半以上
C．测试成绩前151—200名学生中校人数最多33人
D．测试成绩前51—100名学生中校人数多于校人数
【答案】D
【分析】
直接计算判定选项A、B一定正确；计算前1—150名学生中校人数和校最多可能的人数，得到校最少可能的人数，得前151—200名学生中校人数最多可能值，判定选项C一定正确；考虑到这200名学生中校学生总数为68人，至多有可能会有25人在151—200名之间，可以判定选项D不一定正确.
【详解】
前200名学生中校人数人，校人数人，,故A一定正确；
前100名学生中校人数约为人，超过半数的50人，故B一定正确；
成绩前150名以内的学生中校人数约为人，校人数最多全在这个范围，有人,所以校至少有人，又∵成绩前200名学生中校人数为40人，所以校至多有=33人测试成绩前151—200名之间，故C一定正确；
测试成绩前51—100名学生中校人数约为25人，这200名学生中校学生总数为人，有可能也有25人在51—100名之间，故D不一定正确，
故选：D.
【点睛】
本题考查饼图和条形图的应用，涉及最多可能与最少可能的极端思维策略，涉及频率与频数的计算，考查计算能力和逻辑推理能力，属中档题.
8．已知一组数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是10，8，8，11，16，8，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为
A．12
B．20
C．25
D．27
【答案】D
【分析】
设出未知数，根据这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，列出关系式，因为所写出的结果对于的值不同所得的结果不同，所以要讨论的三种不同情况．
【详解】
设这个数字是，则平均数为，众数是，若，则中位数为，此时，
若，则中位数为，此时，，
若，则中位数为，，，
所有可能值为，，，其和为．
故选．
【点睛】
本题考查众数，中位数，平均数，考查等差数列的性质，考查未知数的分类讨论，是一个综合题目，这是一个易错题目．
二、多选题
9．下列说法正确的是（
）
A．普查是对所有的对象进行调查
B．样本不一定是从总体中抽取的，没有抽取的个体也可能是样本
C．当调查的对象很少时，普查是很好的调查方式，但当调查的对象很多时，普查要耗费大量的人力、物力和财力
D．普查不是在任何情况下都能实现的
【答案】ACD
【分析】
根据普查的概念判定A；根据样本的概念判定B；根据普查和抽查的特点，结合调查对象的属性对C,D作出判定.
【详解】
因为样本必须是从总体中抽取的，没有抽取的个体不是样本，所以B的说法不正确.
其余的都正确：根据普查的概念和特点，可以判定A,C,D都正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题考查普查与抽查的概念和选择，属基础题.
10．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各项中，一定符合上述指标的是（
）
A．平均数
B．标准差
C．平均数且极差小于或等于
D．众数等于且极差小于或等于
【答案】CD
【分析】
根据题目条件，只需满足连续7天每日新增比例数不超过5即可，仅通过平均数和标准差不能确保每天的新增病例数不超过5，可判断A，B错误；再根据平均数及极差综合判断C，D中数据的可能取值，分析是否符合条件.
【详解】
对于A选项，若平均数，不能保证每天新增病例数不超过人，不符合题意；
对于B选项，标准差反映的是数据的波动大小，例如当每天感染的人数均为，标准差是，显然不符合题意；
对于C选项，若极差等于或，在的条件下，显然符合指标；若极差等于，假设最大值为6，最小值为4，则，矛盾，故每天新增感染人数不超过5，符合条件，C正确；
对于D选项，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标.
故选：CD.
【点睛】
本题考查统计的数据特征，解答本题时，一定要注意平均数、标准差等对数据的影响，其中C、D选项的判断是难点，可采用假设法判断.
11．已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图，则下列说法正确的是（
）
A．若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则
B．若甲、乙两组数据的方差分别为，，则
C．甲成绩的极差小于乙成绩的极差
D．甲成绩比乙成绩稳定
【答案】ACD
【分析】
根据折线图中的数据，结合平均数的求法、方差的求法及其意义、极差的概念，应用数形结合的方法即可判断各项的正误.
【详解】
由图知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学，其他次考试都高于乙同学，知，A正确；甲同学的成绩比乙同学稳定，故，所以B错误，D正确；极差为数据样本的最大值与最小值的差，甲成绩的极差小于乙成绩的极差，所以C正确.
故选：ACD．
12．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日，A、B、C、D四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是（
）
A．A地：中位数为2，极差为5
B．B地：总体平均数为2，众数为2
C．C地：总体平均数为1，总体方差大于0
D．D地：总体平均数为2，总体方差为3
【答案】AD
【分析】
逐个选项分析是否一定满足每天新增疑似病例不超过7人即可.
【详解】
对A,因为甲地中位数为2,极差为5,故最大值不会大于.故A正确.
对B,若乙地过去10日分别为则满足总体平均数为2,众数为2,但不满足每天新增疑似病例不超过7人,故B错误.
对C,若丙地过去10日分别为,则满足总体平均数为1,总体方差大于0,
但不满足每天新增疑似病例不超过7人,故C错误.
对D,利用反证法,若至少有一天疑似病例超过7人,则方差大于.与题设矛盾,故连续10天,每天新增疑似病例不超过7人.故D正确.
故选：AD
【点睛】
样本估计总体中平均数、中位数体现整体水平情况、方差体现稳定性情况.
三、填空题
13．某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：）：
152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，，174，175，若样本数据的第90百分位数是173，则的值为________.
【答案】172
【分析】
根据百分位数的意义求解.
【详解】
百分位数的意义就在于，我们可以了解的某一个样本在整个样本集合中所处的位置，
本题第90百分位数是173，所以，
故答案为:172
【点睛】
本题考查样本数据的第多少百分位数的概念.
14．已知数据，，，，的平均数为3，标准差为4，则数据，，，，的平均数和方差分别为______．
【答案】14;400
【分析】
根据标准差的概念计算．先表示出数据、、、、的平均数，方差；然后表示新数据的平均数和方差，通过代数式的变形即可求得新数据的平均数和方差．
【详解】
解：由题意知，原数据的平均数
方差
另一组数据的平均数
；
方差，
故答案为：14；400．
【点睛】
本题考查的是标准差的计算．计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：计算数据的平均数；计算偏差，即每个数据与平均数的差；计算偏差的平方和；偏差的平方和除以数据个数．标准差即方差的算术平方根；注意标差和方差一样都是非负数．
15．为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取名学生，收集了他们一年内的课外阅读量（单位：本）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分.
下面有四个推断：
①这名学生阅读量的平均数可能是本；
②这名学生阅读量的分位数在区间内；
③这名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间内；
④这名学生中的初中生阅读量的分位数可能在区间内.
所有合理推断的序号是________.
【答案】②③④
【分析】
①由学生类别阅读量图表可知；
②计算75%分位数的位置，在区间内查人数即可；
③设在区间内的初中生人数为，则，分别计算为最大值和最小值时的中位数位置即可；
④设在区间内的初中生人数为，则，分别计算为最大值和最小值时的25%分位数位置即可.
【详解】
在①中，由学生类别阅读量中男生和女生人均阅读量知，这200名学生的平均阅读量在区间内，故错误；
在②中，，阅读量在的人数有人，
在的人数有62人，所以这200名学生阅读量的75%分位数在区间内，
故正确；
在③中，设在区间内的初中生人数为，则，
当时，初中生总人数为116人，，
此时区间有25人，区间有36人，所以中位数在内，
当时，初中生总人数为131人，，
区间有人，区间有36人，所以中位数在内，
当区间人数去最小和最大，中位数都在内，
所以这名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间内，故正确；
在④中，设在区间内的初中生人数为，则，
当时，初中生总人数为116人，，
此时区间有25人，区间有36人，所以25%分位数在内，
当时，初中生总人数为131人，，
区间有人，所以25%分位数在内，
所以这名学生中的初中生阅读量的25%分位数可能在区间内，故正确；
故答案为：②③④
【点睛】
本题主要考查频数分布表、平均数和分位数的计算，考查学生对参数的讨论以及计算能力，属于中档题.
16．已知数据，，…，的方差为1，且，则数据，，…，的平均数是________.
【答案】或6.
【分析】
由数据，，…，的方差为1，且，把所给的式子进行整理，两式相减，得到关于数据的平均数的一元二次方程，解方程即可．
【详解】
数据，，…，的方差为1，
，
，
，①
，
，
，②
将②-①得，解得，或，
故答案为：或6.
【点睛】
本题主要考查一组数据的平均数的求法，解题时要熟练掌握方差的计算公式的灵活运用，属于中档题.
四、解答题
17．某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位：)，并绘制频率分布直方图如下：
（1）请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数；(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
（2）一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能80%地满足顾客的需求(在10天中，大约有8天可以满足顾客的需求).请问每天应该进多少千克苹果？(精确到整数位)
【答案】（1）众数为为85，平均数为；（2）每天应该进98千克苹果.
【分析】
（1）在图中找最高的矩形对应的值即为众数，利用平均数公式求平均数；
（2）由题意分析需要找概率为0.8对应的数，类比在频率分布直方图中找中位数的方法即可求解.
【详解】
（1）如图示：区间频率最大，所以众数为85，
平均数为：
（2）日销售量[60，90)的频率为，日销量[60，100)的频率为，
故所求的量位于
由得
故每天应该进98千克苹果.
【点睛】
从频率分布直方图可以估计出的几个数据：
(1)众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标；
(2)平均数：频率分布直方图每组数值的中间值乘以频率后相加；
(3)中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．
18．为了估计一次性木质筷子的用量，2017年从某市共600家高?中?低档饭店中抽取10家进行调查，得到这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为0.6，3.7，2.2，1.5，2.8，1.7，2.1，1.2，3.2，1.0.
（1）通过对样本的计算，估计该市2017年共消耗了多少盒一次性筷子.(每年按350个营业日计算)
（2）2019年又对该市一次性木筷的用量以同样的方式做了抽样调查，调查结果是10家饭店平均每家每天使用一次性筷子2.42盒，求该市2018年，2019年这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率.
（3）假如让你统计你所在省一年使用一次性木质筷子所消耗的木材量，如何利用统计知识去做？简单地说明你的做法.
【答案】（1）420000(盒)；（2）10%；（3）答案见解析.
【分析】
（1）计算样本平均数，然后就可以估计总体平均数，再估计2017年市600家饭店共消耗了一次性筷子多少盒；
（2）设平均每年增长的百分率为x，依题意有2.42=2×(1+x)2，解得可得答案；
（3）先采用简单随机抽样的方法抽取若干县(市)(作样本)，再从这些县(市)中采用分层抽样的方法抽取若干家饭店相结合的方法.
【详解】
（1）样本平均数为(0.6+3.7+2.2+1.5+2.8+1.7+2.1+1.2+3.2+1.0)==2.
由样本平均数为2估计总体平均数也是2，故2017年估计该市600家饭店共消耗了一次性筷子为2×350×600=420000(盒).
（2）由于2017一次性筷子用量是平均每天2盒，而2019年用量是平均每天2.42盒，设平均每年增长的百分率为x，依题意有2.42=2×(1+x)2，解得x=0.1=10%(x=-2.1舍去)，所以该市2018年，2019年这两年一次性木质筷子的用量平均每年增长10%.
（3）先采用简单随机抽样的方法抽取，再从这些县(市)中采用分层抽样的方法抽取若干家饭店，统计一次性木质筷子用量的平均数，从而估计总体平均数，再进一步计算所消耗的木材总量.
19．为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的用电量都在50kW·h至350kW·h之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图如图所示．
（I）求a的值；
（Ⅱ）求被调查用户中，用电量大于250kW·h的户数；
（III）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯定价，希望使80%的居民缴费在第一档（费用最低），请给出第一档用电标准（单位：kW·h）的建议，并简要说明理由．
【答案】（I）；（Ⅱ）；（III）
kW·h.
【分析】
（1）根据频率和为计算出的值；
（2）根据频率分布直方图计算出“用电量大于250kW·h”的频率，再将该频率乘以对应的总户数即可得到结果；
（3）根据频率分布直方图计算出频率刚好为时对应的月用电量，由此可得到第一档用电标准.
【详解】
（1）因为，所以；
（2）根据频率分布直方图可知：“用电量大于250kW·h”的频率为，
所以用电量大于250kW·h的户数为：，
故用电量大于250kW·h有户；
（3）因为前三组的频率和为：，
前四组的频率之和为，
所以频率为时对应的数据在第四组，
所以第一档用电标准为：kW·h.
故第一档用电标准为
kW·h.
【点睛】
本题考查频率分布直方图的综合应用，主要考查利用频率分布直方图进行相关计算，对学生读取图表信息和计算能力有一定要求，难度一般.
20．某市2020年4月1日~4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物):
61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，91，
77，86，81，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45，
（1）完成频率分布表；
（2）作出频率分布直方图；
（3）根据国家标准，污染指数在0~50之间时，空气质量为优；在51~100之间时，空间质量为良；在101~150之间时，空间质量为轻微污染；在151~200之间时，空间质量为轻度污染.
请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价.
【答案】（1）频率分布表见解析；（2）频率分布直方图见解析；（3）该市空气质量有待进一步改善.
【分析】
（1）根据题中所给的数据，完成频率分布表；
（2）根据频率分布表，画出频率分布直方图；
（3）依据所给数据和标准，对该市的空气质量给出一个简短评价，答案不唯一.
【详解】
解（1）频率分布表
分组
频数
频率
分组
频数
频率
[41，51)
2
[81，91)
10
[51，61)
1
[91，101)
5
[61，71)
4
[101，111)
2
[71，81)
6
（2）频率分布直方图
（3）答对下述两条中的一条即可:
①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的；
有26天处于良的水平，占当月天数的；
处于优或良的天数共有28天，占当月天数的.说明该市空气质量基本良好.
②轻微污染有2天，占当月天数的.污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有
15天，加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数的，超过50%.
说明该市空气质量有待进一步改善.
【点睛】
本题考查了根据具体数据列频率分布表，绘制频率分布直方图，并对数据作出分析判断，属于中档题.
21．某玻璃工艺品加工厂有2条生产线用于生产其款产品，每条生产线一天能生产200件该产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为等品，低于10分的为等品.厂家将等品售价定为2000元/件，等品售价定为1200元/件.
下面是检验员在现有生产线上随机抽取的16件产品的评分：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得，，其中为抽取的第件产品的评分，.
该厂计划通过增加生产工序来改进生产工艺，已知对一条生产线增加生产工序每年需花费1500万元，改进后该条生产线产能不变，但生产出的每件产品评分均提高0.05.已知该厂现有一笔1500万元的资金.
（1）若厂家用这1500万元改进一条生产线，根据随机抽取的16件产品的评分.
（i）估计改进后该生产线生产的产品中等品所占的比例；
（ii）估计改进后该厂生产的所有产品评分的平均数和方差.
（2）某金融机构向该厂推销一款年收益率为的理财产品，请你利用所学知识分析，将这1500万元用于购买该款理财产品所获得的收益，与通过改进一条生产线使产品评分提高所增加的收益相对比，一年后哪种方案的收益更大？
（一年按365天计算）
【答案】（1）（i）；（ii）9.995，；（2）将这1500万元用于改进一条生产线一年后收益更大.
【分析】
（1）（i）首先求得改进后随机抽取的件产品的评分，由此计算出等品所占的比例.
（ii）首先求得改进后的生产线的产品评分的平均数，由此求得改进一条生产线后该厂生产的所有产品评分的平均数.根据方差的计算公式，计算出改进一条生产线后该厂生产的所有产品评分的方差.
（2）分别计算出改进生产线和投资理财产品的一年收益，由此确定收益更大的方案.
【详解】
（1）（i）改进后，随机抽取的16件产品的评分依次变为：
10.00
10.17
10.01
10.01
10.06
9.97
10.03
10.09
10.31
9.96
10.18
10.07
9.27
10.09
10.10
10.00
其中，等品共有13个，
所以，估计改进后该生产线生产的产品中等品所占的比例为；
（ii）设一条生产线改进前一天生产出的产品评分为，改进后生产出的产品评分为，其中.
由已知得，用样本估计总体可知，
所以，
所以估计改进一条生产线后该厂生产的所有产品评分的平均数为：
，
由已知得，用样本估计总体可知，
所以.
估计改进后该厂生产的所有产品评分的方差为：
因为，所以，
同理，
所以式
.
（2）将这1500万元用于改进一条生产线，一年后因产品评分提高而增加的收益为：
（元）；
将这1500万元购买该款理财产品，一年后的收益为：
（元），
因为，
所以将这1500万元用于改进一条生产线一年后收益更大.
【点睛】
本小题主要考查平均数、方差的计算，考查运算求解能力，属于中档题.
22．某学校高一名学生参加数学竞赛，成绩均在分到分之间.学生成绩的频率分布直方图如图：
（1）估计这名学生分数的中位数与平均数；（精确到）
（2）某老师抽取了名学生的分数：，已知这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和两个分数，求剩余个分数的平均数与标准差.（参考公式：）
（3）该学校有座构造相同教学楼，各教学楼高均为米，东西长均为米，南北宽均为米.其中号教学楼在号教学楼的正南且楼距为米，号教学楼在号教学楼的正东且楼距为米.现有种型号的考试屏蔽仪，它们的信号覆盖半径依次为米，每个售价相应依次为元.若屏蔽仪可在地下及地上任意位置安装且每个安装费用均为元，求让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费.（参考数据：）
【答案】（1）中位数为；平均数为；（2）平均数为；标准差为；（3）元.
【分析】
（1）利用频率分布直方图能求出中位数、平均分；
（2）由题意，求出剩余8个分数的平均值，由10个分数的标准差，能求出剩余8个分数的标准差；
（3）求出将3座教学楼完全包裹的球的最小直径、将一座教学楼完全包裹的球的最小直径和将1号教学楼与2号教学楼完全包裹的球的最小直径，由此能求出让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费．
【详解】
（1）因为
所以中位数为满足
由，解得
设平均分为，
则
（2）由题意，剩余个分数的平均值为
因为个分数的标准差
所以
所以剩余个分数的标准差为
（3）将座教学楼完全包裹的球的最小直径为：
因此若用一个覆盖半径为米的屏蔽仪则总费用为元；
将一座教学楼完全包裹的球的最小直径为
因此若用个覆盖半径为米的屏蔽仪则总费用为元；
将号教学楼与号教学楼完全包裹的球的最小直径为：
又因为
因此若用个覆盖半径为米和个覆盖半径为米的屏蔽仪则总费用为元；
所以，让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费为元.
【点睛】
本题考查中位数、平均数、标准差、最小费用的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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精品试卷·第
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