10.1.1 有限样本空间与随机事件
课后·训练提升
基础巩固
1.一个家庭有两个小孩,则该试验的样本空间为( )
A.{(男,女),(男,男),(女,女)}
B.{(男,女),(女,男)}
C.{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}
D.{(男,男),(女,女)}
解析随机试验的所有结果要保证等可能性.两小孩有大小之分,所以(男,女)与(女,男)是不同的结果.
答案C
2.下列事件中,不可能事件为( )
A.三角形内角和为180°
B.三角形中大边对大角,大角对大边
C.锐角三角形中任意两角之和小于90°
D.三角形中任意两边之和大于第三边
解析C项,在锐角三角形中,三个角都是锐角,因为三角形的内角和是180°,所以任意两个锐角之和都大于90°.
答案C
3.集合A={2,3},B={1,2,3},试验E:从A,B中各取一个数,则E包含的样本点的个数为( )
A.5
B.6
C.8
D.9
答案B
4.从正方形的四个顶点及其中心O这5个点中任取2个点,则事件A“这两个点的距离小于该正方形的边长”包含的样本点的个数为( )
A.4
B.5
C.6
D.8
解析若2个点之间的距离小于边长,则这2个点中必须有1个为中心点,故共包含4个样本点.
答案A
5.某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如下表所示.
性别
高一年级
高二年级
高三年级
男
A
B
C
女
X
Y
Z
从6名同学中任选2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同),则事件M“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”所包含的样本点的个数为( )
A.9
B.8
C.7
D.6
解析事件M包含的结果有(A,Y),(A,Z),(B,X),(B,Z),(C,X),(C,Y),共计包含的样本点的个数为6.
答案D
6.试验E:甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则下列说法中错误的是( )
A.E的样本空间Ω包括9个样本点
B.事件A:两人选择相同颜色包括3个样本点
C.事件B:两人选择不同颜色包括6个样本点
D.事件C:甲选择红色包括2个样本点
答案D
7.随机抛掷两枚质地均匀的骰子,记事件A:面朝上的点数之和不超过5;事件B:面朝上的点数之和大于5;事件C:面朝上的点数之和为偶数所包含的样本点的个数分别为m1,m2,m3,则( )
A.m1B.m2C.m1D.m3解析采用上面的列举方式,可以做到快速计数.m1=10,m2=26,m3=18,因此m1答案C
8.甲、乙两人分别坐电梯到10楼至12楼的某一楼层,在这三层中可以随意走出电梯,则该试验的样本空间有 个样本点.?
答案9
9.一个盒子里装有三张卡片,分别标有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同,随机有放回地抽取3次,每次抽1张,将抽取的卡片的数字依次记为a,b,c,用集合表示下列事件.
(1)A=“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”;
(2)B=“抽取的卡片上的数字完全不相同”.
解(1)A={(1,2,3),(2,1,3),(1,1,2)};
(2)B={(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)}.
注意理解完全不相同与不完全相同的区别.
10.现有6道题,其中4道甲类题,2道乙类题,李同学从中任取2道题解答,写出表示下列事件的集合.
(1)A=“所取的两道题都是甲类题”;
(2)B=“所取的两道题不是同一类题”.
解用1,2,3,4表示4道甲类题,用m,n表示2道乙类题.
(1)A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}.
(2)B={(1,m),(1,n),(2,m),(2,n),(3,m),(3,n),(4,m),(4,n)}.
提示(1,2)与(2,1)是同一种结果,不要重复计数,目的是选出哪两道题,没有先后顺序.
能力提升
1.下列事件中,必然事件是( )
A.抛掷两枚硬币,同时正面朝上
B.张家口市七月飞雪
C.若xy>0,则x>0,y>0
D.今天星期六,明天是星期日
解析抛掷两枚质地均匀的硬币,可能同时正面朝上,同时反面朝上,一正一反,所以A是随机事件;张家口市七月飞雪是不可能事件;若xy>0,则x>0,y>0或x<0,y<0,所以C是随机事件;今天是星期六,明天就是星期日,是必然事件.
答案D
2.将一枚质地均匀的硬币向上抛掷10次,其中正面朝上恰有5次是( )
A.必然事件
B.随机事件
C.不可能事件
D.无法确定
解析正面朝上恰有5次的事件可能发生,也可能不发生,即该事件为随机事件.故选B.
答案B
3.某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组,某学生只选报其中的2个,则样本点共有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析由题意可得,样本点有(数学与计算机)、(数学与航空模型)、(计算机与航空模型),共3个,故选C.
答案C
4.指出下列试验的条件和结果:
(1)某人射击一次,命中的环数;
(2)从装有大小相同但颜色不同的a,b,c,d共4个球的袋中,任取1个球;
(3)从装有大小相同但颜色不同的a,b,c,d共4个球的袋中,一次任取2个球.
解(1)条件为射击一次;结果为命中的环数:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,共11种.
(2)条件为从袋中任取1个球;结果为a,b,c,d,共4种.
(3)条件为从袋中一次任取2个球;若记(a,b)表示一次取出的2个球是a和b,则试验的全部结果为(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共6种.
5.指出下列试验的样本空间:
(1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球;
(2)从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)作差.
解(1)试验的样本空间Ω={(红球,白球),(红球,黑球),(白球,黑球)}.
(2)从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复),可能的结果有(1,3),(1,6),(1,10),(3,6),(3,10),(6,10),作差得1-3=-2,3-1=2,1-6=-5,6-1=5,1-10=-9,10-1=9,3-6=-3,6-3=3,3-10=-7,10-3=7,6-10=-4,10-6=4.
所以试验的样本空间Ω={-2,2,-5,5,-9,9,-3,3,-7,7,-4,4}.
6.从0,1,2这3个数字中,不放回地取两次,每次取一个,构成有序数对(x,y),x为第1次取到的数字,y为第2次取到的数字.
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)求这个试验的样本点的总个数;
(3)写出“第1次取出的数字是2”这一事件包含的样本点.
解(1)样本空间Ω={(0,1),(1,0),(0,2),(2,0),(1,2),(2,1)}.
(2)这个试验的样本点的总个数是6.
(3)“第1次取出的数字是2”这一事件所包含的样本点为(2,0),(2,1).
7.连续抛掷3枚质地均匀的硬币,观察落地后这3枚硬币朝上的面是正面还是反面.
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)求这个试验的样本点的总个数;
(3)“恰有两枚正面朝上”这一事件包含哪几个样本点?
解(1)这个试验的样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}.
(2)这个试验的样本点的总个数为8.
(3)“恰有两枚正面朝上”这一事件包含的样本点为(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).10.1.2 事件的关系和运算
课后·训练提升
基础巩固
1.若干个人站成一排,其中为互斥事件的是( )
A.“甲站排头”与“乙站排头”
B.“甲站排头”与“乙不站排尾”
C.“甲站排头”与“乙站排尾”
D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”
解析事件A与事件B互斥,其含义是事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生.“甲站排头”与“乙站排头”不可能同时发生.故选A.
答案A
2.某小组有三名男生和两名女生,从中任选两名去参加比赛,则下列各对事件中是互斥事件的有( )
①恰有一名男生和两名男生;②至少有一名男生和至少有一名女生;③至少有一名男生和全是男生;④至少有一名男生和全是女生.
A.①③④
B.②③④
C.②③
D.①④
解析①是互斥事件,恰有一名男生实质是选出的两名同学中“一名男生和一名女生”,它与恰有两名男生不可能同时发生.
②不是互斥事件,事件“至少有一名男生”和“至少有一名女生”都包含事件“一名男生与一名女生”.
③不是互斥事件,事件“至少有一名男生”包含事件“全是男生”.
④是互斥事件,不可能同时发生.
答案D
3.给出事件A与B的关系示意图,如图所示,则( )
A.A?B
B.A?B
C.A与B互斥
D.A与B互为对立事件
解析显然事件A与B不能同时发生,但又不一定非要发生一个,有可能都不发生,故A与B不是互为对立事件.
答案C
4.袋中装有黑、白两种颜色的球各三个,现从中取出两个球,设事件P:取出的两球都是黑球;事件Q:取出的两球都是白球;事件R:取出的两球中至少有一个黑球.则下列结论正确的是( )
A.P与R互斥
B.Q与R互斥
C.任何两个都互斥
D.任何两个均不互斥
解析袋中装有黑、白两种颜色的球各三个,现从中取出两个球,取球的方法共有以下几类:①取出的两球都是黑球;②取出的两球都是白球;③取出的两球一黑一白.事件R包括①③两类情况,因此事件P是事件R的子事件,故A不正确;事件Q与事件R互斥且对立,故B正确;因为事件P是事件R的子事件,故C不正确;事件P与事件Q互斥,故D不正确.
答案B
5.有一个游戏,其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进,每人一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )
A.互斥但非对立事件
B.对立事件
C.相互独立事件
D.以上都不对
解析因为每人一个方向,所以事件“甲向南”与事件“乙向南”不可以同时发生,所以两事件为互斥事件.但是,若事件“甲向南”与事件“乙向南”都不成立,则丙或丁也有可能向南走,因此事件“甲向南”与事件“乙向南”不是对立事件.
答案A10.1.3 古典概型
课后·训练提升
基础巩固
1.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是( )
A.0.2
B.0.4
C.0.6
D.0.8
解析用x表示取出的第一个数,用y表示取出的第二个数,用数组(x,y)表示试验的一个样本点,则样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},n(Ω)=10.设A=“和为5”,则n(A)=2,即(1,4),(2,3).则P(A)==0.2.故选A.
答案A
2.已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为( )
A.0.4
B.0.6
C.0.8
D.1
解析5件产品中有2件次品,记为a,b,有3件合格品,记为c,d,e,“从这5件产品中任取2件”,则该试验的样本空间Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)},即n(Ω)=10.设事件A=“恰有一件次品”,又n(A)=6,则P(A)==0.6.故选B.
答案B
3.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,那么称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析从1,2,3,4,5中任取3个数共有10种不同的取法,其中的勾股数只有3,4,5,因此3个数构成一组勾股数的取法只有一种,故所求概率为.
答案C
4.有3个兴趣小组,甲、乙两名同学各自参加其中一个小组,每名同学参加各个小组的可能性相同,则这两名同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析3个兴趣小组分别记为A,B,C,试验:“甲、乙两名同学各自参加其中一个小组”,即该试验的样本空间Ω={(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C)},则n(Ω)=9.
设事件A=“两名同学参加同一个兴趣小组”,则n(A)=3,则P(A)=.故选A.
答案A
5.为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析总的基本事件是:红黄,白紫;红白,黄紫;红紫,黄白,共3种.满足条件的基本事件是:红黄,白紫;红白,黄紫,共2种.故所求事件的概率为P=.
答案C
6.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析由题意知总事件数为6,且分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足条件的事件数是2,因此所求的概率为.
答案B
7.从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是 .?
解析从2,3,8,9中任取两个数记为a,b,作为对数的底数与真数,共有12个不同的基本事件,其中为整数的只有log28,log39两个基本事件,因此其概率P=.
答案
8.某食堂规定,每份午餐可以在4种水果中任选2种,则甲、乙两同学各自所选的2种水果相同的概率为 .?
解析甲、乙两个同学从4种水果中任选2种各有6种选法,其中各自所选的2种水果相同的结果有6种,则所求概率为.
答案
9.某中学调查了某班45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单位:人).
参加社团情况
参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
8
5
未参加演讲社团
2
30
(1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;
(2)既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B1,B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率.
解(1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人,故至少参加上述一个社团的共有45-30=15人.所以从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为P=.
(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,其一切可能的结果组成的基本事件有:
{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},
{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1},
{A4,B2},{A4,B3},{A5,B1},{A5,B2},{A5,B3},
共15个.
根据题意,这些基本事件的出现是等可能的.
事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有{A1,B2},{A1,B3},共2个.
因此A1被选中且B1未被选中的概率为P=.
10.甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率;
(2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一学校的概率.
解(1)甲校2名男教师分别用A,B表示,1名女教师用C表示;乙校1名男教师用D表示,2名女教师分别用E,F表示.
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),共9种.
从中选出2名教师性别相同的结果有(A,D),(B,D),(C,E),(C,F),共4种.
所以选出的两名教师性别相同的概率为P=.
(2)从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名的所有可能的结果为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种.
从中选出2名教师来自同一学校的结果有:
(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F),共6种.所以选出的2名教师来自同一学校的概率为P=.
能力提升
1.在1,3,4,5,8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站一次只能停靠一辆汽车),有一名乘客等候4路或8路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等,则首先到站正好是这名乘客所需乘的汽车的概率等于( )
A.
B.
C.
D.
解析由题知,在该问题中可能结果有5种,这位乘客等候的汽车首先到站这个事件有2种可能结果,故所求概率为.
答案D
2.一个三位数,个位、十位、百位上的数字依次为x,y,z,当且仅当y>x,y>z时,称这样的数为“凸数”(如243).现从集合{5,6,7,8}中取出三个不同的数组成一个三位数,则这个三位数是“凸数”的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析试验:从集合{5,6,7,8}中取出3个不同的数组成一个三位数,则该试验的样本空间Ω={567,576,657,675,756,765,568,586,658,685,856,865,578,587,758,785,857,875,678,687,768,786,867,876},即n(Ω)=24.
设事件A=“这个三位数是‘凸数’”,则A={576,675,586,685,587,785,687,786},得n(A)=8,故这个三位数是“凸数”的概率为,故选B.
答案B
3.一袋中装有大小相同,编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球,从中有放回地每次取一个球,共取2次,则取得两个球的编号和不小于15的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析由树状图知n(Ω)=64,设事件A=“两个球的编号和不小于15”,则n(A)=3,故取得两个球的编号和不小于15的概率,即P(A)=.
答案D
4.将一枚质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现面朝上的点数之和小于10的概率是 .?
解析方法:将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次,共有36个基本事件.其中面朝上的点数之和小于10的基本事件共有30个,所以所求概率为.10.3.1 频率的稳定性
课后·训练提升
基础巩固
1.给出下列三种说法:①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,抛一枚硬币出现正面的概率是;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.其中说法正确的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案A
2.今天北京降雨的概率是80%,上海降雨的概率是20%,下列说法不正确的是( )
A.北京今天一定降雨,而上海一定不降雨
B.上海今天可能降雨,而北京可能不降雨
C.北京和上海今天都可能不降雨
D.北京今天降雨的可能性比上海大
解析北京降雨的概率大于上海降雨的概率,说明北京降雨的可能性比上海大,两个城市可能都降雨,但是不能确定北京今天一定降雨,上海一定不降雨.
答案A
3.下列说法正确的是( )
①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度;②在同一次试验中,每个试验结果出现的频数之和等于试验的样本总数;③在同一次试验中,每个试验结果出现的频率之和不一定等于1;④概率=频率.
A.①③
B.①②④
C.①②
D.③④
解析由频率、频数、概率的定义,易知①②正确.故选C.
答案C
4.随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4
500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如下表:
满意情况
不满意
比较满意
满意
非常满意
人数
200
n
2
100
1
000
根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析由题意得,n=4
500-200-2
100-1
000=1
200,所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1
200+2
100=3
300,所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为.由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为.故选C.
答案C
5.从自动打包机包装的食盐中,随机抽取20袋,测得各袋的质量分别为(单位:g):
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据频率分布估计总体分布的原理,该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5
g~501.5
g之间的概率约为 .?
解析易知袋装食盐质量在497.5~501.5
g之间的袋数为5,故其频率为=0.25,即其概率约为0.25.
答案0.25
6.某制造商今年3月份生产了一批乒乓球,随机抽取100个进行检查,测得每个乒乓球的直径(单位:mm),将数据分组如下:
分组
频数
频率
[39.95,39.97)
10
0.10
[39.97,39.99)
20
0.20
[39.99,40.01)
50
0.50
[40.01,40.03]
20
0.20
合计
100
1.00
若用上述频率近似概率,已知标准乒乓球的直径为40.00
mm,则这批乒乓球的直径误差不超过0.03
mm的概率是 .?
解析标准尺寸是40.00
mm,并且误差不超过0.03
mm,即直径需落在[39.97,40.03]范围内.由频率分布表知,所求频率为0.20+0.50+0.20=0.90,所以直径误差不超过0.03
mm的概率约为0.90.
答案0.90
7.从一堆苹果中任取了20个,并得到它们的质量(单位:克)数据分布如下表:
分组
[90,100)
[100,110)
[110,120)
[120,130)
[130,140)
[140,150]
频数
1
2
3
10
3
1
则这堆苹果中,质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的 %,若这堆苹果共有200个,则估计质量不小于120克的苹果有 个.?
解析计算出样本中质量不小于120克的苹果的频率,来估计这堆苹果中质量不小于120克的苹果所占的比例,实质上也是用频率估算概率.由题意知=0.7=70%.
答案70 140
8.管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记,然后放回池塘,将带标记的鱼完全混合于鱼群中.10天后,再捕上50条,发现其中带标记的鱼有2条.根据以上数据可以估计该池塘约有 条鱼.?
解析设池塘约有n条鱼,则含有标记的鱼的概率为,由题意得×50=2,解得n=750.
答案750
9.某人捡到不规则形状的五面体石块,他在每个面上用数字1~5进行了标记,投掷100次,记录下落在桌面上的数字,得到如下频数分布表:
落在桌面的数字
1
2
3
4
5
频数
32
18
15
13
22
则落在桌面的数字不小于4的频率为 .?
解析落在桌面的数字不小于4,即4,5的频数共13+22=35.所以频率为=0.35.
答案0.35
10.某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:
赔付金额
0
1
000
2
000
3
000
4
000
车辆数
500
130
100
150
120
(1)若每辆车的投保金额均为2
800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;
(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4
000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4
000元的概率.
解(1)设A=事件“赔付金额为3
000元”,B=事件“赔付金额为4
000元”,D=事件“赔付金额大于2
800元”.由题意知,A,B互斥且D=A∪B.
由频率估计概率知,P(A)==0.15,P(B)==0.12.
所以P(D)=P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4
000元”,由已知样本车辆中车主为新司机的有0.1×1
000=100辆,而赔付金额为4
000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24辆,所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4
000元的频率为=0.24,由频率估计概率得P(C)=0.24.
11.某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记事件A=“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;
(2)记事件B=“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值;
(3)求续保人本年度的平均保费的估计值.
解(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为=0.55,故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为=0.3,故P(B)的估计值为0.3.
(3)由题所求分布列为:
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
调查200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192
5a,
因此,续保人本年度平均保费估计值为1.192
5a.
能力提升
1.在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为,当n很大时,P(A)与的大小关系是( )
A.P(A)≈
B.P(A)<
C.P(A)>
D.P(A)=
解析在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为,当n很大时,越来越接近P(A),因此我们可以用近似地代替P(A).
答案A
2.抛掷两枚质地均匀的正方体骰子,用随机模拟方法估计出现点数之和为10的概率时产生的整数随机数中,每组中数的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.10
解析先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子,它们的点数可分别设为x,y,则x+y=10,产生的整数随机数中,每组中数字的个数为2.
答案B
3.从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子里,有放回地取100次,每次取一张卡片,并记下号码,统计结果如下表所示,则取到号码为奇数的频率是( )
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
13
8
5
7
6
13
18
10
11
9
A.0.53
B.0.5
C.0.47
D.0.37
答案A
4.关于天气预报中的“预报某地降水概率为10%”,下列解释正确的是( )
A.有10%的区域降水
B.10%太小,不可能降水
C.降水的可能性为10%
D.是否降水不确定,10%没有意义
解析预报某地降水概率为10%,说明明天下雨的可能性为10%.
答案C
5.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面上分别写有1,2,3,4,5,6),若前3次连续抛到“6点朝上”,则对于第4次抛掷的结果的预测,下列说法正确的是( )
A.一定出现“6点朝上”
B.出现“6点朝上”的概率大于
C.出现“6点朝上”的概率等于
D.无法预测“6点朝上”的概率
解析随机事件具有不确定性,与前面的试验结果无关.因为正方体骰子的质地是均匀的,所以它出现哪一个面朝上的可能性都是相等的,概率都为.
答案C
6.一袋中有红球3只,白球5只,还有黄球若干只.某人随意摸100次,其摸到红球的频数为30,那么袋中的黄球约有 只.?
解析设x为袋中黄球的只数,根据题意可得
,解得x≈2.
答案2
7.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20
000部汽车的相关信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是 .?
解析记“一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎”为事件A,利用频率估计概率可知,事件A发生的概率大约为=0.03.
答案0.03
8.某个地区从某年起n年内的新生婴儿数及其中男婴数如表所示(单位:个):
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数
5
544
9
013
13
520
17
191
男婴数
2
716
4
899
6
812
8
590
男婴出生频率
(1)填写表中的男婴出生频率(结果保留两位有效数字);
(2)这一地区男婴出生的概率约是 .?
解析(1)频率f(A)=,故从左到右各频率依次为0.49,0.54,0.50,0.50.
(2)可以利用频率来求近似概率.由(1)得概率约为0.50.
答案(1)0.49 0.54 0.50 0.50 (2)0.50
9.李老师在某大学连续3年主讲经济学院的《高等数学》科目,下表是李老师统计的这门课3年来学生的考试成绩分布:
成绩
人数
90分以上
43
80分~89分
182
70分~79分
260
60分~69分
90
50分~59分
62
50分以下
8
经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的《高等数学》科目,用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位).
(1)90分以上;
(2)60分~69分;
(3)60分以上.
解总人数为43+182+260+90+62+8=645,根据公式可计算出选修李老师的《高等数学》科目的人的考试成绩在各个段上的频率依次为:≈0.067,≈0.282,≈0.403,≈0.140,≈0.096,≈0.012.用已有的信息,可以估计出王小慧下学期选修李老师的《高等数学》得分的概率如下:
(1)将“90分以上”记为事件A,则P(A)≈0.067.
(2)将“60分~69分”记为事件B,则P(B)≈0.140.
(3)将“60分以上”记为事件C,则P(C)≈0.067+0.282+0.403+0.140=0.892.10.3.2 随机模拟
课后·训练提升
基础巩固
1.用随机模拟的方法得到的频率( )
A.大于概率
B.小于概率
C.等于概率
D.是概率的近似值
解析由频率与概率的关系可知,频率是概率的近似值.
答案D
2.使用随机模拟的方法估计某一随机事件的概率P时,下面结论正确的是( )
A.实验次数越大,估计的精确度越低
B.随着实验次数的增加,估计值稳定在P附近
C.若两人用同样的方法做相同次数的随机模拟,则他们得到的估计值也是相同的
D.某人在不同的时间用同样的方法做相同次数的随机模拟,得到的估计值一定相同
答案B
3.下列说法错误的是( )
A.用计算机或抛掷硬币的方法都可以产生随机数
B.用计算机产生的随机数有规律可循,不具有随机性
C.用计算机产生随机数,可起到降低成本,缩短时间的作用
D.可以用随机模拟的方法估计概率
解析用计算机产生的随机数是没有规律可循的,具有随机性,B错误.
答案B
4.抛掷一枚硬币5次,若正面朝上用随机数0表示,反面朝上用随机数1表示,下面表示5次抛掷恰有3次正面朝上的是( )
A.1 0 0 1 1
B.1 1 0 0 1
C.0 0 1 1 0
D.1 0 1 1 1
解析由题意可知C正确.
答案C
5.袋中有2个黑球,3个白球,小球除颜色外其他完全相同,从中有放回地取出一球,连取三次,观察球的颜色.用计算机产生0到9的数字进行模拟试验,用0,1,2,3代表黑球,4,5,6,7,8,9代表白球.在下列随机数中表示结果为二白一黑的组数为( )
160 288 905 467 589 239 079 146 351
A.3
B.4
C.5
D.6
解析由题意可知288,905,079,146表示二白一黑,共有4组数.
答案B
6.假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中靶心,5,6,7,8,9,0表示未命中靶心;再以每两个随机数为一组,代表两次的结果.经随机模拟产生了20组随机数:
93 28 12 45 85 69 68 34 31 25
73 93 02 75 56 48 87 30 11 35
据此估计,该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为( )
A.0.50
B.0.45
C.0.40
D.0.35
解析由题意知模拟两次投掷飞镖的结果,经随机模拟产生了20组随机数,在20组随机数中表示两次投掷飞镖恰有一次命中的有93,28,45,25,73,93,02,48,30,35,共10组随机数,故所求概率为.故选A.
答案A
7.甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个,乙盒子中有黄、黑、白三种颜色的球各2个,从两个盒子中各取1个球.
(1)求取出的两个球是不同颜色的概率;
(2)请设计一种随机模拟的方法,来近似计算(1)中取出两个球是不同颜色的概率(写出模拟的步骤).
解(1)设事件A=“取出的两球是相同颜色”,事件B=“取出的两球是不同颜色”.则事件A的概率为P(A)=×2=.由于事件A与事件B是对立事件,因此事件B的概率为P(B)=1-P(A)=1-.
(2)随机模拟的步骤:
第1步,利用抽签法或计算机(计算器)产生1~3和2~4两组取整数值的随机数,每组各有N个随机数.用“1”表示取到红球,用“2”表示取到黑球,用“3”表示取到白球,用“4”表示取到黄球.
第2步,统计两组对应的N对随机数中,每对中的两个数字不同的对数n.
第3步,计算的值.则就是取出的两个球是不同颜色的概率的近似值.
能力提升
1.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示未命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A.0.35
B.0.25
C.0.20
D.0.15
解析易知20组随机数中,表示三次投篮恰有两次命中的数据有191,271,932,812,393,共5组随机数,所以P==0.25.
答案B
2.在利用整数随机数进行随机模拟试验中,整数a到整数b之间的每个整数出现的可能性是 .?
解析在区间[a,b]中共有b-a+1个整数,每个整数出现的可能性相等,所以每个整数出现的可能性是.
答案
3.从13张扑克牌中随机抽取一张,用随机模拟法估计这张牌是7的概率为,则估计这张牌不是7的概率是 .?
解析根据对立事件的概率公式计算.
答案1-
4.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次,用随机模拟的方法估计面朝上的点数和为7的概率,共进行了两次试验,第一次产生了60组随机数,第二次产生了200组随机数,那么这两次估计的结果相比较,第 次准确.?
解析当用随机模拟的方法估计概率时,产生的随机数越多,估计的结果越准确,因此第二次比第一次准确.
答案二
5.从甲、乙、丙、丁4人中,任选3人参加志愿者活动,请用随机模拟的方法估计甲被选中的概率.
解用1,2,3,4分别表示甲、乙、丙、丁四人.
利用计算器或计算机软件产生1到4之间的整数随机数,每三个一组,每组中数不重复,得到n组数,统计这n组数中含有1的组数m,则估计甲被选中的概率为.
6.一个袋中有7个大小、形状相同的小球,6个白球,1个红球,现任取1个,若为红球就停止,若为白球就放回,搅拌均匀后再接着取,试设计一个模拟试验,计算恰好第三次摸到红球的概率.
解用1,2,3,4,5,6表示白球,7表示红球,利用计算器或计算机软件产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数.因为要求恰好第三次摸到红球的概率,所以每三个随机数作为一组.如下,产生20组随机数:
666 743 671 464 571
561 156 567 732 375
716 116 614 445 117
573 552 274 114 662
就相当于做了20次试验,在这些数组中,前两个数字不是7,第三个数字恰好是7,就表示第一次、第二次摸到的是白球,第三次摸到的是红球,它们分别是567和117,共两组,因此恰好第三次摸到红球的概率约为=0.1.第十章过关检测
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列事件中,随机事件的个数是( )
①2030年8月18日,北京市不下雨;②在标准大气压下,水在4
℃时结冰;③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张,恰为1号签;④若x∈R,则x2≥0.
A.1
B.2
C.3
D.4
解析①③为随机事件,②为不可能事件,④为必然事件.
答案B
2.下列说法正确的是( )
A.甲、乙二人比赛,甲胜的概率为,则比赛5场,甲胜3场
B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,前9个病人没有治愈,则第10个病人一定治愈
C.随机试验的频率与概率相等
D.天气预报中,预报明天降水概率为90%,是指降水的可能性是90%
解析A选项,此概率只说明发生的可能性大小,具有随机性,并非一定是比赛5场,甲胜3场;
B选项,此治愈率只说明发生的可能性大小,具有随机性,并非10人一定有人治愈;
C选项,试验的频率可以估计概率,并不等于概率;
D选项,概率为90%,即可能性为90%.故选D.
答案D
3.用计算器或计算机软件随机模拟抛掷质地均匀的骰子的试验,估计出现2点的概率,下列步骤中,不正确的是( )
A.用计算器的随机函数RANDI(1,7)或计算机软件的随机函数RANDBETWEEN(1,7)产生6个不同的1到6之间的取整数值的随机数x,若x=2,则我们认为出现2点
B.我们通常用计数器n记录做了多少次抛掷骰子试验,用计数器m记录其中有多少次出现2点,令n=0,m=0
C.出现2点,则m的值加1,即m=m+1;否则m的值保持不变
D.程序结束,出现2点的频率作为概率的近似值
解析计算器的随机函数RANDI(1,7)或计算机软件的随机函数RANDBETWEEN(1,7)产生的是1到7之间的整数,包括7,共7个整数,而骰子只有6个面,A不正确,而根据随机模拟试验的步骤可知BCD正确.故选A.
答案A
4.甲、乙两人下棋,和棋的概率为,乙获胜的概率为,则下列说法正确的是( )
A.甲获胜的概率是
B.甲不输的概率是
C.乙输了的概率是
D.乙不输的概率是
解析设A=“两人和棋”,B=“乙获胜”,C=“甲获胜”,则A,B,C之间两两互斥,而P(A)=,P(B)=,所以P(C)=1-P(A)-P(B)=,故甲不输的概率应为P(A∪C)=,乙输的概率为P(C)=,乙不输的概率为P(A∪B)=,故选A.
答案A
5.在线段AB上任取三个点x1,x2,x3,则x2位于x1与x3之间的概率为( )
A.
B.
C.
D.1
解析样本空间Ω={x1x2x3,x2x1x3,x2x3x1,x3x2x1,x1x3x2,x3x1x2},则n(Ω)=6.
设事件M=“x2位于x1与x3之间”,则M={x1x2x3,x3x2x1},则n(M)=2,因而P(M)=.
答案B
6.某人射击4枪,命中3枪,3枪中有且只有2枪连中的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析4枪命中3枪共有4种可能,其中有且只有2枪连中有2种可能,故P=.故选D.
答案D
7.从1,2,…,9中任取两数,其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个是奇数和两个数都是奇数;③至少有一个奇数和两个数都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述事件中,是对立事件的是( )
A.①
B.②④
C.③
D.①③
解析从1,2,…,9中任取两数包括“一奇一偶”“两个奇数”“两个偶数”,只有③中的两个事件是对立事件.
答案C
8.甲、乙同时参加某次英语考试,甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7,两人考试相互独立,则甲、乙两人至少有一人达到优秀的概率为( )
A.0.42
B.0.28
C.0.18
D.0.88
解析由于甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7,则甲、乙考试未达到优秀的概率分别为0.4,0.3,由于两人考试相互独立,所以甲、乙两人都未达到优秀的概率为0.4×0.3=0.12,所以甲、乙两人至少有一人达到优秀的概率为1-0.12=0.88.故选D.
答案D
9.若一个三位数的各位数字互不相同,且各数字之和等于10,则称此三位数为“十全十美三位数”(如235),任取一个“十全十美三位数”,该数为奇数的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析任取一个“十全十美三位数”.试验的样本空间Ω={109,190,901,910,127,172,217,271,712,721,136,163,316,361,613,631,145,154,415,451,514,541,208,280,802,820,235,253,325,352,523,532,307,370,703,730,406,460,604,640}.共有40个样本点,其中该数为奇数包含的样本点有20个.所以任取一个“十全十美三位数”,该数为奇数的概率为.
答案C
