2.3
空间向量及其运算的坐标表示
1、在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使。在单位正交基底下与向量对应的有序实数组，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标
2、空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量表示
坐标表示
加法
减法
数乘
，
数量积
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
（）
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
（）
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
eq
\r(a＋a＋a)
夹角
cos＝eq
\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a＋a＋a)·\r(b＋b＋b))
3、设，是空间中任意两点，则，
，这是空间两点间的距离公式
题型一
空间向量的坐标运算
例1 设，向量，，，则（
）
A．
B．
C．3
D．4
【答案】C
【分析】
根据，结合向量的坐标运算可求得参数的值，再结合向量的加法与模长运算即可求解
【详解】
，，，
故选：C.
1、已知点，向量，则点坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
设点，由点和点表示出向量，构造等式求解即可.
【详解】
设点，则向量，
所以，
所以点.
故选：D
2、（多选）对于任意非零向量，，以下说法错误的有(
)
A．若，则
B．若，则
C．
D．若，则为单位向量
【详解】
对于A选项，因为，则，A选项正确；
对于B选项，若，且，，若，但分式无意义，B选项错误；
对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知，C选项正确；
对于D选项，若，则，此时，不是单位向量，D选项错误.
故选：BD.
题型二
向量坐标求解直线关系
例
2 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.
（1）求证：EF⊥CF；
（2）求与所成角的余弦值；
（3）求CE的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】
建立空间直角坐标系，得出的坐标，由坐标运算得出的坐标，根据数量积公式证明EF⊥CF；由数量积公式求出与所成角的余弦值；再由模长公式得出CE的长.
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz
则
所以
（1）证明：因为，所以，即EF⊥CF.
（2）因为
.
（3）
1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则____，EF=____.?
【答案】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用向量法得出，从而得出，最后由模长公式得出.
【详解】
以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系
设正方体棱长为1，则
.
故答案为：；
2、如图，长方体中，，，、、分别是、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（
）
A．0
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
建立空间直角坐标系，表示，然后利用空间向量的夹角公式计算即可.
【详解】
如图
所以
所以异面直线与所成角的余弦值
故选：A
1、已知向量，，若，则__________
【答案】
【分析】
根据空间向量的加法和减法的坐标运算,可求得和,结合空间向量垂直的坐标关系,即可求得的值.
【详解】
向量,
则,
因为
所以,代入可得
即,解得
故答案为:
2、已知a、b是异面直线，且a⊥b，分别为取自直线a、b上的单位向量，且＝，，，则实数k的值为___.
【答案】6
【分析】
根据向量垂直其数量积为0，转化为基底的运算，即可得答案；
【详解】
由，得＝0，又分别为取自直线a、b上的单位向量，
∴()·()＝0，∴，∴.
故答案为：6.
3、在空间直角坐标系中，，为的中点，为空间一点且满足，若，，则（
）
A．9
B．7
C．5
D．3
【解析】设，，
，，，
由，
整理可得：，
由，得，
化简得，
以上方程组联立得，
则.
故选：D.
4、设ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，则有( )
A.·＝a2
B．·＝a2
C.·＝a2
D．·＝a2
【答案】 C
【解析】 建系如图．
则·＝(a,0,0)·(－a，－a，－a)＝－a2，
·＝(a,0,0)·(a，a,0)＝a2，
·＝(0，a,0)·(0，a，－a)＝a2，
·＝(a,0,0)·(－a，－a,0)＝－a2，故只有C正确．
5、正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心．若向量A＝＋x＋y，则实数x，y的值分别为( )
A．x＝1，y＝1
B．x＝1，y＝
C．x＝，y＝
D．x＝，y＝1
【答案】 C
【解析】A＝＋x＋y=,所以x=y=
6、平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，两两的夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||等于( )
A．5
B．6
C．4
D．8
【答案】 A
【解析】 设＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c，||2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝25，因此||＝5.故选A.
7、如图，，原点是的中点，点的坐标为，，，点在平面上，且，．
（1）求向量的坐标．
（2）求与的夹角的余弦值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）过作于，求得的值，得到点的坐标，进而求得的坐标；
（2）分别求得向量的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
（1）过作于，
则，，
所以的坐标为，
又因为，所以．
（2）依题设有点坐标为，所以，，
则与的夹角的余弦值为．
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人教A2019版高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版
教师版）
1.1.2
空间向量的数量积
【要点梳理】
要点一、空间向量的数量积
1．两个向量的数量积．
已知两个非零向量a、b，则|a|·|b|cos〈a，b〉叫做向量a与b的数量积，记作a·b，
即a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉．
2．空间向量数量积的性质
设是非零向量，是单位向量，则
①；
②；
③或；
④；
⑤
3．空间向量的数量积满足如下运算律：
（1）（a）·b=（a·b）；
（2）a·b=b·a（交换律）；
（3）a·（b+c）=a·b+a·c（分配律）．
要点诠释：
（1）对于三个不为0的实数a、b、c，若a·b=a·c，则b=c；对于三个不为0的向量，
若不能得出，即向量不能约分．
（2）若a·b=k，不能得出（或），就是说，向量不能进行除法运算．
（3）对于三个不为0的实数，a、b、c有（ab）c=a（bc），对于三个不为0的向量a、b、c，
有，向量的数量积不满足结合律．
要点二、
空间两个向量的夹角．
定义：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量a与
b
的夹角，记作〈a，b〉，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，
那么空间两个向量a、b的夹角的余弦。
要点诠释：
1.
规定：
2.
特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；
如果，那么与垂直，记作。
利用空间向量求异面直线所成的角
异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。
在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。
要点三、空间向量的长度。
定义：
在空间两个向量的数量积中，特别地a·a=|a|·|a|cos0°=|a|2，所以向量a的模：
。
将其推广：；
。
要点四、空间向量的垂直。
若，则称a与b互相垂直，并记作a⊥b．
根据数量积的定义：⊥?·＝0
【典型例题】
类型一：空间向量的数量积
例1．已知向量，向量与的夹角都是，且，
试求：（1）；（2）．
【解析】∵向量，向量与的夹角都是，且，
∴
（1）=＝1+16+9+0-3-12=11；
（2）=＝0--8+18=
举一反三：
【变式1】设向量a与b互相垂直，向量c与它们构成的角都是60°，且|a|=5，|b|=3，|c|=8，那么（a+3c）·（3b-2a）
；（2a+b-3c）2=
.
【答案】-62，373
（a+3c）·（3b-2a）=3a·b-2a2+9c·b-6a·c
=3|a|·|b|·cos90°-2|a|2+9|c|·|b|·cos60°-6|a|·|c|·cos60°=-62.
同理可得（2a+b-3c）2=373
【变式2】已知：,
，试计算
【答案】由,
可得
∵，
∴。
例2.如右图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G
分别是AB、AD、DC的中点，求下列向量的数量积．
（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】
在空间四边形ABCD中，
（1）∵，，∴
（2）∵，，，∴
（3）∵，，又，∴
∴
（4）∵，，，
∴，∴
举一反三：
【变式1】正四面体ABCD的棱长为2，点E，F分别为棱BC，AD的中点，则的值为（
）
A.4
B.-4
C.-2
D.2
【答案】C【解析】,
=
=
=-2.
类型二：利用空间向量的数量积求两向量的夹角．
例3.
如右图所示，已知S是边长为1的正三角形所在平面外一点，且SA=SB=SC=1，M、N分别是AB、SC的中点，求异面直线SM与BN所成角的余弦值．
【解析】
设，，，则|a|=|b|=|c|=1，且a、b、c三个向量两两夹角均为60°，
∴．∵
．
∴，故所成角的余弦值为
举一反三：
【变式1】空间四边形OABC中，OB=OC，，则（
）
A.
B.
C.
D.0
【答案】D
由于OB=OC则
==0
【变式2】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为D1C1的中点，试求A1C1与DE所成角的余弦值.
【解析】设正方体棱长为m，=a，=b，=c，则|a|=|b|=|c|=m，a·b=b·c=c·a=0，
又∵=+=+=a+b，=+=+=c+a，
∴·=(a+b)(c+a)=a·c+b·c+a2+a·b=a2=m2.
又∵||=m,||=m，∴cos<,>===
即A1C1与DE所成角的余弦值为.
类型三：利用空间向量的数量积求线段的长度。
例4、如图，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点.
（1）求证：MN⊥AB，MN⊥CD；
（2）求MN的长；
【解析】（1）证明
设=p,
=q，=r.
由题意可知：|p|=|q|=|r|=a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.
=-=（+）-=（q+r-p），
∴·=（q+r-p）·p=（q·p+r·p-p2）=（a2·cos60°+a2·cos60°-a2）=0.
∴MN⊥AB,同理可证MN⊥CD.
（2）解
由（1）可知=（q+r-p）∴||2=2=（q+r-p）2
=［q2+r2+p2+2（q·r-p·q-r·p）］=[a2+a2+a2+2（--）]=×2a2=
∴||=a,∴MN的长为a.
举一反三：
【变式1】已知向量、、两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则等于（
）
A．
B．5
C．6
D．
【答案】A
∴
【变式2】设，，，且，，，
则向量的模是________。
【答案】
∵
，
∴
例5.
如图所示，在四面体ABCD中，，BC=2，AC=3，AD=4，，AD⊥BC．
求B、D间的距离．
【解析】
在△ABC中，由余弦定理得：
，∴∠ACB=60°
即，
同理可求得，
又AD⊥BC，∴
∴
=29+2×2×3cos120°+2×3×4cos120°+2×2×4cos90°=11．
∴
举一反三：
【变式1】已知在平行六面体中，AB=4，AD=3，AA＇=5，∠BAD=90°，
∠BAA＇=∠DAA＇=60°，则AC＇等于（
）
A．85
B．
C．
D．50
【答案】B；
=50+2(10+7.5)=85。
【变式2】在直二面角的棱上有两点A、B，AC和BD各在这个二面角的一个面内，并且都垂直于棱AB，设AB=8cm，AC=6cm，BD=24cm，求CD的长。
【答案】如图，依题有、、两两垂直，
∴，，
∴
∴。
类型四：利用空间向量的数量积证垂直．
例6.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、CD的中点.
（1）求证：MN为AB和CD的公垂线；
（2）求MN的长；
（3）求异面直线AN与MC所成角的余弦值。
【答案】如图，设，，
由题意，可知，且、、三向量两两夹角均为60°
（1）证明：，
∴
∴MN⊥AB，同理可证MN⊥CD，∴MN为AB与CD的公垂线
（2）由（1）可知，
∴
∴,∴MN的长度为
（3）设向量与的夹角为，∵，，
∴
又∵，∴
∴，∴向量与的夹角余弦值为，从而异面直线AN、MC所成角的余弦值为
举一反三：
【变式1】在棱长为1的正方体中，分别是中点，在棱上，，为的中点，
⑴
求证：；
⑵
求所成角的余弦；
⑶
求的长
【解析】设，则，
⑴
∵，
∴
∴
（2），
，
∴
，
∴，，
,
（3）∵
∴
∴的长为
【变式2】已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC.M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点；求证：OG⊥BC.
【解析】
连ON由线段中点公式得：
又,
所以)
=().
因为.
且，∠AOB=∠AOC.
所以=0,即OG⊥BC.
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精品试卷·第
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（人教A2019版）高中数学选择性必修第一册教学设计1.1
空间向量及其运算
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节课主要学习空间向量及其运算。
平面向量是重要的数学概念，它是链接代数与几何的桥梁。将平面向量拓展到空间，进一步提升了向量的应用。本节是在学习了简单的立体几何与平面向量及其运算的基础上进行教学的。通过本节课的学习，既可以对向量的知识进一步巩固和深化，又可以为后面解决立体几何问题打下基础，所以学好这节内容是尤为重要的。
课程目标
学科素养
A.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念；B.掌握空间向量的运算；加减、数乘、数量积；C.能运用向量运算判断向量的共线与垂直.
1.逻辑推理：运用向量运算判断共线与垂直；2..直观想象：向量运算的几何意义；3.数学运算：向量的加减、数乘与数量积运算及其运算律；
1.教学重点：理解空间向量的概念
2.教学难点：掌握空间向量的运算及其应用
多媒体
教学过程
教学设计意图核心素养目标
一、情境导学章前图展示的是一个做滑翔运动员的场景，可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向大小各异的力，例如绳索的拉力，风力，重力等，显然这些力不在同一个平内，联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动员呢，下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和表示开始。二、探究新知
知识点一 空间向量的概念思考1. 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.答案 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.(1)在空间，把具有_____和_____的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_____或___.空间向量用有向线段表示，有向线段的_____表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为__________.方向；大小；长度；模；长度；|a|或||
(2)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫_______，记为0单位向量______的向量叫单位向量相反向量与向量a长度_____而方向_____的向量，称为a的相反向量，记为－a相等向量方向_____且模_____的向量称为相等向量，_____且_____的有向线段表示同一向量或相等向量零向量；模为1；相等；相反；相同；相等；同向；等长知识点二 空间向量的加减运算及运算律思考2. 下面给出了两个空间向量a、b，作出b＋a，b－a.答案 如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面α内，以任意点O为起点作＝a，＝b，则＝＋＝a＋b，＝－＝b－a.
(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.＝＋＝a＋b＝－＝a－b＝＋＝＋＝a＋b(2)空间向量加法交换律a＋b＝b＋a空间向量加法结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)知识点三 空间向量的数乘运算思考3. 实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？答案 λ＞0时，λa和a方向相同；λ＜0时，λa和a方向相反；λa的长度是a的长度的|λ|倍.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，②结合律：λ(μa)＝(λμ)a.
(1)实数与向量的积与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：①|λa|＝____.②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向
；当λ＝0时，λa＝0.(2)空间向量数乘运算满足以下运算律①λ(μa)＝______；
②λ(a＋b)＝________；③(λ1＋λ2)a＝_________(拓展).相反；|λ||a|；(λμ)a；λa＋λb；λ1a＋λ2a知识点四 共线向量与共面向量思考4. 回顾平面向量中关于向量共线知识，给出空间中共线向量的定义.答案 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.平行或重合；a＝λb；方向向量；＝＋ta；定义平行于同一个平面的向量三个向量共面的充要条件向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x，y)使__________点P位于平面ABC内的充要条件存在有序实数对(x，y)，使＝___________对空间任一点O，有＝＋__________惟一；p＝xa＋yb；x＋y；x＋y做一做1.如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.(1)′－；
(2)＋＋′.解（1） －＝－＝＋＝.（2） ＋＋＝(＋)＋＝＋＝.向量、如图所示.例1.已知平行四边形ABCD从平面AC外一点O引向量．＝k，＝k，＝k，＝k．求证：四点E，F，G，H共面【分析】（1）可画出图形，根据便可得到，从而得出EF∥AB，同理HG∥DC，且有EF＝HG，这便可判断四边形EFGH为平行四边形，从而得出四点E，F，G，H共面；解：（1）证明：如图，∵；∴；EF∥AB，且EF＝|k|AB；同理HG∥DC，且HG＝|k|DC，AB＝DC；∴EF∥HG，且EF＝HG；∴四边形EFGH为平行四边形；∴四点E，F，G，H共面；知识点五 空间向量数量积的概念思考 如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量与的数量积？并总结求两个向量数量积的方法.解 ∵＝－，∴·＝·－·＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉＝8×4×cos
135°－8×6×cos
120°＝24－16.求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计算.(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝______交换律a·b＝_____分配律a·(b＋c)＝_________a·b＋a·c；λ(a·b)；b·a(3)空间向量的夹角①定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则______叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉.②范围：〈a，b〉∈_______.特别地：当〈a，b〉＝___时，a⊥b.∠AOB；[0，π]；两个向量数量积的性质①若a，b是非零向量，则a⊥b?_______②若a与b同向，则a·b＝______；若反向，则a·b＝________.特别地，a·a＝____或|a|＝③若θ为a，b的夹角，则cos
θ＝_______④|a·b|≤|a|·|b|；；a·b＝0；|a|·|b|；－|a|·|b|；|a|2例2．已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，（1）求AC′的长；（如图所示）（2）求与的夹角的余弦值．【分析】（1）可得＝＝，由数量积的运算可得，开方可得；（2）由（1）可知，又可求和，代入夹角公式可得．解：（1）可得＝＝，＝＝+2（）＝42+32+52+2（4×3×0+4×）＝85故AC′的长等于＝（2）由（1）可知＝，＝故＝（）?（）＝＝＝又＝＝＝＝5故与的夹角的余弦值＝＝例3．已知：m，n是平面α内的两条相交直线，直线l与α的交点为B，且l⊥m，l⊥n．求证：l⊥α解：设直线m的方向向量为，直线n的方向向量为，直线l的方向向量为，∵m，n是平面α内的两条相交直线∴与是平面α内的两个不共线向量，设平面α内的任一向量为，由平面向量基本定理，存在唯一实数λ，μ，使＝λ+μ又∵l⊥m，l⊥n，∴＝0，＝0∴?＝＝λ+μ＝0∴∴直线l垂直于平面α内的任意直线，由线面垂直的定义得：l⊥α
创设问题情境，引导学生通过平面向量知识类比学习空间向量由回顾知识出发，提出问题，让学生感受到平面向量与空间向量的联系。即空间向量是平面向量向空间的拓展，处理空间向量问题要转化为平面向量解决。让学生巩固空间向量加减法及其运算律的同时让学生感受空间向量和立体图形间的联系，体现空间向平面的转化思想。通过具体问题，让学生感受空间向量在解决空间几何中的应用。发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。通过类比平面向量数量积的运算让学生掌握空间向量数量积的运算，并能解决简单问题，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。通过典例解析，进一步让学生体会空间向量在解决立体几何中的应用，提升推理论证能力，提高学生的数学运算及逻辑推理的核心素养。
三、达标检测1.下列命题中，假命题是( )A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C.只有零向量的模等于0D.共线的单位向量都相等答案：D解析 容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量.2.在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc.其中正确命题的个数为( )A.0
B.1
C.2
D.3答案A解析 根据空间向量的基本概念知四个命题都不对.3.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( )A.
a＝b
B.
a＋b为实数0
C.
a与b方向相同
D.
|a|＝3答案D解析 向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反.故D正确.4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知下列各式：①(＋)＋1；②(1＋1)＋1；③(＋1)＋B1C1；④(1＋1)＋1.其中运算的结果为1的有___个.答案 4
解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：①(＋)＋1＝＋1＝1；②(1＋1)＋1＝1＋1＝1；③(＋1)＋1＝1＋1＝1；④(1＋1)＋1＝1＋1＝1.所以4个式子的运算结果都是1.5.设e1，e2是平面内不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则k＝____.答案－8解析 ＝－＝e1－4e2，＝2e1＋ke2，又A、B、D三点共线，由共线向量定理得＝λ，∴＝.∴k＝－8.6.已知a、b是异面直线，且a⊥b，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为___.答案
6解析 由a⊥b，得a·b＝0，∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.7.BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，?ABB1A1、?BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.解 如图所示.∵1＝＋1，＝＋，∴1·＝(＋1)·(＋)＝·＋·＋1·＋1·.因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴·＝0，1·＝0，1·＝0且·＝－a2.∴1·＝－a2.又1·＝|1|·||cos〈1，〉，又∵〈，〉∈[0，π]，∴〈1，〉＝120°，又∵异面直线所成的角是锐角或直角，∴异面直线BA1与AC成60°角.∴cos〈1，〉＝＝－.
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养。
四、小结1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．3．利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题．其中合理选取基底是优化运算的关键． 五、课时练
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
教学中主要突出了几个方面：一是创设问题情景，充分调动学生求知欲，并以此来激发学生的探究心理。二是运用启发式教学方法，就是把教和学的各种方法综合起来统一组织运用于教学过程，以求获得最佳效果。并且在整个教学设计尽量做到注意学生的心理特点和认知规律，触发学生的思维，使教学过程真正成为学生的学习过程，以思维教学代替单纯的记忆教学。三是注重渗透类比法、归纳法等一般的数学思想方法。让学生在探索学习知识的过程中，领会常见数学思想方法，培养学生的探索能力和创造性素质。四是注意在探究问题时留给学生充分的时间，
使数学教学成为数学活动的教学。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
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精品试卷·第
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