北师大版高中数学(必修1）2.4《二次函数性质的再研究》ppt课件

(共12张PPT)
1.方程 f(x)=0 有两正根
一、二次方程 ax2+bx+c=0(a>0) 的实根分布问题
记 f(x)=ax2+bx+c(a>0),
△=b2-4ac≥0.
x1+x2=- >0
a
b
a
c
x1x2= >0

△=b2-4ac≥0
f(0)>0.
- >0
2a
b
2.方程 f(x)=0 有两负根
△=b2-4ac≥0.
x1+x2=- <0
a
b
a
c
x1x2= >0

△=b2-4ac≥0
f(0)>0.
- <0
2a
b
4.方程 f(x)=0 的两实根都小于 k
△=b2-4ac≥0
f(k)>0.
- 2a
b
3.方程 f(x)=0 有一正根一负根
f(0)=c<0.
5.方程 f(x)=0 的两实根一个大于 k, 另一个小于 k
f(k)<0.
6.方程 f(x)=0 的两实根都大于 k

△=b2-4ac≥0
f(k)>0.
- >k
2a
b
7.方程 f(x)=0 的两实根都在区间(m, n)内

f(m)>0
△=b2-4ac≥0
m< - 2a
b
f(n)>0.
8.方程 f(x)=0 的两实根中, 有且只有一个在区间(m, n)内.
f(m)f(n)<0, 或　
f(m)=0
m< - < ,
2a
b
m+n
2
< - < n.
2a
b
m+n
2
f(n)=0
或
思考 方程的两根有且只有一个在区间[m, n]上时等价于
9.方程 f(x)=0 的两根分别在区间(m, n)和(p, q)(n
f(m)>0
f(n)<0
f(p)<0
f(q)>0.
注 涉及方程 f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分布问题, 一般情况下要从四个方面考虑:
① f(x) 图象的开口方向;
②方程 f(x)=0的判别式;
④区间端点处函数值的符号.　
③ f(x) 图象的对称轴与区间的关系;
例1．已知函数 f(x)=mx2+(m-3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数 m 的取值范围.
解题分析：函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，就是表明关于x的方程mx2+(m-3)x+1=0至少有一个正根，可借助根与系数的关系来解。
解：若m=0，则f(x)=-3x+1, 显然满足要求.
若m≠0，有两种情况：
综上可得 m∈(-∞,1]
例2.已知对于x的所有实数值，二次函数
的值都非负，求关于x的方程 的根的范围.
解题分析：由已知方程 将 x 表示为 a 的
函数，这样求方程根的问题就转化成求函数值域的问题。
解：由已知得，△≤0,即(-4a)2-4(2a+12)≤0,
原方程化为x=-a2+a+6
解：由已知得，△≤0,即(-4a)2-4(2a+12)≤0,
(2)当1 ≤a≤ 2 时，原方程化为 x=a2+3a+2
它在[1,2]上为增函数，∴6≤ x ≤12
例2.已知对于x的所有实数值，二次函数
的值都非负，求关于x的方程 的根的范围.
　例3.已知函数 f(x)=ax2+4x+b(a<0, a, b R). 设关于 x 的方程f(x)=0 的两根分别为 x1, x2, f(x)=x 的两根分别为 , . (1)若| - |=1, 求 a, b 满足的关系式; (2)若 a, b 均为负整数, 且| - |=1, 求f(x)的解析式.
a2+4ab=9(a<0, a, b R); f(x)= -x2+4x -2.
练习1.
1.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围
(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范
2.已知函数f(x)=x2-(2a-1)x+a2-2与非负轴至少有一个交点，求的取值范围．
练习2
3. 若不等式(a－2) x2+2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是( )
A(－∞,2] B[－2,2] C(－2,2] D(－∞,－2)
4 设二次函数f(x)=x2－x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m－1)的值为( )
A正数 B负数 　　C非负数 D正数、负数和零都有可能
5 二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x恒有f(2+x)=f(2－x),若f(1－2x2)