3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义 知识总结及练习训练课件（45张PPT） 人教版数学选修2-2

(共45张PPT)
3.2　复数代数形式的四则运算
3.2.1　复数代数形式的加、减运算及其几何意义
(x1+x2，y1+y2)
(x1-x2，y1-y2)
主题1　复数的加法
1.设向量
分别表示复数z1，z2，那么向量
表示的复数应该是什么？
提示：
表示的复数是z1+z2.
2.设复数z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)对应的
向量分别为
那么向量
的坐标分别是什么？
提示：
结论：
1.加法法则
设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，
则z1+z2=(____)+(____)i.
a+c
b+d
2.几何意义
复数的和z1+z2与向量
的坐标对应.
3.复数加法的运算律
设z1，z2，z3∈C，有z1+z2=_____，
(z1+z2)+z3=__________.
z2+z1
z1+(z2+z3)
【对点训练】
1.若z1=2+i，z2=3+ai(a∈R)，且z1+z2所对应的点在实轴上，则a的值为
(　　)
A.3　　　　B.2　　　　C.1　　　　D.-1
【解析】选D.z1+z2=2+i+3+ai=(2+3)+(1+a)i=
5+(1+a)i.因为z1+z2所对应的点在实轴上，所以1+a=0，所以a=-1.
2.|(3+2i)-(4-i)|等于
(　　)
A.
　　
B.
　　
C.2　
D.-1+3i
【解析】选B.|(3+2i)-(4-i)|=|-1+3i|=
主题2　复数的减法
1.规定：复数的减法是加法的逆运算，若复数
z=z1-z2，则复数z1等于什么？
提示：z1=z+z2.
2.设复数z1=a+bi(a，b∈R)，z2=c+di(c，d∈R)，z=x+yi(x，y∈R)，代入z1=z+z2，由复数相等的充要条件得x，y分别等于什么？
提示：x=a-c，y=b-d.
3.类比多项式的减法想一想复数如何相减？
提示：用文字语言描述：两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减.
用符号语言描述：z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R，
则(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
用几何语言描述：设
分别与复数a+bi，c+di
对应，则
=(a，b)，
=(c，d)，由平面向量的
坐标运算，得
=(a-c，b-d).这说明两个向
量
与
的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.
结论：
1.减法法则
设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，
则z1-z2=_____________.
(a-c)+(b-d)i
2.几何意义
复数的差z1-z2与向量
的坐标对应.
【对点训练】
1.若复数z满足z+(3-4i)=1，则z的虚部是(　　)
A.-2
B.4
C.3
D.-4
【解析】选B.由复数的加减法运算知z=-2+4i，故虚部为4.
2.在复平面内的平行四边形ABCD中，
对应的复数
是6+8i，
对应的复数是-4+6i，则
对应的复数
是
(　　)
A.2+14i　
B.1+7i
C.2-14i　
D.-1-7i
【解析】选D.依据向量的平行四边形法则可得
由
对应的复数是
6+8i，
对应的复数是-4+6i，依据复数加减法
的几何意义可得
对应的复数是-1-7i.
类型一　复数代数形式的加减运算
【典例1】(1)已知复数z=(-3-4i)+(2+i)-(1-5i)，则复数z在复平面内对应的点位于
(　　)　
　　　　　　
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)计算：
①(6-3i)-(3i+1)+(2-2i)；
②(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+
(2
017-2
018i)-(2
018-2
019i).
【解析】(1)选B.z=(-3+2-1)+(-4+1+5)i=-2+2i.
对应点为(-2，2)，在第二象限.
(2)①(6-3i)-(3i+1)+(2-2i)
=(6-1+2)+(-3-3-2)i=7-8i.
②方法一：原式=(1-2+3-4+…+2
017-2
018)
+(-2+3-4+5+…-2
018+2
019)i
=-1
009+1
009i.
方法二：(1-2i)-(2-3i)=-1+i，
(3-4i)-(4-5i)=-1+i，…，
(2
017-2
018i)-(2
018-2
019i)=-1+i，
将上列1
009个式子累加可得
1
009(-1+i)=-1
009+1
009i.
(2)分清实、虚数：算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减.
(3)学生类比，复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算.
【跟踪训练】若z+3-2i=4+i，则z等于
(　　)
A.1+i
B.1+3i
C.-1-i
D.-1-3i
【解析】选B.z=(4+i)-(3-2i)=1+3i.
类型二　复数加减运算的几何意义
【典例2】如图所示，平行四边形OABC的顶点O，
A，C分别表示0，3+2i，-2+4i.求：
(1)
表示的复数.
(2)对角线
表示的复数.
(3)对角线
表示的复数.
【解析】(1)因为
，所以
表示的复数为
-3-2i.
(2)因为
，所以
表示的复数为
(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)因为
，所以
表示的复数为
(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
【方法总结】复数与向量的对应关系的两个关注点
(1)复数z=a+bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的.
(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变.
【跟踪训练】在平行四边形ABCD中，A，B，C三个顶点所对应的复数分别为3+3i，-5i，-2+i，求第四个顶点D对应的复数.
【解析】因为
所以
所以
所以
对应的复数为3+3i-2+i+5i=1+9i.
所以第四个顶点D对应的复数为1+9i.
类型三　复数加减运算的应用
【典例3】(1)如果复数z满足|z+3i|+|z-3i|=6，
那么|z+1+i|的最小值是
(　　)
A.1
B.
C.2
D.
(2)若复数z满足|z+
+i|≤1，求|z|的最大值和
最小值.
【解题指南】(1)先由|z+3i|+|z-3i|=6确定复数z所
对应的轨迹，再依据|z+1+i|的几何意义求最小值.
(2)明确满足条件|z+
+i|≤1的复数z的几何意义
为：圆心为(-
，-1)，半径为1的圆内区域，包括
边界，|z|则表示圆面上一点到原点的距离.
【解析】(1)选A.因为|z+3i|+|z-3i|=6表示为点Z到点A(0，-3)与到点B(0，3)的距离之和为6.所以点Z的轨迹为线段AB.而|z+i+1|表示为点Z到点(-1，-1)的距离.数形结合，得最小距离为1.
(2)如图所示：
所以|z|max=2+1=3，|z|min=2-1=1.
【延伸探究】
1.若本例(2)条件改为已知|z|=1且z∈C，
求|z-2-2i|(i为虚数单位)的最小值.
【解析】因为|z|=1且z∈C，作图如图：
所以|z-2-2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面
上的点P(2，2)的距离，所以|z-2-2i|的最小值为
|OP|-1=2
-1.
2.若本例(2)中条件不变，求|z-
|2+|z-2i|2的最大值和最小值.
【解析】如图所示，在圆面上任取一点P，与复数
zA=
，zB=2i的对应点A，B相连，得向量
再以
为邻边作平行四边形.
P为圆面上任一点，zP=z，
则
(平行四边形四条边的平方和等于对角线的平方和)，
所以
而
所以|z-
|2+|z-2i|2的最大值为27+2
，
最小值为27-2
.
【方法总结】复数模的最值问题解法
(1)|z-z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式.
(2)|z-z0|=r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆.
(3)涉及复数模的最值问题，可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解.
【知识思维导图】