19.2.2一次函数与实际问题-2020-2021学年人教版八年级数学下册导学案（Word版含详解）
文档属性
| 名称 | 19.2.2一次函数与实际问题-2020-2021学年人教版八年级数学下册导学案（Word版含详解） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-31 10:54:08 | ||
图片预览
文档简介
19.2.2 一次函数
第4课时 一次函数与实际问题
学习目标：
1．巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关的实际问题.
2．有机地把各种数学模型通过函数统一起来，提高解决实际问题的能力.
3．认识数学在现实生活中的意义，提高运用数学知识解决实际问题的能力．
学习重点：学会用一次函数解决实际问题.
一、课前检测
已知直线经过点(9，0)和点(24，20)，求这条直线的函数解析式．
二、温故知新
1．一次函数的解析式的一般形式为 ．
2．画函数图象的一般步骤是 、 、 ．
3．说一说用待定系数法求一次函数解析式的步骤．
三、预习导航（预习教材第94-95页，标出你认为重要的关键词）
1．已知
(1)分别求出当x=1，x=5时y的值；
(2)y是x的函数吗？它与一次函数有何区别？
(3)若y是x的函数，你能画出它的函数图象吗？
2．自主归纳：
与上题中形式相同的函数叫做分段函数．
注意：(1)它是一个函数，不要误以为是两个函数；
(2)对于不同取值范围的自变量，它所对应的函数解析式不同；
(3)它的函数图象也是由两部分组成．
四、自学自测
某市出租车计费标准为：起步价8元(3千米及以内)，超过3千米的部分按每千米2.6元计算，设行驶的路程为x千米，应交的车费为y元．
(1)若小明乘出租车行驶了2千米，应收费______元；
若行驶5千米，应收费______元；
(2)请写出当 0＜x≤3和x＞3时y与x之间的函数解析式；
(3)若某顾客走了30千米，你能算出他应付多少元钱吗？
五、我的疑惑(反思)
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：一次函数与实际问题
问题1 温度的度量有两种：摄氏温度和华氏温度．
水的沸点温度是100℃，用华氏温度度量为212℉；水的冰点温度是0℃，用华氏温度度量为32 ℉．已知摄氏温度与华氏温度的关系近似地为一次函数关系，你能不能想出一个办法方便地把华氏温度换算成摄氏温度？
方法总结:已知两个变量是一次函数关系，直接设其解析式，然后根据题目两个已知条件，用待定系数法求解即可．
二、精讲点拨
例1 为节约用水，某市制定以下用水收费标准，每户每月用水不超过8立方米，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过8立方米时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费，现设一户每月用水x立方米，应缴水费y元．
(1)求出y关于x的函数解析式；
(2)该市一户某月若用水10立方米时，求应缴水费多少元？
(3)该市一户某月缴水费26.6元，求该户这月用水量．
方法总结:不同取值范围的自变量所对应的函数解析式不同是分段函数．利用分段函数解决实际问题时，注意自变量要与解析式对应．
三、变式训练
1．某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，油箱中的剩余油量y(L)与工作时间x(h) 之间为一次函数关系，函数图象如图所示．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)一箱油可供拖拉机工作几小时？
2. 某医药研究所开发了一种新药，在实际验药时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y(毫克)随时间x(时)的变化情况如图所示，当成年人按规定剂量服药后．
(1)服药后_____时，血液中含药量最高，达到每毫升_____毫克，接着逐步衰弱．
(2)服药5时，血液中含药量为每毫升____毫克．
(3)当x≤2时y与x之间的函数解析式是___________．
(4)当x≥2时y与x之间的函数解析式是___________．
(5)如果每毫升血液中含药量3毫克或3毫克以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间是______时．
四、课堂小结
一次函数与实际问题 1．根据实际问题直接列解析式
2．设解析式，再利用待定系数法求解析式
3．分段函数的应用
★1.一辆汽车由A地开往B地，它距离B地的路程s（km）与行驶时间t（h）的关系如图所示，如果汽车一直快速行驶，那么可以提前______小时到达B地.
★2.小明将父母给的零用钱按每月相等的数额存在储蓄盒内，准备捐给希望工程，盒内钱数y(元)与存钱月数 x(月)之间的关系如图所示，根据下图回答下列问题：
求出y关于x的函数解析式．
根据关系式计算，小明经过几个月才能存够200元？
★★3.一个试验室在0：00—2：00保持20℃的恒温，在2：00—4：00匀速升温，每小时升高5℃．写出试验室温度T(单位：℃)关于时间t(单位：h)的函数解析式，并画出函数图象．
★★★4．近几年来，由于经济和社会发展迅速，用电量越来越多．为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量x(度)与应付电费y(元)的关系如图所示．
（1）请你根据图象所描述的信息，分别求出当0≤x≤50 和x>50时，y与x的函数解析式；
（2）根据你的分析：当每月用电量不超过50度时，收费标准是多少？当每月用电量超过50度时，收费标准又是多少？
我的反思(收获，不足)
分层作业
必做(教材 智慧学习 配套) 选做
参考答案：
课前检测
试题分析：把点（9，0）和点（24，20）代入一次函数的解析式，列出关于k和b的方程组，求出未知数便可求出其解析式．
详解：根据题意，得
，解得.
∴这条直线的解析式为y＝x﹣12．
自学自测
试题分析：（1）根据行驶里程的多少进行分别计算即可；（2）本题为分段函数，根据题意列出函数解析式即可；（3）某顾客走了30千米，也就是函数式里的x＝30代入求出y的值即可．
详解：（1）小明乘出租车行驶了2千米，收费应按起步价8元；
若行驶了5千米，则应收费8+（5-3）×2.6=13.2元.
（2）由题意，得
y＝，即y＝.
（3）x＝30时y＝2.6×30+0.2＝78.2（元）
乘坐出租车行驶30千米应付78.2元.
问题1
试题分析：用C和F分别表示摄氏温度和华氏温度，由于摄氏温度与华氏温度的关系近似地为一次函数关系，因此可设C=kF+b，根据题意目中的数据可以求得C与F的函数关系式．
详解：用C和F分别表示摄氏温度和华氏温度，设C=kF+b，由题意得
，解得，
即C与F的函数关系式是C＝．
精讲点拨
例1 试题分析：（1）当这个月用水量不超过8m3时，本月水费按每立方米收费1.00元，再加上每立方米0.3元的城市污水处理费计算；当这个月用水量超过8m3时，本月水费分两部分计算：8×（1+0.3）+超过8 m3的部分的收费；
（2）将x=10代入解析式即可求得所需的费用；
（3）设这个月用水为xm3，将y=26.6代入，列方程求解．
详解：（1）当x不超过8m3时，这个月水费为：（1+0.3）x＝1.3x元；当x超过8m3时，这个月水费为：8×（1+0.3）+（x﹣8）（1.5+1.2）＝2.7x﹣11.2（元）.
即y=.
（2）当x=10时，y=2.7×10-11.2=15.8（元）；
即该用户某月用水10立方米时，应缴水费15.8元.
（3）设这个月所用水为xm3，
根据题意得：2.7x-11.2＝26.6
解得：x＝14．
答：当这个月所付水费为26.6元时，这个月所用水为14m3．
变式训练
1．试题分析：（1）根据题意列出一次函数解析式，将两点坐标代入解析式即可求得答案；
（2）令y＝0便可解得一箱油可供拖拉机工作8小时．
详解：（1）设解析式为y＝kx+b，将x1＝2，y1＝30和x2＝6，y2＝10代入，得
，解得.
所以解析式为y＝﹣5x+40；
（2）当y＝0时，即 ﹣5x+40＝0．
∴x＝8（小时）.
答：一箱油可供拖拉机工作8小时．
2.试题分析：（1）由函数图象可以直接得出服药后2时，血液中含药量最高为每毫升6微克，而得出结论；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，由待定系数法求出解析式，当x＝5时代入解析式求出y的值即可；
（3）当x≤2时，设y与x之间的函数关系式y＝k1x，由待定系数法求出其解即可；
（4）当x≥2时，y与x之间的函数关系式是y＝kx+b，由待定系数法求出其解即可；
（5）当y＝3时分别代入（3）、（4）的两个解析式求出x的值就可以求出结论．
详解：（1）由函数图象，得
服药后2小时，血液中含药量最高为每毫升6微克． 故答案为：2，6；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，由题意，得
，解得：，
∴y＝﹣x+8，
当x＝5时，y＝3， 故答案为：3；
（3）当x≤2时，设y与x之间的函数关系式y＝k1x，由题意，得
6＝2k1，
解得：k1＝3， ∴y＝3x．
故答案为：y＝3x；
（4）当x≥2时，y与x之间的函数关系式是y＝kx+b，由题意，得
， 解得：，
∴y＝﹣x+8，
故答案为：y＝﹣x+8；
（5）由题意，得
当y＝3时，由3x=3，得x＝1；
由-x+8=3，得x＝5.
∴有效时间范围是：5﹣1＝4小时． 故答案为：4．
星级达标：
1.试题分析：由题意可知汽车2小时形式的路程为160千米，从而可求得汽车行驶的速度，然后依据路程÷速度＝时间可求得按照原来速度形式所需要的时间，故此可求得提前的时间．
详解：320﹣160＝160千米，
160÷2＝80千米/小时．
320÷80＝4小时．
6﹣4＝2．
故答案为：2．
2.试题分析：（1）由图象可知当x＝0时，y＝40；当x＝4时，y＝120，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（2）把y＝200代入函数解析式进行计算即可得解．
详解：（1）由题意，当x＝0时，y＝40；当x＝4时，y＝120，
设y和x的关系式为y＝kx+b（k≠0），
则， 解得，
所以 y＝20x+40；
（2）存够200元时，20x+40＝200，
解得 x＝8，
即：小明经过8个月才能存够200元．
3.试题分析：根据实验室温度T＝20+每小时升高的温度×时间，即可得到函数解析式，然后根据函数图象的画法画出图象即可．
详解：实验室温度T（单位：℃）关于时间t（单位：h）的函数解析式为：
当0≤t≤2时，T＝20；
当2＜t≤4时，T＝5t+20．
函数图象如图所示：
4．试题分析：（1）0≤x≤50时，函数为正比例函数，把（50，25）代入正比例函数解析式即可．x＞50时，为一次函数解析式，把（50，25），（100，70）代入即可求得；
（2）不超过50度时，让总价25÷数量50即可，超过50度时，超过部分的付费为（70﹣25）÷（100﹣50）＝0.9．
详解：（1）①当月用电量0≤x≤50时，y是x的正比例函数，
设y＝k1x，∵当x＝50时，y＝25，
∴25＝50k1，∴ ∴；
②当月用电量x＞50时，y是x的一次函数，
设y＝k2x+b，∵当x＝50时，y＝25；当x＝100时，y＝70，
∴， ∴. ∴y＝0.9x﹣20.
（2）当每月用电量不超过50度时，收费标准是：每度0.50元；当每月用电量超过50度时，收费标准是：其中的50度每度0.5元，超过部分每度0.9元．
第4课时 一次函数与实际问题
学习目标：
1．巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关的实际问题.
2．有机地把各种数学模型通过函数统一起来，提高解决实际问题的能力.
3．认识数学在现实生活中的意义，提高运用数学知识解决实际问题的能力．
学习重点：学会用一次函数解决实际问题.
一、课前检测
已知直线经过点(9，0)和点(24，20)，求这条直线的函数解析式．
二、温故知新
1．一次函数的解析式的一般形式为 ．
2．画函数图象的一般步骤是 、 、 ．
3．说一说用待定系数法求一次函数解析式的步骤．
三、预习导航（预习教材第94-95页，标出你认为重要的关键词）
1．已知
(1)分别求出当x=1，x=5时y的值；
(2)y是x的函数吗？它与一次函数有何区别？
(3)若y是x的函数，你能画出它的函数图象吗？
2．自主归纳：
与上题中形式相同的函数叫做分段函数．
注意：(1)它是一个函数，不要误以为是两个函数；
(2)对于不同取值范围的自变量，它所对应的函数解析式不同；
(3)它的函数图象也是由两部分组成．
四、自学自测
某市出租车计费标准为：起步价8元(3千米及以内)，超过3千米的部分按每千米2.6元计算，设行驶的路程为x千米，应交的车费为y元．
(1)若小明乘出租车行驶了2千米，应收费______元；
若行驶5千米，应收费______元；
(2)请写出当 0＜x≤3和x＞3时y与x之间的函数解析式；
(3)若某顾客走了30千米，你能算出他应付多少元钱吗？
五、我的疑惑(反思)
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：一次函数与实际问题
问题1 温度的度量有两种：摄氏温度和华氏温度．
水的沸点温度是100℃，用华氏温度度量为212℉；水的冰点温度是0℃，用华氏温度度量为32 ℉．已知摄氏温度与华氏温度的关系近似地为一次函数关系，你能不能想出一个办法方便地把华氏温度换算成摄氏温度？
方法总结:已知两个变量是一次函数关系，直接设其解析式，然后根据题目两个已知条件，用待定系数法求解即可．
二、精讲点拨
例1 为节约用水，某市制定以下用水收费标准，每户每月用水不超过8立方米，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过8立方米时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费，现设一户每月用水x立方米，应缴水费y元．
(1)求出y关于x的函数解析式；
(2)该市一户某月若用水10立方米时，求应缴水费多少元？
(3)该市一户某月缴水费26.6元，求该户这月用水量．
方法总结:不同取值范围的自变量所对应的函数解析式不同是分段函数．利用分段函数解决实际问题时，注意自变量要与解析式对应．
三、变式训练
1．某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，油箱中的剩余油量y(L)与工作时间x(h) 之间为一次函数关系，函数图象如图所示．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)一箱油可供拖拉机工作几小时？
2. 某医药研究所开发了一种新药，在实际验药时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y(毫克)随时间x(时)的变化情况如图所示，当成年人按规定剂量服药后．
(1)服药后_____时，血液中含药量最高，达到每毫升_____毫克，接着逐步衰弱．
(2)服药5时，血液中含药量为每毫升____毫克．
(3)当x≤2时y与x之间的函数解析式是___________．
(4)当x≥2时y与x之间的函数解析式是___________．
(5)如果每毫升血液中含药量3毫克或3毫克以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间是______时．
四、课堂小结
一次函数与实际问题 1．根据实际问题直接列解析式
2．设解析式，再利用待定系数法求解析式
3．分段函数的应用
★1.一辆汽车由A地开往B地，它距离B地的路程s（km）与行驶时间t（h）的关系如图所示，如果汽车一直快速行驶，那么可以提前______小时到达B地.
★2.小明将父母给的零用钱按每月相等的数额存在储蓄盒内，准备捐给希望工程，盒内钱数y(元)与存钱月数 x(月)之间的关系如图所示，根据下图回答下列问题：
求出y关于x的函数解析式．
根据关系式计算，小明经过几个月才能存够200元？
★★3.一个试验室在0：00—2：00保持20℃的恒温，在2：00—4：00匀速升温，每小时升高5℃．写出试验室温度T(单位：℃)关于时间t(单位：h)的函数解析式，并画出函数图象．
★★★4．近几年来，由于经济和社会发展迅速，用电量越来越多．为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量x(度)与应付电费y(元)的关系如图所示．
（1）请你根据图象所描述的信息，分别求出当0≤x≤50 和x>50时，y与x的函数解析式；
（2）根据你的分析：当每月用电量不超过50度时，收费标准是多少？当每月用电量超过50度时，收费标准又是多少？
我的反思(收获，不足)
分层作业
必做(教材 智慧学习 配套) 选做
参考答案：
课前检测
试题分析：把点（9，0）和点（24，20）代入一次函数的解析式，列出关于k和b的方程组，求出未知数便可求出其解析式．
详解：根据题意，得
，解得.
∴这条直线的解析式为y＝x﹣12．
自学自测
试题分析：（1）根据行驶里程的多少进行分别计算即可；（2）本题为分段函数，根据题意列出函数解析式即可；（3）某顾客走了30千米，也就是函数式里的x＝30代入求出y的值即可．
详解：（1）小明乘出租车行驶了2千米，收费应按起步价8元；
若行驶了5千米，则应收费8+（5-3）×2.6=13.2元.
（2）由题意，得
y＝，即y＝.
（3）x＝30时y＝2.6×30+0.2＝78.2（元）
乘坐出租车行驶30千米应付78.2元.
问题1
试题分析：用C和F分别表示摄氏温度和华氏温度，由于摄氏温度与华氏温度的关系近似地为一次函数关系，因此可设C=kF+b，根据题意目中的数据可以求得C与F的函数关系式．
详解：用C和F分别表示摄氏温度和华氏温度，设C=kF+b，由题意得
，解得，
即C与F的函数关系式是C＝．
精讲点拨
例1 试题分析：（1）当这个月用水量不超过8m3时，本月水费按每立方米收费1.00元，再加上每立方米0.3元的城市污水处理费计算；当这个月用水量超过8m3时，本月水费分两部分计算：8×（1+0.3）+超过8 m3的部分的收费；
（2）将x=10代入解析式即可求得所需的费用；
（3）设这个月用水为xm3，将y=26.6代入，列方程求解．
详解：（1）当x不超过8m3时，这个月水费为：（1+0.3）x＝1.3x元；当x超过8m3时，这个月水费为：8×（1+0.3）+（x﹣8）（1.5+1.2）＝2.7x﹣11.2（元）.
即y=.
（2）当x=10时，y=2.7×10-11.2=15.8（元）；
即该用户某月用水10立方米时，应缴水费15.8元.
（3）设这个月所用水为xm3，
根据题意得：2.7x-11.2＝26.6
解得：x＝14．
答：当这个月所付水费为26.6元时，这个月所用水为14m3．
变式训练
1．试题分析：（1）根据题意列出一次函数解析式，将两点坐标代入解析式即可求得答案；
（2）令y＝0便可解得一箱油可供拖拉机工作8小时．
详解：（1）设解析式为y＝kx+b，将x1＝2，y1＝30和x2＝6，y2＝10代入，得
，解得.
所以解析式为y＝﹣5x+40；
（2）当y＝0时，即 ﹣5x+40＝0．
∴x＝8（小时）.
答：一箱油可供拖拉机工作8小时．
2.试题分析：（1）由函数图象可以直接得出服药后2时，血液中含药量最高为每毫升6微克，而得出结论；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，由待定系数法求出解析式，当x＝5时代入解析式求出y的值即可；
（3）当x≤2时，设y与x之间的函数关系式y＝k1x，由待定系数法求出其解即可；
（4）当x≥2时，y与x之间的函数关系式是y＝kx+b，由待定系数法求出其解即可；
（5）当y＝3时分别代入（3）、（4）的两个解析式求出x的值就可以求出结论．
详解：（1）由函数图象，得
服药后2小时，血液中含药量最高为每毫升6微克． 故答案为：2，6；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，由题意，得
，解得：，
∴y＝﹣x+8，
当x＝5时，y＝3， 故答案为：3；
（3）当x≤2时，设y与x之间的函数关系式y＝k1x，由题意，得
6＝2k1，
解得：k1＝3， ∴y＝3x．
故答案为：y＝3x；
（4）当x≥2时，y与x之间的函数关系式是y＝kx+b，由题意，得
， 解得：，
∴y＝﹣x+8，
故答案为：y＝﹣x+8；
（5）由题意，得
当y＝3时，由3x=3，得x＝1；
由-x+8=3，得x＝5.
∴有效时间范围是：5﹣1＝4小时． 故答案为：4．
星级达标：
1.试题分析：由题意可知汽车2小时形式的路程为160千米，从而可求得汽车行驶的速度，然后依据路程÷速度＝时间可求得按照原来速度形式所需要的时间，故此可求得提前的时间．
详解：320﹣160＝160千米，
160÷2＝80千米/小时．
320÷80＝4小时．
6﹣4＝2．
故答案为：2．
2.试题分析：（1）由图象可知当x＝0时，y＝40；当x＝4时，y＝120，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（2）把y＝200代入函数解析式进行计算即可得解．
详解：（1）由题意，当x＝0时，y＝40；当x＝4时，y＝120，
设y和x的关系式为y＝kx+b（k≠0），
则， 解得，
所以 y＝20x+40；
（2）存够200元时，20x+40＝200，
解得 x＝8，
即：小明经过8个月才能存够200元．
3.试题分析：根据实验室温度T＝20+每小时升高的温度×时间，即可得到函数解析式，然后根据函数图象的画法画出图象即可．
详解：实验室温度T（单位：℃）关于时间t（单位：h）的函数解析式为：
当0≤t≤2时，T＝20；
当2＜t≤4时，T＝5t+20．
函数图象如图所示：
4．试题分析：（1）0≤x≤50时，函数为正比例函数，把（50，25）代入正比例函数解析式即可．x＞50时，为一次函数解析式，把（50，25），（100，70）代入即可求得；
（2）不超过50度时，让总价25÷数量50即可，超过50度时，超过部分的付费为（70﹣25）÷（100﹣50）＝0.9．
详解：（1）①当月用电量0≤x≤50时，y是x的正比例函数，
设y＝k1x，∵当x＝50时，y＝25，
∴25＝50k1，∴ ∴；
②当月用电量x＞50时，y是x的一次函数，
设y＝k2x+b，∵当x＝50时，y＝25；当x＝100时，y＝70，
∴， ∴. ∴y＝0.9x﹣20.
（2）当每月用电量不超过50度时，收费标准是：每度0.50元；当每月用电量超过50度时，收费标准是：其中的50度每度0.5元，超过部分每度0.9元．