19.2.3一次函数与方程、不等式-2020-2021学年人教版八年级数学下册导学案（Word版含详解）

19．2．3 一次函数与方程、不等式

学习目标：
1．认识一次函数与一元(二元)一次方程(组)、一元一次不等式之间的联系．
2．会用函数观点解释方程和不等式及其解(解集)的意义．
重点：认识一次函数与一元(二元)一次方程(组)、一元一次不等式之间的联系．
一、课前检测
弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数，如图所示，请判断不挂物体时弹簧的长度是多少？
二、温故知新
1．直线y=2x+1与x轴的交点坐标为 ．
2．将二元一次方程2x-3y=6写成y关于x函数的形式为 ．
3．二元一次方程组的解是 ．
三、预习导航（预习教材第96-98页，标出你认为重要的关键词）
1．求出下列方程的解：
(1)2x+1=3；(2)2x+1=0；(3)2x+1=-1．
2．已知函数y=2x+1，分别求出当函数值y=3，0，-1时自变量x的值．
3．以上两个问题有何关联？一元一次不等式与一次函数之间是否也具有这样的关系？
4．自主归纳：
(1)求一元一次方程kx+b=0的解 求一次函数y= kx+b中，y= 时x的值．
(2)求kx+b＞0(或<0)(k≠0)的解集 求一次函数y=kx+b中，函数值y (或 )0时，x的取值范围．
四、自学自测
1．直线y=kx－1与x轴交点是(－1,0)，则方程kx－1=0的解为 ．
2．方程kx+b=0的解为x=－3,则直线y=kx+b与x轴交点坐标是 ．
五、我的疑惑(反思)
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要点探究
探究点1：一次函数与一元一次方程
问题1：由预习导航可知，一次函数与一元一次方程有何关系？
问题2：如何利用一次函数的图象解一元一次方程？
即学即练 一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？(从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答)
方法总结:从函数值看：解一元一次方程 ax +b =k 就是求当函数(y=ax +b)值为k时对应的自变量的值；从函数图象看：解一元一次方程 ax +b =k 就是求函数(y=ax +b)图象上纵坐标为k的点的横坐标.
探究点2：一次函数与一元一次不等式
问题3：一次函数与一元一次不等式有何关系？
问题4：如何利用一次函数的图象解一元一次不等式？
即学即练 画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求：
(1)不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集;
(2)当x取何值时，y<3?
方法总结:从函数值看：求kx+b＞0(或<0)(k≠0)的解集 y=kx+b的函数值大于(或小于)0时，x的取值范围；从函数图象看：求kx+b＞0(或<0)(k≠0)的解集 确定直线y=kx+b在x轴上方(或下方)的图象所对应的横坐标的范围．
二、精讲点拨
探究点3：一次函数与二元一次方程组
问题5：一次函数与二元一次方程有何关系？
问题6：如何利用一次函数的图象解二元一次方程组？
即学即练 如图，求直线l1与l2 的交点坐标．
方法总结:每个一次函数都对应一个二元一次方程，求两直线的交点坐标，即求对应的二元一次方程组的解．
三、变式训练
1．直线y=2x+20与x轴交点坐标为(____,____)，这说明方程2x＋20＝0的解是x=_____．
2．若方程kx＋2＝0的解是x=5，则直线y=kx＋2与x轴交点坐标为(____,____)．
3.如图，已知直线y=kx+b与x轴交于点(- 4,0)，则当y>0时，x的取值范围是( )
A．x>-4 B． x>0 C． x<-4 D． x<0

4．如图，一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象交于点P，则方程组 的解是多少？
四、课堂小结
从函数值看 从函数图象看
一次函数与一元一次方程 解一元一次方程 ax +b =k 就是求当函数(y=ax +b)值为k时对应的自变量的值. 解一元一次方程 ax +b =k 就是求函数(y=ax +b)图象上纵坐标为k的点的横坐标.
一次函数与一元一次不等式 求kx+b＞0(或<0)(k≠0)的解集即求函数y=kx+b的值大于(或小于)0时，x的取值范围. 求kx+b＞0(或<0)(k≠0)的解集即确定直线y=kx+b在x轴上方(或下方)的图象所对应的横坐标的范围．
一次函数与二元一次方程组 每个一次函数都对应一个二元一次方程 求两直线的交点坐标，即求对应的二元一次方程组的解．
★1.一次函数y=kx+3的图象如图所示，则方程kx+3=0的解为_________．
第1题图 第3题图 第4题图
★★2．若方程组的解为则一次函数y=2x+1与y=3x-1的图象交点坐标为________．
★3.小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象 、如图 ，他解的这个方程组是( )

★★4．一次函数y1=4x+5与y2=3x+10的图象如图所示,则4x+5>3x+10的解集是( ) A．x<5 B．x>5 C．x>-5 D．x>25
★★5.如图，直线=-x+1与x轴交于点A，与直线=-2x交于点B.
（1）求△AOB的面积；
（2）求＞时x的取值范围.
我的反思(收获，不足)

分层作业 必做(教材 智慧学习 配套) 选做
参考答案：
课前检测
试题分析：根据题目中函数图象的数据可以求得该函数的解析式，然后将x＝0代入求得的函数解析式，即可得到相应的y的值，本题得以解决．
详解：设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
， 解得.
即y与x的函数关系式为y＝0.5x+10.
当x＝0时，y＝10.
即不挂物体时弹簧的长度为10cm.
自学自测
1．试题分析：利用一次函数y＝kx﹣1与x轴的交点坐标为（－1，0），即y＝0时，x＝－1，即可得出答案．
详解：∵一次函数y＝kx﹣1与x轴的交点坐标为（－1，0），即y＝0时，x＝－1，
∴方程kx﹣1＝0的解为 x＝－1.
故答案为：x＝－1．
2．试题分析：求直线与x轴的交点坐标，需使直线y＝kx+b的y值为0，则kx+b＝0；已知此方程的解为x＝a．因此可得答案．
详解：直线y＝kx+b中，令y＝0，则有kx+b＝0，
已知方程的解为x＝－3，
∴直线y＝kx+b与x轴的交点坐标是（－3，0）．
故答案为：（－3，0）．
变式训练
1．试题分析：先将y＝0代入y＝2x+20，解方程求出x的值，得到直线y＝2x+20与x轴的交点坐标，再根据一次函数与一元一次方程的关系可得方程2x+20＝0的解．
详解：∵y＝2x+20，
∴y＝0时，2x+20＝0，解得x＝-10，
∴直线y＝2x+20与x轴的交点坐标是（-10，0），
∴方程2x+20＝0的解是x＝-10．
故答案为：（-10，0），x＝-10．
2.试题分析：本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数y＝kx+b与x轴交点横坐标的值就是一元一次方程kx+b＝0的解．
详解：∵方程kx＋2＝0的解是x=5，
∴直线y=kx＋2与x轴交点坐标为（5,0）.
故答案为（5,0）.
3.试题分析：观察函数图象可知：y随x的增大而减小，结合直线y＝kx+b与x轴交于点（﹣4，0），即可得出当y＞0时x的取值范围．
详解：观察函数图象，可知：y随x的增大而减小．
∵直线y＝kx+b与x轴交于点（﹣4，0），
∴当y＞0时，x＜﹣4．
故选：C．

4．试题分析：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
详解：由图可知：直线y＝ax+b和直线y＝cx+d的交点坐标为（2，﹣1）；
因此方程组 的解为：．
星级达标：
1.试题分析：直接根据函数图象与x轴的交点进行解答即可．
详解：∵一次函数y＝kx+3的图象与x轴的交点为（﹣3，0），
∴当kx+3＝0时，x＝﹣3．
故答案为：x＝﹣3
2.试题分析：二元一次方程组的解就是两个一次函数图象的交点．
详解：∵是方程组的解，
∴直线y＝2x+1与直线y＝3x﹣1的交点坐标是（2，5），
故答案为：（2，5）．
3.试题分析：两个一次函数的交点为两个一次函数解析式所组方程组的解．因此本题需根据图中直线所经过的点的坐标，然后联立两个函数的解析式，即可得出所求的方程组．
详解：由图可知：
直线l1过（2，﹣2），（0，2），因此直线l1的函数解析式为：y＝﹣2x+2；
直线l2过（﹣2，0），（2，﹣2），因此直线l2的函数解析式为：y＝﹣x﹣1；
因此所求的二元一次方程组为；
故选：D．
4.试题分析：结合函数图象，写出直线y＝4x+5在直线y＝3x+10上方所对应的自变量的范围即可．
详解：∵一次函数y＝3x+10与y＝4x+5的图象的交点坐标为（5，25），
∴当x＞5时，4x+5＞3x+10，
即关于x的不等式4x+5＞3x+10的解集为x＞5．
故选：B．
5.试题分析：（1）由函数的解析式可求出点A和点B的坐标，进而可求出△AOB的面积；
（2）结合函数图象即可求出y1＞y2时x的取值范围．
详解：（1）由y1＝﹣x+1，
可知当y＝0时，x＝1，
∴点A的坐标是（1，0），
∴AO＝1，
由，解得，
∴B点的坐标是（﹣1，2），
∴△AOB的面积＝ ×OA×xB＝×1×2＝1；
（2）如图，由（1）可知交点B的坐标是（﹣1，2），
由函数图象可知y1＞y2时x＞﹣1．