第18章平行四边形复习-2020-2021学年人教版八年级数学下册导学案（含详解）
文档属性
| 名称 | 第18章平行四边形复习-2020-2021学年人教版八年级数学下册导学案（含详解） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 544.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-31 15:16:56 | ||
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文档简介
-1591945-123825第十八章 平行四边形复习
学习目标：
1.通过对本章知识的回顾，对比掌握各种特殊四边形的概念、性质和判定方法.
2.归纳总结常用添加辅助线的方法.
学习重点：平行四边形与特殊平行四边形的从属关系，以及它们的概念、性质和判定方法.
自主研习
自主研习
一、课前检测
温故知新
1600200580263014478005650230
1295400549783011430005345430三、独立画出本章知识结构图
四、我的疑惑（反思）
探究点拨
探究点拨
要点回顾
二、精讲点拨
类型一、平行四边形的性质与判定
例1 如图，ABCD为平行四边形，E、F分别为AB、CD的中点.
①求证：AECF也是平行四边形；②连接BD，分别交CE、AF于G、H，求证：BG=DH；③连接CH、AG，则AGCH是平行四边形吗？说明理由.
类型二、矩形、菱形的性质与判定
例2 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点E，F分别在AB，CD上，且BE=DF=false.
求证：四边形AECF是菱形；
求线段EF的长.
类型三、正方形的性质与判定
例3 如图，四边形ABCD与CEFG都是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH=CE=BK. 求证：四边形AKFH是正方形.
三、变式训练
如图，已知在□ABCD 中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若∠EAF＝60 o，CE=3cm，FC=1cm，求AB、BC的长及ABCD面积.
课堂小结
通过这节课的学习，你学到了什么？你有什么经验与收获和大家分享？
5599430-92075星级达标
星级达标
★1.顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是_________；
顺次连接矩形各边中点所得的四边形是_________；
顺次连接菱形各边中点所得的四边形是_________；
顺次连接正方形各边中点得到四边形是_________.
3733165443865★★2.如图，在□ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF，BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF.其中正确结论的个数共有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
★★3.□ABCD的内角∠BCD的平分线CE交AD于点E，若CE分AD为3和4两部分，试求□ABCD的周长.
★★4.如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．
(1)试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．
(2)连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？
(3)在(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由．
436118013335
★★★5.如图，矩形ABCD中的长AB＝8false，宽AD＝6false，沿过BD的中点O的直线对折，使B与D点重合，求证：四边形BEDF为菱形，并求折痕EF的长．
我的反思（收获，不足）
分层作业
必做(教材 智慧学习 配套) 选做
参考答案：
例1 试题分析：（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，根据E、F分别为AB、CD的中点，证出AE＝CF，即可得出四边形AECF也是平行四边形；
（2）由AAS证明△ADH≌△CBG，即可得出结论；
（3）连接CA交BD于O，由平行四边形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，证出OH＝OG，即可得出四边形AGCH也是平行四边形．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝CB.
∵E、F分别为AB、CD的中点，
2964180233680∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形.
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADH＝∠CBG，
∵四边形AECF也是平行四边形，
∴∠CGB＝∠FHB.
∵∠FHB＝∠AHD，
∴∠AHD＝∠CGB.
在△ADH和△CBG中，
，
∴ADH≌△CBG（AAS）， ∴DH＝BG.
（3）解：四边形AGCH也是平行四边形；理由如下：
连接CA交BD于O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵DH＝BG，∴OH＝OG，
∴四边形AGCH也是平行四边形．
例2 试题分析：本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识.（1）根据矩形的性质得到CD＝AB＝4，AD＝BC＝2，CD∥AB，∠D＝∠B＝90°，求得CF＝AE＝4﹣＝，根据勾股定理得到AF＝CE＝＝，于是得到结论；
（2）过F作FH⊥AB于H，得到四边形AHFD是矩形，根据矩形的性质得到AH＝DF＝，FH＝AD＝2，根据勾股定理即可得到结论．
（1）证明：∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，
∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝2，CD∥AB，∠D＝∠B＝90°，
3564255287655∵BE＝DF＝，
∴CF＝AE＝4﹣＝，
∴AF＝CE＝＝，
∴AF＝CF＝CE＝AE＝，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：过F作FH⊥AB于H，则四边形AHFD是矩形.
∴AH＝DF＝，FH＝AD＝2，
∴EH＝﹣＝1，
在Rt△EFH中，EF＝＝＝．
例3 试题分析：利用正方形的性质结合全等三角形的判定方法得出：△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH，再利用正方形的判定方法得出答案．
证明：∵四边形ABCD和CEFG都是正方形，
3652520236220∴AB＝AD＝DC＝BC，GC＝EC＝FG＝EF.
∠ABC=∠ADC=∠ADH=90°.
∵DH＝CE＝BK，
∴HG＝EK＝BC＝AD＝AB.
在△ADH和△ABK中，
，
∴△ADH≌△ABK（SAS）.
∴∠HAD＝∠BAK．
∴∠HAK＝90°.
同理可得：△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH.
∴AH＝AK＝HF＝FK，
∴四边形AKFH是正方形．
变式训练
试题分析：根据AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝60°，可以得到∠C的度数，由四边形ABCD是平行四边形可以得到∠B、∠D的度数，然后根据30°角所对的直角边和斜边的关系，可以求得AB、BC的长，根据勾股定理求得AE的长，由平行四边形的面积公式求得四边形ABCD的面积．
详解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF＝60°，
336994588900∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
∴∠C＝360°﹣∠AEC﹣∠EAF﹣∠AFC＝120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C+∠B＝180°，
∴∠B＝∠D＝60°，∴∠BAE＝∠DAF＝30°.
∴AB＝2BE，AD=2DF.
设BE＝a，则AB＝2a，
∵CE＝3cm，FC＝1cm，
∴DF＝2a﹣1，
∵∠DAF＝30°，∴AD＝2DF＝4a﹣2.
∵AD＝BC，即4a-2=a+3. 解得a＝.
∴AB＝2a＝，BC＝a+3＝，
在Rt△ABE中，AE＝false＝AB.
∴平行四边形ABCD的面积是：BC?AE＝，
即AB的长是cm，BC的长是cm，平行四边形ABCD的面积是．
星级达标：
1.试题分析：根据三角形的中位线定理可证明：顺次连接四边形的各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形．根据上述结论进行判断即可．
详解：顺次连接四边形的各边中点所得四边形是平行四边形；
矩形的对角线相等，所以顺次连接矩形各边中点所得四边形是菱形；
菱形的对角线互相垂直，所以顺次连接菱形各边中点所得四边形的是矩形；
正方形的对角线相等且垂直，所以顺次连接正方形各边中点的四边形既是矩形又是菱形，是正方形．
故答案分别为平行四边形；菱形；矩形；正方形．
2.试题分析：本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．通过全等证明EF＝FG，进而可得BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题.
详解：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．
4497705274320∵CD＝2AD，DF＝FC，
∴CF＝CB，∴∠CFB＝∠CBF.
∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠FBH.
∴∠CBF＝∠FBH，
∴∠ABC＝2∠ABF．故①正确；
∵DE∥CG，∴∠D＝∠FCG.
∵DF＝FC，∠DFE＝∠CFG，
∴△DFE≌△CFG（ASA），∴FE＝FG.
∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°.
∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBG＝90°.
∴BF＝EF＝FG，故②正确；
∵S△DFE＝S△CFG，
∴S四边形DEBC＝S△EBG＝2S△BEF，故③正确；
∵AH＝HB，DF＝CF，AB＝CD，
∴CF＝BH，∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF＝BC， ∴四边形BCFH是菱形.
∴∠BFC＝∠BFH，
∵FE＝FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH＝∠EFH＝∠DEF，
∴∠EFC＝3∠DEF，故④正确. 故选答案D．
试题分析：本题用到了一个基本模型“平行线+角平分线=等腰三角形”，CE分AD为3和4两部分，有两种可能，AE=3，DE=4或AE=4，DE=3，再根据平行四边形的周长公式进行计算即可.
详解：在□ABCD中，AB=CD，AD=BC，AD∥BC.
∴∠BCE=∠DEC.
∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=∠DCE.
∴∠DEC=∠DCE.∴DE=CD.
∵CE分AD为3和4两部分，
∴当AE=3，DE=4时，AD=AE+DE=3+4=7，CD=DE=4.
∴□ABCD的周长=2AD+2CD=2×7+2×4=22.
当AE=4，DE=3时，AD=AE+DE=4+3=7，CD=DE=3.
∴□ABCD的周长=2AD+2CD=2×7+2×3=20.
故□ABCD的周长为22或20.
4.试题分析：①根据DE∥AC，DF∥AB可判断四边形AEDF为平行四边形；
②由四边形AEDF为菱形，能得出AD为∠BAC的平分线即可；
③由四边形AEDF为正方形，得∠BAC＝90°，即当△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可．
详解：①四边形AEDF是平行四边形.理由如下：
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形.
②当AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形.理由如下：
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.
∵DF∥AB，∴∠ADE=∠CAD.
∴∠ADE=∠EAD.∴AE=DE.
∴四边形AEDF为菱形.
③当△ABC是以BC为斜边的直角三角形，四边形AEDF为正方形，理由如下：
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，∴∠BAC＝90°.
∴菱形AEDF为正方形．
5.试题分析：本题考查了菱形的判定及勾股定理，根据平行四边形的对角线互相垂直即可判定；在求EF的长时，对角线BD是可求的，设BE的长为x，利用勾股定理求出BE，OE即可．
证明：∵纸片沿过BD的中点O的直线对折、使B与D点重合，
∴EF⊥BD，OD＝OB，∠DOE＝∠BOF，
346900545720∵AB∥CD，
∴∠ODE＝∠OBF，
∴△DOE≌△BOF，所以DE＝BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF为菱形；
连接BE，由题意可得：EF垂直平分BD，
所以BE＝DE，又OB＝BD＝＝5，
设BE＝ED＝x，则CE＝8﹣x，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得：x2＝（8﹣x）2+62，解得x＝，
又在Rt△ODE中，由勾股定理可得：OE＝＝，
而△DOE≌△BOF，所以OE＝OF，故EF＝false（cm）．
学习目标：
1.通过对本章知识的回顾，对比掌握各种特殊四边形的概念、性质和判定方法.
2.归纳总结常用添加辅助线的方法.
学习重点：平行四边形与特殊平行四边形的从属关系，以及它们的概念、性质和判定方法.
自主研习
自主研习
一、课前检测
温故知新
1600200580263014478005650230
1295400549783011430005345430三、独立画出本章知识结构图
四、我的疑惑（反思）
探究点拨
探究点拨
要点回顾
二、精讲点拨
类型一、平行四边形的性质与判定
例1 如图，ABCD为平行四边形，E、F分别为AB、CD的中点.
①求证：AECF也是平行四边形；②连接BD，分别交CE、AF于G、H，求证：BG=DH；③连接CH、AG，则AGCH是平行四边形吗？说明理由.
类型二、矩形、菱形的性质与判定
例2 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点E，F分别在AB，CD上，且BE=DF=false.
求证：四边形AECF是菱形；
求线段EF的长.
类型三、正方形的性质与判定
例3 如图，四边形ABCD与CEFG都是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH=CE=BK. 求证：四边形AKFH是正方形.
三、变式训练
如图，已知在□ABCD 中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若∠EAF＝60 o，CE=3cm，FC=1cm，求AB、BC的长及ABCD面积.
课堂小结
通过这节课的学习，你学到了什么？你有什么经验与收获和大家分享？
5599430-92075星级达标
星级达标
★1.顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是_________；
顺次连接矩形各边中点所得的四边形是_________；
顺次连接菱形各边中点所得的四边形是_________；
顺次连接正方形各边中点得到四边形是_________.
3733165443865★★2.如图，在□ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF，BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF.其中正确结论的个数共有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
★★3.□ABCD的内角∠BCD的平分线CE交AD于点E，若CE分AD为3和4两部分，试求□ABCD的周长.
★★4.如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．
(1)试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．
(2)连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？
(3)在(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由．
436118013335
★★★5.如图，矩形ABCD中的长AB＝8false，宽AD＝6false，沿过BD的中点O的直线对折，使B与D点重合，求证：四边形BEDF为菱形，并求折痕EF的长．
我的反思（收获，不足）
分层作业
必做(教材 智慧学习 配套) 选做
参考答案：
例1 试题分析：（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，根据E、F分别为AB、CD的中点，证出AE＝CF，即可得出四边形AECF也是平行四边形；
（2）由AAS证明△ADH≌△CBG，即可得出结论；
（3）连接CA交BD于O，由平行四边形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，证出OH＝OG，即可得出四边形AGCH也是平行四边形．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝CB.
∵E、F分别为AB、CD的中点，
2964180233680∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形.
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADH＝∠CBG，
∵四边形AECF也是平行四边形，
∴∠CGB＝∠FHB.
∵∠FHB＝∠AHD，
∴∠AHD＝∠CGB.
在△ADH和△CBG中，
，
∴ADH≌△CBG（AAS）， ∴DH＝BG.
（3）解：四边形AGCH也是平行四边形；理由如下：
连接CA交BD于O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵DH＝BG，∴OH＝OG，
∴四边形AGCH也是平行四边形．
例2 试题分析：本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识.（1）根据矩形的性质得到CD＝AB＝4，AD＝BC＝2，CD∥AB，∠D＝∠B＝90°，求得CF＝AE＝4﹣＝，根据勾股定理得到AF＝CE＝＝，于是得到结论；
（2）过F作FH⊥AB于H，得到四边形AHFD是矩形，根据矩形的性质得到AH＝DF＝，FH＝AD＝2，根据勾股定理即可得到结论．
（1）证明：∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，
∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝2，CD∥AB，∠D＝∠B＝90°，
3564255287655∵BE＝DF＝，
∴CF＝AE＝4﹣＝，
∴AF＝CE＝＝，
∴AF＝CF＝CE＝AE＝，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：过F作FH⊥AB于H，则四边形AHFD是矩形.
∴AH＝DF＝，FH＝AD＝2，
∴EH＝﹣＝1，
在Rt△EFH中，EF＝＝＝．
例3 试题分析：利用正方形的性质结合全等三角形的判定方法得出：△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH，再利用正方形的判定方法得出答案．
证明：∵四边形ABCD和CEFG都是正方形，
3652520236220∴AB＝AD＝DC＝BC，GC＝EC＝FG＝EF.
∠ABC=∠ADC=∠ADH=90°.
∵DH＝CE＝BK，
∴HG＝EK＝BC＝AD＝AB.
在△ADH和△ABK中，
，
∴△ADH≌△ABK（SAS）.
∴∠HAD＝∠BAK．
∴∠HAK＝90°.
同理可得：△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH.
∴AH＝AK＝HF＝FK，
∴四边形AKFH是正方形．
变式训练
试题分析：根据AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝60°，可以得到∠C的度数，由四边形ABCD是平行四边形可以得到∠B、∠D的度数，然后根据30°角所对的直角边和斜边的关系，可以求得AB、BC的长，根据勾股定理求得AE的长，由平行四边形的面积公式求得四边形ABCD的面积．
详解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF＝60°，
336994588900∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
∴∠C＝360°﹣∠AEC﹣∠EAF﹣∠AFC＝120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C+∠B＝180°，
∴∠B＝∠D＝60°，∴∠BAE＝∠DAF＝30°.
∴AB＝2BE，AD=2DF.
设BE＝a，则AB＝2a，
∵CE＝3cm，FC＝1cm，
∴DF＝2a﹣1，
∵∠DAF＝30°，∴AD＝2DF＝4a﹣2.
∵AD＝BC，即4a-2=a+3. 解得a＝.
∴AB＝2a＝，BC＝a+3＝，
在Rt△ABE中，AE＝false＝AB.
∴平行四边形ABCD的面积是：BC?AE＝，
即AB的长是cm，BC的长是cm，平行四边形ABCD的面积是．
星级达标：
1.试题分析：根据三角形的中位线定理可证明：顺次连接四边形的各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形．根据上述结论进行判断即可．
详解：顺次连接四边形的各边中点所得四边形是平行四边形；
矩形的对角线相等，所以顺次连接矩形各边中点所得四边形是菱形；
菱形的对角线互相垂直，所以顺次连接菱形各边中点所得四边形的是矩形；
正方形的对角线相等且垂直，所以顺次连接正方形各边中点的四边形既是矩形又是菱形，是正方形．
故答案分别为平行四边形；菱形；矩形；正方形．
2.试题分析：本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．通过全等证明EF＝FG，进而可得BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题.
详解：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．
4497705274320∵CD＝2AD，DF＝FC，
∴CF＝CB，∴∠CFB＝∠CBF.
∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠FBH.
∴∠CBF＝∠FBH，
∴∠ABC＝2∠ABF．故①正确；
∵DE∥CG，∴∠D＝∠FCG.
∵DF＝FC，∠DFE＝∠CFG，
∴△DFE≌△CFG（ASA），∴FE＝FG.
∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°.
∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBG＝90°.
∴BF＝EF＝FG，故②正确；
∵S△DFE＝S△CFG，
∴S四边形DEBC＝S△EBG＝2S△BEF，故③正确；
∵AH＝HB，DF＝CF，AB＝CD，
∴CF＝BH，∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF＝BC， ∴四边形BCFH是菱形.
∴∠BFC＝∠BFH，
∵FE＝FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH＝∠EFH＝∠DEF，
∴∠EFC＝3∠DEF，故④正确. 故选答案D．
试题分析：本题用到了一个基本模型“平行线+角平分线=等腰三角形”，CE分AD为3和4两部分，有两种可能，AE=3，DE=4或AE=4，DE=3，再根据平行四边形的周长公式进行计算即可.
详解：在□ABCD中，AB=CD，AD=BC，AD∥BC.
∴∠BCE=∠DEC.
∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=∠DCE.
∴∠DEC=∠DCE.∴DE=CD.
∵CE分AD为3和4两部分，
∴当AE=3，DE=4时，AD=AE+DE=3+4=7，CD=DE=4.
∴□ABCD的周长=2AD+2CD=2×7+2×4=22.
当AE=4，DE=3时，AD=AE+DE=4+3=7，CD=DE=3.
∴□ABCD的周长=2AD+2CD=2×7+2×3=20.
故□ABCD的周长为22或20.
4.试题分析：①根据DE∥AC，DF∥AB可判断四边形AEDF为平行四边形；
②由四边形AEDF为菱形，能得出AD为∠BAC的平分线即可；
③由四边形AEDF为正方形，得∠BAC＝90°，即当△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可．
详解：①四边形AEDF是平行四边形.理由如下：
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形.
②当AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形.理由如下：
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.
∵DF∥AB，∴∠ADE=∠CAD.
∴∠ADE=∠EAD.∴AE=DE.
∴四边形AEDF为菱形.
③当△ABC是以BC为斜边的直角三角形，四边形AEDF为正方形，理由如下：
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，∴∠BAC＝90°.
∴菱形AEDF为正方形．
5.试题分析：本题考查了菱形的判定及勾股定理，根据平行四边形的对角线互相垂直即可判定；在求EF的长时，对角线BD是可求的，设BE的长为x，利用勾股定理求出BE，OE即可．
证明：∵纸片沿过BD的中点O的直线对折、使B与D点重合，
∴EF⊥BD，OD＝OB，∠DOE＝∠BOF，
346900545720∵AB∥CD，
∴∠ODE＝∠OBF，
∴△DOE≌△BOF，所以DE＝BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF为菱形；
连接BE，由题意可得：EF垂直平分BD，
所以BE＝DE，又OB＝BD＝＝5，
设BE＝ED＝x，则CE＝8﹣x，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得：x2＝（8﹣x）2+62，解得x＝，
又在Rt△ODE中，由勾股定理可得：OE＝＝，
而△DOE≌△BOF，所以OE＝OF，故EF＝false（cm）．