19.2.1正比例函数的图象和性质-2020-2021学年人教版八年级数学下册导学案（含详解）
文档属性
| 名称 | 19.2.1正比例函数的图象和性质-2020-2021学年人教版八年级数学下册导学案（含详解） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-31 15:20:58 | ||
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文档简介
19.2.1 正比例函数
第2课时 正比例函数的图象和性质
学习目标：
1．知道正比例函数的图象的特点，会利用两点(法)画正比例函数的图象．
2．熟记正比例函数的性质．
3．能结合正比例函数的图象和性质解答有关问题．
学习重点：正比例函数的图象和性质及其应用．
一、课前检测
若y与x-1成正比例，x=8时，y=6.写出x与y之间的函数关系式，并分别求出x=4和x=-3时y的值.
二、温故知新
1．已知正比例函数y=3x，当x=0时，y= ；当x=1时，y= ．
2．画函数图象的步骤有： 、 、 ．
三、预习导航（预习教材第87-89页，标出你认为重要的关键词）
1．画出下列正比例函数的图象：
(1)y=2x，； (2)y=-1.5x，y=-4x．
2．函数y=2x，的图象的共同特点是________________________________；
函数y=-1.5x，y=-4x的图象的共同特点是________________________________．
3．自主归纳：
(1)函数y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过 的 ；
(2)k＞0时，函数y=kx (k是常数，k≠0)的图象经过第 象限；
k<0时，函数y=kx (k是常数，k≠0)的图象经过第 象限；
(3)k＞0时，函数值y随自变量x 的增大而 ；
k<0时，函数值y随自变量x 的增大而 ．
四、自学自测
1．函数y=－3x的图象是经过点(0，__)和(1，___)的一条______，图象经过第_____、____象限，从左到右呈_____趋势，即y随x的增大而______．
2．在平面直角坐标系中，正比例函数y =kx(k＜0)的图象的大致位置可能是( )．
五、我的疑惑(反思)
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：正比例函数的图象
问题1：由预习导航可知，正比例函数的图象是什么样子的？
这样画正比例函数的图象时只需要确定几个点即可？
即学即练：1.用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
； (2)
方法总结:画正比例函数图象时我们只需描点(0，0)和点 (1，k)，连线即可．
探究点2：正比例函数的性质
由预习导航可知，我们是从______、_______、________三个方面来研究正比例函数的性质的，具体来说是：
1.函数y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过 的 ；
2.k＞0时，函数y=kx (k是常数，k≠0)的图象经过第 象限，函数值y随自变量x 的增大而 ；
3.k<0时，函数y=kx (k是常数，k≠0)的图象经过第 象限，函数值y随自变量x 的增大而 ．
即学即练：
2.在函数y=x，y=3x， 和 中，随着x的增大，y的值分别如何变化?
二、精讲点拨
例1 已知正比例函数y=(k+1)x．
(1)若函数图象经过第一、三象限，求k的取值范围；
(2)若函数图象经过点(2，4)，则k的值是多少？
例2 已知正比例函数y=mx的图象经过点(m，4)，且y的值随着x值的增大而减小，求m的值．
方法总结：
三、变式训练
1.正比例函数y=x和y=3x中，随着x值的增大y的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？
2.正比例函数和y=-4x中，随着x值的增大y的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？
3.已知正比例函数y=（2m+1），y随x的增大而增大，求这个正比例函数解析式.
四、课堂小结
正比例函数y=kx(k≠0)
图象 正比例函数的图象是一条过原点的直线．
k>0 k<0
图象是自左向右上升的，经过第一、三象限 图象是自左向右下降的，经过第二、四象限
|k|越大，图象越陡(即越靠近y轴)
性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
★1.下列图象哪个可能是函数y=-x的图象( )
★2．对于正比例函数y =(k-2)x， y 随x 的增大而增大，则k的取值范围 ( )
A．k＜2 B．k≤2 C．k＞2 D．k≥2
★3．已知正比例函数y=(2m+4)x
(1)当m_______，函数图象经过第一、三象限；
(2)当m_______，y 随x 的增大而减小；
(3)当m_______，函数图象经过点(2，10)．
★4．已知正比例函数y=kx(k<0)的图象上有两点(-3，y1)，(1，y2)，则y1 y2．
★★5．如图分别是函数，，，的图象．
(1)k1 k2，k3 k4(填“>”或“<”或“=”)；
(2)用不等号将k1， k2， k3， k4及0依次连接起来．
★★★6.如图，点B,C分别在直线y=2x和直线y=kx上，点A，D分别是x轴上的两点，已知四边形ABCD是正方形，求k的值.
我的反思(收获，不足)
_________________________________________________________________________
分层作业
必做(教材 智慧学习 配套) 选做
参考答案：
课前检测
试题分析：根据正比例函数定义，设y＝k（x﹣1），把x＝8，y＝6代入求出k的值，从而得到x与y之间的函数关系式，然后分别计算出x＝4和x＝﹣3所对应的y的值．
详解：设y＝k（x﹣1），
把x＝8，y＝6代入得k×（8﹣1）＝6，解得k＝，
所以y＝（x﹣1）＝x﹣，
所以x＝y+1，
当x＝4时，y＝×4﹣＝；
当x＝﹣3时，y＝×（﹣3）﹣＝﹣．
即学即练：
1.试题分析：本题考查了正比例函数图象的画法．根据“两点确定一条直线”来作图即可．
（1）该函数图象是经过第一、三象限，且过原点的一条直线；
（2）该函数图象是经过第二、四象限，且过原点的一条直线．
详解：（1）该函数是正比例函数，函数图象是过原点的一条直线．
当x＝0时，y＝0； 当x＝2时，y＝3，
则该直线经过点（0，0），（2，3）．
其图象如图所示；
（2）该函数是正比例函数，函数图象是过原点的一条直线．
当x＝0时，y＝0； 当x＝1时，y＝﹣3，
则该直线经过点（0，0），（1，﹣3）．
其图象如图所示．
2.试题分析：本题考查了正比例函数的增减性，在y=kx （k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小.据此可以判断.
详解：
在函数y=x中，比例系数k=1＞0,随着x的增大，y的值也增大；
在函数y=3x中，比例系数k=3＞0,随着x的增大，y的值也增大；
在函数中，比例系数k=＜0,随着x的增大，y的值减小；
在函数y=-4x中，比例系数k=-4＜0,随着x的增大，y的值减小.
精讲点拨
例1 试题分析：（1）根据正比例函数的图象经过第一、三象限列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可；（2）由函数图象经过点(2，4)，将（2,4）代入y=(k+1)x，解之可得.
详解：（1）∵比例函数y＝（k+1）x的图象经过第一、三象限，
∴k+1＞0，解得k＞﹣1．
（2） ∵函数图象经过点(2，4)，
将（2,4）代入y=(k+1)x，得
4=2（k+1），解得k=1.
例2 试题分析：将坐标(m，4)代入解析式，可求得m＝±2，且y的值随x值的增大而减小，则m＝﹣2.
详解∵正比例函数y＝mx的图象经过点A（m，4），
∴4＝m2． 解得m＝±2.
∵y的值随x值的增大而减小
∴m＝﹣2.
故答案为﹣2.
变式训练
1.试题分析：由题意知y=x和y=3x都是y随x的增大而增大，其中y=3x增加的更快些.
详解：y=3x增加的更快些.理由如下：
当x=a时，y=x=a，y=3x=3a；
现在自变量都增加了一个常数b（b＞0），则
y=x=a+b，y=3x=3（a+b）=3a+3b.
与原函数值比较，y=x增加了b；y=3x增加了3b.
所以y=3x增加的更快些.
2.试题分析：由题意知和y=-4x都是y随x的增大而减小，其中y=-4x减小的更快些.
详解：y=-4x减小的更快些.理由如下：
当x=a时，=a，y=-4x=-4a；
现在自变量都增加了一个常数b（b＞0），则
=ab，y=-4x=-4（a+b）=-4a-4b.
与原函数值比较，y=x减小了b；y=-4x减小了4b.
所以y=-4x减小的更快些.
3.试题分析：根据正比例函数的自变量的指数为1且比例系数不为零以及增减性即可求得m的值，代入解析式即可.
详解：∵正比例函数y＝（2m+1）中，y随x的增大而增大，
∴， 解得：m＝1，
∴正比例函数为y＝3x.
星级达标：
试题分析：在正比例函数y=kx中，当k＜0时，图象位于第二、四象限，据此可以做出判断.
详解：因为k=-1＜0，所以y=-x的图象位于二、四象限，故选答案B.
2．试题分析：在正比例函数y＝ax中，当a＜0时，y随x的增大而减小，据此判断即可．
详解：∵正比例函数y＝（k﹣2）x中，y随x的增大而减小
∴k﹣2＜0，解得k＜2
故选答案A.
3．试题分析：（1）根据函数图象经过一、三象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可；（2）根据y随x的增大而减小列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可；
（3）直接把点（2，10）代入正比例函数y＝（2m+4）x，求出m的值即可．
详解：（1）∵函数图象经过一、三象限，
∴2m+4＞0，解得m＞﹣2；
（2）∵y随x的增大而减小，
∴2m+4＜0，解得m＜﹣2；
（3）∵点（2，10）在该函数图象上，
∴（2m+4）×2＝10，解得m＝．
4．试题分析：先根据题意判断出一次函数的增减性，再根据-3＜1即可得出结论．
详解：∵一次函数y＝kx中，k＜0，
∴函数图象经过二、四象限，且y随x的增大而减小，
∵-3＜1， ∴y1＞y2． 故填“＞”.
5．试题分析：对于，，，，我们可以令x=1，分别求出y的值，然后进行比较即可.
详解：（1）对于函数，令x=1则y=k1，对应点为（1，k1）；
对于函数，令x=1则y=k2，对应点为（1，k2）；
对于函数，令x=1则y=k3，对应点为（1，k3）；
对于函数，令x=1则y=k4，对应点为（1，k4），如图所示：
由图可知k1＜k2＜0＜k3＜k4 ，
即 k1＜k2，k3＜k4.. 故答案是：＜，＜；
(2)由（1）可知k1＜k2＜0＜k3＜k4 ．
6.试题分析：设正方形的边长为a，根据正方形的性质分别表示出B，C两点的坐标，再将C的坐标代入函数解析式中从而可求得k的值．
详解：设正方形的边长为a，则B的纵坐标是a，
把y=a代入直线y＝2x的解析式，得x=.
则点B的坐标为（，a），点C的坐标为（+a，a），
把点C的坐标代入y＝kx中得，a＝k（+a），
解得k＝．
第2课时 正比例函数的图象和性质
学习目标：
1．知道正比例函数的图象的特点，会利用两点(法)画正比例函数的图象．
2．熟记正比例函数的性质．
3．能结合正比例函数的图象和性质解答有关问题．
学习重点：正比例函数的图象和性质及其应用．
一、课前检测
若y与x-1成正比例，x=8时，y=6.写出x与y之间的函数关系式，并分别求出x=4和x=-3时y的值.
二、温故知新
1．已知正比例函数y=3x，当x=0时，y= ；当x=1时，y= ．
2．画函数图象的步骤有： 、 、 ．
三、预习导航（预习教材第87-89页，标出你认为重要的关键词）
1．画出下列正比例函数的图象：
(1)y=2x，； (2)y=-1.5x，y=-4x．
2．函数y=2x，的图象的共同特点是________________________________；
函数y=-1.5x，y=-4x的图象的共同特点是________________________________．
3．自主归纳：
(1)函数y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过 的 ；
(2)k＞0时，函数y=kx (k是常数，k≠0)的图象经过第 象限；
k<0时，函数y=kx (k是常数，k≠0)的图象经过第 象限；
(3)k＞0时，函数值y随自变量x 的增大而 ；
k<0时，函数值y随自变量x 的增大而 ．
四、自学自测
1．函数y=－3x的图象是经过点(0，__)和(1，___)的一条______，图象经过第_____、____象限，从左到右呈_____趋势，即y随x的增大而______．
2．在平面直角坐标系中，正比例函数y =kx(k＜0)的图象的大致位置可能是( )．
五、我的疑惑(反思)
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：正比例函数的图象
问题1：由预习导航可知，正比例函数的图象是什么样子的？
这样画正比例函数的图象时只需要确定几个点即可？
即学即练：1.用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
； (2)
方法总结:画正比例函数图象时我们只需描点(0，0)和点 (1，k)，连线即可．
探究点2：正比例函数的性质
由预习导航可知，我们是从______、_______、________三个方面来研究正比例函数的性质的，具体来说是：
1.函数y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过 的 ；
2.k＞0时，函数y=kx (k是常数，k≠0)的图象经过第 象限，函数值y随自变量x 的增大而 ；
3.k<0时，函数y=kx (k是常数，k≠0)的图象经过第 象限，函数值y随自变量x 的增大而 ．
即学即练：
2.在函数y=x，y=3x， 和 中，随着x的增大，y的值分别如何变化?
二、精讲点拨
例1 已知正比例函数y=(k+1)x．
(1)若函数图象经过第一、三象限，求k的取值范围；
(2)若函数图象经过点(2，4)，则k的值是多少？
例2 已知正比例函数y=mx的图象经过点(m，4)，且y的值随着x值的增大而减小，求m的值．
方法总结：
三、变式训练
1.正比例函数y=x和y=3x中，随着x值的增大y的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？
2.正比例函数和y=-4x中，随着x值的增大y的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？
3.已知正比例函数y=（2m+1），y随x的增大而增大，求这个正比例函数解析式.
四、课堂小结
正比例函数y=kx(k≠0)
图象 正比例函数的图象是一条过原点的直线．
k>0 k<0
图象是自左向右上升的，经过第一、三象限 图象是自左向右下降的，经过第二、四象限
|k|越大，图象越陡(即越靠近y轴)
性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
★1.下列图象哪个可能是函数y=-x的图象( )
★2．对于正比例函数y =(k-2)x， y 随x 的增大而增大，则k的取值范围 ( )
A．k＜2 B．k≤2 C．k＞2 D．k≥2
★3．已知正比例函数y=(2m+4)x
(1)当m_______，函数图象经过第一、三象限；
(2)当m_______，y 随x 的增大而减小；
(3)当m_______，函数图象经过点(2，10)．
★4．已知正比例函数y=kx(k<0)的图象上有两点(-3，y1)，(1，y2)，则y1 y2．
★★5．如图分别是函数，，，的图象．
(1)k1 k2，k3 k4(填“>”或“<”或“=”)；
(2)用不等号将k1， k2， k3， k4及0依次连接起来．
★★★6.如图，点B,C分别在直线y=2x和直线y=kx上，点A，D分别是x轴上的两点，已知四边形ABCD是正方形，求k的值.
我的反思(收获，不足)
_________________________________________________________________________
分层作业
必做(教材 智慧学习 配套) 选做
参考答案：
课前检测
试题分析：根据正比例函数定义，设y＝k（x﹣1），把x＝8，y＝6代入求出k的值，从而得到x与y之间的函数关系式，然后分别计算出x＝4和x＝﹣3所对应的y的值．
详解：设y＝k（x﹣1），
把x＝8，y＝6代入得k×（8﹣1）＝6，解得k＝，
所以y＝（x﹣1）＝x﹣，
所以x＝y+1，
当x＝4时，y＝×4﹣＝；
当x＝﹣3时，y＝×（﹣3）﹣＝﹣．
即学即练：
1.试题分析：本题考查了正比例函数图象的画法．根据“两点确定一条直线”来作图即可．
（1）该函数图象是经过第一、三象限，且过原点的一条直线；
（2）该函数图象是经过第二、四象限，且过原点的一条直线．
详解：（1）该函数是正比例函数，函数图象是过原点的一条直线．
当x＝0时，y＝0； 当x＝2时，y＝3，
则该直线经过点（0，0），（2，3）．
其图象如图所示；
（2）该函数是正比例函数，函数图象是过原点的一条直线．
当x＝0时，y＝0； 当x＝1时，y＝﹣3，
则该直线经过点（0，0），（1，﹣3）．
其图象如图所示．
2.试题分析：本题考查了正比例函数的增减性，在y=kx （k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小.据此可以判断.
详解：
在函数y=x中，比例系数k=1＞0,随着x的增大，y的值也增大；
在函数y=3x中，比例系数k=3＞0,随着x的增大，y的值也增大；
在函数中，比例系数k=＜0,随着x的增大，y的值减小；
在函数y=-4x中，比例系数k=-4＜0,随着x的增大，y的值减小.
精讲点拨
例1 试题分析：（1）根据正比例函数的图象经过第一、三象限列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可；（2）由函数图象经过点(2，4)，将（2,4）代入y=(k+1)x，解之可得.
详解：（1）∵比例函数y＝（k+1）x的图象经过第一、三象限，
∴k+1＞0，解得k＞﹣1．
（2） ∵函数图象经过点(2，4)，
将（2,4）代入y=(k+1)x，得
4=2（k+1），解得k=1.
例2 试题分析：将坐标(m，4)代入解析式，可求得m＝±2，且y的值随x值的增大而减小，则m＝﹣2.
详解∵正比例函数y＝mx的图象经过点A（m，4），
∴4＝m2． 解得m＝±2.
∵y的值随x值的增大而减小
∴m＝﹣2.
故答案为﹣2.
变式训练
1.试题分析：由题意知y=x和y=3x都是y随x的增大而增大，其中y=3x增加的更快些.
详解：y=3x增加的更快些.理由如下：
当x=a时，y=x=a，y=3x=3a；
现在自变量都增加了一个常数b（b＞0），则
y=x=a+b，y=3x=3（a+b）=3a+3b.
与原函数值比较，y=x增加了b；y=3x增加了3b.
所以y=3x增加的更快些.
2.试题分析：由题意知和y=-4x都是y随x的增大而减小，其中y=-4x减小的更快些.
详解：y=-4x减小的更快些.理由如下：
当x=a时，=a，y=-4x=-4a；
现在自变量都增加了一个常数b（b＞0），则
=ab，y=-4x=-4（a+b）=-4a-4b.
与原函数值比较，y=x减小了b；y=-4x减小了4b.
所以y=-4x减小的更快些.
3.试题分析：根据正比例函数的自变量的指数为1且比例系数不为零以及增减性即可求得m的值，代入解析式即可.
详解：∵正比例函数y＝（2m+1）中，y随x的增大而增大，
∴， 解得：m＝1，
∴正比例函数为y＝3x.
星级达标：
试题分析：在正比例函数y=kx中，当k＜0时，图象位于第二、四象限，据此可以做出判断.
详解：因为k=-1＜0，所以y=-x的图象位于二、四象限，故选答案B.
2．试题分析：在正比例函数y＝ax中，当a＜0时，y随x的增大而减小，据此判断即可．
详解：∵正比例函数y＝（k﹣2）x中，y随x的增大而减小
∴k﹣2＜0，解得k＜2
故选答案A.
3．试题分析：（1）根据函数图象经过一、三象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可；（2）根据y随x的增大而减小列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可；
（3）直接把点（2，10）代入正比例函数y＝（2m+4）x，求出m的值即可．
详解：（1）∵函数图象经过一、三象限，
∴2m+4＞0，解得m＞﹣2；
（2）∵y随x的增大而减小，
∴2m+4＜0，解得m＜﹣2；
（3）∵点（2，10）在该函数图象上，
∴（2m+4）×2＝10，解得m＝．
4．试题分析：先根据题意判断出一次函数的增减性，再根据-3＜1即可得出结论．
详解：∵一次函数y＝kx中，k＜0，
∴函数图象经过二、四象限，且y随x的增大而减小，
∵-3＜1， ∴y1＞y2． 故填“＞”.
5．试题分析：对于，，，，我们可以令x=1，分别求出y的值，然后进行比较即可.
详解：（1）对于函数，令x=1则y=k1，对应点为（1，k1）；
对于函数，令x=1则y=k2，对应点为（1，k2）；
对于函数，令x=1则y=k3，对应点为（1，k3）；
对于函数，令x=1则y=k4，对应点为（1，k4），如图所示：
由图可知k1＜k2＜0＜k3＜k4 ，
即 k1＜k2，k3＜k4.. 故答案是：＜，＜；
(2)由（1）可知k1＜k2＜0＜k3＜k4 ．
6.试题分析：设正方形的边长为a，根据正方形的性质分别表示出B，C两点的坐标，再将C的坐标代入函数解析式中从而可求得k的值．
详解：设正方形的边长为a，则B的纵坐标是a，
把y=a代入直线y＝2x的解析式，得x=.
则点B的坐标为（，a），点C的坐标为（+a，a），
把点C的坐标代入y＝kx中得，a＝k（+a），
解得k＝．