人教A版高中数学必修一讲义（word解析版）

本章对初等函数主要考查函数解析式与函数图像的关系，重点考查识图、用图、画图等方面的能力。多以选择题、填空题的形式出现。函数图像是数形结合的典范，纵观近几年高考试题，函数图像的考查涉及的知识面广，形式灵活，经常会有新面孔出现，是每年的必考内容。对指对函数的考查是高考的热点，属中档题，主要考查利用指对函数的性质比较大小，求定义域、值域、最值、图像交点等性质。
教材要点
学科素养
学考
高考
考法指津
高考考向
1.整数指数幂
数学运算
水平1
水平1
1.理解方根和根式的概念，掌握根式的性质，会进行简单次方根运算。
2.熟练掌握根式与分式指数幂之间的相互转化。
3.理解有理数指数幂的意义及其运算性质。
【考查内容】根式的性质和指数幂的运算在高考中一般作为函数问题的一个工具进行考查，单独命题时可能涉及求值、化简和指数幂方程的求解。
【考查题型】选择题或填空题
【分值情况】5分
2.根式
数学运算
水平1
水平1
3.分数指数幂及幂指数
数学运算
水平1
水平1
4.有理数指数幂的运算性质
数学运算
水平1
水平2
知识点1　根式
1．次方根
(1)定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.
(2)个数：
是奇数
仅有一个值，记为
是偶数
有两个值，且互为相反数，记为
不存在
2．根式
(1)定义：式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．
(2)性质：，(其中且)．
知识点2　指数幂及其运算性质
1．分数指数幂的意义
分数指数幂
正分数指数幂
规定：
负分数指数幂
规定：
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
2．有理数指数幂的运算性质
(1)．
(2)
(3)．
3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂(，是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂
题型一　根式的运算
规律方法　根式化简与求值的思路及注意点
例1、化简下列各式．
（1）；
（2）；
（3）
解析：
（1）
（2）
（3）由题意知，即.
原式=
=
【变式训练1】　求下列各式的值。
(1)；
(2).
解析：
(1)，
当时，；
当时，.
(2)原式
.
题型二　根式与分数指数幂的互化
规律方法　根式与分数指数幂互化的规律
例2、用分数指数幂表示下列各式()：
(1)；
(2)；
(3)·；
(4).
解析：　
(1)原式
(2)原式
(3)原式.
(4)原式.
【变式训练2】　
把下列根式化成分数指数幂的形式()
(1)；
(2)；
(3).
解析：　
(1)原式
(2)原式
(3)原式
题型三　
指数幂的运算
规律方法　
例3、计算下列各式：
(1)；
(2)；
(3).
解析：
　(1)原式
.
(2)原式
.
(3)原式
.
【变式训练3】　
化简下列各式：
(1)；
(2)．
解析：
　(1)原式
.
(2)原式
.
题型四　由条件求值
规律方法　由条件求值问题的解题步骤
例4、已知，求下列各式的值：
(1)；(2).
解析：
　(1)将两边平方，得
，即.
(2)将两边平方，得
，∴.
答案
（1）7
（2）47
【变式训练4】
　设，则＝________.
解析：
　
将两边平方，得
，
即
∴
即，
∴
答案
考向一
有附加条件的求值问题
规律方法
例5、若，则的值为
。
解析：∵，
∴，
∴，
由得，
∴，
∴，
∴
答案
【变式训练5】
若是方程的两根，且，则的值为
。
解析：
∵是方程的两根，
∴
∴
∵，
∴，
∴
答案
考向二
有理数指数幂运算的综合问题
规律方法
例6、对于正整数和非零实数，若，，求的值。
解析：
∵，∴同时开次方得
∴，
同理，，
∴，
即。
又，
∴。
而为正整数且，
∴均不为1.
又，
∴
答案
【变式训练6】
已知，且，求证：
证明：
令，
∴，
又，∴，
∴
故原等式得证。
一、选择题
1．下列各式正确的是(　　)　　
　　　　　　
　　　　　
A.＝－3
B.＝a
C.＝2
D.＝2
解析：　由于＝3，＝|a|，＝－2，
故A，B，D错误，故选C.
答案
C
2.
的值为(　　)
A．－
B.
C.
D.
解析：　原式＝＝1－(－3)×＝.
答案
　D
3．下列各式运算错误的是(　　)
A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8
B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3
C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6
D．[－(a3)2·(－b2)3]3＝a18b18
解析：　对于A，(－a2b)2·(－ab2)3＝a4b2·(－a3b6)＝－a7b8，故A正确；
对于B，(－a2b3)3÷(－ab2)3＝－a6b9÷(－a3b6)＝a6－3b9－6＝a3b3，故B正确；
对于C，(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6，故C错误；对于D，易知正确，故选C.
答案
　C
4．设，则＝(　　)
A．m2－2
B．2－m2
C．m2＋2
D．m2
解析：　将平方得，
即，所以a＋a－1＝m2＋2，
即a＋＝m2＋2?＝m2＋2.
答案
　C
5.
的值是(　　)
A．1　　
　B．a
C．
D．a
解析：　原式＝
答案
D
6．化简的结果为(　　)
A．5
B.
C．－
D．－5
解析：　
答案
B
7．若xy≠0，则使＝－2xy成立的条件可能是(　　)
A．x>0，y>0
B．x>0，y<0
C．x≥0，y≥0
D．x<0，y<0
解析：　∵＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0.
又∵xy≠0，∴xy<0，故选B.
答案
　B
二、填空题
8．若x<0，则|x|－＋＝________.
解析：　由于x<0，所以|x|＝－x，＝－x，所以原式＝－x－(－x)＋1＝1.
答案
　1
9．已知，则________.
解析：　
答案
　20
10．设a2＝b4＝m(a>0，b>0)，且a＋b＝6，则m＝________.
解析：　∵a2＝b4＝m(a>0，b>0)，
∴，，a＝b2.
由a＋b＝6，得b2＋b－6＝0，
解得b＝2或b＝－3(舍去)．
∴，m＝24＝16.
答案
　16
三、解答题
11．求值：
（1）
（2）
解析：　(1)＝1＋＋＝2.
(2)＝－36＋64－＋1＝32.
答案
（1）2
（2）32
12．化简
解析：　原式
答案
13．化简求值：
(1)；
(2)；
(3)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；
(4)2÷4×3.
解析：(1)原式＝＝＋100＋－3＋＝100.
(2)原式＝
＝
＝＋10－10－20＋1
＝－.
(3)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)
＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1
＝－ac－1
＝－.
(4)原式＝2a÷(4ab)×(3b)
＝ab·3b
＝ab.
答案
（1）
（2）
（3）
一、选择题
1．化简
(a，b>0)的结果是(　　)
A.
B．ab
C.
D．a2b
解析：　原式＝
答案
　C
2．设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为(　　)
A.
B.
C．1
D.
解析：　∵x9x＝(9x)x，(x9)x＝(9x)x，
∴x9＝9x.
∴x8＝9.
∴x＝＝.
答案
B
3．
(　　)
A．
B．1－
C．3－3
D．3－3
解析：由于，，，故原式.
答案
A
4．下列命题中正确的个数为（
）
①，②，则，③，④
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①当为偶数时，，①错误；
②当时，，则，②正确；
③，③错误；
④，④错误。
答案
B
5．已知，那么等于（
）
A．
B．
C．
D．
解析：当时，，，此时；
当时，，，此时.
，
因此，.
答案
C
6．已知二次函数的图象如图所示，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
解析：因为，
由二次函数的图象可得
，即，所以。
答案
D
二、填空题
7．若，则＝________.
解析：　因为，
所以，
所以x＝－1，y＝－3，
所以.
答案
　－1
8．已知m=2，n=3，则[÷]3的值是______．
解析：m=2，n=3，
则原式==m?n-3=2×3-3=，
答案
三、解答题
9．已知.
（1）求（且）的值；
（2）求的值.
解析：（1），
；
（2）原式.
答案
（1）；（2）.
10．请解决下列问题：
（1）若，求的值；
（2）已知，求的值.
解析：（1），
所以；
（2），
，
.
答案
（1）；（2）.教材要点
学科素养
学考
高考
考法指津
高考考向
1.函数奇偶性的定义
数学抽象
水平1
水平1
1.了解函数的奇偶性的概念，会用定义判断函数的奇偶性。
2.掌握偶函数的图像关于轴对称，奇函数的图像关于原点对称的特征。
3.理解奇、偶函数的单调性，体会数形结合的思想。
【考查内容】函数奇偶性的判断，图像特征，求值及综合考查函数的单调性、奇偶性。
【考查题型】选择题、填空题和解答题
【分值情况】5--10分
2.函数奇偶性的运算性质
数学运算
水平1
水平1
3.奇、偶函数的图像特征
直观想象
水平2
水平2
4.奇、偶函数的单调性
逻辑推理
水平1
水平2
知识点　函数的奇偶性
函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点及性质
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数
关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数
关于原点对称；
若在原点有定义，则
题型一　函数奇偶性的判断
规律方法　判断函数奇偶性的两种方法：
(1)定义法：
(2)图象法：
例1、判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
解析：
（1）∵函数的定义域为，不关于原点对称，
∴该函数既不是奇函数，也不是偶函数；
（2）的定义域为R，关于原点对称。
∵
又，
∴既不等于，也不等于，
∴该函数既不是奇函数，也不是偶函数；
（3）函数的定义域为R，关于原点对称，
∵
∴该函数为奇函数；
（4）的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，
关于原点对称．
当时，，
；
当时，，
．
综上可知，对于∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有，故该函数为偶函数．
答案
（1）非奇非偶函数
（2）非奇非偶函数
（3）奇函数
（4）偶函数
【变式训练1】　判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
解析：
（1）由知
∴函数的定义域为，不关于原点对称，
故既不是奇函数，也不是偶函数；
（2）由得，即
∴函数的定义域是，关于原点对称，
又，∴既是奇函数又是偶函数；
（3）函数的定义域为，关于原点对称，
又∵
∴是偶函数；
（4）当时，，则
，
当时，，则
综上，对，
都有
∴为奇函数。
答案
（1）非奇非偶函数
（2）既奇又偶函数
（3）偶函数
（4）奇函数
题型二　奇、偶函数的图象问题
规律方法　
例2、已知奇函数的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．
(1)画出在区间[－5,0]上的图象．
(2)写出使的的取值集合．
解析：　
(1)因为函数是奇函数，所以在[－5,5]上的图象关于原点对称，
由在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．
(2)由图象知，使函数值的的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
【变式训练2】　已知偶函数的一部分图象如图，试画出该函数在轴另一侧的图象，并比较的大小．
解析：
为偶函数，其图象关于轴对称，如图，
由图象知，.
题型三　函数奇偶性的应用
规律方法　
方向1　利用奇偶性求函数值
例3-1、已知，且，则＝(　　)
A．26　
　B．18
C．10　
D．－26
解析：　
设，
则为奇函数，由题可得
，
∴，
又，
且为奇函数，∴
∴
答案　D
【变式训练3-1】
函数，已，求的值。
解析：
设，则为奇函数
∴
∵，
解得
∴
答案
27
方向2　利用奇偶性求参数值
例3-2、若函数为偶函数，
则＝（
）.
A.
-2
B.
-1
C.
1
D.
2
解析:　
∵是偶函数，∴
即，
整理得，故，解得.
答案　C
【变式训练3-2】
若函数为奇函数，
则=（
）
A.
B.
C.
D.
1
解析：
∵为奇函数，∴
∴，
整理得
∴，
解得
答案
A
方向3　利用奇偶性求函数的解析式
例3-3、已知函数是定义在R上的奇函数，
且当时，，
求函数的解析式．
解析：
设，则，
∴
又∵是奇函数，
∴
又∵是定义在R上的奇函数，
∴
综上所述，
【变式训练3-3】
已知是定义在上的偶函数。
当时，，
求函数的解析式。
解析：
当时，则
∴
又∵是定义在上的偶函数，
∴
故
综上，
题型四
函数奇偶性的部分结论以及运算性质
规律方法
例4、设函数的定义域都为R，且
是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（
）
偶
偶
奇
奇
偶
奇
偶
奇
偶
不能
确定
不能
确定
奇
偶
不能
确定
不能
确定
奇
偶
奇
奇
偶
偶
偶
偶
奇
A.
是偶函数
B.
是奇函数
C.
是奇函数
D.
是奇函数
解析：
对于A，令，则
∴是奇函数，A错；
对于B，令，则
∴是偶函数，B错；
对于C，令，则
∴是奇函数，C正确
对于D，令，则
∴是偶函数，D错。
答案
C
【变式训练4】
设函数分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（
）
A.
是偶函数
B.
是奇函数
C.
是偶函数
D.
是奇函数
解析：
对于A，令，则
∴是偶函数，A正确；
对于B，令，则
∴是偶函数，B错；
对于C，令，则
∴是非奇非偶函数，C错；
对于D，令，则
∴是非奇非偶函数，D错。
答案
A
考向一
函数的周期性与对称性
方向一
关于函数周期性的结论
规律方法
例5-1、已知函数的定义域为R。当时，；当时，；
当时，，则
A.
-2
B.
-1
C.
0
D.
2
解析：
∵当时，
∴
∴
又∵当时，
∴
∴
答案
D
【变式训练5-1】
设是定义在R上的奇函数，，
且，则
解析：
∵是定义在R上的奇函数，，
∴，且，
又∵
∴
∴，
∴
答案
-2
方向二
关于函数对称性的结论
规律方法
（1）函数图像关于直线轴对称的问题
在定义域内恒满足的条件
的图像的对称轴
直线
直线
直线
（2）函数图像关于点中心对称的问题
在定义域内恒满足的条件
的图像的对称中心
点
点
点
（3）知识拓展
在定义域内恒满足的条件
的图像的对称中心
点
点
点
例5-2、函数的定义域为R，若与
都是奇函数，则（
）
A.
是偶函数
B.
是奇函数
C.
D.
是奇函数
解析：
∵是奇函数，
∴，
∴关于中心对称，
同理，是奇函数，
∴，
∴关于中心对称，
∴∵是奇函数，
∴是奇函数。
答案
D
【变式训练5-2】
对任意实数都有，若的图像关于对称，，
则
A.
0
B.
3
C.
6
D.
-3
解析：
∵的图像关于对称，
∴
令，则
，解得，
∴，
∴
∴
∴
答案
B
方向三
求与函数关于点对称的函数的解析式
规律方法
例5-3、已知函数与的图像关于点对称，求的解析式。
解析：
设为上任一点，且
为关于点的对称点，
则解得
∵点在上，
∴，
把代入得，
整理得
答案
【变式训练5-3】
已知函数的图像与函数的图像关于点对称，
求函数的解析式。
解析：
设图像上任一点，则点P关于点的对称点在的图像上，
即，
∴
答案
方向四
利用函数的周期性求解析式
利用函数周期性求函数解析式的步骤
例5-4、已知（定义域为R）在上的解析式为，且，
求在上的解析式。
解析：
∵
∴，
当时，，
则
答案
【变式训练5-4】
已知函数的定义域为R，当时，，且对任意的，有
，求在上的解析式。
解析：
∵
令，则
当时，则
∴
答案
考向二
函数的奇偶性与单调性综合问题
规律方法
例6-1、（1）已知函数为偶函数，且在上单调递减，则的解集为（
）
A.
B.
C.
D.
（2）若是定义在上的偶函数，对任意的，有，则（
）
A.
B.
C.
D.
解析：
（1）∵函数为偶函数，
∴，
∵在上单调递减，
∴在上单调递增，
∴的解集为
（2）∵，
∴在上是减函数，
故。
又是定义在上的偶函数，
∴，
故
答案
（1）B
（2）D
例6-2、定义在上的函数满足：
①对任意，都有；
②当时，。回答下列问题：
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数在上的单调性，并说明理由；
解析：
（1）在上是奇函数。证明：
对任意，都有，
令得，
解得，
令，则，
即，
∴在上是奇函数。
（2）在上单调递减。证明：
设，则
而，则
，
当时，，
∴，即有，
∴在上单调递减。
【变式训练6】
已知定义在上的函数满足
①对任意定义域上的，
②当时，。
（1）试判断函数的奇偶性；
（2）判断函数上的单调性；
（3）求在区间上的最大值；
（4）求不等式的解集。
解析：（1）令，解得，
再令，解得，
又令，则
又函数的定义域关于原点对称，
∴函数为偶函数。
（2）任取，且，则
又当时，，∴
而
∴函数在上是增函数
（3）∵，
∴，又由（1）、（2）知函数在区间上是偶函数且在上是增数，故在区间上的最大值为
（4）∵，
∴原不等式等价于，
又函数为偶函数且在上是增函数，
∴，
即或，
解得
∴不等式的解集为
一、选择题
1．函数f(x)＝－x的图象关于(　　)　　
　　　　　　
　　　　　
A．y轴对称
B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称
D．直线y＝x对称
解析：　∵f(－x)＝－＋x＝－f(x)，
∴f(x)＝－x是奇函数，
∴f(x)的图象关于原点对称，故选C.
答案　C
2．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为(　　)
A．y＝　　　　　　　
B．y＝
C．y＝x2
D．y＝x
解析：　易判断A，C为偶函数，B，D为奇函数，
但函数y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，所以选A.
答案
A
3．若y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y＝f(x)图象上的是(　　)
A．(a，－f(a))
B．(－a，－f(a))
C．(－a，－f(－a))
D．(a，f(－a))
解析：　∵f(x)为奇函数，
∴f(－a)＝－f(a)，
∴点(－a，－f(a))在函数y＝f(x)图象上．
答案
B
4．已知f(x)是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　　)
A．f(－0.5)＜f(0)＜f(1)
B．f(－1)＜f(－0.5)＜f(0)
C．f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)
D．f(－1)＜f(0)＜f(－0.5)
解析：　∵函数f(x)为偶函数，
∴f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．
又∵f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，
∴f(0)＜f(0.5)＜f(1)，
即f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)，故选C.
答案　C
5．如果奇函数f(x)在区间[－7，－3]上是减函数且最大值为5，那么函数f(x)在区间[3,7]上是(　　)
A．增函数且最小值为－5
B．增函数且最大值为－5
C．减函数且最小值为－5
D．减函数且最大值为－5
解析：　f(x)为奇函数，∴f(x)在[3,7]上的单调性与[－7，－3]上一致，且f(7)为最小值．
又已知f(－7)＝5，∴f(7)＝－f(－7)＝－5，选C.
答案
C
6．已知函数（其中p，q为常数）满足，则的值为（
）
A．10
B．
C．
D．
解析：令，则为奇函数
.，即，
，
.
答案
C
7．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于(　　)
A．0.5
B．－0.5
C．1.5
D．－1.5
解析：　由f(x＋2)＝－f(x)，
则f(7.5)＝f(5.5＋2)＝－f(5.5)＝－f(3.5＋2)
＝f(3.5)＝f(1.5＋2)＝－f(1.5)＝－f(－0.5＋2)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.
答案　B
8．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝(　　)
A．3
B．1
C．－1
D．－3
解析：　因为f(x)为定义在R上的奇函数，
所以有f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1，
所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，
所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.
答案
D
9．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2－x，则f(1)＝(　　)
A．－　　
B．－　　
C.　　
D.
解析：　因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(1)＝－f(－1)＝－.
答案　A
10．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)＝(　　)
A．x2
B．2x2
C．2x2＋2
D．x2＋1
解析：　因为f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，①
所以f(－x)＋g(－x)＝x2－3x＋1.
又f(x)为偶函数，f(－x)＝f(x)；
g(x)为奇函数，g(－x)＝－g(x)，
所以f(x)－g(x)＝x2－3x＋1.②
联立①②可得f(x)＝x2＋1.
答案　D
二、填空题
11．函数f(x)在R上为偶函数，且x＞0时，f(x)＝＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.
解析：　∵f(x)为偶函数，x＞0时，f(x)＝＋1，
∴当x＜0时，－x＞0，
f(x)＝f(－x)＝＋1，
即x＜0时，f(x)＝＋1.
答案　＋1
12．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0)上是增函数，且f(2)＝0，
则使得f(x)＜0的x的取值范围是________．
解析：　∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，
又f(2)＝0，
∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－2)＝f(2)＝0，
∴当x＞2或x＜－2时，f(x)＜0，
如图，即f(x)＜0的解为x＞2或x＜－2，
即不等式的解集为{x|x＞2，或x＜－2}．
答案　{x|x＞2，或x＜－2}
13．已知函数y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2，且g(1)＝1，则g(－1)＝________.
解析：　由g(1)＝1，且g(x)＝f(x)＋2，
∴f(1)＝g(1)－2＝－1，
又y＝f(x)是奇函数．∴f(－1)＝－f(1)＝1，
从而g(－1)＝f(－1)＋2＝3.
答案　3
14．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝________.
解析：令x＝－1，
得f(1)＝f(－1)＋f(2)＝－f(1)＋f(2)．
故＝－＋f(2)，则f(2)＝1.
令x＝1，得f(3)＝f(1)＋f(2)＝＋1＝.
令x＝3，得f(5)＝f(3)＋f(2)＝＋1＝.
答案
三、解答题
15．已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝3.
(1)求m的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性．
解析：　(1)由题意知，f(1)＝1＋m＝3，
∴m＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝x＋，x≠0.
∵f(－x)＝(－x)＋＝＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
答案
（1）2
（2）奇函数
16．函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f()＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明：f(x)在(－1,1)上是增函数；
(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.
解析：(1)由题意知，解得
∴f(x)＝.
(2)证明：任取－10，
f(x2)－f(x1)＝－＝.
∵－1∴－10.
于是f(x2)－f(x1)>0，
∴f(x)为(－1,1)上的增函数．
(3)f(t－1)<－f(t)＝f(－t)．
∵f(x)在(－1,1)上是增函数，
∴－1答案
见解析
17．已知f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数．求证：f(x)在(－∞，0)上是减函数．
证明：设x1，x2是(－∞，0)上的任意两个值，且x1－x2>0.
∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
∴f(－x1)又f(x)是奇函数，
∴－f(x1)<－f(x2)，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(－∞，0)上是减函数．
一、选择题
1．函数的图象大致为（
）
A．B．C．
D．
解析：因为函数为奇函数，所以其图象关于原点对称，
当时，，所以函数在上单调递减，
所以排除选项B，D；
又当时，，
所以排除选项A.故选：C.
答案
C
2．已知函数是定义在的偶函数,则（
）
A．5
B．
C．0
D．2019
解析：∵f（x）＝ax2+bx+a﹣2b是定义在[a﹣3，2a]上的偶函数；
∴；∴a＝1，b＝0；
∴f（x）＝x2+2；
∴f（a）+f（b）＝f（1）+f（0）＝3+2＝5．
答案
A
3．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
解析：　∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数．
再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)|g(x)|为奇函数，故选C.
答案　C
4．定义在R上的奇函数f(x)，满足，且在(0，＋∞)上单调递减，
则xf(x)＞0的解集为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：　∵函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且，
∴，
且在区间(－∞，0)上单调递减．
∵当－＜x＜0时，f(x)＜0，此时xf(x)＞0，
当0＜x＜时，f(x)＞0，此时xf(x)＞0，
综上，xf(x)＞0的解集为
答案　B
5．已知函数若?(-a)+?(a)≤2?(1)，则实数a
的取值范围是（
）
A．[-1，0)
B．[0，1]
C．[-1,1]
D．[-2,2]
解析：若，则，，
若，则，，故函数为偶函数，
且当时，函数单调递增.
∴不等式等价于，
即，
∴，
∴。
答案
C
6．已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
解析：，为定义在上的偶函数，图象关于轴对称，
又在上是增函数，
在上是减函数，
，
，即，
对于恒成立，
在上恒成立，
，即的取值范围为。
答案
A
二、填空题
7．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，
则f(x)在R上的解析式为________．
解析：令x<0，则－x>0.
∴f(－x)＝(－x)2＋2x＝x2＋2x.
又∵f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x，
∴
答案
8．已知函数是定义在区间上的偶函数，它在区间上的图像是如图所示的一条线段，则不等式的解集为__________.
解析：由题意，函数过点，，
∴，又因为是偶函数，关于轴对称，
所以，即，又作出函数在上的图像，
当的时候，的图像恒在的上方，
当的时候，令，，
即当的时候，满足，
即.
答案
9．设函数是定义在上的偶函数，记，且函数在区间上是增函数，
不等式的解集为_____
解析：因为，且是定义在上的偶函数，
则，则函数为偶函数，，
又由为增函数且在区间上是增函数，
则，解可得：或，
即的取值范围为。
答案
三、解答题
10．设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)求实数m的取值范围．
解析：　∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)，
∴不等式f(1－m)又当x∈[0,2]时，f(x)是减函数．
∴解得－1≤m<.
故实数m的取值范围为
答案
11．已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．当x＞0时，f(x)＞0.
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)若f(1)＝，试求f(x)在区间[－2,6]上的最值．
解析：　(1)证明：令x＝0，y＝0，则f(0)＝2f(0)，
∴f(0)＝0.令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，
∴f(x)＝－f(－x)，即f(x)为奇函数．
(2)任取x1，x2∈R，且x1＜x2.
∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)．
∵当x＞0时，f(x)＞0，且x1＜x2，
∴f(x2－x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，∴f(x)为增函数，
∴当x＝－2时，函数有最小值，f(x)min＝f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝－1.
当x＝6时，函数有最大值，f(x)max＝f(6)＝6f(1)＝3.
答案
见解析
12．已知函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）．
（Ⅰ）求实数m，n的值，并用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；
（Ⅱ）设函数g（x）是定义在（﹣1，1）上的偶函数，当x∈[0，1）时，g（x）＝f（x），
求函数g（x）的解析式．
解析：（Ⅰ）因为f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，
所以f（0）＝0，即n＝0，
又因为f（），所以，解得m＝1，
所以m＝1，n＝0，经检验成立；
因为﹣1＜x1＜x2＜1，，
因为﹣1＜x1＜x2＜1，
所以x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，所以f（x1）＜f（x2）
所以f（x）在（﹣1，1）上是增函数；
（Ⅱ）因为函数g（x）是定义在（﹣1，1）上的偶函数，且当x∈[0，1）时，g（x）＝f（x），
令﹣1＜x＜0，则0＜﹣x＜1，g（﹣x）g（x），
所以．
答案
（Ⅰ）m＝1，n＝0，见解析；（Ⅱ）教材要点
学科素养
学考
高考
考法指津
高考考向
1.对数函数的概念
数学抽象
水平1
水平1
1.掌握对数函数定义域、值域的求法。
2.能根据对数函数的图像说明对数函数的性质。
3.掌握对数函数的单调性，会进行同底对数和不同底对数大小的比较。
【考查内容】对数函数分段函数求值；对数函数图像的变换；复合函数的定义域、值域、单调性、比较大小、求参数。
【考查题型】选择题、填空题
【分值情况】5--10分
2.对数函数的图像与性质
直观想象
水平1
水平2
3.指数函数与对数函数的关系
数学运算
水平1
水平1
4.对数函数图像的变换
直观想象
水平2
水平2
知识点1　对数函数的概念
一般地，把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
知识点2　对数函数的图象和性质
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
过定点
过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
函数值
的变化
当0＜x＜1时，y＜0
当x＞1时，y＞0
当0＜x＜1时，y＞0
当x＞1时，y＜0
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
知识点3　反函数
（1）对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数。
（2）①互为反函数的两个函数的图像关于直线对称；②若点在图像上，则点必在其反函数图像上，反之也成立。
（3）互为反函数的函数具有相同的单调性。
题型一　对数函数的概念及应用
规律方法　判断一个函数是对数函数的方法
例1、下列函数表达式中，是对数函数的有(　　)
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln
x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；
⑦y＝log2(x＋1)．
A．1个　　B．2个
C．3个
　
D．4个
解析：　
由于①中自变量出现在底数上，
∴①不是对数函数；
由于②中底数a∈R不能保证a>0，且a≠1，
∴②不是对数函数；
由于⑤⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，
∴⑤⑦也不是对数函数；
由于⑥中log4x的系数为2，
∴⑥也不是对数函数；
只有③④符合对数函数的定义．
答案　B　
【变式训练1】　
已知下列函数：
①；
②；
③；
④
其中是对数函数的是
解析：
对于①，真数是，故①不是对数函数；
对于②，的系数是2，而不是1，且真数是，不是，故②不是对数函数；
对于③，的系数为1，真数是，故③是对数函数；
对于④，底数，当时，底数小于0，故④不是对数函数。
答案　③
题型二　对数型函数的定义域
规律方法　求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则
例2、求下列函数的定义域：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
解析：
（1）要使函数有意义，需要
即
∴
∴定义域为
（2）要使函数有意义，需
即
∴
∴定义域为
（3）令，
即，得
∴定义域为
（4）要使函数有意义，则必须满足：
即
【变式训练2】　求下列函数的定义域：
（1）f(x)＝lg(x－2)＋；
（2）f(x)＝log(x＋1)(16－4x)；
（3）f(x)＝＋ln(x＋1)；
（4）f(x)＝
解析：
　（1）要使函数有意义，需满足
解得x＞2且x≠3.
∴函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．
（2）要使函数有意义，需满足
解得－1＜x＜0或0＜x＜4.
∴函数的定义域为(－1,0)∪(0,4)．
（3）若使函数式有意义需满足条件：?取交集可得：x∈(－1,2)，故函数的定义域为(－1,2)．
（4）由题意有解得x>－且x≠0，则函数的定义域为．
题型三　对数函数的图象问题
规律方法　1.对数函数图象过定点问题
2．根据对数函数图象判断底数大小的方法
3．函数图象的变换规律：
例3、（1）已知，
则函数的图像必过定点
（2）如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应函数y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，则(　　)
A．a4>a3>1>a2>a1>0
B．a3>a4>1>a1>a2>0
C．a2>a1>1>a4>a3>0
D．a1>a2>1>a3>a4>0
（3）作函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象．
解析：
（1）当，即时，恒成立，∴的图像必过点
（2）作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0.
（3）第一步：作y＝log2x的图象，如图(1)所示．
第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图(2)所示．
第三步：将y＝log2(1＋x)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图(3)所示．
第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示．
答案　（1）
（2）A
（3）略
【变式训练3】
　已知a>0且a≠1，函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是(　　)
解析：
　∵函数y＝ax与y＝logax互为反函数，
∴它们的图象关于直线y＝x对称．
再由函数y＝ax的图象过(0,1)，
y＝logax的图象过(1,0)，
观察图象知，只有C正确．
答案　C
题型四　比较对数值的大小
规律方法　比较对数值大小时常用的四种方法
例4、（1）若a＝log23，b＝log32，c＝log46，
则下列结论正确的是(　　)
A．bB．aC．cD．b（2）若，，，
则（
）
A．
B.
　
C.
D.
（3）已知，，，
则的大小关系为（
）
A.
B.
C.
D.
解析:
（1）因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，a＝log23＝log49>log46>1，log32<1，所以b（2）∵，∴
令，则
∴，
∴
，
∵，
∴，，
∴
∴
∴
（3）∵，
又，
∴
答案　（1）D　（2）C
（3）D
【变式训练4】　
（1）已知
则的大小关系为（
）
A.
B.
C.
D.
（2）已知，
则（
）
A.
B.
C.
D.
解析：
（1）∵，
而，
故；
，
而，
故
∴
（2）∵，
，
，
∴
答案
（1）A
（2）B
题型五　与对数函数有关的值域和最值问题
规律方法　求函数值域或最大(小)值的常用方法
例5、(1)函数f(x)＝(x2＋2x＋3)的值域是________．
(2)若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值等于________．
(3)求y＝(x)2－x＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．
解析：
　(1)f(x)＝(x2＋2x＋3)＝[(x＋1)2＋2]，
∵(x＋1)2＋2≥2，
∴[(x＋1)2＋2]≤2＝－1，
∴函数f(x)的值域是(－∞，－1]．
(2)当a>1时，f(x)在[0,1]上单调递增，
则最大值和最小值之和为：
f(1)＋f(0)＝a＋loga2＋1＝a，
解得a＝，不满足a>1，舍去；
当0则最大值和最小值之和为：
f(0)＋f(1)＝1＋a＋loga2＝a
解得a＝，符合题意．
(3)∵2≤x≤4，∴2≥x≥4，
即－1≥x≥－2.
设t＝x，则－2≤t≤－1，
∴y＝t2－t＋5，其图象的对称轴为直线t＝，
所以当t＝－2时，ymax＝10；
当t＝－1时，ymin＝.
答案　(1)(－∞，－1]　(2)
（3）
【变式训练5】
　函数f(x)＝
(3＋2x－x2)的值域为________．
解析：　设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4，
∵u>0，∴0又y＝u在(0，＋∞)上为减函数，
∴u≥4＝－2，
∴函数f(x)的值域为[－2，＋∞)．
答案　[－2，＋∞)
考向一　解对数不等式
规律方法　两类对数不等式的解法
例6、（1）已知log0.3(3x)则x的取值范围为(　　)
A．　　B．
C．　　
D．
（2）若实数满足，
求的取值范围。
解析：
（1）因为函数y＝log0.3x是(0，＋∞)上的减函数，
所以原不等式等价于解得x>.
（2）根据对数函数的性质，
由，可得，
由，得，
综上，
答案　（1）A
（2）
【变式训练6】
解下列各题：
（1）已知，求的取值范围；
（2）已知，求的取值范围。
解析：
（1）函数为减函数，则
，解得
（2）由题意知，，
利用数形结合，由于为增函数，
若，则也是增函数，
当时，，
不满足题意；
当时，单调递减，
当，且时，
解得，
故。
答案
（1）
（2）
考向二　与对数函数有关的奇偶性问题
规律方法
例7、求证：函数
为偶函数。
证明：
而函数为偶函数，
因而为偶函数。
【变式训练7】
（1）已知
是偶函数，则（
）
A.
B.
C.
D.
（2）函数
的奇偶性是（
）
A.
奇函数
B.
偶函数
C.
既是奇函数又是偶函数
D.
非奇非偶函数
解析：
（1）∵为偶函数，
∴，即
，
∴，
∴，∴，
∴，
函数在上为增函数，
∵，
∴，故选C。
（2）的定义域为R，
，
∴为奇函数，故选A。
答案
（1）C
（2）A
考向三　与对数函数有关的复合函数的单调性
规律方法
形如y＝logaf(x)的函数的单调性
例8、(1)求函数的单调区间；
(2)函数
在[－1，＋∞)上是减函数，
求实数a的取值范围．
解析：
　(1)由3－2x>0，解得x<，
设t＝3－2x，，
∵函数y＝log0.3t是减函数，
且函数t＝3－2x是减函数，
∴函数y＝log0.3(3－2x)在上是增函数，
即函数y＝log0.3(3－2x)的单增区间是，
没有单减区间．
(2)　令t＝3x2－ax＋7，则单调递减，
故t＝3x2－ax＋7在[－1，＋∞)上单调递增且t>0.
∵t＝3x2－ax＋7的对称轴为x＝，
∴解得－10故a的取值范围为(－10，－6]．
答案
（1）见解析
（2）
【变式训练8】
（1）已知函数，
若，
则此函数的单调递增区间是（
）
A.
B.
C.
D.
（2）函数的单调递增区间是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：
（1）
∵，
∴，
由，
得函数的定义域为，
设，则
此函数在上为增函数，
又∵在上也为增函数，
∴函数的单调递增区间是，故选D。
（2）由，得，
因此函数的定义域是，
注意到函数在上单调递增，
由复合函数的单调性知，
的单调递增区间是，
故选D。
答案
（1）D
（2）D
一、选择题　　　
　　　　　　
　　　　　
1．已知下列函数：①y＝log(－x)(x<0)；②y＝2log4(x－1)(x>1)；③y＝ln
x(x>0)；
④y＝log(a2＋a)x(x>0，a是常数)．
其中为对数函数的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：　对于①，自变量是－x，故①不是对数函数；
对于②，2log4(x－1)的系数为2，而不是1，且自变量是x－1，不是x，故②不是对数函数；
对于③，ln
x的系数为1，自变量是x，故③是对数函数；
对于④，底数a2＋a＝－，当a＝－时，底数小于0，故④不是对数函数．故选A.
答案　A
2．函数y＝1＋log(x－1)的图象一定经过点(　　)
A．(1,1)
B．(1,0)
C．(2,1)
D．(2,0)
解析：　∵函数y＝logx恒过定点(1,0)，
而y＝1＋log(x－1)的图象是由y＝logx的图象向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，
故函数y＝1＋log(x－1)恒过的定点为(2,1)．故选C.
答案　C
3．函数y＝的定义域为(　　)
A．(－∞，2)
B．(2，＋∞)
C．(2,3)∪(3，＋∞)
D．(2,4)∪(4，＋∞)
解析：　要使函数有意义，则解得x＞2且x≠3，
所以原函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．故选C.
答案　C
4．已知0＜a＜1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是(　　)
解析：　函数y＝ax与y＝logax互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，
y＝loga(－x)与y＝logax的图象关于y轴对称，又0＜a＜1，
根据函数的单调性即可得D正确．故选D.
答案　D
5．函数的定义域是(　　)
A．[1，∞)
B．(0，＋∞)
C．[0,1]
D．(0,1]
解析：　由函数的解析式得log(2x－1)≥0＝log1.
∴0<2x－1≤1，解得1＜2x≤2,0＜x≤1.
答案
D
6．如图是对数函数y＝logax的图象，已知a值取，，，，
则相应于C1，C2，C3，C4的a的值依次是(　　)
A.，，，
B.，，，
C.，，，
D.，，，
解析：　∵当a>1时，图象上升；当0又当a>1时，a越大，图象向右越靠近x轴；0C1，C2，C3、C4的a的值依次是，，，.
答案
B
7．函数f(x)＝|logx|的单调递增区间是(　　)
A.
B．(0,1]
C．(0，＋∞)
D．[1，＋∞)
解析：　f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．
答案　D
8．已知loga>logb>0，则下列关系正确的是(　　)
A．0B．0C．1D．1解析：　由loga>0，logb>0，可知a，b∈(0,1)，又loga>logb，作出图象如图所示，
结合图象易知a>b，∴0答案
A
9．若a＝20.2，b＝log4(3.2)，c＝log2(0.5)，则(　　)
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
解析：　∵a＝20.2＞1＞b＝log4(3.2)＞0＞c＝log2(0.5)，
∴a＞b＞c.
故选A.
答案　A
10．已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上为x的减函数，则a的取值范围为(　　)
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(0,2)
D．[2，＋∞)
解析：　题目中隐含条件a>0，
当a>0时，2－ax为减函数，
故要使y＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，
则a>1，且2－ax在x∈[0,1]时恒为正数，
即2－a>0，故可得1答案
B
二、填空题
11．函数的定义域是________．
解析：　要使函数f(x)有意义，则
即解得＜x≤1，
故函数的定义域的
答案　
12．已知对数函数f(x)的图象过点(8，－3)，则f(2)＝________.
解析：　设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
则－3＝loga8，∴a＝，
∴f(x)＝，f(2)＝log(2)＝－log2(2)＝－.
答案　－
13．已知函数y＝|logx|的定义域为[，m]，值域为[0,1]，则m的取值范围为________．
解析：作出y＝|logx|的图象(如图)可知
f()＝f(2)＝1，
由题意结合图象知：1≤m≤2.
答案
[1,2]
14．函数y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的值域是________．
解析：　－x2＋3x＋4＝－＋≤，
∴有0<－x2＋3x＋4≤，
所以根据对数函数y＝log0.4x的图象即可得到：
log0.4(－x2＋3x＋4)≥log0.4＝－2，
∴原函数的值域为[－2，＋∞)．
答案　[－2，＋∞)
三、解答题
15．已知函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性．
解析：　(1)要使函数有意义，则有>0，
即或解得x>1或x<－1，
此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(2)由于f(x)的定义域关于原点对称，
且f(－x)＝loga＝loga＝－loga＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
答案
（1）(－∞，－1)∪(1，＋∞)
（2）奇函数
16．求函数f(x)＝(log0.25x)2－log0.25x2＋5，在x∈[2,4]上的最值．
解析：设t＝log0.25x，y＝f(x)．
由x∈[2,4]，得t∈
又y＝t2－2t＋5＝(t－1)2＋4在上单调递减，
所以当t＝－1，即x＝4时，y有最大值8；
当t＝－，即x＝2时，y有最小值.
答案
x＝4时，y有最大值8；x＝2时，y有最小值.
17．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)，其中0(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－4，求a的值．
解析：　(1)要使函数有意义，则有
解得－3(2)函数可化为：f(x)＝loga(1－x)(x＋3)＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]，
因为－3因为0即f(x)min＝loga4，由loga4＝－4，得a－4＝4，
所以a＝.
答案
（1）(－3,1)
（2）a＝
一、选择题
1．函数y=
的图象关于
(
)
A．x轴对称
B．y轴对称
C．原点对称
D．直线y=x对称
解析：函数，
，则，
函数关于原点对称。
答案
C
2.已知函数定义域为，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：已知的定义域为，即恒成立，
当时，不恒成立，
，解得：，
所以实数的取值范围是.
答案
C
3．已知是上的单调递减函数，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
解析：由题意，解得．
答案
C
4．已知奇函数在上是增函数，若，，，
则的大小关系为(
)
A．
B．
C．
D．
解析：由题意，且，
据此，结合函数的单调性有，
即.
答案
C
二、填空题
5．已知函数f(x)＝m＋log2x2的定义域是[1,2]，且f(x)≤4，则实数m的取值范围是________.
解析：　∵函数f(x)＝m＋log2x2在[1,2]上单调递增，
∴函数f(x)的值域为[m,2＋m]，
∵f(x)≤4，∴2＋m≤4，解得m≤2，
∴实数m的取值范围是(－∞，2]．
答案　(－∞，2]
6．已知函数f(x)＝lg(＋x)，且f(a)＝3，则f(－a)＝________.
解析：　∵f(－x)＝lg(－x)，
∴f(－x)＋f(x)＝lg(x2＋1－x2)＝lg
1＝0，
即f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
又f(a)＝3，
故f(－a)＝－f(a)＝－3.
答案　－3
7．已知函数，若，则此函数的单调递增区间是________．
解析：由题意，令，解得，或，
故函数的定义域为，
，得，
令，则，
根据复合函数的单调性，即求在定义域内的增区间，
由二次函数的性质，的增区间为，
所以函数的单调递增区间为
答案
8．设函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x2017)＝8，则f(x)＋f(x)＋…＋f(x)的值等于________．
解析：　∵f(x)＋f(x)＋f(x)＋…＋f(x)
＝logax＋logax＋logax＋…＋logax
＝loga(x1x2x3…x2017)2
＝2loga(x1x2x3…x2017)
＝2f(x1x2x3…x2017)，
∴原式＝2×8＝16.
答案　16
9．已知对任意都有意义,则实数的取值范围是___________.
解析：要使函数有意义，则当意时，恒成立，即．
若时，当时，此时不成立．
若，当时，作出函数和的图象，
当时，，得，即，
若对任意恒意义，则，
即实数的范围是．
答案
10．已知函数y＝log2，下列说法：
①关于原点对称；②关于y轴对称；③过原点．其中正确的是________.
解析：　由于函数的定义域为(－2,2)，关于原点对称，
又f(－x)＝log2＝－log2＝－f(x)，故函数为奇函数，
故其图象关于原点对称，①正确；
因为当x＝0时，y＝0，所以③正确．
答案　①③
三、解答题
11．若不等式x2－logmx<0在内恒成立，求实数m的取值范围.
解析：　由x2－logmx<0，得x2要使x2于是0∵x＝时，y＝x2＝，
∴只要x＝时，y＝logm≥＝logmm，
∴≤m，即≤m.
又0即实数m的取值范围是
答案
12．已知函数.
（1）若是定义在R上的偶函数，求a的值及的值域；
（2）若在区间上是减函数，求a的取值范围.
解析：（1）因为是定义在R上的偶函数，所以，
所以，
故，此时，，定义域为R，符合题意.
令，则，
所以，
故的值域为.
（2）设.因为在上是减函数，
所以在上是减函数，且在上恒成立，
故，解得，即.
答案
（1），；（2）
13．已知函数.
(1)当时,求；
(2)求解关于的不等式；
(3)若恒成立,求实数的取值范围.
解析：（1）当时，
（2）由得：，
或
当时，解不等式可得：或
当时，解不等式可得：或
综上所述：当时，的解集为；
当时，的解集为
（3）由得：，
或
①当时，，
或，解得：
②当时，，
或，解得：
综上所述：的取值范围为
答案
（1）；（2）见解析；（3）第八讲
指数与指数幂的运算
一、选择题
1．设，则下列运算中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：由题，，所以A错；
，所以B错；
，所以C错；
，所以D正确.
答案
D
2．若a>1，b>0，ab＋a－b＝2，则ab－a－b等于(　　)
A.
B．2或－2
C．－2
D．2
解析：　∵a>1，b>0，
∴ab>a－b，(ab－a－b)2＝(ab＋a－b)2－4＝(2)2－4＝4，
∴ab－a－b＝2.
答案
D
3．若2A．5－2a
B．2a－5
C．1
D．－1
解析：　原式＝|2－a|＋|3－a|，
∵2∴原式＝a－2＋3－a＝1.
答案
　C
4．根式的分数指数幂的形式为（
）
A．
B．
C．
D．
解析：.
答案
D
5．若则化简的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：
故选B.
答案
B
6．已知，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：由题意知，
，
由于，故，则原式.
答案
B
7．化简（其中）的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：=,选C.
答案
C
8．设，则
(　　)
A．m2－2
B．2－m2
C．m2＋2
D．m2
解析：将两边平方得
,
所以a＋a－1＝m2＋2，
而
，
即=
m2＋2。
答案
C
9．若，，则（
）
A．0
B．
C．
D．
解析：。
答案
B
10．若，则
等于
A．
B．
C．
D．
解析：原式，故选A.
答案
A
二、填空题
11．化简：－＝________.
解析：原式＝.
答案
12．已知
，则__________.
解析：由题意可得：.
答案
3
13．已知，则____________
解析：
答案
110
三、解答题
14．求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；（4）。
解析：（1）原式；
（2）原式.
当时，原式；
当时，原式.
因此，原式；
（3）原式
。
（4）原式.
答案
（1）；（2）；（3）.（4）110
15．化简下列各式：
（1）；（2）.
解析：（1）原式
；
（2）原式
.
答案
（1）；（2）.第四讲
函数的概念
一、选择题
1．下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是(　　)
A．x＝y2＋1　　　　　　　
B．y＝2x2＋1
C．x－2y＝6
D．x＝
解析：
对于A，由x＝y2＋1得y2＝x－1.当x＝5时，y＝±2，故y不是x的函数；
对于B，y＝2x2＋1是二次函数；对于C，x－2y＝6?y＝x－3是一次函数；
对于D，由x＝得y＝x2(x≥0)是二次函数.
答案
A
2．下列各组函数中，表示同一函数的是（
）
A．与
B．与
C．与
D．与
解析：
要判断两个函数是否是同一个函数，需要从三个方面来分析，即定义域，对应法则和值域，
A选项中，函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），
函数y＝x﹣1的定义域为R，两个函数的定义域不同；
B选项中，函数两个函数的定义域均为R，但x，|x|，解析式不同，
C选项中，函数两个函数的定义域均为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且解析式均可化为y＝1；
D选项中，函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
函数y＝x的定义域为R，两个函数的定义域不同；故选：C．
答案
C
3．若函数y＝f(x)的定义域M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，
则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
解析：
A中定义域是{x|－2≤x≤0}，不是M，
C中图象不表示函数关系，
D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}．
答案
B
4．函数的值域是(　　)．
A．(－∞，3)∪(3，＋∞)
B．(－∞，2)∪(2，＋∞)
C．R
D．(－∞，2)∪(3，＋∞)
解析：
∵，
又∵，∴y≠2.
∴函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
答案
B
5．已知满足，且，那么等于（
）
A．
B．
C．
D．
解析：
由题意可知，，
，
，
.
答案
B
6．已知的定义域为，的定义域是（　　）
A．
B．
C．
D．
解析：
的定义域为；；；
的定义域为；
；；
的定义域为．
答案
D
7．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
解析：
因为当时，
当时或，
因此的取值范围是.
答案
C
8．若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：
题中的方程即，则原问题等价于函数和函数在区间上有交点，
二次函数开口向上，对称轴为，
故时，，时，，
则函数在区间上的值域为，实数的取值范围是.
答案
D
二、填空题
9．设，，，则的值为______．
解析：
∵，，，
∴，
解得，
．
答案
9
10．已知函数，.若该函数的值域为，则________.
解析：
二次函数的图像的对称轴为，函数在递减，在递增，且当时，函数取得最小值1，又因为当时，，
所以当时，，且，
解得或（舍），故.
答案
4
11．已知函数y＝f(x2－4)的定义域是[－1,5]，则函数y＝f(2x＋1)的定义域为__________．
　解析：
∵x∈[－1,5]，∴0≤x2≤25，
∴－4≤x2－4≤21，则－4≤2x＋1≤21，
∴≤x≤10，∴定义域为.
答案
12．给出下列函数：
①y＝x2－x＋2，x＞0；
②y＝x2－x，x∈R；
③y＝t2－t＋2，t∈R；
④y＝t2－t＋2，t＞0.
其中与函数y＝x2－x＋2，x∈R相等的是________．
解析：
①中函数与函数y＝x2－x＋2，x∈R的定义域不同，故两函数不相等；
②中函数与函数
y＝x2－x＋2，x∈R的定义域相同，但对应关系不同，故两函数也不相等；
③中函数与函数y＝x2－x＋2，x∈R的定义域相同，对应关系也相同，故两函数相等；
④中函数与函数y＝x2－x＋2，x∈R的对应关系相同，但定义域不同，故两函数不相等．
答案
③
三、解答题
13．求下列函数的定义域：
（1）；（2）；（3）；（4）.
解析：
（1）由题得，所以，所以且，
所以函数的定义域为.
（2）由题得，所以，所以函数的定义域为.
（3）由题得，解之得且，
所以函数的定义域为.
（4）由题得，所以，所以函数的定义域为.
答案
（1）；（2）；（3）；（4）
14．已知函数f(x)＝.
（1）求f(2)＋f()，f(3)＋f()的值；（2）求证：f(x)＋f()是定值；
（3）求f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(2020)＋的值．
解析：
（1）∵f(x)＝，
∴f(2)＋f()＝＋＝1，
f(3)＋f()＝＋＝1.
（2）证明：f(x)＋f()＝＋＝＋＝＝1.
（3）由（2）知f(x)＋f()＝1，
∴f(2)＋f()＝1，f(3)＋f()＝1，f(4)＋f()＝1，…，f(2020)＋＝1.
∴f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(2020)＋＝2019.
答案
（1）1，1；（2）证明见解析；（3）2019.教材要点
学科素养
学考
高考
考法指津
高考考向
1.函数的单调性与单调区间
数学抽象
水平1
水平2
1.理解函数的单调性的定义，会用函数单调性的定义判断一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间
2.理解函数最值的概念，会求某些简单函数的最值。
3.了解函数的增减性及最值与定义区间有关，掌握一些简单函数的单调性，会求它们在某一区间上的最值。
【考查内容】判断函数的单调性，求单调区间，讨论含参函数的单调性求参数，求函数在区间上的最值。
【考查题型】选择题、填空题
【分值情况】5-10分
2.函数的最大值和最小值
数学运算
水平2
水平2
3.函数单调性中的几个重要结论
数学推理
水平1
水平1
4.函数的单调性与最值
直观想象
水平1
水平2
知识点1　增函数与减函数
设函数的定义域为I，对任意
知识点2　函数的单调区间
如果函数在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
知识点3　函数的最大值与最小值
最大值
最小值
条件
一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的，都有
存在，使得
结论
称M是函数的最大值
称M是函数的最小值
几何
意义
图象上最高点的纵坐标
图象上最低点的纵坐标
题型一　求函数的单调区间
规律方法　
（1）根据函数的图象求函数单调区间的方法
（2）常见函数的单调性
例1、（1）如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数的图象，则函数的单调递减区间是________、________，在区间________、________上是增函数．
（2）
画出函数的图象并写出函数的单调区间．
解析：
（1）观察图象可知，的单调区间有
[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]．其中
在区间[－5，－2]，[1,3]上是增函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是减函数．
答案　[－2,1]　[3,5]　[－5，－2]　[1,3]
(2)　
即
函数的大致图象如图所示，
单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，
单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．
【变式训练1-1】　
如图（1）、（2）分别为函数和的图像，试分别写出函数和的单调增区间。
解析：
由图（1）可知，在内，是单调递增的，所以的单调递增区间是
；
由图（2）可知，在内，是单调递增的，所以的单调递增区间是
。
【变式训练1-2】
（1）下列四个函数中，在上为增函数的是（
）
A.
B.
C.
D.
（2）函数的增区间是（
）
A.
B.
C.
D.
（3）函数的单调减区间是________
解析：　
（1）根据一次函数、二次函数、反比例函数的单调性可知：在上均为减函数；在上为减函数，在上为增函数；在上为增函数，故选C
（2）根据题意，由函数是二次函数，开口向上，且对称轴为，可知在对称轴的右侧是单调递增的，故增区间为，选D
（3）的图象可由函数的图象向右平移一个单位得到，如图所示，其单调递减区间是(－∞，1)和(1，＋∞)．
答案　（1）C
（2）D
（3）(－∞，1)，(1，＋∞)
题型二　证明函数的单调性
规律方法　利用定义证明函数单调性的步骤
例2、设函数，证明：当时，函数在区间上是减函数。
证明：
设且，
∵，
∴
又∵
∴
∴，即
∴函数在区间上是减函数。
【变式训练2-1】　
已知函数
求证：在上是单调递增函数
解析
：
设则，
∵
∴
∴在上是单调递增函数。
【变式训练2-2】
判断函数的单调性。
解析：
任取，且，
则
当时，
∴原式>0，即
∴，
即在上是减函数；
当时，，
∴原式<0，即，
∴
即在上是增函数。
同理可得，
当时，是减函数；
当时，是增函数。
综上所述，
在上是增函数，
在上是减函数。
题型三　用单调性解不等式
规律方法　利用函数的单调性解不等式的方法
例3、已知函数在定义域上是减函数，且，求实数的取值范围．
解析：　由题知
解得，
即所求的取值范围是.
【变式训练3】　
已知函数是定义在区间上的减函数，
解关于的不等式：
解析：　
由题意得解得.
答案　
题型四　用图象法和函数的单调性求函数的最值
规律方法
1.图象法求最值的步骤
2．利用函数的单调性求最值的两个易错点
例4、(1)函数在区间上的最大值为
，最小值为
；
(2)函数的最大值为
解析：
（1）画出函数的图像（图像略），根据函数图像可知在区间上单调递减，故函数在区间的两个端点处分别取得最大值与最小值，最大值为
，最小值为；
（2）当时，函数单调递增，且有，无最大值；当时，函数单调递减，则在处取得最大值，最大值为5.
答案　（1）3；
（2）5
【变式训练4】　
求函数在区间上的值域。
解析：
在区间上任取实数，且令，
则
∵，
∴，
∴，即
题型五　二次函数的最值
规律方法　
含参数的二次函数最值问题的解法
例5、已知函数的最小
值为，试写出的函数表达式。
解析：
①
当定义域处于对称轴的左边时，
即
此时在定义域上单调递减，
∴；
②当定义域处于对称轴的右边时，
即时，
此时在定义域上单调递增，
∴；
③当定义域横跨对称轴左右两边时，
即时，
此时在定义域上先减后增，
故一定在对称轴处取得最小值，
∴
综上所述，
【变式训练5】　
已知函数，
(1)求在[0,1]上的最大值；
(2)当时，求在闭区间[t，t＋1]
()上的最小值．
解析：　
(1)由题意，可知图像对称轴为
①当对称轴处于定义域的左边时，
即
此时在定义域上单调递增，
所以
②当对称轴处于定义域的右边时，
即
此时在定义域上单调递减，
所以
③当对称轴处于定义域之间且离左端点更近时，
即
此时在定义域上先减后增，
所以
④当对称轴处于定义域之间且离右端点更近时
即
此时在定义域上先减后增，
所以
综上所述，
(2)当时，，
其图象的对称轴为
①当定义域处于对称轴的左边时，
即
此时在定义域上单调递减，
所以
②当定义域处于对称轴的右边时，
即时，
此时在定义域上单调递增，
所以
③当定义域横跨对称轴左右两边时，
即时
此时在定义域上先减后增，
所以
综上所述
考向一　函数的单调性的逆向应用
规律方法
例6、已知函数在
内单调递减，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：
由题意得
解得，故选C
答案
C
【变式训练6】
若函数在R上是单调增函数，则实数的取值范围是？
解析：
由题意得
解得
答案
【探究1】　若函数是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数的取值范围是________．
答案　(－∞，0)
【探究2】　已知函数在区间
(－∞，1]上是减函数，则实数的取值范围是________．
解析：
　函数的图象开口向上，对称轴为，要使其在区间(－∞，1]上是减函数，则，即.
答案　(－∞，－1]
考向二
抽象函数的单调性
规律方法
例7、设是定义在R上的函数，对，恒有，，
，且当时，
（1）求证：；
（2）求证：当时，恒有；
（3）求证：在R上是减函数
解析：
（1）由题意，令，可得
∵，∴
（2）由题意知时，
当时，
当时，，∴
∵，
∴
∴
∵当时，
∴当时，恒有
（3）任取，且，
则
∴
由（2）知又
∴
故
故在R上是减函数
【变式训练7】
已知函数对于任意，都有
，并且当
时，。
（1）求证：是R上的增函数；
若，解不等式
解析：
（1）设，且，则，
∴
∴
∴
∴是R上的增函数
（2）∵对任意，有
∴
∴
∴
∵是R上的增函数，
∴
解得
考向三
复合函数的单调性的讨论
规律方法
（1）复合函数的单调性的确定方式（同增异减）
函数
单调性
增函数
增函数
增函数
增函数
减函数
减函数
减函数
增函数
减函数
减函数
减函数
增函数
（2）求复合函数单调性的步骤
例8、已知函数
试求函数的单调区间。
解析：
令，由可知：
当时，是减函数；当时，是增函数，且。
由可知：
当时，是增函数；当时，是减函数。
（1）当时，即解得，
故当时，是减函数；当时，为增函数。
（2）当时，即，解得
，故当时，是减函数；当时，是增函数。
综上可知，的单调增区间为，；
单调减区间为。
【变式训练8-1】
已知函数在定义域上单调递减，
求的递减区间。
解析：
∵的定义域为，
∴即
令，则
当时，是减函数，
则是增函数；
当时，是增函数，
则是减函数。
故的递减区间为。
答案
【变式训练8-2】
函数的单调增区间是
，
单调减区间是
。
解析：
函数的定义域为，
而是关于的二次函数，其图像为开口向上的抛物线，且对称轴为直线，故在上是减函数，在上是增函数，而在上是增函数，所以的单调增区间为，单调减区间为。
答案
；
考向四　函数最值的实际应用
规律方法　求解实际问题的四个步骤
例9、某公司生产一种电子仪器的固定成本为
20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
其中是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
解析：
(1)设月产量为台，则总成本为，
从而
(2)当时，
；
∴当时，，
当时，
是减函数，
.
∴当时
，.
即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元．
【变式训练9】　经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均是时间的函数，且销售量近似地满足关系
，在前40天内价格为，
在后60天内价格为，求这种
商品的日销售额的最大值。
解析：
由题意，设商品的日销售额为，则
当时，
故当时，；
当时，
综上所述，这种商品的日销售额最大值为768元。
一、选择题
1．如图1?3?1是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)的图象，则下列关于函数f(x)的说法错误的是(　　)　　
　　　　　　
　　　　　
图1?3?1
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1,4]上单调递增
C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减
D．函数在区间[－5,5]上没有单调性
解析：　
若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接．如0<5，但f(0)>f(5)，故选C.
答案
　C
2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是(　　)
A．y＝3－x
B．y＝x2＋1
C．y＝
D．y＝－|x|
解析：　
A．y＝3－x＝－x＋3，是减函数，故A错误；
B．∵y＝x2＋1，y为偶函数，图象开口向上，关于y轴对称，当x＞0时，y为增函数，故B正确；
C．∵y＝，当x＞0时，y为减函数，故C错误；
D．当x＞0时，y＝－|x|＝－x，为减函数，故D错误．故选B.
答案
B
3．下列函数在[1,4]上最大值为3的是(　　)
A．y＝＋2　　　B．y＝3x－2
C．y＝x2
D．y＝1－x
解析：
选A　B、C在[1,4]上均为增函数，
A、D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.
答案
A
4．函数则f(x)的最大值、最小值分别为(　　)
A．10,6
B．10,8
C．8,6
D．以上都不对
解析：
选A　当－1≤x<1时，6≤x＋7<8，
当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10.
∴f(x)min＝f(－1)＝6，
f(x)max＝f(2)＝10.故选A.
答案
A
5．函数得单调递增区间是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：令：
（），
单调递减区间是。
答案
D
6．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为(　　)
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：
　∵f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，
∴函数f(x)图象的对称轴为x＝2.
∴f(x)在[0,1]上单调递增．
又∵f(x)min＝－2，∴f(0)＝－2，即a＝－2
∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.
答案
C
7．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为
L1＝－x2＋21x和L2＝2x.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　)
A．90万元
B．60万元
C．120万元
D．120.25万元
解析：
设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，
公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30
＝－(x－)2＋30＋，
∴当x＝9或10时，L最大为120万元．
答案
C
二、填空题
8．函数f(x)＝2x2－3|x|的单调递减区间是________．
解析：　
函数f(x)＝2x2－3|x|＝
图象如图所示，f(x)的单调递减区间为和
答案
　和
9．函数y＝在[2,3]上的最小值为________．
解析：
作出图象可知y＝在[2,3]上是减函数，
ymin＝＝.
答案
10．函数y＝在区间(0，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________.
解析：　∵函数y＝在区间(0，＋∞)上是增函数，
∴1－3m＜0，解得m＞.
答案
　
11．设函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，
则f(－3)与f(－π)的大小关系是________．
解析：　
由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0得f(x)是R上的单调递增函数，
又－3>－π，∴f(－3)>f(－π)．
答案
　f(－3)>f(－π)
三、解答题
12．证明：函数y＝在(－1，＋∞)上是增函数．
证明：　
设x1>x2>－1，则
y1－y2＝－＝.
∵x1>x2>－1，∴x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0，
∴>0，即y1－y2>0，y1>y2，
∴y＝在(－1，＋∞)上是增函数．
答案
见解析
13．已知函数f(x)＝.
(1)用定义证明函数在区间[1，＋∞)上是增函数；
(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值与最小值．
解析：
(1)证明：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵1≤x10，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
(2)由(1)知函数f(x)在区间[2,4]上是增函数，
∴f(x)max＝f(4)＝＝，
f(x)min＝f(2)＝＝
答案
（1）略
（2）
14．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P(万元)和Q(万元)，它们与投入资
金x(万元)的关系有经验公式：P＝，Q＝.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？
解析：
设对甲种商品投资x万元，则对乙种商品投资(3－x)万元，总利润为y万元，
根据题意得y＝x＋(0≤x≤3)．
令＝t，则x＝3－t2,0≤t≤.
所以y＝(3－t2)＋t＝－(t－)2＋，
t∈[0，
]．
当t＝时，ymax＝，此时x＝0.75,3－x＝2.25.
由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，获得的最大利润为1.05万元．
答案
为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，
获得的最大利润为1.05万元．
一、选择题
1．若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A.
B.
C．(3，＋∞)
D．(－∞，－3]
解析：　∵函数y＝x2＋(2a－1)x＋1的图象是开口方向朝上，以直线x＝为对称轴的抛物线，
又∵函数在区间(－∞，2]上是减函数，
故2≤，解得a≤－，故选B.
答案
　B
2．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1]
B．(－∞，0]
C．(－∞，0)
D．(0，＋∞)
解析：
令f(x)＝－x2＋2x，则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.
又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.
∴a<0.
答案
C
3．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的范围是(　　)
A．f(1)≥25
B．f(1)＝25
C．f(1)≤25
D．f(1)＞25
解析：　
由y＝f(x)的对称轴是x＝，可知f(x)在上递增，
由题设只需≤－2，即m≤－16，
∴f(1)＝9－m≥25.故选A.
答案
　A
4．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：，二次函数的对称轴方程为,
对于定义域为,值域为,由二次函数的性质可知.
答案
C
5．若函数，是定义在上的减函数，则a的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
解析：因为函数是定义在上的减函数，所以，解得.
答案
A
6．函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围(
)
A．
B．
C．
D．
解析：当时，在区间上单调递减，故舍去，
，此时，
又因为在区间上单调递减，
而在区间上单调递增，
须有，即。
答案
B
7．已知定义在上的函数在上是减函数，当时，的最大值与最小值之差为，则的最小值为（
）
A．
B．1
C．
D．2
解析：∵f（x）在（-∞，1]上是减函数，
∴-a≥1，即a≤-1．
∴f（x）在[a+1，1]上的最大值为f（a+1）=3a2+4a+4，最小值为f（1）=4+2a，∴
，
∴g（a）在（-∞，-1]上单调递减，
∴g（a）的最小值为g（-1）=1．
答案
B
二、填空题
8．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．
解析：
如下图可知f(x)在[1，a]内是单调递减的，
又∵f(x)的单调递减区间为(－∞，3]，
∴1答案
(1,3]
9．对于函数f(x)＝x2＋2x，在使f(x)≥M成立的所有实数M中，我们把M的最大值Mmax＝－1叫做函数
f(x)＝x2＋2x的下确界，则对于a∈R，且a≠0，a2－4a＋6的下确界为________．
解析：
a2－4a＋6＝(a－2)2＋2≥2，
则a2－4a＋6的下确界为2.
答案
2
10．已知函数，对任意两个不等实数，都有，则实数a的取值范围是______.
解析：因为,故将两边同时除以得.
即在为增函数.
故为减函数.又其对称轴为且在为增函数.
故.
答案
三、解答题
11．已知函数．
（1）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；
（2）当，时，不等式恒成立，求实数的范围．
解析：（1）函数
的对称轴为，
又函数在上是单调函数，
或
，
解得或．
实数的取值范围为；
（2）当，时，恒成立，
即恒成立，
令，恒成立，函数的对称轴，
∴，即，
的范围为．
答案
（1）；（2）．
12．已知函数
（1）判断函数的单调性，并用定义法证明；
（2）若，求实数的取值范围.
解析：（1），
该函数由向左平移一个单位，再向上平移2个单位即可得到，如图：
由图可知，函数在单增，现证明如下：
设，则，
，
，，，
在上单调递增
（2）若，由在上单调递增，
得，
即，
则实数的取值范围为
答案
（1）在上单调递增（2）教材要点
学科素养
学考
高考
考法指津
高考考向
1.对数的概念
数学抽象
水平1
水平1
1.理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算。
2.能熟练地进行对数式与指数式的互化。
3.掌握对数的运算性质，并会运用这些运算性质进行一些简单的化简与证明。
【考查内容】指数式与对数式的互换，对数的基本运算，换底公式的运用。
【考查题型】选择题、填空题
【分值情况】5分
2.对数的基本性质
逻辑推理
水平1
水平1
3.对数的运算性质
数学运算
水平1
水平2
4.对数的换底公式
数学运算
水平1
水平2
知识点1
对数的定义
（1）对数：
一般地，如果，那么数叫作以为底的对数，记作，其中叫作对数的底数，叫作真数。
（2）常用对数：我们通常把以10为底的对数叫做常用对数，简记为。
（3）自然对数：我们通常把以无理数为底的对数称为自然对数，简记为。
知识点2　对数的运算性质
若a>0且a≠1，M>0，N>0，则有：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
知识点3　换底公式
推论
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
题型一　利用对数的运算性质化简、求值
规律方法　利用对数运算性质化简与求值的原则和方法
例1、　计算下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
解析：
（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）令
两边取常用对数得
，
∴，
即
答案
（1）1
（2）1
（3）3
（4）14
.
【变式训练1】　计算下列各式的值：
（1）(lg
5)2＋2lg
2－(lg
2)2；
（2）.
（3）
解析：　
（1）原式＝(lg
5)2＋lg
2(2－lg
2)
＝(lg
5)2＋(1＋lg
5)lg
2
＝(lg
5)2＋lg
2·lg
5＋lg
2
＝(lg
5＋lg
2)·lg
5＋lg
2
＝lg
5＋lg
2
＝1.
（2）原式＝
＝
＝.
（3）原式
答案
（1）1
（2）
（3）
题型二　利用换底公式化简、求值
规律方法　利用换底公式化简与求值的思路
例2、(1)(log43＋log83)(log32＋log92)＝________.
(2)已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值．
解析：　
（1）原式＝
＝·
＝×
＝.
（2）∵，
∴，
∴，
同理，∵，
∴，
∴
∴
答案　（1）
（2）
【变式训练2】
　(1)已知log1227＝a，求log616的值；
(2)计算：
(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)
的值．
解析：
（1）∵，
∴，
∴，
∴，
代入，整理得
（2）原式
答案
（1）
（2）13
题型三　利用对数式与指数式的互化解题
规律方法　利用对数式与指数式互化求值的方法
例3、（1），求；
（2）已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，
求x，y，z.
解析：
(1)由，得
.，
∴
(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，
∴＝logk2，＝logk3，＝logk5，
由＋＋＝1，得
logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，
∴k＝30，
∴x＝log230＝1＋log215，
y＝log330＝1＋log310，
z＝log530＝1＋log56.
答案
（1）18（2）x＝1＋log215，
y＝1＋log310，z＝1＋log56.
【变式训练3】
（1）若，求；
（2）已知，求
解析：（1）由，得，
∴原式
（2）由题意，得，
∴
答案
（1）
（2）
考向一
对数方程的求解方法
规律方法
对数方程的题型与解法
名称
题型
解法
基本型
将对数式转化为指数式，
解出
将对数式化为
指数式
，
解出，
注意检验且
同底
数型
转化为
求解，必须检验且
需代
入型
换元，令，转化为关于的方程得，再解方程，得，注意检验
例4、解下列关于的方程
（1）；
（2）；
（3）
解析：
（1）∵，
∴，
即，
∴
（2）由，
得即
，
解得
经检验知：当时，，
不满足真数大于0，舍去；
当时，，
符合题意，故
（3）原方程整理得，
即，
∴，
解得，
经检验知，都是原方程的解。
【变式训练4-1】
若是方程的两个实根，求的值
解析：
由题意可得，
∴是一元二次方程的二根
∴，
∴原式
答案
12
【变式训练4-2】
解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）
解析：
（1）首先，方程中的应满足，
其次，原方程可化为，
∴，即
解得（舍去）
经检验，是原方程的解。
（2）首先，，
其次，原方程可化为，
即，
令，
解得，
即，
∴，
经检验，都是原方程的解。
（3）首先，，
即，
又，得，
综上，，
其次，原方程可化为，
∴，∴
又，
∴，
经检验，是原方程的解。
答案
（1）15
（2）10或
（3）2
考向二
对数运算的实际应用
规律方法
例5、有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的增长率为，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从
年开始，快递行业产生的包装垃圾将超过4000万吨。（参考数据：）
解析：
设快递行业产生的包装垃圾为万吨，表示从年开始增加的年份数量，由题意可得，
令，
两边取常用对数得，，
∴，代入数值得，
则，
∴从2021年开始，快递行业产生的包装垃圾将超过4000万吨。
答案
2021
【变式训练5】
根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为。则下列各数中与最接近的是（
）（参考数据：）
A.
B.
C.
D.
解析：
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
答案
D
一、选择题　　　
　　　　　　
　　　　　
1．已知a＝log32，则log38－2log36＝(　　)
A．a－2
B．5a－2
C．3a－(1＋a)2
D．3a－a2－1
解析：　log38－2log36＝3log32－2(log32＋log33)＝3a－2(a＋1)＝a－2.
答案　A
2．已知ln
2＝a，ln
3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为(　　)
A．a－b　
　B.
C．ab
D．a＋b
解析：　log32＝＝.
答案
B
3．若lg
x－lg
y＝t，则＝(　　)
A．3t
B.t
C．t
D.
解析：　＝3lg－3lg＝3lg＝3(lg
x－lg
y)＝3t.
答案
A
4．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝(　　)
A.
B．10
C．20
D．100
解析：　＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，
∴m2＝10.
又∵m＞0，∴m＝.故选A.
答案　A
5．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为(　　)
A．3
B．8
C．4
D．log48
解析：　由2x＝3，得x＝log23.
∴x＋2y＝log23＋2log4＝log23＋
＝log23＋(3log22－log23)＝3.
答案　A
6．若2.5x＝1
000,0.25y＝1
000，则－＝(　　)
A.
B．3
C．－
D．－3
解析：　∵x＝log2.51
000，y＝log0.251
000，
∴＝＝＝log1
0002.5，
同理＝log1
0000.25，
∴－＝log1
0002.5－log1
0000.25＝log1
00010＝＝.
答案
A
7．已知x，y，z都是大于1的正数，m>0，且logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，
则logzm的值为(　　)
A.
B．60
C.
D.
解析：　由已知得logm(xyz)＝logmx＋logmy＋logmz＝，
而logmx＝，logmy＝，
故logmz＝－logmx－logmy＝－－＝，
即logzm＝60.
答案
B
8．已知a＝log32，则log38－2log36的值是(　　)
A．a－2
B．5a－2
C．3a－(1＋a)2
D．3a－a2－1
解析：　log38－2log36＝3log32－2(log32＋log33)＝3a－2(a＋1)＝a－2.
答案
A
二、填空题
9．已知3a＝2,3b＝，则32a－b＝________.
解析：　∵3a＝2,3b＝，
∴a＝log32，b＝log3＝－log35，
∴2a－b＝2log32＋log35＝log320，
∴32a－b＝20.
答案　20
10．计算－log98·＝________.
解析：　－log98·＝10lg
9÷10lg
4－·＝－·＝－＝2.
答案　2
11．已知x，y∈(0,1)，若lg
x＋lg
y＝lg(x＋y)，则lg(1－x)＋lg(1－y)＝________.
解析：　lg(x＋y)＝lg
x＋lg
y＝lg(xy)?x＋y＝xy，
lg(1－x)＋lg(1－y)＝lg[(1－x)(1－y)]＝lg(1－x－y＋xy)＝lg
1＝0.
答案　0
12
.
＝________.
解析：＝＝＝＝＝1.
答案
1
三、解答题
13．求值：(1)lg
52＋lg
8＋lg
5·lg
20＋(lg
2)2；
(2)log89·log2732－()lg
1＋log535－log57.
解析：(1)原式＝2lg
5＋2lg
2＋2lg
5lg
2＋(lg
5)2＋(lg
2)2＝2(lg
5＋lg
2)＋(lg
5＋lg
2)2＝2＋1＝3.
(2)log89·log2732－()lg
1＋log535－log57＝×－1＋log5＝×－1＋1＝.
答案
（1）
（2）
14．已知2x＝3y＝6z≠1，求证：＋＝.
证明：设2x＝3y＝6z＝k(k≠1)，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log6k，
∴＝logk2，＝logk3，＝logk6＝logk2＋logk3，
∴＝＋.
答案
见解析
15．2015年我国国民生产总值为a亿元，如果平均每年增长8%，那么过多少年后国民生产总值是2015年的2倍(lg
2≈0.301
0，lg
1.08≈0.033
4，精确到1年)．
解析：　设经过x年国民生产总值为2015年的2倍．
经过1年，国民生产总值为a(1＋8%)，
经过2年，国民生产总值为a(1＋8%)2，
…
经过x年，国民生产总值为a(1＋8%)x＝2a，
∴1.08x＝2，两边取常用对数，得x·lg
1.08＝lg
2.
∴x＝≈≈9.
故约经过9年，国民生产总值是2015年的2倍．
答案
经过9年后，国民生产总值是2015年的2倍
一、选择题
1．已知方程的两个根为，则（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：因为方程的两个根为，
由韦达定理可得，
又，
答案
B
2．若＝2，＝3，＝6，则的值为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：　logax＝＝2，
∴logxa＝.
同理logxb＝，logxc＝.
logabcx＝＝＝1.
答案　A
3．化简的结果是(　　)
A.
B．1
C．2
D．4
解析：　由对数运算可知：lg(lg
a100)＝lg(100lg
a)＝2＋lg(lg
a)，
∴原式＝2.
答案　C
4．已知函数f(x)＝则f(f(1))＋的值是(　　)
A．5
B．3
C．－1
D．
解析：由题意可知f(1)＝log21＝0，f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，
＝＋1＝3log32＋1＝2＋1＝3，
所以f(f(1))＋＝5.
答案
A
5．若，且，则等于(
)
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：由题意，设，
则，
所以.
答案
D
6．已知函数f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）=5-x-1，则f（log499?log57）的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
解析：log499?log57==，
又x＜0时，f（x）=5-x-1，且f（x）为奇函数；
∴f（log499?log57）=f()=-f()=-=-2．
答案
B
二、填空题
7．设x＝log23，则＝________.
解析：
由x＝log23得2x＝3,2－x＝，
＝＝32＋3×＋＝.
答案
8．已知log23＝a，log37＝b，则log1456＝________．
解析：由log23＝a，log37＝b，得log27＝ab，
则log1456＝＝＝＝.
答案
9．方程log3(x－1)＝log9(x＋5)的解是________．
解析：　由题意知
解得x＝4.
答案　x＝4
10．已知，若，，则_________.
解析：，
因为，故=2，
，
则，
解得
，则.
答案
三、解答题
11．已知loga(x2＋4)＋loga(y2＋1)＝loga5＋loga(2xy－1)(a>0，且a≠1)，求log8的值．
解析：由对数的运算法则，可将等式化为
loga[(x2＋4)·(y2＋1)]＝
loga[5(2xy－1)]，
∴(x2＋4)(y2＋1)＝5(2xy－1)．
整理，得x2y2＋x2＋4y2－10xy＋9＝0，
配方，得(xy－3)2＋(x－2y)2＝0，
∴∴＝.
∴
答案
12．已知x，y，z为正数，3x=4y=6z，且2x=py.
（1）求p的值；（2）求证：.
解析：（1）设3x=4y=6z=k(显然k＞0，且k≠1)，则x=log3k，y=log4k，z=log6k.
由2x=py，得.
∵log3k≠0，
∴p=2log34.
（2）证明：，
又∵，
∴.
答案
（1）2log34；（2）证明见解析.教材要点
学科素养
学考
高考
考法指津
高考考向
1.函数的三种表示法
数学建模
水平1
水平1
1.了解函数的不同表示法，并能在具体环境中作出选择。
2.理解分段函数的意义，能正确描绘图像和求函数值。
3.理解映射的概念，能判断一个对应是否为映射。
【考查内容】求函数的解析式、求分段函数的函数值、函数的图像都是常考考点。
【考查题型】选择题、填空题
【分值情况】5分
2.分段函数
数学运算
水平1
水平2
3.映射的概念
数学抽象
水平1
水平1
4.函数的图像
直观想象
水平1
水平2
知识点　函数的三种表示方法
表示法
定义
解析法
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
图象法
用图象表示两个变量之间的对应关系
列表法
列出表格来表示两个变量之间的对应关系
题型一　
作函数的图象
规律方法　作函数图象的步骤及注意点
例1、作出下列函数的图象：
(1);
(2)．
解析：
（1）
图像如图（1）所示
（2）
图像如图（2）所示
【变式训练1】　画出下列函数的图象：
（1）
（2）
（3）
（4）
解析：　
（1）
图象如图(1)所示．
（2）
图像如图(2)所示．
（3）
图像如图（3）所示.
（4）图像如图（4）所示.
题型二　函数求值问题
（一）给定函数解析式取值
规律方法
例2、已知函数
（1）.求
（2）求
解析：
（1）由题意可知，，
，
（2）由题意可知，
答案
（1）
（2）
【变式训练2-1】
设
则
，
，
。
解析：
由题意，将自变量代入相应的段求解得，
答案
【变式训练2-2】
（1）已知且
，则
（2）已知函数
若则的值是
解析：
（1）
（2）当时，
当时，
当时，
∴∴
又∵∴
答案
（1）8（2）
（二）列表法表示函数取值
规律方法　
例3、已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
1
2
3
1
3
1
1
2
3
3
2
1
则的值为________；满足的x的值是________．
解析：
　∵，∴.
与与相对应的值如下表所示：
1
2
3
1
3
1
3
1
3
答案　1；2
【变式训练3】　
已知函数分别由下表给出
1
2
3
2
1
1
1
2
3
3
2
1
(1)__________；
(2)若则__________.
解析　(1)由表知
∴
(2)由表知又
得
再由表知
答案　(1)1　(2)1
题型三　求函数的解析式
规律方法　
例4、求下列函数的解析式
(1)已知求
(2)已知求
（3）已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，则函数f(x)的解析式为．
（4）已知函数满足
求的解析式
解析：　
（1）由题意，把代入的表达式里，得
（2）令，则原表达式可化为：
整理得
再代入得
(3)设
则
所以
解得
所以
（4）∵①
令得
②
②得
①+③得
∴
答案
（1）
（2）
（3）
（4）　
【变式训练4】
（1）已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式；
（2）已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)的解析式；
（3）已知求函数的解析式；
（4）已知是二次函数，且满足，
，则函数f(x)的解析式。
解析：
（1）法一　(换元法)：令t＝＋1，
则x＝(t－1)2，t≥1，
所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
法二　(配凑法)：f(＋1)＝x＋2
＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1.
因为＋1≥1，所以f(x)的解析式为
f(x)＝x2－1(x≥1)．
（2）∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①
∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②
∴由①②得3f(x)＝x2－6x，
∴f(x)＝x2－2x.
（3）令
∴
整理得
即
（4）设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1
得c＝1，则f(x)＝ax2＋bx＋1，
f(x＋1)－f(x)
＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1]－(ax2＋bx＋1)
＝2ax＋a＋b
＝2x.
故得解得a＝1，b＝－1，
故得f(x)＝x2－x＋1.
答案　（1）
（2）
（3）　(4)x2－x＋1
考向一
分段函数的综合问题
规律方法
例5、
已知函数，求使时的值的集合
解析：
由题意得
由
由
综上所述，满足时的值的集合为
答案
【变式训练5】
已知实数函数
若求的值。
解析：
当时，则
∴
同理，
∴
不合题意，舍去；
当时，则有
符合题意
综上所述，
答案
考向二
映射的概念以及映射个数的确定
规律方法
例6、给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N
的映射是（
）
解析：
A选项，M集合中时，在N中没有
元素和它对应，因此不是映射；C选项，当x
=1
时，对应的元素为2，而，因此也不是
映射；D选项，对于中的每一个x
，
在N中有两个元素与之对应，因此它也不是映
射；再看B选项，对于M中的每一个元素
，在N中都有唯一元素与之对应，
因此它是的一个映射，故选B。
答案
B
【变式训练6-1】
已知集合
则下列对应不是从A到B的映射的是（
）
解析：
A,B,D均满足映射定义，C不满足集合A中任
一元素在集合B中有唯一元素与之对应，且集
合A中元素b在集合B中无元素与之对应。
故选C。
答案
C
【变式训练6-2】
下列对应中，f是集合M到N的映射的是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：
选项A中3没有对应的象，选项B中当时没有对应的象，选项D中2没有象，
故选C。
答案
C
例6-3、设若从M到N的映射f满足：，求这样的映射f的个数。
解析：
要确定映射f，只需要确定M中的每个元素对应的象即可，即确定f(a),f(b),f(c)的值。
而
还满足
因此要确定这样的映射f的个数，
只需要确定由-1,0,1组成多少个等式（
）+（
）=（
）。注意到映射不要求N中元素一定要取完，因而可通过列表把f(a),f(b),f(c)的取值情况表示出来。
故由上表可知，所求的映射有7个。
答案
7
【变式训练6-3】
集合，从A到B的映射f满足f(3)=3，则这样的映射共有（
）
A.
B.
C.
D.
解析：
∵f(3)=3
∴共有如下4个映射。
故选B。
答案
B
考向三
求应用问题的函数解析式
规律方法
规律方法
例7、
如图所示，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式是
。
解析：
如图可知，长方体的高为x，底是边长为a-2x的一个正方形，
因此长方体的体积
又由x得实际意义，必须有
所以体积V与x的关系式为
答案
【变式训练7】
甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2
km，甲10时出发前往乙家。如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x（分）的关系。试写出y=f(x)的函数解析式。
解析：
由图中可以看出甲在去乙同学家的途中在公园停留了10分钟，
故的函数解析式为：
考向四
函数图像与方程根思想的综合问题
规律方法
例8、
已知二次函数的图像经过点，是否存在常数使得不等式对一切实数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
解析：
∵的图像经过点
∴
∴①
令得
即②
∴由①②解得
∴
∵对一切实数都成立，
即对一切实数都成立
∴①
同理，对一切实数都成立，即②
由①②解得
∴
故存在常数使得不等式对一切实数都成立。
答案
【变式训练8】
已知函满足方程有唯一解，求函数的解析式，并求的值
解析：
由题意，∵∴
∴
即
∴∴。
答案
一、选择题
1．设f(x)＝2x＋3，g(x)＝f(x－2)，则g(x)等于(　　)
A．2x＋1　B．2x－1
C．2x－3
D．2x＋7
解析：　∵f(x)＝2x＋3，
∴f(x－2)＝2(x－2)＋3＝2x－1，
即g(x)＝2x－1，
答案
B.
2．如图所示的四个容器高度都相同．将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．
用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的是(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：　对于第一幅图，水面的高度h的增加应是均匀的，因此不正确，其他均正确。
答案
A
3．函数y＝f(x)(f(x)≠0)的图象与x＝1的交点个数是(　　)
A．1
B．2
C．0或1
D．1或2
解析：　结合函数的定义可知，如果f：A→B成立，
则任意x∈A，则有唯一确定的B与之对应，
由于x＝1不一定是定义域中的数，故x＝1可能与函数y＝f(x)没有交点，
故函数f(x)的图象与直线x＝1至多有一个交点．
答案
C
4．下列图形是函数y＝－|x|(x∈[－2,2])的图像的是(　　)．
解析：y＝－|x|＝注意端点的取舍．
答案
B
5．函数f(x)＝则f(f(3))＝(　　)．
A．
B．3
C．
D．
解析：f(3)＝，f(f(3))＝.
答案
D
6．已知f(x3－1)＝x＋1，则f(7)的值为(　　)．
A．
B．
C．3
D．2
解析：令x3－1＝7，得x3＝8，
∴x＝2，∴f(7)＝2＋1＝3.
答案
D
7．已知x≠0，函数f(x)满足f(x－)＝x2＋，则f(x)的表达式为(　　)
A．f(x)＝x＋
B．f(x)＝x2＋2
C．f(x)＝x2
D．f(x)＝
解析：　∵＝x2＋＝＋2，
∴f(x)＝x2＋2.
答案
B
8．已知函数f(x)满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q，那么f(12)＝(　　)
A．p＋q
B．2p＋q
C．p＋2q
D．p2＋q
解析：　由f(ab)＝f(a)＋f(b)，
∴f(12)＝f(4)＋f(3)＝2f(2)＋f(3)＝2p＋q.
答案
B
9．若，则当x≠0且x≠1时，f(x)＝(　　)．
A．
B．
C．
D．
解析：令＝t，则，
∴f(t)＝.
∴f(x)＝.
答案
B
10．已知函数f(x)＝2x＋1(1≤x≤3)，则(　　)．
A．f(x－1)＝2x＋2(0≤x≤2)
B．f(x－1)＝2x－1(2≤x≤4)
C．f(x－1)＝2x－2(0≤x≤2)
D．f(x－1)＝－2x＋1(2≤x≤4)
解析：∵f(x)＝2x＋1的定义域为[1,3]，
∴f(x－1)＝2(x－1)＋1＝2x－1，且其定义域为[2,4]．
答案
B
11．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于(　　)．
A．－3
B．－1
C．1
D．3
解析：f(a)＋f(1)＝f(a)＋2＝0，
∴f(a)＝－2.结合函数表达式可知a＜0，
∴f(a)＝a＋1＝－2，∴a＝－3
答案
A
二、填空题
12．已知函数f(x)＝x－，且此函数图象过点(5,4)，则实数m的值为________．
解析：将点(5,4)代入f(x)＝x－，得m＝5.
答案
5
13．若f(x)－f(－x)＝2x(x∈R)，则f(2)＝______.
解析：
由
得
相加得f(2)＝4，f(2)＝.
答案
14．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，
那么乘客可免费携带行李的最大重量为________(kg)．
解析：设一次函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)，
代入点(30,330)与点(40,630)得解得
即y＝30x－570，
若要免费，则y≤0，∴x≤19.
答案
19
15．已知函数f(x)＝若f(x)＝10，则x＝______.
解析：分两种情况：当x≤0时，由f(x)＝x2＋1＝10得x＝－3或x＝3(舍去)；
当x＞0时，由f(x)＝－2x＝10得x＝－5(舍去)，
综上可知x＝－3.
答案
16．已知函数f(x)在[－1,2]上的图像如图所示，则f(x)的解析式为________．
解析：设y轴左侧函数的解析式为y＝kx＋b(k＞0，－1≤x≤0)，
把点(－1,0)，(0,1)的坐标代入上式得
∴∴y＝x＋1(－1≤x≤0)．
同理可得y轴右侧函数的解析式为y＝－x(0＜x≤2)．[][]
答案
f(x)＝
17．设f(x)＝若f(x)＞－1，则实数x的取值范围为________．
解析：画出函数f(x)的图像，如图中实线部分所示，再作出直线y＝－1.若f(x)＞－1，
则x＜－1，或x＞0.
答案
三、解答题
18.如图所示，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为x的小正方形，
然后折成一个无盖的盒子，写出此盒子的体积V以x为自变量的函数式，并指明这个函数的定义域．
解析：由题意可知该盒子的底面是边长为(a－2x)的正方形，高为x，
∴此盒子的体积V＝(a－2x)2·x＝x(a－2x)2，
其中自变量x应满足即0∴此盒子的体积V以x为自变量的函数式为V＝x(a－2x)2，定义域为(0，)．
答案
V＝x(a－2x)2，定义域为(0，)．
19．某企业生产某种产品时的能耗y与产品件数x之间的关系式为：y＝ax＋.且当x＝2时，y＝100；
当x＝7时，y＝35.且此产品生产件数不超过20件．
写出函数y关于x的解析式。
解析：将
代入y＝ax＋中，得
?
所以所求函数解析式为y＝x＋(x∈N,0答案
y＝x＋(x∈N,020、求下列函数的解析式：
（1）已知f()＝＋，求f(x)；
（2）已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)．
解析：（1）令t＝＝＋1，得x＝，则t≠1.
把x＝代入f()＝＋，得
f(t)＝＋＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.
∴所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．
（2）∵x＋2＝(＋1)2－1，
∴f(＋1)＝(＋1)2－1.
又∵＋1≥1，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
答案
（1）
（2）
一、选择题
1．已知f(x)＝则f[f(1)]的值为(　　)．
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：∵f(1)＝f(－1)＝(－1)2－1＝0，
∴f[f(1)]＝f(0)＝02－1＝－1.
答案
A
2．函数的图象是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：由题意，函数，
根据一次函数的图象，可得函数的图象为选项C.
答案
C
3．已知函数，则的解析式为　　
A．
B．
C．
D．
解析：令,则，
所以
即
.
答案
B
4．已知，则的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
解析：令，得，
∴，
∴，故选A．
答案
A
5．已知f(x)＝kx＋b(k＜0)，且f[f(x)]＝4x＋1，则f(x)＝(　　)．
A．－2x－1
B．－2x＋1
C．－x＋1
D．
解析：∵f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝4x＋1，∴∴
答案
A
6．设函数，若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
B．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）
C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
D．（﹣∞，﹣3）∪[1，+∞）
解析：当时，，则；
当时，
，
，有或，
则，
综上可知：x0的取值范围是或.
答案
B
7．对a，b∈R，记max{a，b}＝函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是(　　)．
A．0　　　B．　　　C．　　　D．3
解析：函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的图像如图所示(实线部分)，
由图像可得，其最小值为.
答案
C
二、填空题
8．已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，则f(x)＝________.
解析：∵2f(x)＋f(－x)＝3x＋2①，用－x替代关系式中的x，
得2f(－x)＋f(x)＝3(－x)＋2②，
∴①×2－②得f(x)＝.
答案
9．若定义运算ab＝则函数f(x)＝x(2－x)的值域是______．
解析：由题意，得f(x)＝画函数f(x)的图像，如图所示．
由图像得函数f(x)的值域是(－∞，1]．
答案
10．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为________．
解析：由函数解析式可得f(－4)＝(－4)2＋b×(－4)＋c＝16－4b＋c，
f(0)＝02＋b×0＋c＝c，
f(－2)＝(－2)2＋b×(－2)＋c＝4－2b＋c.
∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
∴16－4b＋c＝c，且4－2b＋c＝－2，即b＝4，c＝2
∴f(x)＝
当x≤0时，由f(x)＝x得x2＋4x＋2＝x，即x2＋3x＋2＝0，
∴x＝－1，或x＝－2.
当x＞0时，由f(x)＝x得，x＝2.
综上可知，关于x的方程f(x)＝x的解的个数为3.
答案
3
三、解答题
11．已知函数，
（1）求的值；
（2）若，求实数的值.
解析：（1）由，
知.
，而，
.
（2）当时，，即，不合题意，舍去，
当时，，即，整理得：，解得或，
，符合题意，当时，，即符合题意，
综上可得，当时，或.
答案
（1）.（2）或.
12．当m为怎样的实数时，方程x2－4|x|＋5＝m有四个互不相等的实数根？
解析：先作出y＝x2－4|x|＋5＝的图像(如图所示)．
再作出直线y＝m，从图中可以直接看出，当1＜m＜5时，方程有四个互不相等的实根．
答案
13．已知函数f(x)对任意的实数x，y，都有f(x＋y)＝f(x)＋2y(x＋y)，且f(1)＝1，
求f(x)的解析式．
解析：∵f(x＋y)＝f(x)＋2y(x＋y)对任意x，y∈R都成立，
可令x＝0，y＝1，得
f(1)＝f(0)＋2×1×(0＋1)，
又f(1)＝1，解得f(0)＝－1，
再令x＝0，y＝x，得f(x)＝f(0)＋2x(0＋x)＝－1＋2x2，
即f(x)＝2x2－1.
答案第一讲
集合的含义与表示
一、选择题
1．若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是(　
　)
A．矩形
B．平行四边形
C．菱形
D．梯形
解析：由于集合中的元素具有“互异性”，故a，b，c，d四个元素互不相同，
即组成四边形的四条边互不相等.选D.
答案
D
2、集合A＝{1，－3,5，－7,9，…}用描述法可表示为(　
　)
A．{x|x＝2n±1，n∈N}
B．{x|x＝(－1)n(2n－1)，n∈N}
C．{x|x＝(－1)n(2n＋1)，n∈N}
D．{x|x＝(－1)n－1(2n＋1)，n∈N}
解析：观察规律，其绝对值为奇数排列，且正负相间，且第一个为正数，故应选C.
答案
C
3．已知集合，若，则实数a的值为（
）
A．或4
B．2
C．-2
D．4
解析：由集合，可得，
则得，，又因为可得，解得，
即C选项正确.
答案
C
4．已知集合A＝，则集合A中的元素个数为(　
　)
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：，的取值有、、、，又，
值分别为、、、，故集合中的元素个数为，故选C.
答案
C
5．若集合A=只有一个元素，则=（
）
A．
B．0
C．4
D．0或
解析：只有一个实根，
所以
答案
A
6．已知A中元素x满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是(　
　)
A．－1?A
B．－11∈A
C．3k2－1∈A
D．－34?A
解析：当时，，故，故选项A错误；
若，则，解得，故选项B错误；
令，得或，即，故选项C正确；
当时，，故，故选项D错误；
答案
C
7．已知集合，则中元素的个数为（
）
A．9
B．8
C．5
D．4
解析：，，
，当时，；
当时，；
当时，；所以共有9个。
答案
A
8．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1、x2∈A，x3∈B，
则下列判断不正确的是(　
　)
A．x1·x2∈A
B．x2·x3∈B
C．x1＋x2∈B
D．x1＋x2＋x3∈A
解析：集合A表示奇数集，B表示偶数集，
∴x1、x2是奇数，x3是偶数，
∴x1＋x2＋x3应为偶数，即D是错误的．
答案
D
9．下列命题中正确的是（
）
①0与表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为或；③方程的所有解组成的集合可表示为；④满足的所有实数组成的集合可以用列举法表示.
A．只有①和④
B．只有②和③
C．只有②
D．以上命题都不对
解析：①中“0”不是集合，而“”表示集合，故①不正确；
根据集合中元素的无序性可知②正确；
根据集合中元素的互异性可知③错误；
④不能用列举法表示，原因是有无数个元素，不能一一列举出来.
答案
C
10．已知x，y都是非零实数，可能的取值组成的集合为A，则下列判断正确的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
解析：当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，.
所以，.
答案
B
二、填空题
11．已知集合A＝{x|∈N，x∈N}，则用列举法表示为______．
解析：由题意A＝{x|∈N，x∈N}
∴x的值可以为1，2，3，4，
故答案为A={1，2，3，4}．
答案
12．如果有一个集合含有三个元素：1，x，x2－x，则实数x的取值范围是________．
解析：根据集合元素的互异性，满足，
解得且，，且，且，
所以所求的结果为.
答案
x≠0,1,2，
13．给出下列说法：
①直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x，y)|xy>0}；
②方程＋|y＋2|＝0的解集为{2，－2}；
③集合{(x，y)|y＝1－x}与{x|y＝1－x}是相等的．其中正确的是_______(填写正确说法的序号)．
解析：
直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点(x，y)，故①正确；方程＋|y＋2|＝0等价于即
解为有序实数对(2，－2)，解集为{(2，－2)}或{(x，y)|}，故②不正确；
集合{(x，y)|y＝1－x}的代表元素是(x，y)，集合{x|y＝1－x}的代表元素是x，
前者是有序实数对，后者是实数，因此这两个集合不相等，故③不正确．
答案
①
三、解答题
14．试说明下列集合各表示什么？
；；
；；.
解析：表示的取值集合，由知：，；
表示的取值集合，由知：或，或；
的代表元素为，表示反比例函数上的点构成的点集；
的代表元素为，由知：，
表示直线上除了以外的点构成的点集；
表示以方程“”和“”为元素的一个二元集.
表示以方程“”和“”为元素的一个二元集.
答案
见解析
15．(1)已知集合M＝{x∈N|∈Z}，求M；(2)已知集合C＝{∈Z|x∈N}，求C.
解析：(1)∵x∈N，∈Z，∴1＋x应为6的正约数．
∴1＋x＝1,2,3,6，即x＝0,1,2,5.
∴M＝{0,1,2,5}．
(2)∵∈Z，且x∈N，
∴1＋x应为6的正约数，
∴1＋x＝1,2,3,6，此时分别为6,3,2,1，
∴C＝{6,3,2,1}．
答案
（1）
（2）
16．已知集合，若，求的值．
解析：∵集合，
∴解得，
则．
答案
17．已知集合A含有三个元素2，a，b，集合B含有三个元素2,2a，b2，
若A与B表示同一集合，求a，b的值．
解析：　由题意得或
解得或或或
由集合中元素的互异性知，
或
答案
或教材要点
学科素养
学考
高考
考法指津
高考考向
1.指数函数的概念
数学抽象
水平1
水平1
1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法。
2.能画出具体指数函数的图像，能根据指数函数的图像说明指数函数的性质。
3.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小。
【考查内容】指数函数的图像与变换，求定义域、值域，比较大小，讨论指数复合函数的单调性或求参数范围。
【考查题型】选择题、解答题第一问
【分值情况】5--12分
2.指数函数的图像和性质
逻辑推理
水平1
水平1
3.指数函数的定义域和值域
数学运算
水平1
水平2
4.指数函数图像的交换
直观想象
水平1
水平2
知识点1　指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
知识点2　指数函数的图象及性质
a＞1
0＜a＜1
图
象
性质
定义域：R
值域：(0，＋∞)
过点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x＞0时，y＞1；
当x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；
当x＜0时，y＞1
在R上是增函数
在R上是减函数
题型一　指数函数的概念及应用
规律方法　判断一个函数是指数函数的方法
例1、给出下列函数：
（1）；（2）；（3）；（4），其中，指数函数的个数是(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　
D．4
解析：
（1）函数中的自变量在底数位置上，不在指数位置上，故不是指数函数；
（2）函数的底数为，故不是指数函数；
（3）函数中的指数式前的系数不是1，所以不是指数函数；
（4）函数的底数满足，符合指数函数的定义，是指数函数。
答案
A
【变式训练1】　
（1）若函数为指数函数，
则的值为（
）
A.
0
B.
C.
1
D.
2
（2）已知指数函数的图像经过点，
则的值等于
解析：
（1）为指数函数，则应满足，解得
（2）设，∵过点，
∴，又∵，
∴，∴，
∴
答案　（1）D
（2）
题型二　指数函数图象的应用
规律方法　处理函数图象问题的策略
例2、(1)函数f(x)＝2ax＋1－3(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是________．
(2)如图所示，曲线分别是指数函数的图像，判断的大小关系是
（3）若指数函数在R上为单调递减函数，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
解析:
（1）∵y＝ax的图象过定点(0,1)，
∴令x＋1＝0，即x＝－1，则f(x)＝－1，
故f(x)＝2ax＋1－3的图象过定点(－1，－1)．
（2）作直线，观察图像与直线的交点，根据交点越高，越大可知，
（3）∵在R上单调递减，
∴，解得，
则的取值范围是
答案
（1）
（2）
（3）
【变式训练2】　(1)函数y＝2|x|的图象是(　　)
(2)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0解析：
(1)，故选B．
(2)从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0y＝ax的图象向左平移个单位长度得到，所以，即.
答案　(1)B　(2)D
题型三　指数型函数的定义域、值域问题
规律方法　指数型函数y＝af(x)定义域、值域的求法
例3、求下列函数的定义域、值域。
（1）；
（2）
（3）
解析：
（1）函数的定义域为R（对一切）
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴值域为
（2）函数的定义域为R，
，
∵，
∴，即时，取最小值，
同时可以取一切大于的实数，
∴值域为
（3）要使函数式有意义，则，
即
∵函数在R上是增函数，∴，
故函数的定义域为，
由于，∴，
∴，∴
故函数的值域为。
【变式训练3】　求下列函数的定义域和值域．
（1）；
（2）；
（3）
解析：（1）要使函数式有意义，
则，解得
∴函数的定义域为，
又∵，∴，
即函数的值域为
（2）要使函数式有意义，则
解得
∴函数的定义域为，
∵∴，
即函数的值域为
（3）由已知，函数的定义域为R。
∵
∴
又，
∴
即函数的值域为
考向一
利用指数函数的性质比较指数式的大小
规律方法
例4、（1）设，，，则（
）
A.
B.
C.
D.
（2）比较这四个数的大小
解析：
（1），，，
根据在R上是增函数，得，即
（2）由题意有，
∵，
∴
即
【变式训练4】
（1）设，则
的大小关系是（
）
A.
B.
C.
D.
（2）设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，，则有（
）
A.
B.
C.
D.
解析：
（1）∵幂函数在上为增函数，
∴；
又∵为R上的减函数，所以
故
（2）∵的图像关于直线对称，
∴，
∵在上是增函数，
∴，
即
答案
（1）A
（2）B
考向二
与指数函数有关的函数的单调性
（1）复合指数函数单调性的判断
增
增
减
减
增
减
增
减
增
减
减
增
（2）
指数不等式的解法
例5-1、讨论函数的单调性，并求其值域。
解析：
函数的定义域为R，
令，则
∵上是减函数，
而在上是增函数，在上是减函数，
∴在上是减函数，在上是增函数。
∵
∴，∴，
所以函数的值域为
例5-2、（1）设函数则满足的的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
（2）已知函数，若，求实数的取值范围。
解析：
（1）当时，函数是减函数，则。作出的大致图像如图所示，
结合图像可知，要使，则需
解得
（2）由于均为增函数，为减函数，
但为增函数，
所以可得在R上递增。又
可得为奇函数，
则，
即有，
即有
解得
答案
（1）D
（2）
【变式训练5-1】
若，求函数的最大值和最小值。
解析：
令，
，
∴当时，；
当时，
答案
【变式训练5-2】
（1）
已知函数，则（
）
A.
是偶函数，且在R上是增函数
B.
是奇函数，且在R上是增函数
C.
是偶函数，且在R上是减函数
D.
是奇函数，且在R上是减函数
（2）若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：
（1）定义域为R，
由
可知为奇函数，
∵在R上是减函数，
在R上是增函数，
∴函数在R上是增函数
（2）由题意，知，即
所以，解得，
所以，
由，得，
所以
答案
（1）B
（2）C
一、选择题
1．函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值是(　　)　　　　　　
　　　　　
A．4
B．1或3
C．3
D．1
解析：　由题意得得a＝3，故选C.
答案
　C
2．下列各函数中，是指数函数的是(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：　根据指数函数的定义y＝ax(a>0且a≠1)，可知只有D项正确．故选D.
答案
　D
3．函数y＝a|x|(a>1)的图象是(　　)
解析：　当x≥0时，y＝a|x|的图象与指数函数y＝ax(a>1)的图象相同，
当x<0时，y＝a|x|与y＝a－x的图象相同，由此判断B正确．
答案
　B
4．若a>1，－1A．第一、二、三象限
B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限
D．第一、二、四象限
解析：　∵a>1，且－1答案
　A
5．下列函数中，指数函数的个数为(　　)
①y＝()x－1；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；
④y＝()2x－1.
A．0个　
　B．1个
C．3个
D．4个
解析：　由指数函数的定义可判定，只有②正确．
答案
B
6．函数y＝(－1)x在R上是(　　)
A．增函数
B．奇函数
C．偶函数
D．减函数
解析：　由于0<－1<1，所以函数y＝(－1)x在R上是减函数，
f(－1)＝(－1)－1＝，f(1)＝－1，
则f(－1)≠f(1)，且f(－1)≠－f(1)，
所以函数y＝(－1)x不具有奇偶性．
答案
D
二、填空题
7．指数函数f(x)＝ax＋1的图象恒过定点________．
解析：　由函数y＝ax恒过(0,1)点，可得当x＋1＝0，
即x＝－1时，y＝1恒成立，
故函数恒过点(－1,1)．
答案
　(－1,1)
8．函数f(x)＝3的定义域为________．
解析：　由x－1≥0得x≥1，
所以函数f(x)＝3的定义域为[1，＋∞)．
答案
　[1，＋∞)
9．函数f(x)＝3x－3(1解析：　因为1而函数f(x)＝3x是单调递增的，
于是有即值域为
答案
　
10．给出函数则f(2)＝________.
解析：f(2)＝f(3)＝23＝8.
答案
8
11.图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数y＝ax的图象，而a∈{，，，π}，
则图象C1，C2，C3，C4对应的函数的底数依次是____，____，____，____.
解析：由底数变化引起指数函数图象变化的规律，在y轴右侧，底大图高，在y轴左侧，底大图低．
则知C2的底数故C1，C2，C3，C4对应函数的底数依次是，，π，.
答案
　　π　
三、解答题
12．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a>0且a≠1
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
解析：　(1)因为函数图象过点，
所以a2－1＝，则a＝.
(2)由(1)得f(x)＝(x≥0)，
由x≥0，得x－1≥－1，
于是0<＝2.
所以所求函数的值域为(0,2]．
答案
（1）
（2）
13．已知f(x)＝9x－2×3x＋4，x∈[－1,2]．
(1)设t＝3x，x∈[－1,2]，求t的最大值与最小值；
(2)求f(x)的最大值与最小值.
解析：　(1)设t＝3x，∵x∈[－1,2]，函数t＝3x在[－1,2]上是增函数，
故有≤t≤9，故t的最大值为9，
t的最小值为.
(2)由f(x)＝9x－2×3x＋4＝t2－2t＋4＝(t－1)2＋3，
可得此二次函数的对称轴为t＝1，且≤t≤9，
故当t＝1时，函数f(x)有最小值为3，
当t＝9时，函数f(x)有最大值为67.
答案
（1）
（2）
一、选择题
1．函数y＝(0解析：　当x>0时，y＝ax(0当x<0时，y＝－ax，与y＝ax(0答案
D
2．当x>0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是(　　)
A．1<|a|<
B．|a|<1
C．|a|>1
D．|a|>
解析：　依题意得a2－1>1，a2>2，
∴|a|>.
答案
D
3．函数的值域为（
）
A．
B．
C．
D．
解析：由二次函数的性质可知，
因此，
即函数的值域为.
答案
D
4．若函数单调递增,则实数a的取值范围是(
)
A．
B．
C．?
D．
解析：函数单调递增，
解得
所以实数的取值范围是．
答案
B
5．已知函数，则（
）
A．在单调递增
B．在单调递减
C．的图像关于直线对称
D．的图像关于y轴对称
解析：，
根据对勾函数的图像特征，在单调递减，在单调递增，
在上单调递增，
根据复合函数的单调性可得，当，
即，函数单调递减，
当，即，
函数单调递增，
所以选项A,B错误；
由，
的图像关于直线对称，选项C正确；
由，的图像不关于y轴对称，选项D，错误.故选C.
答案
C
6．已知为偶函数，为奇函数，且满足.若存在，使得不等式有解，则实数的最大值为（
）
A．
B．
C．1
D．-1
解析：为偶函数，为奇函数，且①，
②
①②两式联立可得，.
由得，
∵在为增函数，
∴，故选：A.
答案
A
二、填空题
7．函数f(x)＝的值域是________．
解析：　函数y＝f(x)＝，即有3x＝，
由于3x＞0，则＞0，
解得0＜y＜1，值域为(0,1)．
答案
　(0,1)
8．若x1，x2是方程的两个实数解，则x1＋x2＝________.
解析：∵，
∴，
∴x＝－1，
∴x2＋x－1＝0.
∴x1＋x2＝－1.
答案
－1
9．已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为__________．
解析：函数的对称轴为，且在上单调递减，在上单调递增，
由函数在区间上的值域为，
知
即。
答案
三、解答题
10．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在[－1,1]上的最大值为14，求a的值．
解析：函数y＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，x∈[－1,1]．
若a>1，则x＝1时，函数取最大值a2＋2a－1＝14，解得a＝3.
若0解得a＝.
综上所述，a＝3或
答案
11．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数且a＞0，a≠1)的图象经过点A(1,8)，B(3,32)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若不等式在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
解析：　(1)把点A(1,8)，B(3,32)代入函数f(x)＝b·ax，
可得得
∴f(x)＝4·2x.
(2)不等式在x∈(－∞，1]上恒成立，
即m≤在x∈(－∞，1]上恒成立．
令t＝，则m≤·t2＋t＋.
记g(t)＝·t2＋t＋＝·＋，
由x∈(－∞，1]，可得t≥.
故当t＝时，函数g(t)取得最小值为.
由题意可得，m≤g(t)min，∴m≤
答案
（1）f(x)＝4·2x
（2）m≤
12．已知
(1)
求函数的定义域；
(2)
判断的奇偶性；并说明理由；
(3)
证明
解析：
(1)由,得,即
.函数的定义域是;
(2)函数的定义域关于原点对称,
又,
而,
.为偶函数;
(3)当时,,.当时,
由,得,
,则,
.
综上,.
答案
(1)
(2)
为偶函数．
(3)
证明见解析.第十三讲
函数与方程
一、选择题
1．函数f(x)＝x＋lg
x－3的零点所在的区间为(　　)
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3，＋∞)
解析：　易知函数f(x)＝x＋lg
x－3在定义域上是增函数，
f(1)＝1＋0－3＜0，
f(2)＝2＋lg
2－3＜0，
f(3)＝3＋lg
3－3＞0，
故函数f(x)＝x＋lg
x－3的零点所在的区间为(2,3)，故选C.
答案
　C
2．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似解的是(　　)
①y＝3x2－2x＋5；②;③y＝＋1；④y＝x3－2x＋3；⑤y＝x2＋4x＋8.
A．①②③
B．⑤
C．①⑤
D．①④
解析：　⑤中y＝x2＋4x＋8，Δ＝0，不满足二分法求函数零点的条件．故选B.
答案
　B
3．一元二次方程的两根均大于，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：设，
则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.
由于一元二次方程的两根均大于，
则，解得，
因此，实数的取值范围是.
答案
C
4．已知函数f（x）=x3+2x-8的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如表所示：
x
1
2
1.5
1.75
1.625
1.6875
f（x）
-5.00
4.00
-1.63
0.86
-0.46
0.18
则方程x3+2x-8=0的近似解可取为（精确度0.1）（　　）
A．1.50
B．1.66
C．1.70
D．1.75
解析：∵
∴近似解可取为1.66，选B.
答案
B
5．若函数的零点为，且，，则的值为（
）.
A．
B．
C．
D．
解析：因为函数在单调递增，
因为，，，
所以，所以.
答案
C
6．若是方程的解，则属于区间(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：令
，
则
结合图象可得。
答案
C
7．设函数，用二分法求的一个近似解时，第步确定了一个区间为，到第步时，求得的近似解所在的区间应该是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：，，，
第步所得零点所在区间为；
取区间的中点，
，
因此，第步求得的近似解所在的区间应该是.
答案
C
8．已知是函数的一个零点，若，则（
）
A．,
B．,
C．,
D．,
解析：因为是函数的一个零点,则是函数与的交点的横坐标,画出函数图像,如图所示,
则当时,在下方,即；
当时,在上方,即,
答案
B
9．已知，若关于的方程有6个不等的实数根，则的值是（
）.
A．0
B．1
C．6
D．2
解析：函数的图象如图所示，
令，由题意可知：
方程有两个不同的实数根，或，，
由于，故，，
令，所以.
答案
D
10．已知函数，.若有个零点，
则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：令可得，作出函数与函数的图象如下图所示：
由上图可知，当时，函数与函数的图象有个交点，
此时，函数有个零点
.
因此，实数的取值范围是.
答案
D
11．对于定义在R上的函数，若存在非零实数，使函数在和上与x轴都有交点，则称为函数的一个“界点”.则下列函数中，不存在“界点”的是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：A项中，，其对应二次方程的判别式，
因此与轴有两个不同的交点，故有“界点”；
B项中，，令，解得或，故有“界点”；
C项中，，，
则在上单调递增，因此与轴不可能有两个交点，故没有“界点”；
D项中，，则2和4均为函数的零点，故有“界点”.
答案
C
12．已知函数为上的偶函数，当时，函数，若关于的方程有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：由题意，作出函数的图像如下，
由图像可得，，
关于的方程有且仅有6个不同的实数根，
设，有两个根，不妨设为；且，，
又，
。
答案
B
13．已知函数关于x的方程，有四个不同的实数解,则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
解析：因为，可作函数图象如下所示：
依题意关于x的方程，有四个不同的实数解,
即函数与的图象有四个不同的交点，
由图可知令，
则，，即，
所以，则，
所以，，
因为，在上单调递增，
所以，即，
答案
B
二、填空题
14．若关于的方程有两个不同的实数解，则实数的取值范围是________.
解析：令，得，
由题意可知函数与的图象有两个交点，
结合函数图象（如图），可知，.
答案
15．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，
就是函数y＝ax(a>0且a≠1)与函数y＝x＋a的图象有两个交点，
由图象可知当0当a>1时，因为函数y＝ax(a>1)的图象过点(0,1)，
当直线y＝x＋a与y轴的交点(0，a)在(0,1)的上方时一定有两个交点．
所以a>1.
答案
(1，＋∞)
16．关于x的一元二次方程在区间上有实数解则实数m的取值范围为______.
解析：关于的二次方程在区间，上有实根，
，且，即，
故函数
的图象和直线在区间，上有交点．
当时，在区间，上函数
取得最小值为2，函数无最大值，
，．
答案
三、解答题
17．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．
解析：　(1)由f(0)＝f(4)，得3＝16－4b＋3，即b＝4，
所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，
即x2－4x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1，
所以f(x)的零点是1和3.
(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．
需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.
故b的取值范围为(4，＋∞)．
答案
（1）
（2）
18．已知二次函数
时，求函数的最小值
若函数有两个零点，在区间上只有一个零点，求实数取值范围
解析：（1）函数对称轴为,
当时，在单调递增，故
时，在先减后增，故
时，在单调递减，故
。
（2）函数，在区间上只有一个零点，
∴，得.
考虑边界情况：由，得，
，
或，
满足，由，得，
∴或，
，综上，得。
答案
(1)
(2)
19．已知定义在上的函数.
（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）当时，判断函数的单调性并加以证明；并求在上有零点时，
的取值范围.
解析：
（1）当时，，既为奇函数又为偶函数
当时，为奇函数
证明：，
为奇函数
（2）当时，为增函数
证明：任取，则
，在上为增函数，
在上的值域为
要使在上有零点，则。
答案
（1）详见解析；（2）增函数，证明见解析；第九讲
指数函数及其性质
一、选择题
1．函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：要使函数有意义，需满足，即：，
因为为增函数，所以，解得：.
答案
B
2．函数f(x)＝2|x|－1在区间[－1,2]上的值域是(　　)
A．[1,4]
B.
C．[1,2]
D.
解析：　函数f(x)＝2t－1在R上是增函数，
∵－1≤x≤2，
∴0≤|x|≤2，
∴t∈[0,2]，
∴f(0)≤f(t)≤f(2)，即≤f(t)≤2，
∴函数的值域是，故选B.
答案
　B
3．若函数，（，且）的图像经过第一，第三和第四象限，则一定有（
）
A．且
B．且
C．且
D．且
解析：根据指数函数的图象和性质可知，
要使函数y＝ax﹣（b+1）（a＞0且a≠1）的图象经过第一、三、四象限，
则函数为增函数，
∴a＞1，且f（0）＜0，
即f（0）＝1﹣b＜0，解得b＞1．
答案
B
4．如果，那么（
）
A．
B．
C．
D．
解析：根据函数在是减函数，
且，所以，
所以，故选C.
答案
C
5．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(
)
A．(－∞，2]
B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞)
D．(－∞，－2]
解析：由f(1)=得a2=,∴a=或a=-(舍),即f(x)=(.
由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,
所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.
答案
B
6．函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是
A．f(bx)≤f(cx)
B．f(bx)≥f(cx)
C．f(bx)>f(cx)
D．与x有关，不确定
解析：∵f（1+x）＝f（1﹣x），
∴f（x）图象的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2．
又f（0）＝3，∴c＝3．
∴f（x）在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f（3x）≥f（2x）．
若x＜0，则3x＜2x＜1，∴f（3x）＞f（2x）．∴f（3x）≥f（2x）．
答案
A
7．函数（且）的图象不可能是（
）
A．B．C．D．
解析：当时，为减函数，
取时，函数值，
又，所以故C选项符合题意，D选项不符合题意；
当时，函数为增函数，
取时，函数值，
又，所以，
故A选项符合题意，B选项也符合题意.故选：D.
答案
D
8．已知实数a，b满足等式
，给出下列五个关系式：①0④b＜a＜0；⑤a＝b.其中，不可能成立的有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：作y＝与y＝的图象．
当a＝b＝0时，
；
当a当a>b>0时，也可以
故①②⑤都可能成立，不可能成立的关系式是③④.故选B.
答案
B
9．已知函数，则不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：函数的定义域为，关于原点对称，
且，该函数为偶函数，
当时，，该函数在区间上为增函数，
由，得，
，即，得，
可得，解得.
因此，不等式的解集是.
答案
A
二、填空题
10．已知函数，则该函数的单调递增区间是__________.
解析：由题得函数的定义域为.设，
函数在单调递减，在单调递增，
函数在其定义域内单调递减，
所以在单调递增，在单调递减.
答案
11．已知，则函数的最大值为__________.
解析：设，，则，
，
故当，即时，函数有最大值为.
答案
12．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则此函数的值域为__________.
解析：设，当时，，所
以，，所以，
故当时，．
因为是定义在上的奇函数，
所以当时，，
故函数的值域是．
答案
三、解答题
13．已知函数.
（1）判断并证明的奇偶性；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值.
解析：（1）函数的定义域为，关于原点对称，
，
因此，函数为奇函数；
（2）设，由于函数为增函数，函数为减函数，
所以，函数为增函数，
当时，则，且，
则，
令，.
所以，，.
答案
（1）奇函数，证明见解析；（2）最小值为，最大值为.
14．已知函数，.
（1）当时，求的值域；
（2）若的最大值为，求实数的值.
解析：（1）当时，在上单调递减，
故，，
所以的值域为.
（2），令，
则原函数可化为，其图象的对称轴为.
①当时，在上单调递减，
所以，无解；
②当时，，
即，解得；
③当时，在上单调递增，
故，解得，不合题意，舍去.
综上，的值为.
答案
（1）（2）
15．已知在区间
上的值域为。
(1)求实数的值；
(2)若不等式
当上恒成立，求实数k的取值范围。
解析：（1），当时，在上单调递增
，即，与矛盾。故舍去。
当时，，即，故，此时，
满足时其函数值域为。
当时，在上单调递减，，即，舍去。
综上所述：。
（2）由已知得在上恒成立
在上恒成立
令，且，则上式恒成立。
记，
时单调递减，
，故，
所以的取值范围为。
答案
（1）；（2）.第二讲
集合间的基本关系
一、选择题
1．下列各式中，正确的个数是（
）
（1），（2），（3）；（4）；（5）；
（6）；（7）；（8）.
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：表示空集，没有元素，有一个元素，则，故（1）错误；
空集是任何集合的子集，故（2）正确；和都表示集合，故（3）错误；
0表示元素，表示集合，故（4）错误；
，故（5）正确；
，都表示集合，故（6）错误；
中的元素都是中的元素，故（7）正确；
由于集合的元素具有无序性，故，故（8）正确；
综上，正确的个数是4个，故选D。
答案
D
2．下面每一组的两个集合，相等的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
解析：A选项中，表示两个不同的点，
∴，∴该选项不符合；
B选项中集合M有两个元素1，2是实数，N有一个元素是点，
∴，∴该选项不符合；
C选项中集合M是空集，集合N是含有一个元素的集合，
∴，∴该选项不符合；
D选项中由得，
∴，∴该选项符合.
答案
D
设集合，，则使成立的的值是（
）
A．-1
B．0
C．1
D．-1或1
解析：∵A＝{﹣1，0，1}，B＝{a，a2}，且B?A；
∴∴a＝﹣1．
答案A
4．设集合A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}，则集合A与B的关系为（　　）
A．
B．
C．
D．
解析：∵合A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}={0，1，2，3，4}，
∴A?B．故选D．
答案
D
5．，，若，则的取值集合为　　
A．
B．
C．
D．
解析：，，，
，或，
或或．
的取值集合为．
答案
D
6．集合，则中子集的个数为（
）
A．个
B．个
C．个
D．个
解析：，，
即子集的个数为.
答案
D
7．已知集合，，则下列关于集合A与B的关系正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：因为,所以,
集合是集合B中的元素,所以.
答案
D
8．能正确表示集合和集合的关系的韦恩图的是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：，故选B.
答案
B
9．已知，若集合，则（
）
A．
B．
C．1
D．2
解析：∵，又，
，
，
当时，，不符合集合元素的互异性，故舍去；
当时，，符合题意.
∴.
答案
B
二、填空题
10．图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，
请作适当的选择填入下面的空格：
A为________；B为________；
C为________；D为________．
解析：由Venn图可得A?B，C?D?B，A与D之间无包含关系，A与C之间无包含关系．
由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，
可得A为小说，B为文学作品，C为叙事散文，D为散文．
答案
小说　文学作品　叙事散文　散文
11．已知集合，
则满足条件的集合的个数为_______．
解析：求解一元二次方程，得
，
易知.
因为，
所以根据子集的定义，集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，
原题即求集合的子集个数，即有个。
答案
4
12．已知集合,且,
则满足条件的实数组成的集合为_______
解析：若集合，将-2带入B中，
则应满足，，反求得集合,与假设矛盾，排除
若，则，即，，
所以满足条件的组成的集合为。
答案
三、解答题
13．已知集合．
（1）若是空集，求实数的取值范围；
（2）若中只有一个元素，求实数的值．
解析：（1）∵是空集，∴，即，
∴实数的取值范围
（2）∵中只有一个元素，
∴或
即：或.
答案
（1）（2）或
14．已知集合，，
若，求实数的取值范围．
解析：
．又，．
当时，方程无解，
；
当方程有1个解时，
.
当时，，满足；
当时，，不满足，舍去.
当时，可得，但此时方程无解，不成立．
综上，.
答案
15．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B?A，求实数a组成的集合C.
解析：由x2－3x＋2＝0，得x＝1，或x＝2.
∴A＝{1,2}．
∵B?A，∴对B分类讨论如下：
(1)若B＝?，即方程ax－2＝0无解，此时a＝0.
(2)若B≠?
则B＝{1}或B＝{2}．
当B＝{1}时，有a－2＝0，即a＝2；
当B＝{2}时，有2a－2＝0，即a＝1.
综上可知，符合题意的实数a所组成的集合C＝{0,1,2}．
答案第五讲
函数的表示法
一、选择题
1．已知函数f(x)＝则正确的函数图象是(　　)
解析：当x＝－1时，y＝0，即图象过点(－1,0)，显然D错；
当x＝0时，y＝1，即图象过点(0,1)，C错；
当x＝1时，y＝2，即图象过点(1,2)，B错．
所以选A.
答案
A
2．已知函数，则=（　）
A．
B．
C．
D．
解析：∵函数f(x)=，
∴
∴f=f（）=+1=
答案
D
3．设函数，若，则实数的值为（
）
A．±1
B．－1
C．－2或－1
D．±1或－2
解析：由题意知，f（a）＝a；当a≥0时，有，解得a＝﹣2，（不满足条件，舍去）；
当a＜0时，有，解得a＝1（不满足条件，舍去）或a＝﹣1．所以实数a
的值是：a＝﹣1
答案
B
4．已知x≠0，函数f(x)满足f(x－)＝x2＋，则f(x)的表达式为(　　)
A．f(x)＝x＋
B．f(x)＝x2＋2
C．f(x)＝x2
D．f(x)＝
解析：∵＝x2＋＝＋2，
∴f(x)＝x2＋2.
答案
B
5．已知函数的图像上有一动点，
设此函数的图像与轴、直线及围成的图形（图中阴影部分）面积为，
则随点自点经到点运动而变化的图像大致是（）
A．
B．
C．
D．
解析：设，根据三角形面积公式有.
答案
A
6．已知为一次函数，且则的值为（）
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：设，则，，
或，
综上：。
答案
B
7．已知函数满足，求的值为（
）
A．
B．
C．
D．
解析：由题意可得，
据此可得函数的解析式为.
答案
B
二、填空题
8．将一根长为a的铁丝折成矩形，则矩形面积y关于一边长x的解析式为__________．
解析：设矩形的一边长为x，则另一边长为
(a－2x)，
所以y＝x·
(a－2x)＝－x2＋ax，
由解得，
所以函数定义域为.
答案
y＝－x2＋ax，
9．对，记，
函数的最小值是_______
解析：当x＜﹣1时，|x+1|＝﹣x﹣1，|x﹣2|＝2﹣x，
因为（﹣x﹣1）﹣（2﹣x）＝﹣3＜0，
所以2﹣x＞﹣x﹣1；当﹣1≤x时，|x+1|＝x+1，|x﹣2|＝2﹣x，
因为（x+1）﹣（2﹣x）＝2x﹣1＜0，x+1＜2﹣x；
当x＜2时，x+1＞2﹣x；当x≥2时，|x+1|＝x+1，|x﹣2|＝x﹣2，显然x+1＞x﹣2；
故f（x），据此求得最小值为．
答案
10．设函数f(x)＝，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
则关于x的方程f(x)＝x的解的个数是________．
解析：由f(－4)＝f(0)?(－4)2＋b×(－4)＋c＝c，
f(－2)＝－2?(－2)2＋b×(－2)＋c＝－2，
解得b＝4，c＝2.则f(x)＝，
由f(x)＝x，得x2＋4x＋2＝x?x2＋3x＋2＝0?x＝－2或x＝－1，
即当x≤0时，有两个解．当x>0时，有一个解x＝2.综上，f(x)
＝x有3个解．
答案
3
三、解答题
11．如图，定义在上的函数的图象由一条线段及抛物线的一部分组成．
(1)求的解析式；(2)写出的值域．
解析：（1）当时，设解析式为，
由图象有，解得，
∴，当时，设解析式为，
∵图象过点，
∴，解得，
∴，
综上，函数在上的解析式为
（2）由图可知，其值域为.
答案
（1）；（2）
12．如图，已知底角为45°的等腰梯形，底边长为，腰长为，当一条垂直于底边（垂足为）的直线从左到右移动（与梯形有公共点）时，直线把梯形分成两部分，令，试写出直线左边部分的面积与的函数解析式．
解析：过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H．
∵ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝cm，
∴BG＝AG＝DH＝HC＝2cm，
又∵BC＝7cm，∴AD＝GH＝3cm，
①当点F在BG上时，,即时，；
②当点F在GH上时，即时，．
③当点F在HC上时，即时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD?S三角形CEF
，
∴函数解析式为.
答案教材要点
学科素养
学考
高考
考法指津
高考考向
1.并集的定义与基本运算
数学运算
水平1
水平1
1.理解交集、并集、补集的概念，掌握它们的基本运算。
2.正确掌握并熟练地运用集合集合的运算性质进行综合运算。
3.能利用补集的思想，数形结合的思想与方法解题。
【考查内容】集合的交、并、补的基本运算。
【考查题型】选择题、填空题
【分值情况】3-5分
2.交集的定义与基本运算
数学运算
水平1
水平2
3.全集与补集
数学运算
水平1
水平2
4.集合的运算性质
直观想象
水平1
水平2
一、交集、并集
知识点1　并集
(1)文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集．
(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
(3)图形语言：如图所示．
知识点2　交集
(1)文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集．
(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．
(3)图形语言：如图所示．
题型一　并集的概念及简单应用
规律方法　求集合并集的两种方法
例1、(1)设集合，则
A.
B.
C.
D.
(2)已知集合
,则
A．
B.
C.
D.
解析：　
(1)表示属于M或属于N的元素组成的集合，故．
(2)在数轴上表示两个集合，如图所示，则
答案
（1）B
(2)
A
【变式训练1】　
已知集合,
则集合
A.
B.
C.
D.
解析：
　
由于表示A,B中所有元素构成的集合，但不可重复，故
答案　B
题型二　交集的概念及简单应用
规律方法　求集合A∩B的常见类型
例2、(1)
，
，
则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A．　　
B．
C．　　
D．
(2)设集合，
，则
A．　　B．
C．　　D．
解析：
(1)易知，
，图中阴影部分表示的集合为
，故选A．
(2)在数轴上表示出集合A与B，如图所示．
则由交集的定义知，．
答案　(1)A　(2)A
【变式训练2】　
(1)已知集合，
，则集合中元素的个数为(　　)
A．5　　　B．4　　　C．3　　D．2
(2)已知，
，则
A．　　B．
C．　
D．
解析：
　(1)8＝3×2＋2,14＝3×4＋2，
故，故选D．
(2)由得
故．
答案　(1)D　(2)D
题型三　并集、交集的运算性质及应用
规律方法　
利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点
例3、设，
（1）若，求的值；
（2）若，求的值。
解析：
（1）由已知得
∵，则，
∴的可能情况有?、、、
①若B=?，则，
解得
②若，则方程有两个相等实根
∴解得?
③若，同理可得
解得
④若则
解得
综上所述，
（2）∵，则
又∵，且B至多有两个元素
故A=B
由（1）知，
【变式训练3】
已知集合，
集合
（1）若,求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围。
解析：
（1）由题意可知，M是N的子集
解得?
（2）由题意知，N是M的子集，
则此时集合N有空集的可能性，故
①若N=?，则
解得，符合题意；
②若N≠?，则
解得
综上所述，的取值范围是
二、补集及综合应用
知识点　补集的概念
(1)全集：
①定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
②记法：全集通常记作U.
(2)补集
文字语言
对于一个集合A，由全集中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作
符号语言
图形语言
题型四　补集的基本运算
规律方法　求补集的方法
例4、(1)设集合，
则
A．　　　B．
C．　D．
（2）已知全集，
，则实数＝________.
解析：
　(1)如图，在数轴上表示出集合M，可知
．
(2)由题意可知解得.
答案　(1)A　(2)2
【变式训练4】　(1)已知全集，
集合，则
(2)设，，若，则实数＝________.
解析：
　(1)借助数轴得．
(2)∵，∴，
∴0,3是方程的两个根，
∴.
答案　(1)　(2)－3
题型五　集合交、并、补的综合运算
规律方法　
例5、已知全集，集合
，，
求，，．
解　利用数轴，分别表示出全集及集合A，B，先求出及，再求解．
则，
∴
【变式训练5】　
已知集合，，．
求：(1)；(2)；(3)；(4)．
解析：
　(1)如图所示，可得
，
由此可得：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
题型六　根据补集的运算求参数的值或范围
规律方法　由集合的补集求解参数的方法
例6、　(1)已知集合和，满足，，，求实数的值．
(2)已知集合，
，且，
求的取值范围．
解析：
　(1)∵
∴
又∵
∴
∴解得
∴的值分别为，－.
(2)≠?
∵，
∴分?和≠?两种情况讨论．
①若A＝?，此时有，∴.
②若A≠?，则有或∴
综上所述，.
答案
（1）（2）
【变式训练6】　
设全集，，
求实数的值．
解析：
　∵，∴5，且.
∴，解得或.
当时，|2a－1|＝3≠5，此时A＝{3,2}，U＝{2,3,5}符合题意．
当时，|2a－1|＝9，此时A＝{9,2}，
U＝{2,3,5}，不满足条件，
故舍去．
综上所述，.
答案
2
考向一
集合中的实际问题
规律方法
例7、
向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。那么对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各多少人？
解析：
赞成A的人数为赞成B的人数为如图所示，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合M，赞成事件B的学生全体为集合N。
设对事件A、B都赞成的学生人数为，则对A、B都不赞成的学生人数为赞成A而不赞成B的人数为，赞成B而不赞成A的人数为
由题意可得，
解得
所以对A、B都赞成的学生有21人，都不赞成的有8人。
【变式训练7】
某网店统计了连续三天售出的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种。则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有多少种？
②这三天售出的商品最少有多少种？
解析：
设三天售出的商品有种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有种，第三天售出商品的种类关系如图所示。
由图可知：①第一天售出但第二天未售出的商品有（种）
②这三天售出的商品有（种）。
又∵所以
∴
（种）
答案
①
16
②29
考向二
图示法在集合运算中的运用
规律方法
图示法解题的规律
例8、如图所示，U是全集，M，P，S是U的3个子集，则阴影部分表示的集合是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：
观察Venn图，可知阴影部分既在表示集合
M的区域中又在表示集合P的区域中，即在表示集合M，P的公共区域中，且在表示集合S的区域外，即在集合中。
根据集合运算的概念，可得阴影部分表示的集合为
【变式训练8-1】
如上图所示，
记全集
则图中阴影部分所表示的集合是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：
由图可知，阴影部分既不在集合A的区域中，又不在集合B的区域中，
即在表示集合之外的区域中，即故答案为C.
答案
C
【变式训练8-2】
设A，B是有限集，定义：
其中表示有限集A中元素的个数。
现有如下命题：
命题①：对任意有限集A，B，若，则反之亦成立；
命题②：对任意有限集。
其中正确的是（
）
命题①和命题②都正确
命题①和命题②都不正确
命题①正确，命题②不正确
命题①不正确，命题②正确
解析：
对于命题①，若则从而有
，即若成立。反之，若则
可得,
即若成立，故①正确
对于命题②，作出Venn图如图所示，其中分别为相应部位元素个数，且均为非负整数，则
∴
同理，
∴
∴
即
故②正确，故选A。
答案
A
一、选择题
1．若全集U＝{0,1,2,3}且＝{2}，则集合A的真子集共有(　　)　　
　　　　　　
　　　　　
A．3个
B．5个
C．7个
D．8个
解析：　A＝{0,1,3}，真子集有23－1＝7.
答案　C
2．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合＝(　　)
A．{x|x≥0}
B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1}
D．{x|0解析：　由题意可知，A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}，
所以＝{x|0＜x＜1}．
答案　D
3．设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,2,3,5}，B＝{2,4,6}，
则图1?1?3中的阴影部分表示的集合为(　　)
图1?1?3
A．{2}
B．{4,6}
C．{1,3,5}
D．{4,6,7,8}
解析：　全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,2,3,5}，B＝{2,4,6}，
由Venn图可知阴影部分表示的集合为，
∵＝{4,6,7,8}．
∴＝{4,6}．故选B.
答案　B
4．已知全集为实数集，集合，，
则（
）
A．
B．
C．
D．
解析：因为，
所以，
所以．
又因为，所以
答案
A
二、填空题
5．已知全集U＝R，M＝{x|－1解析：　∵U＝R，＝{x|0∴N＝{x|x≤0，或x≥2}，
∴M∪N＝{x|－1＝{x|x<1，或x≥2}．
答案　{x|x<1，或x≥2}
6．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且＝{4}，B＝{1,2}，
则A∩＝________.
解析：　∵U＝{1,2,3,4}，＝{4}，
∴A∪B＝{1,2,3}，
又∵B＝{1,2}，∴{3}?A?{1,2,3}．
又＝{3,4}，∴A∩＝{3}．
答案　{3}
7．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则与的包含关系是________.
解析：　＝{x|x<0}，＝{y|y<1}＝{x|x<1}．∴?.
答案　?
三、解答题
8．已知集合U＝{1,2,3,4,5}，若A∪B＝U，A∩B＝?，且A∩＝{1,2}，
试写出满足上述条件的集合A，B.
解析：　∵A∪B＝U，A∩B＝?，
∴A＝，又A∩＝{1,2}，
∴A＝{1,2}，
∴B＝{3,4,5}．
答案
A＝{1,2}，B＝{3,4,5}
9．设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求：
(1)A∩B；
(2)；
(3)．
解析：　(1)∵A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，
∴A∩B＝{x|3≤x＜7}．
(2)又全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，∴＝{x|x＜3，或x≥7}．
(3)∵A∪B＝{x|2＜x＜10}，∴＝{x|x≤2，或x≥10}．
答案
（1）A∩B＝{x|3≤x＜7}
（2）＝{x|x＜3，或x≥7}
（3）＝{x|x≤2，或x≥10}
一、选择题
1．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，
则集合中元素个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：　∵A＝{1,2}，∴B＝{2,4}，
∴A∪B＝{1,2,4}，∴＝{3,5}．
答案　B
2．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪＝R，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤2
B．a＜1
C．a≥2
D．a＞2
解析：　∵集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，
∴＝{x|x≤1，或x≥2}．
因为A∪＝R，所以a≥2，故选C.
答案　C
3．已知M＝{2，a2－3a＋5,5}，N＝{1，a2－6a＋10,3}，M∩N＝{2,3}，则a的值是(　　)
A．1或2　　　　　　　
B．2或4
C．2
D．1
解析：∵M∩N＝{2,3}，∴a2－3a＋5＝3，
∴a＝1或2.当a＝1时，N＝{1,5,3}，M＝{2,3,5}不合题意；
当a＝2时，N＝{1,2,3}，M＝{2,3,5}符合题意．
答案
C
4．设全集，（为常数），且，
则下列成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：∵全集U=R，A={x|x2﹣5x﹣6}=，
B={x||x﹣5|＜a（a为常数）}={x|5﹣a＜x＜5+a}，
∵11∈B，∴，解得a＞6，
∴5+a＞11，且5﹣a，
∴．
答案
D
5．设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，
则a的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
解析：当时，，此时成立，
当时，，
当时，，即，
当时，，
当时，恒成立，
所以的取值范围为，故选B.
答案
B
二、填空题
6．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若＝{1}，
则实数a的值是________．
解析：　∵U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，＝{1}，
∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.
答案　－1或2
7．设集合，，或，
则________．
解析：因为集合，，
所以，又因为或，
所以或。
答案
或
8．设A，B为非空集合，定义，
已知，，则________.
解析：由得，即，
又，，
由，
则。
答案
三、解答题
9．设集合A＝{x|2x2＋3px＋2＝0}，B＝{x|2x2＋x＋q＝0}，其中p、q为常数，x∈R，当A∩B＝{}时，求p、q的值和A∪B.
解析：∵A∩B＝{}，∴∈A，∈B
，
∴2×()2＋3p×()＋2＝0，
2×()2＋＋q＝0.
∴p＝－，q＝－1，
∴A＝{，2}
B＝{，－1}，
∴A∪B＝{－1，，2}.
答案
p＝－，q＝－1，A∪B＝{－1，，2}
10．设集合，，；
（1）求，；
（2）若，求由实数为元素所构成的集合．
解析：（1），，
∴，
（2），
当时，此时，符合题意
当时，，此时，
，；
解得：，
综上所述：实数为元素所构成的集合。
答案
（1），；（2）教材要点
学科素养
学考
高考
考法指津
高考考向
1.几类不同增长的函数模型
数学运算
水平1
水平1
1.结合实例体会几类不同增长的函数模型的意义，了解“指数增长”的概念及其意义。
2.会对收集到的相关数据所作出的散点图进行拟合，建立数学模型，并总结出解决该类问题的方法步骤。
【考查内容】指数函数、对数函数、幂函数的增长差异，拟合函数模型的建立与求解。
【考查题型】理科以选择题、填空题为主，文科也可能以解答题形式出现。
【分值情况】5-12分
2.三类函数模型的增长差异
直观想象
水平1
水平1
3.常见的几类函数模型
数学建模
水平1
水平1
4.用函数模型解决实际问题的基本步骤
数学建模
水平1
水平2
知识点1　常见的函数模型
常
用
函
数
模
型
(1)一次函数模型
y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型
y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型
y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
(4)对数函数模型
y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型
y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数
知识点2　解决函数应用问题的步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．
这些步骤用框图表示如图：
题型一　一次函数、二次函数模型
规律方法　利用二次函数求最值的方法及注意点
例1、某公司试销某种“上海世博会”纪念品，每件按30元销售，可获利50%，设每件纪念品的成本为a元．
(1)试求a的值；
(2)公司在试销过程中进行了市场调查，发现销售量y(件)与每件售价x(元)满足关系y＝－10x＋800.设每天销售利润为W(元)，求每天销售利润W(元)与每件售价x(元)之间的函数解析式；当每件售价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
解析：
(1)∵按30元销售，可获利50%，
∴a(1＋50%)＝30，解得a＝20.
(2)∵销售量y(件)与每件售价x(元)满足关系y＝－10x＋800，则每天销售利润W(元)与每件售价x(元)满足
W＝(－10x＋800)(x－20)
＝－10x2＋1
000x＋16
000
＝－10(x－50)2＋9
000，
故当x＝50时，W取最大值9
000，
即每件售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是9
000元．
【变式训练1】　
某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3
000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加60元时，末租出的车将会增加一辆，租出的车每月需要维护费160元，未租出的车每月需要维护费40元．
(1)当每辆车的月租金定为3
900元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解析：
(1)租金增加了900元，900÷60＝15，
所以未租出的车有15辆，一共租出了85辆．
(2)设租金提高后有x辆未租出，
则已租出(100－x)辆．
租赁公司的月收益为y元，
y＝(3
000＋60x)(100－x)－160·(100－x)－40x，
其中x∈[0,100]，x∈N，
整理，得y＝－60x2＋3
120x＋284
000
＝－60(x－26)2＋324
560，
当x＝26时，y＝324
560，
即最大月收益为324
560元．
此时，月租金为3
000＋60×26＝4
560(元)．
题型二　指数型函数、对数型函数模型
规律方法　指数型、对数型函数问题的类型及解法
例2、大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数
v＝log3，单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？
(2)某条鲑鱼想把游速提高1
m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍．
解析：
　(1)由v＝log3可知，
当θ＝900时，v＝log3＝log39＝1(m/s)．
∴当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1
m/s.
(2)由v2－v1＝1，
即log3－log3＝1，得＝9.
∴耗氧量的单位数为原来的9倍．
【变式训练2】　
一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过，那么这个人至少经过________小时才能开车.（精确到1小时，参考数据：）
解析：
设小时后才能开车,则有,即,
两边取对数有,
∵，
故
，
代入可得.
∴最小为5，
∴这个人至少经过5小时才能开车。
题型三　分段函数模型
规律方法　应用分段函数时的三个注意点
例3、经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足于f(t)＝(元)．
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．
解析：　(1)由已知，由价格乘以销售量可得：
(2)由(1)知，
①当0≤t≤10时
y
＝－t2＋10t＋1
200＝－(t－5)2＋1
225，
函数图象开口向下，对称轴为t＝5，
该函数在t∈[0,5]递增，在t∈(5,10]递减，
∴ymax＝1
225(当t＝5时取得)，
ymin＝1
200(当t＝0或10时取得)；
②当10y＝t2－90t＋2
000＝(t－45)2－25，
图象开口向上，对称轴为t＝45，
该函数在t∈(10,20]递减，
∴ymax＝1
200(当t＝10时取得)，
ymin＝600(当t＝20时取得)．
综上所述，，
ymax＝1
225(当t＝5时取得)，
ymin＝600(当t＝20时取得)．
【变式训练3】　
某车间生产一种仪器的固定成本为10
000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：
H(x)＝
其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)；
(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润)
解析：　
(1)设每月产量为x台，则总成本为t＝10
000＋100x.又f(x)＝H(x)－t，则
f(x)=
(2)①当0≤x≤200时，f(x)＝－(x－150)2＋12
500，
∴当x＝150时，有最大值12
500；
②当x>200时，f(x)＝30
000－100x是减函数，
f(x)<30
000－100×200<12
500.
∴当x＝150时，f(x)取最大值，最大值为12
500.
综上所述，每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12
500元．
考向一
建立拟合函数模型解决实际问题
规律方法
（1）定义：
根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合（或数据拟合）
（2）建立拟合函数与预测的基本步骤
例4、为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示.
年序
最大积雪深度x(cm)
灌溉面积y(公顷)
1
15.2
28.6
2
10.4
21.1
3
21.2
40.5
4
18.6
36.6
5
26.4
49.8
6
23.4
45.0
7
13.5
29.2
8
16.7
34.1
9
24.0
45.8
10
19.1
36.9
(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；
(3)根据所建立的函数模型，估计若变今年最大积雪深度为25
cm，则可以灌溉土地多少公顷？
解析：　
(1)描点、作图，如图(甲)所示：
(2)从图(甲)中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，
由此，我们假设灌溉面积y与最大积雪深度x满足：
一次函数模型y＝a＋bx(a，b为常数且b≠0)．
取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，
代入y＝a＋bx，得
用计算器可得a≈2.2，b≈1.8.
这样，得到一个函数模型：y＝2.2＋1.8x，
作出函数图象如图(乙)，
可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．
(3)由(2)得到的函数模型为y＝2.2＋1.8x，
则由y＝2.2＋1.8×25，求得y＝47.2，
即当最大积雪深度为25
cm时，可以灌溉土地约为47.2公顷。
【变式训练4】　
某商场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价（单位：元）与日销售量（单位：件）之间有如下表所示的关系．
…
30
40
45
50
…
…
60
30
15
0
…
销售单价为元时，才能获得最大日销售利润，则、分别为（
）
A．35，225
B．40，300
C．45，350
D．45，400
解析：
在平面直角坐标系中画出表格中的各点,如图
猜测为一次函数,故设(,为常数),
将和代入得
解得,
故,,
把点和
代入解析式验证,检验成立.
则日销售利润
,,
当取对称轴时,
日销售利润最大为.
答案
B
考向二
函数模型的综合应用
规律方法
解函数应用题的一般步骤
例5、某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；
(2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益？其最大收益是多少万元？
解析：　(1)设两类产品的收益与投资额的函数分别为f(x)＝k1x，g(x)＝k2.
由已知得f(1)＝＝k1，g(1)＝＝k2，
∴f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设投资稳健型产品为x万元，
则投资风险型类产品为(20－x)万元．
依题意得
y＝f(x)＋g(20－x)＝＋(0≤x≤20)．
令t＝(0≤t≤2)，
则y＝＋t＝－(t－2)2＋3，
∴当t＝2时，即x＝16时，收益最大，
ymax＝3万元．
【变式训练5】
今年冬季，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：小时)间的关系为P＝P0e－kt(P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t＝0时的污染物数量．若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物．
(1)求常数k的值；
(2)试计算污染物减少到40%至少需要多少时间(精确到1小时，参考数据：ln
0.2≈－1.61，ln
0.3≈－1.20，ln
0.4≈－0.92，ln
0.5≈－0.69，ln
0.9≈－0.11.)
解析：
　(1)由已知，当t＝0时，P＝P0；
当t＝5时，P＝90%P0.
于是有90%P0＝P0e－5k.
解得k＝－ln
0.9(或0.022)．
(2)由(1)得，P＝P0e(ln
0.9)t.
当P＝40%P0时，有0.4P0＝P0e(ln
0.9)t.
解得t＝≈＝≈41.82.
故污染物减少到40%至少需要42小时．
一、选择题　　　
　　　　　　
　　　　　
1．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4
000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为(　　)
A．200副
B．400副
C．600副
D．800副
解析：　由5x＋4
000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．
答案
　D
2．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　)
A.
B.
C.
D.－1
解析：　设年平均增长率为x，则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得x＝－1.
答案
　D
3．某种细胞在正常培养过程中，时刻t(单位：分)与细胞数n(单位：个)的部分数据如下表：
t
0
20
60
140
n
1
2
8
128
根据表中数据，推测繁殖到1
000个细胞时的时刻t最接近于(　　)
A．200
B．220
C．240
D．260
解析：　由表中数据可以看出，n与t的函数关系式为n＝2，令n＝1
000，则2＝1
000，而210＝1
024，所以繁殖到1
000个细胞时，时刻t最接近200分钟，故应选A.
答案
　A
4．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是(　　)
A．y＝
B．y＝(0.957
6)100x
C．y＝
D．y＝1－(0.042
4)
解析：　设镭一年放射掉其质量的t%，则有95.76%＝1·(1－t)100，t＝1－(0.957
6)，
∴y＝(1－t)x＝(0.957
6).
答案
　A
5．地震学家里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测振仪衡量地震能量等级，其计算公式，表示里氏震级，是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测振仪距实际震中的距离造成的偏差)，计算7.8级地震的最大振幅是4.5级地震的最大振幅的倍数(
)
(答案精确到个位，参考数据：，，，)
A．1995
B．398
C．89
D．48
解析：设7.8级地震的最大振幅为，4.5级地震的最大振幅为，由题意可知，，两式相减，可得：，
即，因为，所以，
答案
A
6．某食品加工厂2018年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品.计划从2019年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（已知，）.（
）
A．2023年
B．2024年
C．2025年
D．2026年
解析：设第n年获利y元，则，2019年即第1年，，，所以，
即从2025年开始这家加工厂年获利超过60万元.
答案
C
7．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油时间
加油量（升）
加油时的累计里程（千米）
年月日
年月日
注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程
在这段时间内，该车每千米平均耗油量为（
）
A．升
B．升
C．升
D．升
解析：因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量升.
而这段时间内行驶的里程数千米.
所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为升，故选B.
答案
B
8．下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是(　　)
(1)这几年生活水平逐年得到提高；
(2)生活费收入指数增长最快的一年是2008年；
(3)生活价格指数上涨速度最快的一年是2009年；
(4)虽然2010年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善．
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：　由题意知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故(1)正确；“生活费收入指数”在2008～2009年最陡；故(2)正确；“生活价格指数”在2009～2010年最平缓，故(3)不正确；“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故(4)正确．
答案
C
9．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么(　　)
A．人可在7秒内追上汽车
B．人可在10秒内追上汽车
C．人追不上汽车，其间距最少为5米
D．人追不上汽车，其间距最少为7米
解析：　设汽车经过t秒行驶的路程为s米，则s＝t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7，当t＝6时，
d取得最小值为7，故选D.
答案
D
二、填空题
10．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3
km(不超过3
km按起步价付费)；超过3
km但不超过8
km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8
km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
解析：　设出租车行驶x
km时，付费y元，则
由y＝22.6，解得x＝9.
答案
　9
11．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg
2≈0.301
0)．
解析：　设至少要洗x次，则≤，
所以x≥≈3.322，所以需4次．
答案
　4
12．为了在“十一”黄金周期间降价促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠；②如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．辛云和她母亲两次去购物，分别付款168元和423元，假设她们一次性购买上述同样的商品，则应付款额为________元．
解析：　依题意，价值为x元商品和实际付款数f(x)之间的函数关系式为
当f(x)＝168时，由168÷0.9≈187<200，故此时x＝168；当f(x)＝423时，由423÷0.9＝470∈(200,500]，故此时x＝470.∴两次共购得价值为470＋168＝638(元)的商品，∴500×0.9＋(638－500)×0.7＝546.6(元)，故若一次性购买上述商品，应付款额为546.6元．
答案
　546.6
13．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2
000·ln(1＋)．当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
解析：当v＝12
000时，2
000·ln(1＋)＝12
000，
∴ln(1＋)＝6，∴＝e6－1.
答案
e6－1
三、解答题
14．有时可用函数f(x)＝描述学习某学科知识的掌握程度．其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N
)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.
(1)证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降；
(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．
解析：　(1)证明：当x≥7时，f(x＋1)－f(x)＝，
而当x≥7时，函数y＝(x－3)(x－4)单调递增，且(x－3)(x－4)＞0，故函数f(x＋1)－f(x)单调递减，所以当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降．
(2)由题意可知0.1＋15ln
＝0.85，整理得＝e0.05，解得a＝·6＝20.50×6＝123，
又123∈(121,127]，故该学科是乙学科．
答案
见解析
15．某公司试销一种成本单价为500元的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元．经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似看作一次函数y＝kx＋b(k≠0)，函数图象如图3?2?9所示．
图3?2?9
(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b(k≠0)的表达式；
(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元．试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？
解析：　(1)由图象知，当x＝600时，y＝400；当x＝700时，y＝300，代入y＝kx＋b(k≠0)中，
得解得
所以y＝－x＋1
000(500≤x≤800)．
(2)销售总价＝销售单价×销售量＝xy，
成本总价＝成本单价×销售量＝500y，
代入求毛利润的公式，得
S＝xy－500y
＝x(－x＋1
000)－500(－x＋1
000)
＝－x2＋1
500x－500
000
＝－(x－750)2＋62
500(500≤x≤800)．
所以当销售单价定为750元时，可获得最大毛利润62
500元，此时销售量为250件．
答案
见解析
一、选择题
1．某城市出租汽车的收费标准是：起步价为6元，行程不超过2千米者均按此价收费；行程超过2千米，超过部分按3元/千米收费(不足1千米按1千米计价)；另外，遇到堵车或等候时，汽车虽没有行驶，但仍按6分钟折算1千米计算(不足1千米按1千米计价)．陈先生坐了一趟这种出租车，车费24元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程的取值范围是(　　)
A．[5,6)
B．(5,6]
C．[6,7)
D．(6,7]
解析：　若按x千米(x∈Z)计价，则6＋(x－2)×3＋2×3＝24，得x＝6.
故实际行程应属于区间(5,6]．
答案
B
2．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图3?2?7所示，
那么水瓶的形状是(　　)
图3?2?7
解析：　题图反映随着水深h的增加，注水量V增长速度越来越慢，
这反映水瓶中水上升的液面越来越小．
答案
　B
3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为
其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为(　　)
A．15
B．40
C．25
D．130
解析：　若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；
若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；
若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意．
故拟录用人数为25人．
答案
　C
4．某商场对顾客实行购物优惠活动规定，一次购物付款总额：
（1）如果标价总额不超过200元，则不给予优惠；
（2）如果标价总额超过200元但不超过500元，则按标价总额给予9折优惠；
（3）如果标价总额超过500元，其500元内的按第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予8折优惠.
某人两次去购物，分别付款180元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款（
）
A．550元
B．560元
C．570元
D．580元
解析：若第一次购物超过200，则付款大于，
故第一次购物不超过200元；
若第二次购物超过500，则付款大于，
故第二次购物不超过500元；
第二次购物
合计
付款为
答案
C
5．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：）与时间1（单位：月）的关系为.关于下列说法：
①浮萍每月的增长率为1；②第5个月时，浮萍面积就会超过；③浮萍每月增加的面积都相等；
④若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则，其中正确的说法是（
）
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．①②③④
解析：图象过点，，即，
，，
每月的增长率为，①正确；
当时，，②正确；
第二个月比第一个月增加
第三个月比第二个月增加，③错误；
，，
，，，
，④正确。
答案
C
二、填空题
6．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．
解析：由题意知，第一年产量为a1＝×1×2×3＝3；以后各年产量分别为
an＝f(n)－f(n－1)＝n(n＋1)(2n＋1)－n·(n－1)(2n－1)＝3n2(n∈N
)，
令3n2≤150，得1≤n≤5?1≤n≤7，
故生产期限最长为7年．
答案
7
7．某地区发生里氏8.0级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：
强度(J)
1.6×1019
3.2×1019
4.5×1019
6.4×1019
震级(里氏)
5.0
5.2
5.3
5.4
注：地震强度是指地震时释放的能量．
地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝alg
x＋b(其中a，b为常数)．利用散点图(如图3?2?8)可知a的值等于________．(取lg
2＝0.3进行计算)
图3?2?8
解析：　由记录的部分数据可知
x＝1.6×1019时，y＝5.0，
x＝3.2×1019时，y＝5.2.
所以5.0＝alg
(1.6×1019)＋b，①
＝alg
(3.2×1019)＋b，②
②－①得0.2＝alg
，0.2＝alg
2.
所以a＝＝＝.
答案
　
8．表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80
km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：
①骑自行车者比骑摩托车者早出发3
h，晚到1
h；
②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；
③骑摩托车者在出发1.5
h后追上了骑自行车者；
④骑摩托车者在出发1.5
h后与骑自行车者速度一样．
其中，正确信息的序号是________．
解析：看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，
而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；
两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误．故答案为①②③.
答案
①②③
三、解答题
9．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨为3.00元，某月甲、乙两用户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x,3x吨．
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两用户该月共交水费26.40元，分别求出甲、乙两用户该月的用水量和水费．
解析：(1)当甲用户的用水量不超过4吨，即5x≤4时，乙用户的用水量也不超过4吨，即：
y＝(5x＋3x)×1.80＝14.4x；同理可得
当＜x≤时，y＝20.4x－4.8；
当x>时，y＝24x－9.6.
∴
(2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增，
所以当时，y≤<26.40；
当时，y≤<26.40；
当时，令24x－9.6＝26.40，得x＝1.5.
∴甲用户用水量为5x＝7.5(吨)，
付费y1＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70(元)．
乙用户用水量为3x＝4.5(吨)，
付费y2＝4×1.80＋0.5×3.00＝8.70(元)
答案
见解析
10．甲商店某种商品4月份（30天，4月1日为第一天）的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系如图所示（1），该商品日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系如图(2)所示.
（1）（2）
（1）写出图（1）表示的销售价格与时间的函数关系式，写出图（2）表示的日销售量与时间的函数关系式及日销售金额M（元）与时间的函数关系式.
（2）乙商店销售同一种商品，在4月份采用另一种销售策略，日销售金额N（元）与时间t（天）之间的函数关系式为，试比较4月份每天两商店销售金额的大小关系。
解析：（1）设销售价格与时间之间的函数关系式是，
将（0，15），（30，30）代入得解得
∴.
设日销售量与时间之间的函数关系式为，
将（0，160），（30，40）代入得解得，
∴
故
（2）∵，
∴.
当时，；当时，.
即4月份的前11天甲商店每天的销售金额比乙商店少，以后乙商店每天的销售金额均比甲商店少.
答案
见解析第六讲
函数的单调性与最值
一、选择题
1．f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，则不等式f(x)＞f(8(x－2))的解集是(　　)
A．(0，＋∞)
B．(0,2)
C．(2，＋∞)
D.
解析：　
由f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数得，?2＜x＜，故选D.
答案
　D
2．已知函数，则函数有（
）
A．最小值
，无最大值
B．最大值
，无最小值
C．最小值1，无最大值
D．最大值1，无最小值
解析：∵f（x）的定义域为（﹣∞，]，设t，
则t，且x，
∴f（x）＝g（t）tt2+t（t﹣1）2+1，t，
∴g（t）≤g（1），即g（t）≤1，∴f（x）的最大值1，无最小值.
答案
D
3．下列函数的定义域均为，对于任意不相等的正数，，
均有
成立的函数有（
）
①，②，③．
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
解析：∵对于任意不相等的正数，，均有，
∴在上是增函数．①在上是增函数；
②在是递增，在上也递增；③，由对勾函数知在上是增函数，
但在上函数是常数函数，不满足单调性定义．
因此在上不是增函数．只有①②满足．
答案
A
4．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是(　　)
A．(－∞，0)
B．
C．[0，＋∞)
D．
解析：.
画出函数的图象，如图.
由图易知原函数[0，]上单调递增.
答案
B
5．用表示两个数中的最小值．设，
则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
解析：由题意，函数，
因当时，函数为减函数；
当时，函数为增函数.
所以，当时，函数取最大值，最大值为.
答案
B
6．函数在区间上的最大值为，最小值为，
则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：∵函数f（x）＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1的对称轴为x＝2，
此时，函数取得最小值为1，当x＝0或x＝4时，函数值等于5．
且f（x）＝x2﹣4x+5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，
∴实数m的取值范围是[2，4]。
答案
B
7．函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：，
在区间上单调递增,
,.
答案
A
8．若函数在上最小值为-1，则（
）
A．1或2
B．1
C．1或
D．-2
解析：函数图象的对称轴为，图象开口向上，
（1）当时，在上单调递增．则，
由，得，不符合；
（2）当时．则，
由，得或，，∴符合；
（3）当时，函数在上单调递减，
，
由，得，，
不符合，综上可得．
答案
B
二、填空题
9．函数的最小值为______。
解析：由解得，故函数定义域为，
又因为为增函数，为增函数，
故的最小值为，故答案为.
答案
10．函数的单调减区间为______．
解析：作出函数的图象如下图所示：
由图象可知，函数的单调减区间为和.
答案
和
11．设函数则不等式的解集为____________.
解析：当时，单调递增，且；
当时，单调递增，且.
所以函数在上单调递增.于是等价于，
则，，解得.
答案
三、解答题
12．已知函数f(x)为区间[－1,1]上的增函数，求满足的实数x的取值范围．
解析：
　由题设得即－1≤x<.
∴满足的实数x的取值范围是
答案
13．已知函数.
（1）用定义证明在区间上是增函数.
（2）求该函数在区间上的最大值与最小值.
解析：（1）任取，，且，
则.
∵，
∴，，
∵，即，
故函数在区间上是增函数.
（2）由（1）知函数在区间上是增函数，
∴，.
答案
（1）证明见解析；（2），.
14．设集合，集合，且满足.
（1）求的值；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值.
解析：（1）两集合相等，观察发现不能为，
故只有，得，或，
当时，故与对应，所以，
如果则必有，不成立，
故，；
（2）由（1）得，
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.
证明：在上任取，
则，
当时，，，
则，即，
此时在上单调递减；
当时，，，
则，即，
此时在上单调递增；
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以函数在区间上的最小值为2，最大值为.
答案
（1），；（2）第三讲
集合的基本运算
一、选择题
1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，
则集合＝(　　)
A．{2,5}
B．{3,6}
C．{2,5,6}
D．{2,3,5,6,8}
解析：　由题意得＝{2,5,8}，
∴＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．
答案　A
2．全集，集合，，
那么集合（
）
A．
B．
C．
D．
解析：，，
，，可以求得。
答案
C
3．设集合，集合．
则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：集合，集合
为直线上的点构成的集合.故。
答案
D
4．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于(　　)
A．{1,2}
B．{1,5}
C．{2,5}
D．{1,2,5}
解析：
∵A∩B＝{2}，∴2∈A,2∈B，
∴a＋1＝2，∴a＝1，b＝2，
即A＝{1,2}，B＝{2,5}．
∴A∪B＝{1,2,5}，故选D.
答案
D
5．设集合，．若，则
(　
　)
A．
B．
C．
D．
解析：∵
集合，，，
∴是方程的解，即，∴，∴。
答案
C
6．设集合，，若，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
解析：因为，
所以，解得或.
答案
D
7．已知S＝{x|2x2－px＋q＝0}，T＝{x|6x2＋(p＋2)x＋q＋5＝0}，且S∩T＝{}，
则S∪T等于（
）.
A．{，－4}
B．{，－4}
C．{，，－4}
D．{，}
解析：∵S∩T＝{}，∴∈S，且∈T.
因此有?
从而S＝{x|2x2＋7x－4＝0}＝{，－4}．T＝{x|6x2－5x＋1＝0}＝{，}．
∴S∪T＝{，－4}∪{，}＝{，，－4}．
答案
C
二、填空题
8．若，，且，
则由实数a的取值构成的集合______．
解析：由，即，故，
若无解，；
若；
若；
综上：。
答案
9．集合，且，则________．
解析：因为，且，
当，时；
当，时；当，时；
当，时；当，时；
当，时；当，时；
当，时；当，时；
所以，所以。
答案
三、解答题
10．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤－2，或x≥5}，B＝{x|x≤2}．求
(1)；
(2)记＝D，C＝{x|2a－3≤x≤－a}，且＝C，求a的取值范围.
解析：　(1)由题意知，A＝{x|x≤－2，或x≥5}，B＝{x|x≤2}，则A∪B＝{x|x≤2，或x≥5}，
又全集U＝R，＝{x|2＜x＜5}．
(2)由(1)得D＝{x|2＜x＜5}，由＝C得C?D，
①当C＝?时，有－a＜2a－3，解得a＞1.
②当C≠?时，有解得a∈?.
综上，a的取值范围为{a|a>1}.
答案
11．设集合，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
解析：
（1），，
，
又，所以，解得；
（2），，则，
又，所以，解得.
因此，实数的取值范围是．
答案
（1）；（2）．
12．设集合，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若全集，，求实数的取值范围．
解析：（1）由得，因为，
所以，所以，
整理得，解得或．
当时，，满足；
当时，，满足；
故的值为或．
（2）由题意，知．由，得．
当集合时，关于的方程没有实数根，
所以，即，解得．
当集合时，
若集合中只有一个元素，则，整理得，解得，
此时，符合题意；
若集合中有两个元素，则，所以，无解．
综上，可知实数的取值范围为．
（3）由，可知，
所以，
所以．
综上，实数的取值范围为．
答案
（1）或（2）（3）第十二讲
幂函数
一、选择题
1．下列关于幂函数的结论，正确的是（
）.
A．幂函数的图象都过点
B．幂函数的图象不经过第四象限
C．幂函数为奇函数或偶函数
D．幂函数在其定义域内都有反函数
解析：幂函数不过点，则A错误；
当时，，则幂函数的图象不经过第四象限，则B正确；
的定义域为，不关于原点或轴对称，则C错误；
在内无反函数，则D错误；
答案
B
2．如果幂函数的图象经过点，则在定义域内(
)
A．为增函数
B．为减函数
C．有最小值
D．有最大值
解析：幂函数的图象经过点，
，解得，
，
在递减，在递增，有最小值，无最大值。
答案
C
3．设α∈{－2，－1，－，，，1,2,3}，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：　∵f(x)＝xα为奇函数，∴α＝－1，，1,3.
又∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数，∴α＝－1.
答案
A
4．函数y＝x的图象大致是(　　)
解析：　由于>1，故可排除选项A，D.
根据幂函数的性质可知，当α>1时，幂函数的图象在第一象限内下凸，
故排除选项C，只有选项B正确．
答案
B
5．如果幂函数y＝(m2－9m＋19)x2m－7的图像不过原点，则(　　)．
A．
B．m＝3
C．m＝3或6
D．m不存在
解析：由幂函数的形式特征可知，m2－9m＋19＝1，
即m2－9m＋18＝0，解得m＝3或m＝6.
当m＝3时，y＝x－1的图像不过原点；
当m＝6时，y＝x5的图像经过原点，
所以m＝3.
答案
B
6．有下列函数：①y＝x2－3|x|＋2；②y＝x2，x∈(－2,2]；③y＝x3；④y＝x－1，其中是偶函数的有(　　)．
A．①
B．①③
C．①②
D．②④
解析：函数y＝x2－3|x|＋2的定义域R关于原点对称，
且f(－x)＝(－x)2－3|－x|＋2＝x2－3|x|＋2＝f(x)，
所以此函数是偶函数；
函数y＝x2，x∈(－2,2]的定义域(－2,2]不关于原点对称，
所以此函数不是偶函数；
函数y＝x3的定义域R关于原点对称，而f(－x)＝(－x)3＝－x3≠f(x)，
所以此函数不是偶函数；
函数y＝x－1的定义域R关于原点对称，而f(－x)＝－x－1≠f(x)，
所以此函数不是偶函数．
答案
A
7．设,若,则（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
解析：由时是增函数可知,若,
则,所以,
由得,解得,
则,故选C.
答案
C
8．函数，不论为何值的图象均过点，则实数的值为（
）
A．-1
B．1
C．2
D．3
解析：因为不论为何值幂函数的图象均过点,
不论为何值的图象均过点,
又因为不论为何值的图象均过点，
所以且，即，故选A.
答案
A
9．幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一簇曲线（如图）.
设点，，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，
即有，则mn等于（
）
A．1
B．2
C．3
D．无法确定
解析：由题，，，
所以，，
，，
，
.
答案
A
10．已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．cB．aC．bD．c解析：由幂函数图像特征知，，，，所以选A．
答案
A
11．幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：∵幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，
∴3m－5＜0，即m＜.又∵m∈N，
∴m＝0,1.∵f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)是偶函数．
当m＝0时，f(x)＝x－5是奇函数；
当m＝1时，f(x)＝x－2是偶函数．
∴m＝1,故选B.
答案
B
二、填空题
12．为了保证信息的安全传输，有一种为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________．
解析：由题目可知加密密钥y＝xα(α是常数)是一个幂函数模型，
所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值．
由题意得2＝4α，解得α＝，则y＝x.
由x＝3，得x＝9.
答案
9
13．已知幂函数的图像不过原点，则实数m的值为__________.
解析：依题意得，解得或．
当时，，其图像经过原点，不符合题意；
当时，，其图像不经过原点，符合题意，
因此实数m的值为3．
答案
3
14．已知幂函数的图像满足，当时，在直线的上方；当时，在直线的下方，则实数的取值范围是_______。
解析：当时，幂函数和直线第一象限的图像如下，由图可知，不满足题意，
当时，幂函数和直线重合，不满足题意，
当时，幂函数和直线第一象限的图像如下，由图可知，满足题意，
当时，幂函数和直线第一象限的图像如下，由图可知，满足题意，
当时，幂函数和直线第一象限的图像如下，由图可知，满足题意，
综上，。
答案
三、解答题
15．已知幂函数f(x)＝x
(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围.
解析：(1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，
∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，
依据函数y＝m2－2m－3的图象，解得－1又m∈Z，∴m＝0,1,2，
而当m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函数；
当m＝1时，f(x)＝x4是偶函数．
故函数f(x)的解析式为f(x)＝x4.
(2)由(1)知f(x)＝x4，则g(x)＝x2＋2x＋c＝(x＋1)2＋(c－1)．
∵g(x)>2对任意的x∈R恒成立，
∴g(x)min>2，且x∈R.
又g(x)min＝g(－1)＝c－1，
∴c－1>2，解得c>3.
故实数c的取值范围是(3，＋∞)．
答案
（1）
（2）
16．试用描点法画出函数的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶性，
并证明.
解析：因为.
列表如下：
x
…
-3
-2
-1
1
2
3
…
…
1
1
…
描点，连线.图象如图所示.
定义域：，值域：.在上是增函数，在上是减函数.
证明如下：设任意的，且.则.
.
，即，
在上是增函数.
设任意的，且，
则.
，
，即.
在上是减函数.
，
是偶函数.
答案
图像见解析，定义域：，值域：，讨论见解析，证明见解析
17．已知幂函数在上是增函数，且在定义域上是偶函数.
（1）求p的值，并写出相应的函数的解析式.
（2）对于（1）中求得的函数，设函数，问是否存在实数，使得在区间上是减函数，且在区间上是增函数？若存在，请求出q；若不存在，请说明理由.
解析：（1）由于已知在上是增函数，
因而，解得.
又，因而或1或2.
当或时，，不是偶函数；
当时，，符合题意.
（2）存在.理由如下：
由（1）知.
由于，因而当时，，
此时，函数单调递减，而函数在上单调递减，
则外层函数在上单调递增；
当时，，此时，函数单调递增，
而函数在上单调递减，
则外层函数在上单调递减.
所以，即.
所以存在满足题设条件.
答案
（1）当或时，；当时，；（2）存在，.教材要点
学科素养
学考
高考
考法指津
高考考向
1.函数的概念
数学抽象
水平1
水平2
1.理解函数的概念和函数的三要素，尤其是对应关系的实质。
2.掌握函数定义域、值域的求法，并能根据其意义解决一些逆向问题。
3.理解复合函数的概念，能求一些复合函数的定义域、值域。
【考查内容】函数的定义域、值域的求法。
【考查题型】选择题、填空题
【分值情况】5分
2.函数的三要素
数学抽象
水平2
水平2
3.区间的概念与应用
数学运算
水平1
水平1
4.复合函数与抽象函数
数学抽象
水平1
水平2
知识点1　函数的概念
（1）函数的概念
概念
设是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数
三要素
对应关系
]
定义域
的取值范围
值域
与对应的的值的集合
（2）函数相等
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．
知识点2　区间及有关概念
(1)一般区间的表示．
设，且，规定如下：
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a开区间
(a，b)
{x|a≤x半开半
闭区间
[a，b)
{x|a半开半
闭区间
(a，b]
(2)特殊区间的表示.
定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x符号
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
题型一　函数关系的判定
规律方法　
例1、(1)下列图形中，不能确定是的函数的是(　　)
解析：
任作一条垂直于x轴的直线，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点．结合选项可知D不满足要求，因此不表示函数关系．
答案
D
在下列从集合A到集合B的对应关系中，不能确定是的函数是（
）
①
对应法则
②
对应法则
③
对应法则
④
对应法则
⑤
对应法则
⑥
对应法则
A.
①⑤⑥
B.
②④⑤
C.
②③④
D.
①②③⑤
解析：
①在对应法则下，A中不能被3整除的数在B中没有象，所以不能确定是的函数。
②在对应法则下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定是的函数。
③在对应法则下，A中的数（除5与外）在B中有两个数或没有数与之对应，所以不能确定是的函数。
④显然满足函数的特征，故能确定确定是的函数。
⑤A不是数集，所以不能确定是的函数。
⑥显然满足函数的特征，故能确定确定是的函数。
答案
D
【变式训练1】　
设，给出下列四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的有(　　)
A．0个　　　
B．1个
C．2个　　
D．3个
解析:　
①错，时，在中无元素与之对应，不满足任意性．
②对，同时满足任意性与唯一性．
③错，时，对应元素，不满足任意性．
④错，时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性．
答案　B
题型二　函数求值
规律方法　求函数值的方法及关注点
例2、已知
（1）求的值；
（2）求的值．
（3）若求。
解析：
（1）；
（2），
；
（3）解得
答案
（1）6
（2）（3）
【变式训练2】　
已知函数.
(1)求；(2)求．
解析：　
（1）∵.∴.
（2）∵，
∴
答案
（1）（2）
题型三　求函数的定义域
方向1　已知函数的解析式求函数的定义域
规律方法　
例3-1、求下列函数的定义域：
（1）y＝－
（2）y＝.
（3）
（4）
（5）
（6）
解析：　
（1）要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤1，且x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．
（2）要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤5，且x≠±3，
即函数定义域为{x|x≤5，且x≠±3}．
（3）由题意有
∴
∴函数定义域为
(4)
∴函数定义域为
(5)
∴
∴函数定义域为
(6)
∴
∴函数定义域为
方向2　求抽象函数的定义域
规律方法　抽象函数的定义域的求法主要涉及三种类型
解题原理：
例3-2、(1)设函数，则等于什么？的定义域是什么？
(2)若函数的定义域是[0，＋∞)，那
么函数的定义域是什么？
解析：　
(1).令，∴，
∴的定义域为[－1，＋∞)．
(2)
函数的定义域是[0，＋∞)，
∴令，解得，
∴的定义域是[－1，＋∞)．
答案
（1）
（2）
例3-3、
(1)已知函数的定义域为[－2,3]，求函数的定义域．
(2)已知函数的定义域是
[－2,3]，求函数的定义域．
解析：　
(1)
∵的定义域为[－2,3]，
即x∈[－2,3]，
函数中的范围与函数
中的范围相同，
∴，解得，
∴函数的定义域为
(2)∵，∴，
即函数的定义域为，
令，解得，
∴的定义域为．
答案
（1）
（2）
【变式训练3-3】
已知的定义域为，求下列函数的定义域：
（1）；（2）；（3）
解析：（1）∵的定义域为
∴即的定义域为
（2）∵的定义域为
∴
∴
即的定义域为
（3）∵的定义域为
∴
∴
即的定义域为
答案
（1）
（2）
（3）
题型四　相等函数
规律方法　判断两个函数为相等函数应注意的点
例4、(1)下列各组函数：
①，；
②，；
③，；
④，；
⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系与一次函数．
其中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号)．
解析：
　①f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；
②f(x)与g(x)的解析式不同，不是同一函数；
③f(x)＝|x＋3|，与g(x)的解析式不同，不是同一函数；
④f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；
⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同，故是同一函数．
答案　⑤
(2)试判断函数与函数
是否相等，并说明理由
解析：
　不相等．对于函数，
由解得，
∴定义域为，
对于函数，
由解得，
∴定义域为，
显然两个函数定义域不同，故不是相等函数．
答案
不相等，因为定义域不同。
【变式训练4】　
判断以下各组函数是否表示同一函数：
(1)；.
(2)；.
解析：
（1）
由于函数的定义域为，而的定义域为，
∵它们的定义域不同，∴它们不表示同一函数．
（2）两个函数的定义域和对应关系都相同，
所以它们表示同一函数．
答案
（1）不是
（2）是
题型五　求函数的值域
规律方法
例5、
.求下列函数的值域
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
解析：
（1）∵∴
∴的值域为
（2）
∵
∴
∴函数的值域为
（3）∵
又∵
当时，原式
∴函数的值域为
（4）已知函数可变形为：
即
当时，显然不成立；
当时，上式即为关于的一元二次方程
由于∴
即
∴
由于∴
（5）设
∴
由知∴
∴函数的值域为
【变式训练5】
求下列函数的值域
（1）
（2）
（3）
（4）（5）
（6）（7）
解析：
（1）解法一：（先配方，再观察）
对分母配方得，
∵，∴，
∴
故所求函数的值域为
解法二：由得
又∵，∴∴，∴
故所求函数的值域为
（2）令则
∴
由二次函数的图像可知，
所求函数的值域为
（3）由题意，分离常数得
∵
∴
故所求函数的值域为
（4）由题意，配方得
∵∴∴
∴
故所求函数的值域为
（5）由可得
当时，则显然不成立
当时，则
解得又∵∴
故所求函数的值域为
（6）由可求得
∵即
整理得，∴
故所求函数的值域为
（7）由可得，
∵∴
∴∴
故所求函数的值域为
考向一
函数定义域的逆向问题
规律方法
例6、已知函数的定义域为，求的值
解析：
由题意得不等式的解集为，
因此，是方程的两个根，且
∴解得
∴的值为的值为3
答案
【变式训练6】
已知函数的定义域为R，则的取值范围是？
解析：
∵函数的定义域为R，即要求对任意实数
恒成立
∴①当时，其定义域为R；
②当时，要使恒成立
只需
综上所述，的取值范围是
答案
考向二
抽象函数问题
规律方法
例7
已则
解析：
由令
得∴
再令得
∴
由此猜测
下面证明此结论：
令则
∴
∴
答案
4038
【变式训练7】
已知函数对任意实数
都有成立。
（1）求的值；
（2）若的值。
解析：
（1）令
解得
令
解得
（2）令
令
令
考向三
函数值域的逆向问题
规律方法
例8、求使函数的值域为的的取值范围
解析：
令
∵
∴
即此不等式对恒成立
∴
解得
故所求函数的的取值范围为
答案
【变式训练8】
（1）若函数的最大值为4，最小值为，求实数的值
（2）设函数当时，的值域也是A，试求的值。
解析：
（1）设去分母得
显然在函数值域内；
当
∴
即
因而方程
由韦达定理知，
∴
(2)∵∴
又上是增函数，
∴当时，函数为最小值
当时，为最大值
∴
整理可得解得
∵
∴
答案
一、选择题
1．下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是(　　)
A．x＝y2＋1　　　　　　　
B．y＝2x2＋1
C．x－2y＝6
D．x＝
解析：
　对于A，由x＝y2＋1得y2＝x－1.当x＝5时，y＝±2，故y不是x的函数；
对于B，y＝2x2＋1是二次函数；
对于C，x－2y＝6?y＝x－3是一次函数；
对于D，由x＝得y＝x2(x≥0)是二次函数．
答案
A
2．下列各组中的两个函数为相等函数的是(　　)
A．f(x)＝·，g(x)＝
B．f(x)＝()2，g(x)＝2x－5
C．f(x)＝与g(x)＝
D．f(x)＝与g(t)＝()2
解析：　
A中，f(x)＝·的定义域为{x|x≥1}，g(x)＝的定义域为{x|x≥1或x≤－1}，
它们的定义域不相同；
B中，f(x)＝()2的定义域为{x|x≥}，g(x)＝2x－5的定义域为R，定义域不同，不是相等函数．
C中，f(x)＝与g(x)＝的对应关系不同，不相等．
D中，f(x)＝＝x(x>0)与g(x)＝()2＝t(t>0)的定义域与对应关系都相同，它们相等．
答案
D
3．若函数y＝f(x)的定义域M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，
则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
解析：
　A中定义域是{x|－2≤x≤0}，不是M，
C中图象不表示函数关系，
D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}．
答案
B
4．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的个数是(　　)．
①y是x的函数；
②对于不同的x，y的值也不同；
③f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量；
④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
解析：
显然①③正确；在②中，对于不同的x，只需有唯一的y与之对应，y的值可以相同也可以不同；
在④中，f(x)不一定可以用一个具体的式子表示出来，如心电图．
答案
B
5．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(　　)
A．y＝
B．y＝
C．y＝
D．y＝x2＋1
解析：
　y＝的值域为[0，＋∞)，
y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1的值域为[1，＋∞)．
答案
B
6．已知等腰△ABC的周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系为y＝10－2x，此函数的定义域为(　　)．
A．R
B．{x|x＞0}
C．{x|0＜x＜5}
D．
解析：
由题意可知0＜y＜10，即0＜10－2x＜10，解得0＜x＜5，
又底边长y与腰长x应满足2x＞y，
即2x＞10－2x，.
综上可知＜x＜5.
答案
D
7．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为(　　)．
A．{－1,0,3}
B．{0,1,2,3}
C．{y|－1≤y≤3}
D．{y|0≤y≤3}
解析：
∵函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，
∴自变量x取0,1,2,3四个实数，将x的值依次代入函数解析式，得因变量的值依次为0，－1,0,3，
故其值域为{－1,0,3}．
答案
A
8．下列各图中，可表示函数y＝f(x)图像的只可能是(　　)．
解析：
函数图像对应可以是“一对一”，“多对一”，不能是“一对多”，
而A、B、C都存在“一对多”的情况，即一个对应多个的情况，故选D
答案
D
9．点(x，y)在映射f下的对应元素为，则点(2,0)在f作用下的对应元素为(　　)．
A．(0,2)
B．(2,0)
C．(，－1)
D．(，1)
解析：
x＝2，y＝0时，，，
∴(2,0)在f作用下对应元素为(，－1)．
答案
C
10．函数的定义域是（
）
A．（–1，+∞）
B．（–1，1）∪（1，+∞）
C．[–1，+∞）
D．[–1，1）∪（1，+∞）
解析：
要使函数有意义，必须满足，解得，且，
所以函数的定义域是。
答案
D
11．函数的值域是（
）
A．(－∞，1
B．(－∞，－1
C．R
D．［1，+∞
解析：
令，则，
所以，
当时，此时函数取得最大值1，所以函数的值域为.
答案
A
12．函数y＝f(x)，x∈[a，b]，A＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈[a，b]}，B＝{(x，y)|x＝1}，
则A∩B中所含元素的个数是(　　)．
A．0
B．1
C．0或1
D．0,1或2
解析：
集合A是函数y＝f(x)，x∈[a，b]图像上的所有点组成的集合，
集合B是直角坐标系内横坐标为1的点组成的集合．
若1[a，b]，则A∩B＝；若1∈[a，b]，则由函数的定义可知，在函数y＝f(x)中，
当x＝1时，有唯一的y值与之对应，此时A∩B中只含有1个元素．
答案
C
二、填空题
13．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．
解析：
由题意3a－1>a，则a>.
答案
(，＋∞)
14．函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．
　
解析：
由图像可以看出，函数y＝f(x)的自变量x的取值范围是－5≤x≤5，
因变量y的取值范围是－2≤y≤3，
∴f(x)的定义域为[－5,5]，值域为[－2,3]．
答案
[－5,5]　[－2,3]
三、解答题
15．试求下列函数的定义域与值域：
(1)f(x)＝(x－1)2＋1，x∈{－1,0,1,2,3}；
(2)f(x)＝(x－1)2＋1；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝x－.
解析：
(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，则f(－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，
同理可得f(0)＝2，f(1)＝1，
f(2)＝2，f(3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}．
(2)函数的定义域为R，因为(x－1)2＋1≥1，
所以函数的值域为{y|y≥1}．
(3)函数的定义域是{x|x≠1}，y＝＝5＋，
所以函数的值域为{y|y≠5}．
(4)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，
故函数的定义域是{x|x≥－1}．设t＝，
则x＝t2－1(t≥0)，于是f(t)＝t2－1－t＝(t－)2－.又t≥0，
故f(t)≥－.所以函数的值域是{y|y≥－}．
答案
（1）
（2）
（3）
（4）
16．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f()，f(3)＋f()的值；
(2)求证：f(x)＋f()是定值；
(3)求f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(2
020)＋f()的值．
解析：
(1)∵f(x)＝，
∴f(2)＋f()＝＋＝1，
f(3)＋f()＝＋＝1.
(2)证明：f(x)＋f()＝＋＝＋＝＝1.
(3)由(2)知f(x)＋f()＝1，
∴f(2)＋f()＝1，f(3)＋f()＝1，f(4)＋f()＝1，…，f(2020)＋f()＝1.
∴f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(2020)＋f()＝2019。
答案
（1）1,1
（2）略
（3）2019
一、选择题
1．设x取实数，则f(x)与g(x)表示同一个函数的是(　　)．
A．f(x)＝x，g(x)＝
B．f(x)＝，g(x)＝
C．f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0
D．f(x)＝，g(x)＝x－3
解析：
判断两个函数是否为同一函数，只需看两个函数的定义域和对应关系是否分别相同．
选项A中，
g(x)＝＝|x|，它与f(x)＝x的对应关系不同；
选项B中，两个函数的定义域都为{x|x＞0}，
且f(x)＝＝1，g(x)＝＝1对应关系也相同；
选项C中，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠1}，两个函数的定义域不同；
选项D中，f(x)的定义域为{x|x≠－3}，g(x)的定义域为R，两个函数的定义域也不同．
答案
B
2．函数f(x)＝的定义域是(　　)．
A．[－1,2]
B．[－1,0)∪(0,2]
C．[－2,0)
D．(0,2]
解析：
要使函数f(x)＝有意义，需满足即
∴－2≤x＜0.
∴此函数的定义域是[－2,0)．
答案
C
3．已知函数f(x)＝ax＋－2，若f(2
013)＝10，则f(－2
013)的值为(　　)．
A．－14
B．－10
C．10
D．无法确定
解析：
∵f(x)＝ax＋－2，
∴f(2
013)＝2
013a＋－2＝10，即2
013a＋＝12.
∴f(－2
013)＝－2
013a－－2＝＝－12－2＝－14.
答案
A
4．若函数，那么（
）
A．1
B．3
C．15
D．30
解析：
由于，
当时，，故选C.
答案
C
5．函数的定义域为，则函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
解析：
函数的定义域为,即
所以函数的定义域满足解得，
即函数的定义域为。
答案
C
6．函数的定义域是全体实数，则实数的取值范围是（
）.
A．
B．
C．
D．
解析：
函数，
因此，要使函数的定义域为全体实数，
需满足对一切实数都成立，
即解得.
答案
B
二、填空题
7．若函数f(x)＝的定义域为R，则m的取值范围为________．
解析：
要使原函数有意义，必须mx2＋x＋3≠0，由于函数的定义域是R，
故mx2＋x＋3≠0对一切实数x恒成立．
当m＝0时，x＋3≠0，即x≠－3，与f(x)的定义域为R矛盾，所以m＝0不合题意．
当m≠0时，有Δ＝12－12m<0，解得m>.
故综上可知，m的取值范围是{m|m>}．
答案
{m|m>}
8．已知函数的值域是，则实数的取值范围是
.
解析：
设，由已知条件可知可取到上的所有值，
当时满足题意，
当时需满足，解不等式得或，
所以实数的取值范围是。
答案
9．已知实数，函数若，则的值为___________．
解析：
因为，
所以，当时，，解得：舍去；
当时，，解得，符合题意。
答案
10．已知f(x)的定义域是[0,1]，且f(x＋m)＋f(x－m)的定义域是?，则正数m的取值范围是________．
解析：
∵函数f(x)的定义域是[0,1]，且f(x＋m)＋f(x－m)的定义域是，
∴方程组无解，即无解．
又∵m＞0，∴1－m＜m，∴.
答案
三、解答题
11．已知函数的定义域为集合，
（1）若，求的值；
（2）若全集，，求及．
解析：
因为函数，则，解得，
所以集合.
（1）因为，，，所以.
（2）因为，所以，由于全集，，
则，，
则
答案
（1）；（2）；
12．已知二次函数满足，
且
（1）求函数的解析式
（2）求函数
在区间上的值域；
解析：
（1）因为，所以，
所以；
又因为，
即，
所以，
所以，所以，
即；
（2）因为，
所以对称轴为且开口向上，
所以在递减，在递增，
所以，
又，，
所以，
所以在上的值域为：.
答案
（1）；（2）第七讲
函数的奇偶性
一、选择题
1．一个偶函数定义在区间[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图1?3?6，下列说法正确的是(　　)
图1?3?6
A．这个函数仅有一个单调增区间
B．这个函数有两个单调减区间
C．这个函数在其定义域内有最大值是7
D．这个函数在其定义域内有最小值是－7
解析：　根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作出在[－7,7]上的图象，
如图所示，可知这个函数有三个单调增区间；有三个单调减区间；在其定义域内有最大值是7；
在其定义域内最小值不是－7.
故选C.
答案　C
2．定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，则（
）．
A．
B．
C．
D．
解析：由对任意x1，x2
[0，＋∞)(x1≠x2)，有
<0，
得f(x)在[0，＋∞)上单独递减，
所以，选A.
答案
A
3．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于(　　)
A．－26
B．－18
C．－10
D．10
解析：　令g(x)＝x5＋ax3＋bx，
则g(－x)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数．
又f(x)＝g(x)－8
∴f(－2)＝g(－2)－8＝10?g(－2)＝18.
∴g(2)＝－18.
∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.
答案
A
4．如果奇函数在区间上是增函数且最小值为，那么它在区间上是（
）
A．增函数且最小值为
B．增函数且最大值为
C．减函数且最小值为
D．减函数且最大值为
解析：任取、，且，即，
则，由已知，奇函数在区间上是增函数，
则，即，
，
所以，函数在区间上是增函数，对任意的，，
由题意，，可得，则有，
所以，函数在区间上有最大值.
答案
B
5．已知函数为偶函数，当时，，则的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：当时，．
由得或，
解得或，即．
所以不等式的解集为.
答案
A
6．若函数是奇函数，且在定义域上是减函数，，
则满足的实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：函数是奇函数，且在定义域上是减函数，，
即，
则，解得.
答案
A
7．定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，
且，则不等式的解集是（　　）
A．
B．
C．
D．
解析：∵对任意的恒成立，
∴在上是减函数，
又，∴当时，，当时，，
又是偶函数，
∴当时，，当时，，
∴的解为．
答案
B
8．设奇函数上是增函数，且，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
解析：∵函数f（x）是奇函数，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴它在（-∞，0）上也是增函数．
∵f（-x）=-f（x），
∴f（-1）=-f（1）=0．
不等式x[f（x）-f（-x）]＜0可化为2xf（x）＜0，
即xf（x）＜0，
∴当x＜0时，可得f（x）＞0=f（-1），
∴x＞-1，∴-1＜x＜0；
当x＞0时，可得f（x）＜0=f（1），
∴x＜1，∴0＜x＜1．
综上，不等式x[f（x）-f（-x）]＜0的解集为{x|-1＜x＜0，或0＜x＜1}．
答案
D
9．函数是奇函数，且在内是增函数，，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
解析：∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，
由f（-3）＝0，得f（﹣3）＝﹣f（3）＝0，即f（3）＝0，
作出f（x）的草图，如图所示：
由图象得
，
解得0＜x＜3或﹣3＜x＜0，
∴xf（x）＜0的解集为（﹣3，0）∪（0，3），
答案
D
二、填空题
10．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f(2x－1)解析：偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调增加，
所以函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递减．
由于f(x)是偶函数，
所以f(－x)＝f(x)，则f(－)＝f()．
由f(2x－1)解①得≤x<，解②得综上，得答案
(，)
11．已知函数是偶函数，且，则______.
解析：因为是偶函数，
所以设，则，
即，因为，
所以，
即，
答案
5.
12．若函数定义域为R，且其图像关于原点成中心对称，当时，，
则当时，_________．
解析：函数定义域为R，且其图像关于原点成中心对称，
所以该函数是奇函数，当时，
当时，，，
又为奇函数，
所以，
所以当时，。
答案
三、解答题
13．已知函数是奇函数，且当时，，
（1）求函数的表达式
（2）求不等式的解集
解析：（1）根据题意，函数是奇函数，
则，
当时，，则，
又由函数为奇函数，则，
则，
（2）根据题意，，
当时，，
此时即，解可得，
此时不等式的解集为，
当时，，成立；
此时不等式的解集为，
当时，，
此时即，解可得，
此时不等式的解集为，
综合可得：不等式的解集或．
答案
（1）（2）或
14．已知函数是奇函数，且.
（1）求实数和的值；
（2）判断函数在上的单调性，并加以证明．
解析：（1）∵是奇函数，
∴．即，
比较得，.
又，
∴，解得，
即实数和的值分别是2和0.
（2）函数在上为增函数．
证明：由（1）知，设，
则，
又，，，
∴，
∴，
即函数在上为增函数．
答案
（1），；（2）上为增函数，证明见解析
15．函数是定义在上的奇函数，且
（1）求函数的解析式；
（2）用定义证明:在上是增函数；
（3）解不等式:
解析：（1）是定义在上的奇函数，
.
又，
∴.经检验符合题意
..
（2）设，则
.
，
，
，
所以在上是增函数.
（3）是定义在上的奇函数，
由，得，
又是定义在上的增函数，
，解得，
所以原不等式的解集为.
答案
（1）；（2）见详解；（3）.本章目的是让理论与实际相结合，能运用函数的思想理解和处理现实中相关的问题，培养解决实际问题的能力，函数的应用题历来是高考的热点和重点，近十年来，函数的应用几乎每年都考查，命题的背景、设问新颖灵活，但解决此类问题用的都是高中已学过的知识、方法。
教材要点
学科素养
学考
高考
考法指津
高考考向
1.函数的零点
数学运算
水平1
水平1
1.了解函数零点的概念，领会函数零点与相应方程的实根的关系。
2.能利用函数的性质找零点，从而求出方程的根。
3.理解二分法的概念及其使用条件。
【考查内容】函数零点存在的判定、函数零点的个数、二分法的概念与应用。
【考查题型】选择题、非选择题
【分值情况】选择题5-10分，非选择题6分
2.函数零点的存在性定理
逻辑推理
水平1
水平1
3.二分法
数学运算
水平1
水平1
4.函数零点的性质
逻辑推理
水平2
水平2
知识点1　函数的零点
(1)概念：函数f(x)的零点是使f(x)＝0的实数x.
(2)函数的零点与函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
知识点2　函数零点的判断
(1)条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0.
(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程
f(x)＝0的根．
知识点3　二分法的定义
（1）定义：对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法。
（2）满足的条件：
在区间[a，b]上连续不断的函数y＝f(x)且在区间端点的函数值满足：f(a)f(b)<0.
（3）操作过程：
把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值．
知识点4　二分法求函数零点近似值的步骤
题型一　函数零点的概念及求法
规律方法　函数零点的两种求法
例1、（1）函数的零点是(　　)
A．　　　
B．　　
C．　　
D．
（2）设函数则函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为________．
（3）若3是函数f(x)＝x2－mx的一个零点，则
m＝________.
解析：　
(1)令，解得，所以函数的零点是；
(2)令解得，
即f(x)的零点为－1，
令，解得，∴函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为－2.
(3)由f(3)＝32－3m＝0解得m＝3.
答案　(1)
C　(2)
－2　(3)
3
【变式训练1】　
函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，
那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．
解析：　
∵函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，
∴2a＋b＝0?b＝－2a，
∴g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，
∵－ax(2x＋1)＝0?x＝0，x＝－，
∴函数g(x)＝bx2－ax的零点是0，－.
答案　0，－
题型二　确定函数零点的个数
规律方法　判断函数零点个数的四种常用方法
例2、判断下列函数零点的个数．
（1）；
（2）；
（3）
解析：　
（1），
令，
解得，
即函数的零点为，共3个；
（2）由，即，得
，
所以方程没有实数根，
即函数零点的个数为0；
（3）函数对应的方程为ln
x＋x2－3＝0，
所以原函数零点的个数即为
函数y＝ln
x与y＝3－x2的图象交点个数．
在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图)．
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln
x的图象只有一个交点．从而方程ln
x＋x2－3＝0有一个根，
即函数y＝ln
x＋x2－3有一个零点．
答案
（1）3
（2）0
（3）1
【变式训练2】　
函数f(x)＝ln
x－的零点的个数是(　　)
A．0　　　B．1　　　C．2　　D．3
解析：
　如图画出y＝ln
x与y＝的图象，
由图知y＝ln
x与y＝(x>0，且x≠1)的图象有两个交点．
故函数f(x)＝ln
x－的零点有2个．
答案　C
题型三　判断函数零点所在的区间
规律方法　确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
例3、(1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
m
－4
－6
－6
－4
n
6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是(　　)
A．(－3，－1)和(2,4)　　　
B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2)　　
D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
(2)已知函数，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　)
A．(0,1)　　　
B．(1,2)
C．(2,4)　　
D．(4，＋∞)
解析：
(1)易知f(x)＝ax2＋bx＋c的图象是一条连续不断的曲线，又f(－3)f(－1)＝6×(－4)＝－24<0，
∴f(x)在(－3，－1)内有零点，
即方程ax2＋bx＋c＝0在(－3，－1)内有根，
同理方程ax2＋bx＋c＝0在(2,4)内有根．故选A．
(2)∵，
∴f(x)为(0，＋∞)上的减函数，且f(1)＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－2＝－<0，
由零点存在性定理，
可知包含f(x)零点的区间是(2,4)．
答案　(1)A　(2)C
【变式训练3】　
（1）函数的零点所在的一个区间是(　　)
A．
B．(－1,0)
C．(0,1)　　
D．(1,2)
（2）函数的零点所在的大致区间是（
）
A.
B.
C.
D.
（3）若方程的实根在区间
(k，k＋1)(k∈Z)上，则k等于(　　)
A．－2　　　
B．1　　　
C．－2或1　　
D．0
解析:　
(1)由已知可知，函数单调递增且连续，
∵，，
，，
∴，
由函数零点存在性定理可知，
函数的一个零点所在区间是，故选C；
（2）函数单调递增，且有
，，
∴函数有一个零点在区间内，故选C；
（3）由题意知，x≠0，则原方程即为lg(x＋2)＝，在同一平面直角坐标系中作出
函数y＝lg(x＋2)与y＝的图象，如图所示，
由图象可知，原方程有两个根，一个在区间
(－2，－1)上，一个在区间(1,2)上，
∴
k＝－2或k＝1.故选C．
答案　（1）C　（2）C
（3）C
题型四　二分法概念的理解
规律方法　
运用二分法求函数的零点应具备的
条件
例4、（1）下列函数中，不能用二分法求零点的是(　　)
（2）下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（
）
A.
B.
C.
D.
（3）用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1,3)内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________．
解析:　
（1）观察图象与x轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，
则可用二分法求零点，故B不能用二分法求零点；
（2）对于选项C而言，令，得，
即函数存在零点，但当时，；当时，，
∴有零点，但零点两侧函数值同号，
∴不能用二分法求零点的近似值；
（3）设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7<0，
f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，
f(x)零点所在的区间为(1,2)，
∴方程2x＋3x－7＝0有根的区间是(1,2)。
答案　（1）B　（2）C（3）(1,2)
【变式训练4】　
已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　)
A．4,4
B．3,4
C．5,4
D．4,3
解析：　图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.
答案　D
题型五　用二分法求函数的零点
规律方法　用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
例5、用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确度0.01)．
解析：　
经计算，f(1)<0，f(1.5)>0，
所以函数在[1,1.5]内存在零点x0.
取区间(1,1.5)的中点x1＝1.25，
经计算f(1.25)<0，因为f(1.25)·f(1.5)<0，
所以x0∈(1.25,1.5)．
如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表：
(a，b)
(a，b)的中点
中点函数值符号
(1,1.5)
1.25
f(1.25)<0
(1.25,1.5)
1.375
f(1.375)>0
(1.25,1.375)
1.312
5
f(1.312
5)<0
(1.312
5,1.375)
1.343
75
f(1.343
75)>0
(1.312
5,1.343
75)
1.328
125
f(1.328
125)>0
(1.312
5,1.328
125)
1.320
312
5
f(1.320
312
5)<0
∵|1.328
125－1.320
312
5|＝0.007
812
5<0.01，
∴函数f(x)＝x3－x－1的一个精确度为0.01的近似零点可取为1.328
125.
【变式训练5】　
证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1,2)内有唯一一个零点，并求出这个零点(精确度0.1)．
解析：　
设函数f(x)＝2x＋3x－6.∵f(1)＝－1<0，
f(2)＝4>0.又∵f(x)是增函数，
∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1,2)内有唯一的零点，
则方程6－3x＝2x在区间(1,2)上有唯一一个实数解，设该解为x0，则x0∈(1,2)，
取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)f(1.5)<0，
∴x0∈(1,1.5)．
取x2＝1.25，f(1.25)＝0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，
∴x0∈(1,1.25)．
取x3＝1.125，f(1.125)＝－0.44<0，f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125,1.25)．
取x4＝1.187
5，f(1.187
5)＝－0.16<0，
f(1.187
5)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.187
5,1.25)．
∵|1.25－1.187
5|＝0.062
5<0.1，
∴可取x0＝1.25，
则方程的一个实数解可取x0＝1.25.
考向一
一元二次方程根的分布的讨论
规律方法
讨论一元二次方程的根所在区间内的分布情况一般需从五个方面考虑：①判别式②开口方向②对称轴与区间的相对位置关系④韦达定理⑤端点函数值的正负
（1）一元二次方程的实根情况，则有下列几种情形：
（2）一元二次方程根的零分布（即根相对于零的关系），则有下列几种情形：
设一元二次方程的两个实根为
（3）一元二次方程根的分布（即根相对于的位置），则有下列几种情形：
设一元二次方程的两个实根为，为常数
例6、已知关于的方程，在下列条件下，求实数的取值范围。
（1）一个根大于1，一个根小于1；
（2）一个根在内，另一个根在内。
解析：
（1）由题意，可从方程根层面去判断，则有
解得；
（2）由题意，可从对应二次函数图像层面去判断，则有
解得
答案
（1）
（2）
【变式训练6】
关于的方程有两实根，且都在区间内，求的取值范围。
解析：
由题意，可从函数图像与性质层面去判断，则有
，
即，
解得
答案
考向二
数形结合研究函数的零点
规律方法
例7、已知在上有两个零点，求参数的取值范围。
解析：
由题意，原问题可变形为：，
故原问题可转化为函数图像与函数图像有两个交点问题，
则先作出函数的图像，如图所示;
故函数的图像要与有两个交点，
则只需，
解得
答案
【变式训练7】
若关于的方程有两个不等的实数解，则的取值范围是
。
解析：
原方程可变形为，
故原问题可转化为函数的图像与函数的图像有两个交点，
作出函数的图像如图所示：
∵函数是一个二次函数，
画出图像如图所示，
不难发现，当时，即时，两个函数图像有两个交点，
∴的取值范围是
答案
考向三
函数中恒成立存在性问题
规律方法
（1）恒成立问题解题的基本思路：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最值法、数形结合法等方法求解。
解决恒成立问题的具体思路：
（2）存在性问题
例8、已知当时，不等式恒成立，则的取值范围是
。
解析：
方法一（分离参数法）：
由题意，原不等式可分离参数得，
故原问题可转化为求函数在上的最小值问题，
又，故该函数为对勾类型函数，
作出其函数图像，可发现其当时，函数取最小值，且最小值为，
∴
方法二（分类讨论法）：
由题意，原问题可转化为求函数在上的最大值问题，先探讨其单调性，从而找出最大值；
∵为二次函数，其开口方向向上，故其单调性由对称轴决定：
①当时，即时，
在上单调递增，故最大值为，
∴，解得，结合前面，故此时无解；
②当时，即时，
在上单调递减，故最大值为，
∴，解得，结合前面，
故此时；
③当时，即时，
在上先减后增，且偏2更远，
故最大值为，
∴，解得，再结合，
故此时无解；
④当时，即时，
在上也是先减后增，且偏1更远，
故最大值为，
∴，解得，再结合，
故此时也无解；
综上所述，的取值范围是
答案
【变式训练8】
已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，当时，恒成立，求a的取值范围。
解析：
∵f(x)＝(x－a)2＋2－a2，
∴此二次函数图象的对称轴为x＝a
①当时，f(x)在上单调递增，
∴f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.
要使恒成立，只需，即，
解得，即.
②当时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.
要使恒成立，只需，
即
解得，即.
综上所述，实数a的取值范围为[－3,1]
答案
一、选择题　　　
　　　　　　
　　　　　
1．下列函数没有零点的是(　　)
A．f(x)＝0
B．f(x)＝2
C．f(x)＝x2－1
D．f(x)＝x－
解析：　函数f(x)＝2，不能满足方程f(x)＝0，因此没有零点．
答案
　B
2．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)
A.，0
B．－2,0
C.
D．0
解析：　当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，
所以x＝0.
当x>1时，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，
所以x＝，不成立，
所以函数的零点为0，选D.
答案
　D
3．函数f(x)＝－x3－3x＋5的零点所在的大致区间是(　　)
A．(－2,0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(2,3)
解析：　∵f(1)＝－13－3×1＋5＝1＞0，
f(2)＝－23－3×2＋5＝－9＜0，
∴函数f(x)的零点必在区间(1,2)上，故选C.
答案
　C
4．方程0.9x－x＝0的实数解的个数是(　　)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：　设f(x)＝0.9x－x，
则f(x)为减函数，值域为R，故有1个．
答案
B
5．函数y＝x2＋a存在零点，则a的取值范围是(　　)
A．a>0
B．a≤0
C．a≥0
D．a<0
解析：　函数y＝x2＋a存在零点，
则x2＝－a有解，
所以a≤0.
答案
B
6．如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是（
）
A．[－2.1，－1]
B．[4.1，5]
C．[1.9，2.3]
D．[5，6.1]
解析：结合图象可得：ABD选项每个区间的两个端点函数值异号，
可以用二分法求出零点，
C选项区间两个端点函数值同号，不能用二分法求零点.
答案
C
7．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是(　　)
A．[1,4]
B．[－2,1]
C.
D.
解析：　∵第一次所取的区间是[－2,4]，
∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，
∴第三次所取的区间可能为，，，
答案
　D
二、填空题
8．函数f(x)＝的零点是________．
解析：　令f(x)＝0，即＝0，即x－1＝0或ln
x＝0，
∴x＝1，故函数f(x)的零点为1.
答案
　1
9．若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________．
解析：　由|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象，
则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，
则0＜a＜4.
答案
　(0,4)
10．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为________．
解析：∵f(x)＝x＋b是增函数，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，
∴∴∴－1答案
(－1,0)
三、解答题
11．设函数f(x)＝
(1)画出函数y＝f(x)的图象；
(2)讨论方程|f(x)|＝a的解的个数．(只写明结果，无需过程)
解析：　(1)函数y＝f(x)的图象如图所示：
(2)函数的图象如图所示：
①0＜a＜4时，方程有四个解；
②a＝4时，方程有三个解；
③a＝0或a＞4时，方程有二个解；
④a＜0时，方程没有实数解．
答案
见解析
12．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，在下列条件下，求实数a的取值范围.
(1)零点均大于1；
(2)一个零点大于1，一个零点小于1；
(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．
解析：　(1)因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，
结合二次函数的单调性与零点存在性定理
得解得2≤a<，即a的取值范围是
(2)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，
结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f(1)＝5－2a<0，
解得a>，即a的取值范围是
(3)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，
结合二次函数的单调性与零点存在性定理得解得即a的取值范围是
答案
见解析
一、选择题
1．已知0＜a＜1，则函数零点的个数是(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．1个或2个或3个
解析：　∵0＜a＜1，函数的零点的个数就等于方程的解的个数，
即函数与图象的交点的个数．
如图所示，函数与的交点的个数为2，
故选B.
答案
　B
2．已知方程|2x－1|＝a有两个不等实根，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0)
B．(1,2)
C．(0，＋∞)
D．(0,1)
解析：　若关于x的方程|2x－1|＝a有两个不等实数根，
则y＝|2x－1|的图象与y＝a有两个不同的交点．
函数y＝|2x－1|的图象如图所示
由图可得，当a∈(0,1)时，函数y＝|2x－1|的图象与y＝a有两个交点，
故实数a的取值范围是(0,1)，
故选D.
答案
　D
3．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（
）
A．
B．
C．
D．
解析：因为函数在上连续单调递增，且,
所以函数的零点在区间内，故选C.
答案
C
4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984
f(1.375)≈－0.260
f(1.437
5)≈0.162
f(1.406
25)≈－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度0.04)为(　　)
A．1.5
B．1.25
C．1.375
D．1.437
5
解析：　由参考数据知，f(1.406
25)≈－0.054，f(1.437
5)≈0.162，
即f(1.406
25)·f(1.437
5)<0，且1.437
5－1.406
25＝0.031
25<0.04，
所以方程的一个近似解可取为1.43
75，故选D.
答案
D
5．已知曲线y＝()x与y＝x的交点的横坐标是x0，则x0的取值范围是(　　)
A．(0，)
B.
C．(，1)
D．(1,2)
解析：　设f(x)＝()x－x，则f(0)＝1>0，
f()＝()－＝－<0，
f(1)＝－1<0，f(2)＝()2－2<0，
显然有f(0)·f()<0.
答案
A
6．偶函数f(x)在区间[0，a](a>0)上是单调函数，且f(0)·f(a)<0，则方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．0
解析：　由函数零点的存在性定理可知，函数f(x)在区间[0，a]上只有一个零点，
设为x0，则f(x0)＝0，
又因为f(x)为偶函数，所以f(－x0)＝f(x0)＝0，
即－x0是函数在[－a,0]内唯一的零点，
故方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数为2.
答案
　B
7．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是函数f(x)的两个零点，
则实数a，b，α，β的大小关系可能是(　　)
A．a<αB．a<α<βC．αD．α解析：　∵α，β是函数f(x)的两个零点，
∴f(α)＝f(β)＝0.
又f(x)＝(x－a)(x－b)－2，∴f(a)＝f(b)＝－2<0
结合二次函数f(x)的图象，如图所示，
可知，a，b必在α，β之间，只有C满足．
答案
C
8．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则(　　)
A．f(x1)<0，f(x2)<0
B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0
D．f(x1)>0，f(x2)>0
解析：　在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x和函数y＝的图象，如图所示，
由图可知函数y＝2x和函数y＝的图象只有一个交点，
即函数f(x)＝2x＋只有一个零点x0，且.
因为x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，
所以由函数图象可知，f(x1)<0，f(x2)>0.
答案
B
二、填空题
9．函数f(x)＝ln
x－x2＋2x＋5的零点个数为________．
解析：令ln
x－x2＋2x＋5＝0得ln
x＝x2－2x－5，
画图可得函数y＝ln
x与函数y＝x2－2x－5的图象有2个交点，
即函数f(x)的零点个数为2.
答案
2
10．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，
则a，b，c的大小关系是________.
解析：　画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示
观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a＜b＜c.
答案
　a＜b＜c
11．已知函数，则函数的零点的个数是________.
解析：
，
当时，，
令，则，
解得，
时，，令得，
作出函数，的图像，
由图像可知，与有两个交点，与有一个交点，
则的零点的个数为4.
答案
4
12．已知函数，若函数有3个零点，
则实数的取值范围是________.
解析：的图象如图.
∵有3个零点,
∴图象与图象有3个交点.
∴.
答案
13．对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断：
①在(－2，－1)内有实数根；
②在(－1,0)内有实数根；
③在(1,2)内有实数根；
④在(－∞，＋∞)内没有实数根．
其中正确的有________．(填序号)
解析：　设f(x)＝x3＋x2－2x－1，
则f(－2)＝－1<0，f(－1)＝1>0，
f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，
f(2)＝7>0，
则f(x)在(－2，－1)，(－1,0)，(1,2)内均有零点，即①②③正确．
答案
　①②③
三、解答题
14．已知函数.
（1）判断函数的零点的个数并说明理由；
（2）求函数零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过；
（3）若，对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
解析：（1）由题易知：函数的定义域为，且在上连续，
，，
，
函数和在上都是增函数，
所以，函数在上是增函数，
因此，函数在上有且只有一个零点；
（2）设函数的零点为，由（1）知：，，
，取，
，
，
且，
即为符合条件的区间；
（3）当时，对于任意的，不等式恒成立等价于
，，.
由函数在上是增函数，
可知，
对任意恒成立，
对任意恒成立，
，解得，
因此，的取值范围是.
答案
（1）一个，理由见解析；（2）；.
15．已知函数.
(Ⅰ)若的值域为，求的值；
(Ⅱ)巳，是否存在这祥的实数，使函数在区间内有且只有一个零点.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
解析：
(Ⅰ)函数的值域为，
则，解得.
(Ⅱ)由，
即，
令，，∈，
原命题等价于两个函数与的图象在内有唯一交点.
(1)当时，在上递减，在上递增，
而g(1)=1>0=h(1)，g(2)=-1<1=h(2)，
∴函数与的图象在内有唯一交点.
(2)当时，图象开口向下，对称轴为，在上递减，
在上递增，与的图象在内有唯一交点，
当且仅当，即即.
∴
(3)当时，图象开口向上，对称轴为，在上递减，
在上递增，
与的图象在内有唯一交点，
∴，即即，
∴.
综上，存在实数，使函数于在区间内有且只有一个点.
答案
(Ⅰ)
；(Ⅱ)存在，第十讲
对数与对数运算
一、选择题
1．若lg
a，lg
b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于(　　)
A．2
B.
C．100
D.
解析：　∵lg
a，lg
b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，
∴由韦达定理得：lg
a＋lg
b＝－＝2，
∴ab＝100.故选C.
答案　C
2．计算log225·log32·log59的结果为(　　)
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：原式＝＝6.
答案
D
3．已知，则
A．
B．2
C．
D．4
解析：由题可得，，，
所以，所以．
答案
D
4．化简：,得（
）
A．2
B．
C．-2
D．
解析：原式=
答案
B
5．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033
B．1053
C．1073
D．1093
解析：设
，两边取对数，
，
所以，即最接近，故选D.
答案
D
6．已知3x=5y=a，且
+=2，则a的值为（　　）
A．
B．15
C．
D．225
解析：，
，
，
则
，。
答案
A
7．若lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，则＝________.
A．2
B．4
C．
D．3
解析：由题可知
，
∴
，
（舍去）或
.
答案
B
8．求值：_________．
A．1
B．2
C．0
D．-1
解析：
。
答案
C
9．若，则___________．
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：由对数的运算性质可得
，
所以，
所以，解得.
答案
C
二、填空题
10．设，则________.
解析：因为，
所以，
所以.
答案
11．已知，则________．
解析：因为，
所以，，．
答案
12．已知，且，则的值是________.
解析：由，得.
当时，,满足条件.，
当时，由，即，
将代入得,
即,得，
所以或1.
答案
或1
三、解答题
13．求满足下列条件的x的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
解析：（1），
，
（2），
（3），
（4），
，
，
。
答案
（1）；（2）；（3）；（4）
14．计算或化简：
（1）；
（2）
（3）；
（4）。
解析：（1）原式.
（2）原式。
（3）原式===.
（4）原式
。
答案
.10，，3，1
15．（1）求的值.
（2）已知，，试用，表示
解析：（1）原式
（2）由得到，
由，得到，即.
.
答案
（1）18；（2）.第十四讲
函数模型及其应用
一、选择题
1．某跨国饮料公司在对全世界所有人均（即人均纯收入）在0.5~8千美元的地区销售该公司饮料的情况调查时发现：该饮料在人均处于中等地区的年人均销售量最大，然后向两边递减．下列几个模拟函数中用哪个模拟函数来描述人均饮料销售量与地区的人均关系更合适？（表示人均，单位：千美元，表示年人均饮料的销售量，单位：L）（
）
A．
B．
C．且
D．且
解析：因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销量最多，然后向两边递减，
所以用来模拟比较合适，故选项正确.
而选项表示的函数在区间上是单调函数，所以不合适.
答案
A
2．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，
则下列说法正确的是（）
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲比乙先到达终点
解析：从图中直线可以看出，甲的图象斜率大于乙的图象斜率，，
甲、乙同时出发，跑了相同的路程，甲比乙先到达.
答案
D
3．某品牌电脑投放市场的第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销售量y与投放市场月数x之间的关系的是
A．y=100x
B．y=50x2–50x+100
C．y=50×2x
D．y=100log2x+100
解析：对于A中的函数，当x=3或4时，误差较大．
对于B中的函数，当x=3或4时误差也较大．
对于C中的函数，当x=1，2，3时，误差为0，x=4时，误差为10，误差很小．
对于D中的函数，当x=4时，据函数式得到的结果为300，与实际值790相差很远．
综上，只有C中的函数误差最小，故选C．
答案
C
4．为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，计费方法如下：
每户每月用电量
电价
不超过230度的部分
0.5元/度
超过230度但不超过400度的部分
0.6元/度
超过400度的部分
0.8元/度
若某户居民本月交纳的电费为380元，则此户居民本月用电量为（
）
A．475度
B．575度
C．595.25度
D．603.75度
解析：不超过230度的部分费用为：；
超过230度但不超过400度的部分费用为：，；
设超过400度的部分为，则，
故用电度
答案
D
5．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．
已知工人组装第4件产品用时30
min，组装第A件产品用时15
min，那么c和A的值分别是(　　)
A．75,25
B．75,16
C．60,25
D．60,16
解析：　由题意知，组装第A件产品所需时间为＝15，
故组装第4件产品所需时间为＝30，
解得c＝60.将c＝60代入＝15，得A＝16.
答案
　D
6．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，
那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是(　　)
A.　
　B.　　
C.－1　　
D.－1
解析：　设每月的产量增长率为x,1月份产量为a，则a(1＋x)11＝ma，
所以1＋x＝，即x＝－1.
答案
D
7．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4
000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为(　　)
A．y＝0.2x(0≤x≤4
000)
B．y＝0.5x(0≤x≤4
000)
C．y＝－0.1x＋1
200(0≤x≤4
000)
D．y＝0.1x＋1
200(0≤x≤4
000)
解析：　由题意得y＝0.3(4
000－x)＋0.2x＝－0.1x＋1
200.
答案
C
8．如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝DC＝2，CB＝，动点P从点A出发，由A→D→C→B沿边运动，点P在AB上的射影为Q.设点P运动的路程为x，△APQ的面积为y，则y＝f(x)的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：P点在AD上时，△APQ是等腰直角三角形，
此时f（x）＝?x?x＝x2，（0＜x＜2）是二次函数，排除A，B，
P在DC上时，PQ不变，AQ增加，是递增的一次函数，排除C，
答案
D
9．某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后，若人均一年占有y千克粮食，则y关于x的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
解析：设该乡镇现在人口数为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克，
1年后，该乡镇粮食总产量为千克，人口数为，
则人均占有粮食产量为千克，
2年后，人均占有食产量为千克，
……
经过x年后，人均占有粮食产量为千克，
即所求解析式为．
答案
D
二、填空题
10．一水池有2个进水口，1个出水口，两个进水口的进水速度如图甲、乙所示，出水口的排水速度如图丙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丁所示．
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．其中一定正确的论断序号是________．
解析：从0点到3点，两个进水口的进水量为9，故①正确；
由排水速度知②正确；
4点到6点可以是不进水，不出水，也可以是开一个进水口(速度快的)、一个排水口，故③不正确．
答案
①②
11．某学校决定对教室用药熏消毒法进行消毒，根据药学原理，从药物释放开始，每立方米空气中的含药量毫克与时间小时之间的函数关系式为据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室学习.那么从药物释放开始，至少需要经过_______小时后，学生才能回到教室.
解析：当时，时，，
但是随着时间的增加，室内的含药量也在增加，
所以此时学生不能回到教室，
所以有，
∴至少需小时后，学生才能回到教室.
答案
12．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.
某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．
解析：由题可知：折扣金额y元与购物总金额x元之间的解析式，
y，
∵y＝30＞25，
∴x＞1100，∴0.1（x﹣1100）+25＝30
解得x＝1150，1150﹣30＝1120，
故此人购物实际所付金额为1120元．
答案
1120
三、解答题
13．为鼓励居民节约用水，某市自来水公司对全市用户采用分段计费的方式计算水费，收费标准如下：
不超过的部分为2.20元/；超过不超过的部分为2.80元/；超过部分为3.20元/.
（1）试求居民月水费y（元）关于用水量的函数关系式；
（2）某户居民4月份用水，应交水费多少元？
（3）若有一户居民5月份水费为57.20元，请问该户居民5月份用水多少？
（4）若某户居民6月份、7月份共用水，且6月份水费比7月份水费少12元，则该户居民6、7月份各用水多少？
解析：
（1）当时，，
当时，，
当时，，
综上，．
（2）时，（元）；
（3）由（1）时，，
当时，，
当时，，，
则，所以（吨）；
（4）两个月共用水36吨，说明一个月比18吨多，一个月比18吨少，
设6月份用水吨，因为6月份水费少，则，
又因为，显然，所以，解得．
所以6月份用水16吨
答案
（1）（2）38.8元；（3）22吨；（4）6月16吨，7月20吨
14．某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年.
（1）求森林面积的年增长率；
（2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？
（3）为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林多少年？
（参考数据：，）
解析：（1）设增长率为，依题意可得，
所以即，
解得
（2）设已经植树造林年，则，即，解得，
故已经植树造林年.
（3）设至少还需要年，则，即
即，
解得，
故至少还需要年。
答案
（1）；（2）年；（3）至少还需要年.
15．某物流公司欲将一批海产品从A地运往B地，现有汽车、火车、飞机三种运输工具可供选择，
这三种工具的主要参考数据如下：
运输工具
途中速度（）
途中费用（元/）
装卸时间（）
装卸费用（元/）
汽车
50
80
2
200
火车
100
40
3
400
飞机
200
200
3
800
若这批海产品在运输过程中的损耗为300元/，问采用哪种运输方式比较好，即运输过程中的费用与损耗之和最小.
解析：设路程为，汽车、火车、飞机三种运输工具的费用与损耗之和分别为，则
，
，
,
从三条直线的斜率和纵截距，它们的图象大致位置如图所示，
时，，时，，
所以当时，最小，汽车总费用最小，
当时，最小，火车总费用最小，
当时，最小，飞机总费用最小．
答案
当时，汽车总费用最小；
当时，火车总费用最小；
当时，飞机总费用最小（其中表示运输路程）现代数学是用集合语言描述的，数学靠它强大的逻辑力量成为刻画自然科学和社会科学的科学语言和有效工具，深刻理解掌握这些概念、基本方法是成功跨入数学大门的前提。本章以集合知识为重点，涉及的多是集合的基本运算，其中与不等式结合的含参试题体现了区分度。充分条件与必要条件这一节是必考内容，由于本章节内容的工具性，因此相关试题的特点必然是综合其他知识，但主要是与其他各章节的最基础的知识相结合，突显难度的试题不多，学习本章的总则：以集合为中心，简易逻辑化归为集合。
教材要点
学科素养
学考
高考
考法指津
高考考向
1.函数的概念
数学抽象
水平1
水平2
1.理解函数的概念和函数的三要素，尤其是对应关系的实质。
2.掌握函数定义域、值域的求法，并能根据其意义解决一些逆向问题。
3.理解复合函数的概念，能求一些复合函数的定义域、值域。
【考查内容】函数的定义域、值域的求法。
【考查题型】选择题、填空题
【分值情况】5分
2.函数的三要素
数学抽象
水平2
水平2
3.区间的概念与应用
数学运算
水平1
水平1
4.复合函数与抽象函数
数学抽象
水平1
水平2
一、集合的含义
知识点1　元素与集合的概念
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母，…表示．
(2)集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母，…表示．
(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．
知识点2　元素与集合的关系
关系
概念
记法
读法
属于
如果是集合的元素，就说属于集合A
属于集合A
不属于
如果不是集合A中的元素，就说不属于集合A
不属于集合A
知识点3　常用数集及表示符号
数集
非负整数集
(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
题型一　集合的判定问题
规律方法　判断一组对象能否构成集合的依据
例1、下列每组对象能否构成一个集合：
(1)我们班的所有高个子同学；
(2)不超过20的非负数；
(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；
(4)的近似值的全体．
解析：
　
(1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合．
(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“”与，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；
(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；
(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“的近似值”不能构成集合．
【变式训练1】　
下列每组对象是否构成一个集合：
（1）数学必修一课本中所有的难题；
（2）方程在实数范围内的解；
（3）高一年级全体较胖的学生。
解析：
（1）“难题”无明确的标准，对于某个题是否“难”无法客观地判断，因此不能构成一个集合；
（2）任给一个实数“”，可以明确地判断是否是该方程的解，两者必居其一，因此能构成一个集合；
（3）中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以不能构成一个集合。
题型二　元素与集合的关系
规律方法　判断元素与集合关系的两个关键点
例2、(1)给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数为(　　)
A．1　
B．2　　　
C．3　　
D．4
(2)集合A中的元素满足，则集合A中的元素为________
(3)集合，判断下列元素与集合A的关系
（4）已知集合，
，若，
那么为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：
　(1)①②正确；③④⑤不正确．
(2)∵，
∴当时，，∴满足题意；
当时，，∴满足题意；
当时，，∴满足题意；
当时，不满足题意，
所以集合A中的元素为0,1,2.
（3）由于
∴①当时，，∴
②
∴当时，
∴
③
当时，，
但
∴。
（4）是方程联立的方程组的解，即且是元素而不是集合。
答案
　(1)B　
(2)0,1,2
（3）
（4）B
【变式训练2】
（1）用适当的符号填空：
已知，
，则有：
17
A；
-5
A；
17
B。
（2）已知集合，
，
且，设，则（
）
A.
B.
C.
D.
以上都不对
解析：
（1）由，解得
∴；
由解得，∴；
由解得，∴。
（2）设
则
∴故选B
答案
（1）
（2）B
题型三　集合中元素的特性
规律方法　利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点
例3、已知集合，且
求的值。
解析：
由于，故为集合A中的元素，因此
，分别解这两个方程再检验即可。
∵，且
∴
解得
当时，，
不符合集合中元素的互异性，舍去；
当时，，满足题意
故
答案
【变式训练3】
已知集合，
若，求实数的值。
解析：
(1)若，则，此时，
与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
（2）若，则
当时，，满足题意；
当时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
（3）若，则由上述过程知，都不满足题意；综上所述，
答案
0
二、集合的表示
知识点　集合的表示方法
(1)列举法：
①定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{
}”括起来表示集合的方法叫做列举法；
②形式：．
(2)描述法：
①定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法；
②写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
题型四　用列举法表示集合
规律方法　用列举法表示集合的三个注意点
例4、用列举法表示下列集合：
（1）；
（2）；
（3）
（4）。
解析：
（1）∵
∴
∴
∴
（2）∵1和2是方程的根，
∴
（3）∵，
∴
∴
（4）∵
∴即，
∴，
∴
当这4个自然数时，
也是自然数，
∴
【变式训练4】　
用列举法表示下列集合：
（1）；
（2）；
（3）。
解析：
（1）由知
∴时，，符合题意，
∴
（2）∵点满足条件
，则有
∴
（3）依题意知，
则
要满足条件，
∴
题型五　用描述法表示集合
规律方法　用描述法表示集合的注意点
例5、用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数的集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
解析：
　(1)偶数可用式子表示，但此题要求为正偶数，故限定，所以正偶数集可表示为．
(2)设被3除余2的数为，则，
，但元素为正整数，故，所以被3除余2的正整数集合可表示为．
(3)坐标轴上的点的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即，故坐标轴上的点的集合可表示为．
【变式训练5-1】　
用描述法表示平面直角坐标系中位于第二象限的点的集合．
解析：
位于第二象限的点的横坐标为负，纵坐标为正，即，故第二象限的点的集合为
．
【变式训练5-2】　
用描述法表示图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合．
解析：
　本题是用图形语言给出的问题，要求把图形语言转换为符号语言．用描述法表示(即用符号语言表示)为
考向一
集合中的探索性问题
规律方法
例6、设实数集
是满足下面两个条件的集合：
①
②若则
（1）求证：若则
（2）若则在中必含有其他的两个数，试求出这两个数；
（3）求证：集合中至少有三个不同的元素。
解析：
（1）证明：由则
可得，
即，
故若则
（2）由则
由则
而当时，又回到了开始
因此当时，只有另两个元素
（3）证明：由（2）知时，
下证三者两两互不相等
①若即无解，
所以
②若即无解，
所以；
③若即无解，
所以
综上所述，集合中至少有三个不同的元素。
【变式训练6】
数集M满足条件：若，则．若，
则在中还有三个元素是什么？
解析：
　
∵，∴，
∴，
∴.
又∵
∴在M中还有三个元素－2，－，.
答案
考向二
集合中含参问题
规律方法
集合中含参问题的处理方法
例7、已知集合，
且，则
解析：
由已知，则
集合中必有一个元素是0，
当时，则分母无意义，
故A中必然是，
解得，
由此推测B中必有一个元素为1，
故分两种情况讨论，
若，解得；
当时，∵，∴，
则集合，与集合的互异性矛盾，舍去；
当时，则，
此时集合，满足题意；
若，由前面可知，与集合互异性矛盾，舍去；
综上所述，
答案
【变式训练7】
已知集合，
若，求
解析：
当时，即，
则.
经检验，均不合题意．
当时，即，
则
经检验，均合题意．
综上所述，。
答案
考向三
集合与方程的综合问题
规律方法
集合与方程的综合问题的解题思路
例8、已知集合
（1）若中不含有任何元素，求的取值范围
（2）若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来
（3）若中至多有一个元素，求的取值范围
解析：
集合A是方程在实数范围内的解集
（1）A中不含有任何元素，
即方程无解，则
①当时，的解为不合题意
②解得
（2）当时，方程有一解为
当时，即时，方程有两相等
的实数根，
即A中只有一个元素为
所以当时，A中只有一个元素，
分别为
（3）A中至多有一个元素，包括A中不含有元素和A中只有一个元素两种情况，据（1）（2）的结果，得
答案
（1）
（2）当时，；
当时，
（3）
【变式训练8】
A是由方程的实数根组成的集合。
（1）当A中有两个元素时，求的取值范围；
（2）当A中没有元素时，求的取值范围；
（3）当A中有且仅有一个元素时，求的值，并求出此元素。
解析：
（1）当A中有两个元素时，即
方程有两个不相等的实数根
∴解得
（2）当A中没有元素时，即
方程没有实数根
∴解得
（3）当A中有且仅有一个元素时，
即方程有一个实数根
或两个相等的实
数根。则
①当时，方程的根为；
②当时，解得
此时
故当时，；当时，
答案
（1）
（2）
（3）当时，；
当时，
一、选择题
1．下列各组对象不能构成集合的是(　　)
A．所有直角三角形
B．抛物线y＝x2上的所有点
C．某中学高一年级开设的所有课程
D．充分接近的所有实数
解析：　A、B、C中的对象具备“三性”，而D中的对象不具备确定性．
答案
　D
2．给出下列关系：
①∈R；②?R；③|－3|∈N；④|－|∈Q.
其中正确的个数为(　
　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：　①③正确．
答案
　B
3．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是(　
　)
A．M＝{π}，N＝{3.141
59}
B．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}
C．M＝{x|－1D．M＝{1，，π}，N＝{π，1，|－|}
解析：　选项A中两个集合的元素互不相等，选项B中两个集合一个是数集，一个是点集，
选项C中集合M＝{0,1}，只有D是正确的．
答案
D
4．已知集合A中只含1，a2两个元素，则实数a不能取(　
　)
A．1
B．－1
C．－1和1
D.1或－1
解析：　由集合元素的互异性知，a2≠1，即a≠±1.
答案
　C
5．集合{x∈N
|x－3<2}的另一种表示法是(　
　)
A．{0,1,2,3,4}
B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5}
D．{1,2,3,4,5}
解析：　∵x－3<2，x∈N
，∴x<5，x∈N
，
∴x＝1,2,3,4.故选B.
答案
B
6．已知集合，，若，则=（
）
A．或3
B．0或
C．3
D．
解析：由于，故，解得或.
当时，，与集合元素互异性矛盾，故不正确.
经检验可知符合.
答案
C
二、填空题
7．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则＋的可能取值所组成的集合中元素的个数为______．
解析：　当ab>0时，＋＝2或－2.
当ab<0时，＋＝0，
因此集合中含有－2,0,2三个元素．
答案
　3
8．集合M中的元素y满足y∈N，且y＝1－x2，若a∈M，则a的值为
解析：　由y＝1－x2，且y∈N知，
y＝0或1，∴集合M含0和1两个元素，又a∈M，
∴a＝0或1.
答案
　0或1
9．设集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a,0}，若A，B相等，则实数a＝_______.
解析：：由集合相等的概念得解得a＝1.
答案
：1
10．已知集合A＝{x|2x＋a>0}，且1?A，则实数a的取值范围是
．
解析：
∵1?{x|2x＋a>0}，
∴2×1＋a≤0，即a≤－2.
答案
a≤－2
三、解答题
11
.(1)已知集合M＝{x∈N|∈Z}，求M；
(2)已知集合C＝{∈Z|x∈N}，求C.
解析：(1)∵x∈N，∈Z，
∴1＋x应为6的正约数．
∴1＋x＝1,2,3,6，即x＝0,1,2,5.
∴M＝{0,1,2,5}．
(2)∵∈Z，且x∈N，
∴1＋x应为6的正约数，
∴1＋x＝1,2,3,6，此时分别为6,3,2,1，
∴C＝{6,3,2,1}．
答案
（1）
（2）
12．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.
(1)求实数x应满足的条件；
(2)若－2∈A，求实数x.
解析：　(1)由集合中元素的互异性可知，
解之得x≠－1且x≠0，且x≠3.
(2)∵－2∈A，∴x＝－2或x2－2x＝－2.
由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴x＝－2.
答案
（1）x≠－1且x≠0，且x≠3
（2）
一、选择题
1．设不等式3－2x<0的解集为M，下列正确的是(　
　)
A．0∈M,2∈M
B．0?M,2∈M
C．0∈M,2?M
D．0?M,2?M
解析：　从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M间的关系，
因此只需判断0和2是否是不等式3－2x<0的解即可．
当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0不属于M，即0?M；
当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2属于M，即2∈M.
答案
　B
2．已知集合A中含1和a2＋a＋1两个元素，且3∈A，则a3的值为(　
　)
A．0
B．1
C．－8
D．1或－8
解析：　3∈A，∴a2＋a＋1＝3，即a2＋a－2＝0，
即(a＋2)(a－1)＝0，
解得a＝－2，或a＝1.
当a＝1时，a3＝1.
当a＝－2时，a3＝－8.
∴a3＝1，或a3＝－8.
答案
　D
3．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1、x2∈A，x3∈B，
则下列判断不正确的是(　
　)
A．x1·x2∈A
B．x2·x3∈B
C．x1＋x2∈B
D．x1＋x2＋x3∈A
解析：　集合A表示奇数集，B表示偶数集，
∴x1、x2是奇数，x3是偶数，
∴x1＋x2＋x3应为偶数，即D是错误的．
答案
D
4．设P＝{1,2,3,4}，Q＝{4,5,6,7,8}，定义P
Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q，a≠b}，
则P
Q中元素的个数为(　
　)
A．4
B．5
C．19
D．20
解析：　由题意知集合P
Q的元素为点，
当a＝1时，集合P
Q的元素为：(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)共5个元素．
同样当a＝2,3时集合P
Q的元素个数都为5个，
当a＝4时，集合P
Q中元素为：(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)共4个．
因此P
Q中元素的个数为19个，故选C.
答案
C
5．已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，
则下列判断正确的是(　
　)
A．0?M　　　　　　　　
B．2∈M
C．－4?M
D．4∈M
解析：　当x，y，z都大于零时，代数式的值为4，
所以4∈M，故选D.
答案
D
6．在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，给出如下四个结论：①；②；③若整数属于同一“类”，则；④若，则整数属于同一“类”.其中，正确结论的个数是（
）.
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：对于①，，，①正确；
对于②，，即被除余，，②错误；
对于③，设，，，能被整除，，③正确；对于④，设，，即，，不妨令，，则，，，，属于同一“类”，
④正确；综上所述：正确结论的个数为个.
答案
C
二、填空题
7．以方程x2－5x＋6＝0和x2－6x＋9＝0的解为元素的集合中所有元素之和等于________．
解析：　方程x2－5x＋6＝0的解为x＝2，或x＝3，
方程x2－6x＋9＝0的解为x＝3，
∴集合中含有两个元素2和3，
∴元素之和为2＋3＝5
答案
　5
8．已知－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________．
解析：：由－5∈{x|x2－ax－5＝0}得(－5)2－a×(－5)－5＝0，
所以a＝－4，所以{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，
所以集合中所有元素之和为2.
答案
：2
9．给定集合A，若对于任意，有且，则称集合A为闭集合，给出如下四个结论：①集合为闭集合；②正整数集是闭集合；③无理数集是闭集合；④集合为闭集合.其中正确的是________.（填序号）
解析：①中取，则，故①不成立；
②中取，此时，不是正整数，故②不成立；
③中取，则，不是无理数，故③不成立；
④中取，则，故④成立.
答案
④
三、解答题
10．已知集合，若，求的值．
解析：∵集合，
∴解得，
则．
答案
-1.
11．设，，，若，试用列举法表示集合B．
解析：将代入集合A中的方程并整理得.因为，
所以方程的两根为-3，1，由韦达定理得，解得，
所以.将，代入集合B中的方程并整理得，
解得或，所以.
答案教材要点
学科素养
学考
高考
考法指津
高考考向
1.幂函数的概念
数学抽象
水平1
水平1
1.了解幂函数的定义，能区别幂函数与指数函数。
2.能够运用幂函数的简单性质进行实数大小比较。
3.通过作出一些简单幂函数的图像，能根据图像描述出这些简单幂函数的基本性质。
【考查内容】幂函数的图像与性质、指数幂的大小比较。
【考查题型】选择题、填空题、解答题
【分值情况】选择、填空题5分，解答题4分
2.幂函数的图像与性质
直观想象
水平1
水平2
3.幂指数对图像的影响
数学运算
水平1
水平1
4.幂函数的凸凹性
数学运算
水平1
水平1
知识点1　幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
知识点2　幂函数的图象和性质
(1)五个幂函数的图象：
(2)幂函数的性质：
幂函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R，且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0，＋∞)，增
x∈(－∞，0]，减
增
增
x∈(0，＋∞)，减
x∈(－∞，0)，减
公共点
都经过点(1,1)
题型一　幂函数的概念
规律方法　判断函数为幂函数的方法
例1、(1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，
y＝3x中，幂函数的个数为(　　)
A．0　　　B．1　　　C．2　　
D．3
(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，
则m＝________.
解析：　
(1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B．
(2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.
答案　(1)B　(2)5或－1
【变式训练1】　
（1）幂函数的图像过点，则
A.
8
B.
6
C.
4
D.
2
（2）设，则使函数的定义域为R且函数为奇函数的所有的值为（
）
A
.
B.
C.
1,3
D.
解析：　
（1）设幂函数，
由函数的图像过点，可得，
∴，
则幂函数，
∴，故选C
（2）
是常见的5个幂函数，显然当为奇函数时，
的值为，又函数的定义域为R，
∴，
故的值为1,3。故选C。
答案
（1）C
（2）C
题型二　幂函数的图象及应用
规律方法　
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
例2、(1)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　　)
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．2，，－2，－
(2)点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，分别有：
①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)解析：　
（1）根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2，故选B．
（2）设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.∵()α＝2，
(－2)β＝－，∴α＝2，β＝－1，
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知：
①当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
②当x＝1时，f(x)＝g(x)；
③当x∈(0,1)时，f(x)答案
B
【变式训练2】　
如图是函数
(m，n∈N
，m，n互质)的图象，则(　　)
A．m，n是奇数，且<1
B．m是偶数，n是奇数，且>1
C．m是偶数，n是奇数，且<1
D．m是奇数，n是偶数，且>1
解析：
　由图象可知y＝x是偶函数，而m，n是互质的，故m是偶数，n是奇数，又当x∈(1，＋∞)时，的图象在y＝x的图象下方，故<1.
答案　C
题型三　利用幂函数的性质比较大小
规律方法　比较幂值大小的三种基本方法
例3、比较下列各组数中两个数的大小：
(1)与；(2)与
解析：
(1)因为幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上是单调递增的，
又，所以.
(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又，所以.
【探究1】　(变换条件)若将例1(1)中的两数换为，则二者的大小关系如何？
解析：
　因为，
而y＝x0.3在(0，＋∞)上是单调递增的，
又，所以.即.
【探究2】　(变换条件)若将例1(1)中的两数换为，则二者的大小关系如何？
解析：　
因为在(0，＋∞)为上减函数，又0.3<，所以，又因为函数在(0，＋∞)上为增函数，且，所以，
所以.
【变式训练3】　比较下列各组数的大小：
(1)；(2)；
(3).
解析：
　(1)∵幂函数在上为减函数，
又
∴
(2)∵在上为增函数，
，
∴，
∴
(3)∵，，
，
∴
考向一
幂函数的凸凹性
（1）上凸函数、下凸函数的定义
设函数在上有定义，若对于中任意不同两点，都成立，则称在上是上凸的函数，即上凸函数。
设函数在上有定义，若对于中任意不同两点，都成立，则称在上是下凸的函数，即下凸函数。
（2）幂函数的凸性
①幂函数，在时，函数是下凸函数；
②幂函数，在时，函数是上凸函数；
③幂函数，在时，函数在第一象限是下凸函数。
例4、如果一个函数在其定义域内对任意都满足，那么则称这个函数为下凸函数。下列函数：
①；②；③；④
其中是下凸函数的有（
）。
A.
①②
B.
②③
C.
③④
D.
①④
解析：
本题既可用定义来判断，也可用函数图像直接求解，得①④满足题意。
答案
D
【变式训练4】
在这三个函数中，当时，使恒成立的函数有（
）
A.
3个
B.
2个
C.
1个
D.
0个
解析：
当时，恒成立，
∴在区间上的函数图像是“上凸”的，
∵在区间上的函数图像是“下凸”的，
而在区间上的函数图像是“上凸”的。
因此，只有函数符合题意。
答案
C
考向二
常见函数图像与性质
方向一
对勾函数与双刀函数图像与性质
规律方法
(1)、①对勾函数的图像与性质：
②对勾函数的图像与性质：（与①图像关于轴对称）
（2）①双刀函数的图像与性质：
②双刀函数的图像与性质：（与①关于轴对称）
方向二
符号函数图像与性质
规律方法
方向三
反比例型函数图像与性质
规律方法
①若，则函数图像由一、三象限的双曲线平移过去：
②若，则函数图像由二、四象限的双曲线平移过去：
方向四
向下取整函数（表示不大于的最大整数）图像与性质：
规律方法
其图像如图所示：
点评：以上几种函数是高一新同学在在学必修一的函数章节时较常遇到的一些函数，由于在课本中不经常出现，很多同学感觉比较陌生，学起来比较吃力，所以同学们必须要经常结合一些经典例题勤加练习。
1．下列函数是幂函数的是(　　)．
①y＝x3　②y＝x0　③y＝－2x2　④y＝3x　⑤y＝x－2＋1
A．①②
B．①③
C．①③④
D．①②③④
解析：根据幂函数的形式特征可知，只有①②是幂函数，
③中幂的系数不为1，
④中幂的底数不是自变量x，指数不是常数，
⑤中含有常数项，故都不是幂函数．
答案
A
2．若幂函数f(x)＝xm－1在(0，＋∞)上是减函数，则(　　)．
A．m＞1
B．不能确定
C．m＝1
D．m＜1
解析：m－1＜0m＜1，故选D.
答案
D
3．函数f(x)＝的奇偶性为(　　)．
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
解析：函数f(x)＝的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，
且f(－x)＝，
所以此函数为奇函数．
答案
A
4．如图，表示具有奇偶性的函数图像可能是(　　)．
解析：根据奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称可知，选项B中的函数为偶函数．
选项C中的点(0,1)关于原点的对称点(0，－1)不在图像上，
所以选项C中的函数不是奇函数．
答案
B
5．f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)是增函数，则f(－π)，f(3)，f(－5)的大小关系是(　　)．
A．f(3)＜f(－π)＜f(－5)
B．f(－π)＜f(－5)＜f(3)
C．f(3)＜f(－5)＜f(－π)
D．f(－5)＜f(－π)＜f(3)
解析：∵f(－π)＝f(π)，f(－5)＝f(5)，且当x≥0时，f(x)是增函数，
∴f(3)＜f(－π)＜f(－5)．
答案
A
6.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(　　)
A．n　B．mC．n>m>0
D．m>n>0
解析：　由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.
答案
A
7．下列幂函数中，定义域为R且为偶函数的个数为(　　)
①y＝x－2；②y＝x；③y＝x；④y＝x.
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：　易知②③中的函数是奇函数，①中函数是偶函数，
但其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
④中函数符合条件．故选A.
答案
A
8．下列说法中，不正确的是(　　)．
A．图像关于原点成中心对称的函数一定是奇函数
B．奇函数的图像一定经过原点
C．偶函数的图像若不经过原点，则它与x轴交点个数一定是偶数
D．图像关于y轴对称的函数一定是偶函数
解析：由奇函数和偶函数的定义可知，选项A，D正确；
奇函数的图像不一定经过原点，如y＝x－1；
由偶函数的对称性可知，选项C正确．
答案
B
二、填空题
9．函数y＝(m－1)xm2－m为幂函数，则该函数为________(填序号)．
①奇函数；②偶函数；③增函数；④减函数．
解析：由y＝(m－1)xm2－m为幂函数，得m－1＝1，即m＝2，
则该函数为y＝x2，
故该函数为偶函数，在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．
答案
②
10．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：
x
1
f(x)
1
则不等式f(|x|)≤2的解集是________．
解析：由表中数据知＝，∴α＝，∴f(x)＝x，
∴|x|≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4.
答案
{x|－4≤x≤4}
11．已知偶函数f(x)满足f(x＋2)＝xf(x)(x∈R)，则f(1)＝________.
解析：∵函数f(x)是R上的偶函数，
∴f(－1)＝f(1)．
令x＝－1，由f(x＋2)＝xf(x)得
f[(－1)＋2]＝(－1)×f(－1)，
即f(1)＝－f(1)，∴f(1)＝0.
答案
0
三、解答题
12．点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：
①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)解析：设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.
∵()α＝2，(－2)β＝－，
∴α＝2，β＝－1.
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.
分别作出它们的图象，如图所示．
由图象知，当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
当x＝1时，f(x)＝g(x)；
当x∈(0,1)时，f(x)答案
见解析
13．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，已知当x≤0时，f(x)＝x2＋4x＋3.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)画出函数f(x)的图像，并写出函数f(x)的单调递增区间．
解析：(1)∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，
∴对任意的x∈R都有f(－x)＝f(x)成立，
∴当x＞0时，－x＜0，
即f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋4(－x)＋3＝x2－4x＋3，
∴f(x)＝
(2)图像如图所示，函数f(x)的单调递增区间为[－2,0]和[2，＋∞)．(写成开区间也可以)
答案
见解析
14．已知函数f(x)对一切a，b都有f(ab)＝bf(a)＋af(b)．
(1)求f(0)；
(2)求证：f(x)是奇函数；
(3)若F(x)＝af(x)＋bx5＋cx3＋2x2＋dx＋3，已知F(－5)＝7，求F(5)．
解析：(1)∵函数f(x)对一切a，b都有f(ab)＝bf(a)＋af(b)，
∴令a＝b＝0得f(0×0)＝0×f(0)＋0×f(0)，
即f(0)＝0.
(2)证明：令a＝b＝1得，f(1×1)＝1×f(1)＋1×f(1)，即f(1)＝0.
令a＝b＝－1得，f[(－1)×(－1)]＝(－1)×f(－1)＋(－1)×f(－1)，即f(－1)＝0.
令a＝－1，b＝x得，f[(－1)×x]＝xf(－1)＋(－1)f(x)，
即f(－x)＝xf(－1)－f(x)，
∵f(－1)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(3)∵f(x)是奇函数，
∴f(－5)＝－f(5)．
∵F(x)＝af(x)＋bx5＋cx3＋2x2＋dx＋3，且F(－5)＝7，
∴af(－5)＋b×(－5)5＋c×(－5)3＋2×(－5)2＋d×(－5)＋3＝7，
即af(5)＋b×55＋c×53＋d×5＝46.
∴F(5)＝af(5)＋b×55＋c×53＋2×52＋d×5＋3＝46＋50＋3＝99.
答案
见解析
一、选择题
1．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a＋1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值为(　　)．
A．
B．
C．
D．
解析：∵函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a＋1,2a]上的偶函数，
∴a＋1＋2a＝0，解得.
此时f(x)＝＋bx＋1的对称轴，即b＝0，
∴a＋b＝.
答案
A
2．设a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．aB．cC．bD．b解析：　构造幂函数y＝x
(x∈R)，由该函数在定义域内单调递增，知a>b；
构造指数函数，由该函数在定义域内单调递减，
所以aa>b.
答案
D
3．定义在R的偶函数f(x)满足：对任意x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]＞0，
则n∈N＋时，有(　　)．
A．f(－n)＜f(n－1)＜f(n＋1)
B．f(n－1)＜f(－n)＜f(n＋1)
C．f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1)
D．f(n＋1)＜f(n－1)＜f(－n)
解析：∵函数f(x)是偶函数，∴f(－n)＝f(n)．
∵f(x)对任意x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，
有(x2－x1)·[f(x2)－f(x1)]＞0，即或，
∴函数f(x)在(－∞，0]上是增函数．
又∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数．
∵0≤n－1＜n＜n＋1，∴f(n－1)＞f(n)＞f(n＋1)，
即f(n－1)＞f(－n)＞f(n＋1)．
答案
C
4．已知f(x)＝则f(x)为(　　)．
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数也是偶函数
D．非奇非偶函数
解析：函数f(x)的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．
当x＞0时，有f(x)＝x2－x＋1，－x＜0，
∴f(－x)＝－(－x)2－(－x)－1＝－x2＋x－1＝－(x2－x＋1)＝－f(x)；
当x＜0时，有f(x)＝－x2－x－1，－x＞0，
∴f(－x)＝(－x)2－(－x)＋1
＝x2＋x＋1＝－(－x2－x－1)
＝－f(x)．
综上可得，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，总有f(－x)＝－f(x)成立，
∴函数f(x)是奇函数
答案
A
5．若幂函数的图象过点，则函数的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．-1
解析：设幂函数，图象过点，
故，
故，，令，
则，，
∴时，.
答案
C
6．已知，且，若，则函数的图像为（
）.
A．
B．
C．
D．
解析：由题意得：，
令，则，解得或（舍去），
所以，即，
所以的图像即为的图像．
答案
A
7．对于幂函数，若，则，的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．无法确定
解析：幂函数在上是增函数，大致图象如图所示.
设，，其中，
则AC的中点E的坐标为，且，，.，
.
答案
A
8．已知点在幂函数的图象上，设，
则的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
解析：由已知得，解得：，所以，
因为，，，
又，
所以，
由在上递增，可得：，
所以.
答案
D
9．已知当
时，函数
的图象与
的图象有且只有一个交点，
则正实数m的取值范围是
A．
B．
C．
D．
解析：当时，
，
单调递减，
且，单调递增，
且
，此时有且仅有一个交点；
当时，
，在
上单调递增，
所以要有且仅有一个交点，需.
答案
B
二、填空题
10．定义在R上的奇函数f(x)在区间[1,4]上是增函数，在区间[2,3]上的最小值为－1，最大值为8，
则2f(2)＋f(－3)＋f(0)＝__________.
解析：∵奇函数f(x)的定义域为R，∴f(0)＝0，
又∵f(x)在区间[1,4]上是增函数，
∴f(2)＝－1，f(3)＝8，f(－3)＝－f(3)＝－8.
∴2f(2)＋f(－3)＋f(0)＝－10.
答案
－10
11．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，又知当0＜x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)的值为________．
解析：∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(7.5)＝f(5.5＋2)＝－f(5.5)
＝－f(3.5＋2)＝f(3.5)
＝f(1.5＋2)＝－f(1.5)
＝－f(－0.5＋2)＝f(－0.5)．
又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－0.5)＝－f(0.5)．
而当0＜x≤1时，f(x)＝x，
∴f(7.5)＝－f(0.5)＝－0.5.
答案
－0.5
12．定义函数，，则的最小值为________.
解析：在同一平面直角坐标系中作出函数与的图象，如下图所示
由，解得或，则函数的图象，如下图所示
∴在与处均取得最小值1，即.
答案
1.
13．已知幂函数（其中，）满足：①在区间上为减函数；②对任意的，都有.则在的值域为__________.
解析：，，，0，1
.对任意，都有，即，
∴是偶函数.当时，，满足条件①②；
当时，，不满足条件①；
当时，，条件①②都不满足，
故同时满足条件①②的幂函数的解析式为，且在区间上是增函数，
当时，函数的值域为。
答案
，值域为
三、解答题
14．函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)证明函数f(x)在(－1,1)上是单调增函数；
(3)解不等式f(m－1)＋f(m)＜0.
解析：(1)∵f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，
∴f(x)在x＝0处有意义，且f(0)＝0.
∴，即b＝0.
又∵，∴，
∴a＝1.故f(x)＝.
(2)任取x1，x2∈(－1,1)，且x1＜x2，则x1－x2＜0，x1x2＜1.
∴f(x1)－f(x2)＝＜0，
即f(x1)＜f(x2)．
由单调函数的定义可知，函数f(x)在(－1,1)上是单调增函数．
(3)由f(m－1)＋f(m)＜0得，f(m－1)＜－f(m)．
∵函数f(x)是奇函数，∴f(－m)＝－f(m)，
∴f(m－1)＜f(－m)．
∵f(x)是(－1,1)上的单调增函数，
∴
解得0＜m＜.
答案
见解析
15．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，
求满足的实数的取值范围．
解析：因为函数在上单调递减，
所以，解得．又，所以，2．
又函数的图象关于轴对称，所以为偶数，所以．
因为函数在和上单调递减，
由，得或或，
解得：或，
所以实数的取值范围是．
答案
16．已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
解析：（Ⅰ）∵幂函数为偶函数，且在区间上单调递增，
，且为偶数.
又，解得，
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知.
当时，由得.
易知函数在上单调递减，
.∴实数的取值范围是.
答案
（Ⅰ）（Ⅱ）第十一讲
对数函数及其性质
一、选择题
1．函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
解析：由函数，可知
，解得
，
答案
B
2．若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为(　　)
A.
　　　
B
.　　　
C．2　　　
D．4
解析：　当a>1时，a＋loga2＋1＝a，loga2＝－1，a＝(舍去)．
当0∴loga2＝－1，a＝.
答案　B
3．已知函数f(x)＝2logx的值域为[－1,1]，则函数f(x)的定义域是(　　)
A．[－1,1]
B．[，]
C．[，3]
D．[－3，]
解析：　由－1≤2logx≤1，得－≤logx≤，
即log
()≤logx≤log
()，
解得≤x≤.
答案
B
4．对任意实数，都有（且），则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
解析：∵loga（ex+3）≥1＝logaa，
∴a＞1且a≤ex+3对任意实数x都成立，
又ex+3＞3，∴1＜a≤3。
答案
B
5．函数在x∈R内单调递减，则a的范围是(　　)
A.　　　　
B.
C.
D.
解析：　若函数在x∈R内单调递减，
则解得≤a≤，故选B.
答案　B
6．若函数的图象过定点，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
解析：函数的图象过定点，
则，，，，
.
答案
A
7．已知正实数满足，，则（
）
A．
B．
C．
D．
解析：由题意，在同一坐标系内，分别作出函数的图象，
结合图象可得：，故选B．
答案
B
8．已知
，若互不相等，且，
则的取值范围为（　　）
A．（1，15）
B．（10，15）
C．（15，20）
D．（10，12）
解析：不妨设，画出的图像如下图所示，
由于，故，
所以.
答案
B
9．当时，，则的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
解析：当时，
，
，不成立，
当时，当时，，解得：，如图，
若时，时，.
答案
B
10．已知函数是定义在R上的偶函数,
且在区间单调递增.
若实数a满足,
则a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：函数是定义在上的偶函数，
∴，等价为），
即．∵函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递增
∴）等价为．即，
∴，解得,故选项为C．
答案
C
11．已知，若正实数满足，则的取值范围为（
）
A．
B．或
C．或
D．
解析：因为与都是上的增函数，
所以是上的增函数，
又因为，
所以等价于，
由，知,
当时，在上单调递减，故，从而；
当时，在上单调递增，故，从而，
综上所述，
的取值范围是或，故选C.
答案
C
二、填空题
12．若是函数的反函数，且，则＝________．
解析：，则点
在的函数图像上，
又互为反函数的图像，关于直线
对称，
所以关于直线的对称点在函数上，
所以，所以=。
答案
13．函数y＝logax(a>0，且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a的值为________．
解析：(1)当a>1时，函数y＝logax在[2,4]上是增函数，
所以loga4－loga2＝1，即loga＝1，
所以a＝2.
(2)当0所以loga2－loga4＝1，即
loga＝1，所以a＝.
由(1)(2)知a＝2或a＝.
答案
2或
14．已知函数．若函数的值域为R,
则实数m的取值范围为________．
解析：若函数的值域为R,则能取遍一切正实数,
,即
,
实数m的取值范围为
答案
三、解答题
15．已知函数f(x)＝ln(3＋x)＋ln(3－x)．
(1)求函数y＝f(x)的定义域；
(2)判断函数y＝f(x)的奇偶性；
(3)若f(2m－1)＜f(m)，求m的取值范围．
解析：　(1)要使函数有意义，则解得－3＜x＜3，
故函数y＝f(x)的定义域为(－3,3)．
(2)由(1)可知，函数y＝f(x)的定义域为(－3,3)，关于原点对称．
对任意x∈(－3,3)，则－x∈(－3,3)．
∵f(－x)＝ln(3－x)＋ln(3＋x)＝f(x)，
∴由函数奇偶性可知，函数y＝f(x)为偶函数．
(3)∵函数f(x)＝ln(3＋x)＋ln(3－x)＝ln(9－x2)，
由复合函数单调性判断法则知，当0≤x＜3时，函数y＝f(x)为减函数．
又函数y＝f(x)为偶函数，
∴不等式f(2m－1)＜f(m)，等价于|m|＜|2m－1|＜3，
解得－1＜m＜或1＜m＜2.
答案
（1）(－3,3)
（2）偶函数
（3）－1＜m＜或1＜m＜2
16．已知函数在区间上的最大值为2.
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
解析：（1）当时，在上是减函数，
是最大值，，
∴，
当时，在上是增函数，
最大值为，，
∴，∴或2
（2）当时，由得，解得：
∴，∴，
∴的取值范围是，
当时，由得，解得：，
∴，∴，
∴的取值范围是.
答案
（1）或2
（2）见解析
17．设,且.
（1）求的值及的定义域；（2）求在区间上的最大值．
解析：（1）,解得.
故,
则,解得,
故的定义域为.
（2）函数,
定义域为,,
由在上单调递增,函数在上单调递增,在上单调递减,
可得在上单调递增,在上单调递减.
故在区间上的最大值为.
答案
（1），定义域为；（2）2教材要点
学科素养
学考
高考
考法指津
高考考向
1.子集的概念
数学抽象
水平1
水平1
1.理解集合之间的包含与相等的含义，能写出给定集合的子集。
2.正确区分“”和“”，掌握它们的区别与联系。理解空集的含义与在解题中的应用。
3.掌握子集的性质并能正确运用。
【考查内容】集合间关系的判断，有限集的子集个数与写出子集；利用集合间关系求参数。
【考查题型】选择题、填空题
【分值情况】5分
2.空集的意义
数学抽象
水平1
水平2
3.集合的图示法
数学直观
水平1
水平2
4.子集的性质
数学运算
水平2
水平2
知识点1　子集的相关概念
(1)Venn图
①定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法．
②适用范围：元素个数较少的集合．
③使用方法：把元素写在封闭曲线的内部．
(2)子集、真子集、集合相等的概念
①子集的概念
文字语言
符号语言
图形语言
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集
A?B(或
B?A)
②集合相等
如果集合A是集合B的子集(A?B)，且集合B是集合A的子集(B?A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.
③真子集的概念
定义
符号表示
图形表示
真子集
如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，称集合A是集合B的真子集
A?B或B?A)
④空集
定义：不含任何元素的集合叫做空集．
用符号表示为：?.
规定：空集是任何集合的子集．
知识点2　集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A?A.
(2)对于集合A，B，C，
①若A?B，且B?C，则A?C；
②若A?B，B?C，则A?C.
③若A?B，A≠B，则A?B
题型一　集合关系的判断
规律方法　判断集合关系的方法
例1、指出下列各组集合之间的关系：
（1）
（2）；
（3）；
（4），
。
解析：
（1）集合的代表元素是数，集合的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系；
（2）集合A中的元素2,3,6都是12的约数，故它们都属于集合B，所以，更近一步，1也是12
的约数，即1∈B，但是1?A，故?；
（3）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故?；
（4）由列举法知，，
，故?。
【变式训练1】　
(1)，
B＝，则A与B的关系是(　　)
A．?　　　
B．
C．?
D．?
(2)已知集合，
，则(　　)
A．　　　
B．?
C．?
D．?
解析：
　(1)∵，，∴?.
(2)在数轴上分别画出集合A，B，如图所示，由数轴知B?A.
答案　(1)D　(2)C
题型二　子集、真子集个数问题
规律方法
　
例2、(1)集合的所有子集为________，
其中它的真子集有________个．
(2)写出满足??的所有集合P.
解析:
(1)集合的子集有：?，，，，，，，，其中除
外，都是的真子集，共7个．
(2)由题意知，集合中一定含有元素3,4，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合为：{0,3,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3,4}，{1,2,3,4}，{0,1,2,3,4}．
答案
（1）　?，，，，，，，　；7
（2）{0,3,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3,4}，{1,2,3,4}，{0,1,2,3,4}．
【变式训练2】　
已知集合，试写出的所有子集．
解析：　
∵，
∴．
∴的子集有：?，，，，，，，.
题型三　空集的特殊性及其应用
规律方法　
例3、设集合，
，若，求实数的取值范围。
解析：
，
∵∴分和?两种情况讨论。
（1）当时，，则有是方程的两根，于是得
（2）当?时，若?，则
，解得；
若?，则，
，
解得，验证知满足条件。
综上可知，所求实数的值满足。
答案
【变式训练3】
设集合，
集合，若，
求实数组成的集合。
解析：
∵
故若?，则方程无解，有；
若?，则，由得，
∴
故
答案
考向一
已知集合间的关系求参数问题的
解题策略
规律方法
例4、已知集合集合若满足则实数所能取得一切值为？
解析：
∵，故分?，三种情况来讨论，
依次求得的值为
答案
【变式训练4-1】
若集合，
且，
求实数的取值范围。
解析：
由题意，解得，B是A的子集
故分?，，三种情况来讨论，
所以求得的取值范围是
答案
【变式训练4-2】
已知集合，
集合满足，
求实数的取值范围。
解析：
①若?，则，
解得
②若?，则
解得
综上所述，的取值范围是
答案
考向二
有关子集的综合问题
规律方法
例5、若集合有且仅有2个子集，则实数的值是？
解析：
由题意可知，集合A只有一个元素，
故当时，则A=，满足题意；
当时，
解得；
综上所述，的取值为
答案
【变式训练5】
已知集合，
若集合A有且仅有两个子集，则
的值是？
解析：
由题意知，集合A仅有一个元素，
故当时，集合，符合题意；
当时，则，
解得；
故的值为
答案
考向三
集合关系中的新定义问题
规律方法
例6、定义集合运算，
设，，
则集合的真子集个数为（
）
A.
32
B.
31
C.
30
D.14
解析：
由题意得，其子集个数为
（个），而真子集个数为（个）
答案
B
【变式训练6】
已知非空集合是集合的子集，若同时
满足两个条件：①若，则；②若
，则，则称是集合的“互
斥子集组”，并规定为不同的“互斥子集组”，则集合的不同的“互斥子集组
”的个数是
。
解析：
①当集合只有一个元素1时，集合是集合中不含元素1的非空子集，此时共有（个），同理，当只有一个元素2或3时，集合
也各有3个，因此共有9个；
②当集合
有两个元素1,2时，集合是集合A中不含元素1和2的非空子集，此时只有1个，同理，当中含有元素1,3或2,3时，集合也各有1个，因此共有3个。
综上所述，集合的不同“互斥子集组”的个数为。
答案
12
一、选择题
1．设集合A＝{1,3}，集合B＝{1,2,4,5}，则集合A∪B＝(　　)　　
　　　　　　
　　　　　
A．{1,3,1,2,4,5}
B．{1}
C．{1,2,3,4,5}
D．{2,3,4,5}
解析：　∵集合A＝{1,3}，集合B＝{1,2,4,5}，
∴集合A∪B＝{1,2,3,4,5}．故选C.
答案　C
2．已知集合A＝{x∈R|x≤5}，B＝{x∈R|x＞1}，那么A∩B等于(　　)
A．{1,2,3,4,5}
B．{2,3,4,5}
C．{2,3,4}
D．{x∈R|1＜x≤5}
解析：　∵A＝{x∈R|x≤5}，B＝{x∈R|x＞1}，
∴A∩B＝{x∈R|1＜x≤5}，故选D.
答案　D
3．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间最适合的关系是(　　)
A．A?B　　　　　　　　　　　　
B．A?B
C．A?B
D．A?B
解析：　显然B是A的真子集，
因为A中元素是3的整数倍，而B的元素是3的偶数倍．
答案
D
4．已知集合M＝{x|－A．P＝{－3,0,1}
B．Q＝{－1,0,1,2}
C．R＝{y|－πD．S＝{x||x|≤，x∈N}
解析：　先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．
集合M＝{－2，－1,0,1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{0,1}，
不难发现集合P中的元素－3?M，集合Q中的元素2?M，集合R中的元素－3?M，
而集合S＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M中，
所以S?M，且S?M故选D.
答案
D
5．已知集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝(　　)
A．{0，x,1,2}
B．{2,0,1,2}
C．{0,1,2}
D．不能确定
解析：　∵M∩N＝{2}，∴2∈M，而M＝{0，x}，则x＝2，
∴M＝{0,2}，∴M∪N＝{0,1,2}，故选C.
答案　C
6．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}，则A∪B＝(　　)
A．{1}
B．{1,2}
C．{0,1,2,3}
D．{－1,0,1,2,3}
解析：　∵B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0,1}，
又A＝{1,2,3}，∴A∪B＝{0,1,2,3}．
答案　C
7．设集合A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}且A∪B＝{1,4，x}，则满足条件的实数x的个数是(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：　∵A＝{1,4，x}，∴x≠1，x≠4且x2≠1，得x≠±1且x≠4，
∵A∪B＝{1,4，x}，
∴x2＝x或x2＝4，解之得x＝0或x＝±2，
满足条件的实数x有0,2，－2，共3个，故选C.
答案　C
8．已知集合A?{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为(　　)
A．6
B．5
C．4
D．3
解析：　集合{0,1,2}的子集为：?，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，
其中含有偶数的集合有6个．故选A.
答案
A
9．已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么(　　)
A．P?M
B．M?P
C．M＝P
D．M?P
解析：　∵∴
∴M＝P
答案
C
10．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于(　　)
A．{1,2}
B．{1,5}
C．{2,5}
D．{1,2,5}
解析：　∵A∩B＝{2}，∴2∈A,2∈B，
∴a＋1＝2，∴a＝1，b＝2，
即A＝{1,2}，B＝{2,5}，
∴A∪B＝{1,2,5}，故选D.
答案　D
二、填空题
11．某校高一某班共有45人，摸底测验数学20人得优，语文15人得优，两门都不得优20人，
则两门都得优的人数为________人．
解析：　如图，设两门都得优的人数是x，则依题意得20－x＋(15－x)＋x＋20＝45，
整理，得－x＋55＝45，解得x＝10，即两门都得优的人数是10人．
答案　10
12．A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图1?1?1中阴影部分表示的集合为________．
图1?1?1
解析：　注意到集合A中的元素为自然数，
因此A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而B＝{－3,2}，
因此阴影部分表示的是A∩B＝{2}．
答案　{2}
13．若集合A＝，B＝，且满足A∩B＝{2}，则实数a＝________.
解析：　当a＞2时，A∩B＝?；
当a＜2时，A∩B＝；
当a＝2时，A∩B＝{2}．综上，a＝2.
答案　2
14．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．
解析：∵y＝(x－1)2－2≥－2，
∴M＝{y|y≥－2}．∴N?M
答案
N?M
三、解答题
15．设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}，
(1)求a，b的值及A，B；
(2)求(A∪B)∩C.
解析：　(1)∵A∩B＝{2}，∴4＋2a＋12＝0，
即a＝－8,4＋6＋2b＝0，即b＝－5，
∴A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2,6}，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}．
(2)∵A∪B＝{－5,2,6}，C＝{2，－3}，
∴(A∪B)∩C＝{2}．
答案
（1）
（2）2
16．已知，，集合，，.
（1）求使集合的x的值；
（2）求使，的a，x的值；
（3）求使集合的a，x的值.
解析：
(1)由题意得，解得或.
(2)∵，，
∴，联立解得时，
，时，
.
所以可得满足题意的，
为或.
(3)∵，
∴有，联立解得或
答案
（1）或（2）或（3）或
17．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
(2)若A?B，求m的取值范围．
解析：化简集合A得A＝{x|－2≤x≤5}．
(1)∵x∈Z，∴A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，
即A中含有8个元素，
∴A的非空真子集数为28－2＝254(个)．
(2)
①当m≤－2时，B＝??A；
②当m>－2时，B＝{x|m－1因此，要B?A，
则只要?－1≤m≤2.
综上所述，知m的取值范围是：{m|－1≤m≤2或m≤－2}．
答案
（1）254
（2）{m|－1≤m≤2或m≤－2}
一、选择题
1．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q?P，则a的值是(　　)
A．1
B．－1
C．1或－1
D．0,1或－1
解析：　由题意，当Q为空集时，a＝0；
当Q不是空集时，由Q?P，a＝1或a＝－1.
答案
D
2．设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是(　　)
A．1
B．3
C．4
D．8
解析：　A＝{1,2}，A∪B＝{1,2,3}，则集合B中必含有元素3，
即此题可转化为求集合A＝{1,2}的子集个数问题，
所以满足题目条件的集合B共有22＝4个．故选C.
答案　C
3．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．若A∩B＝B，
则实数a组成的集合C中元素的个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：　当a＝0时，由题意B＝?，
又A＝{3,5}，B?A，当a≠0时，B＝，
又A＝{3,5}，B?A，此时＝3或5，
则有a＝或a＝，故C＝.
答案　D
4．已知集合，
则满足的集合的个数为（
）
A．4
B．8
C．7
D．16
解析：结合题意可得：，，
令，集合为集合的子集，则，
结合子集个数公式可得，集合的个数为个.
答案
B
5．若，，，，则满足上述条件的集合M的个数是（
）
A．1个
B．2个
C．4个
D．8个
解析：由集合，集合，
则集合P和Q中的公共元素组成集合，
又因为，，
所以，集合C的子集的个数为，
所以满足题意要求的集合M共有4个.
答案
C
二、填空题
6．已知集合，，
则集合A，B之间的关系为________．
解析：对于集合A，k=2n时，
，
当k=2n-1时，
即集合A=
,
由B=，可知A=B.
答案
A=B
7．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．
解析：因为集合A有且仅有2个子集，
所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈R)仅有一个根
当a＝0时，方程化为2x＝0，
∴x＝0，此时A＝{0}，符合题意．
当a≠0时，Δ＝22－4·a·a＝0，即a2＝1，∴a＝±1.
此时A＝{－1}，或A＝{1}，符合题意．
∴a＝0或a＝±1.
答案
{0,1，－1}
8．设集合，，若，则对应的实数对有________对.
解析：，，，
当时，，，则；
当时，，，则；
当时，，，
则不成立.故对应的实数对有2对.
答案
2
三、解答题
9．已知集合A＝{x|a－1＜x＜2a＋1}，B＝{x|0＜x＜1}.
(1)若a＝，求A∩B；
(2)若A∩B＝?，求实数a的取值范围．
解析：　(1)当a＝时，A＝，B＝{x|0＜x＜1}，
∴A∩B＝{x|0＜x＜1}．
(2)若A∩B＝?，
当A＝?时，有a－1≥2a＋1，∴a≤－2.
当A≠?时，有
∴－2＜a≤－或a≥2.
综上可得，a≤－或a≥2.
答案
（1）
（2）
10．设集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝，C＝{x|1－2a＜x＜2a}.
(1)若C＝?，求实数a的取值范围；
(2)若C≠?且C?(A∩B)，求实数a的取值范围．
解析：　(1)∵C＝{x|1－2a＜x＜2a}＝?，
∴1－2a≥2a，
∴a≤，
即实数a的取值范围是
(2)∵C＝{x|1－2a＜x＜2a}≠?，
∴1－2a＜2a，即a>.，
又∵A＝{x|－1＜x＜4}，B＝，
∴A∩B＝.
∵C?(A∩B)，
∴解得
即实数a的取值范围是.
答案
（1）
（2）
11．已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|x2－3x≤10}．
(1)若a＝3，求；(2)若P∪Q＝Q，求实数a的取值范围．
解析：（1）因为a＝3，所以P＝{x|4≤x≤7}，＝{x|x<4或x>7}．
又Q＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}，
所以＝{x|x<4或x>7}∩{x|－2≤x≤5}＝{x|－2≤x＜4}．
(2)当P≠?时，由P∪Q＝Q得P?Q，
所以解得0≤a≤2；
当P＝?，即2a＋1综上，实数a的取值范围是．
答案
(1)
{x|－2≤x＜4};(2)