试题解析
【解析】∵B中集合满足<5的关系,故A中只有1与4符合,故选B
2.【解析
>0,且分母2x-1≠0,故联立解得
3.【解析】log中加满足内部相乘,减满足内部相除,故选
4.【解析】据图可判断底面积为
故可得
故选
5.【解析】∵F为焦点
故F:(0,1),又
故AF⊥y
轴,同里得
即可求解得2
6.【解析】视
≥2,故选
解析】分类讨论,将原始子可变为
分x=3与x=2进行讨论,最后
出函数图像,得x=-3时有最小值为5,故选B
8.【解析】A有可能和β重合;B正确;C有可能和a重合;D也有可能和β垂直
解析】对于a>0,要满足a+b>2,则b≥2才可以成立;对于b≥2,因为a>0,所
以原始子满足a+>2,故选
0.【解析】此类题采用特殊法,比如取x=0.1代入得y为负数,或者用极限法,求得y
无限逼近与0却无法取到,故选A
【解析】以B1为原点,B1A1为x轴,B1c1为y轴,B1B为z轴,则B:(0,0,4)
设P点(x,y,z),则有
P点的轨
迹为椭圆,故选
【解析】令
则有
故为递
增数列,当n=3时,=4,此时满足最小值,故选c
13.【解析】将两式子等同,有
0,根据函数对称性知只需要令方程
有唯一根即可使交点出现两个。化简可得▲
时
故选B
14.【解析】建立如下图所示的坐标系,AE与面BMG所成角实际上是FM与面BMc的所成角
故设AC4,令M(a
由翻折性质可得
得法向量其中一组为(√
化简c
提取
由a的取
值范围可得当a<0时,
无限逼近正O,a>0时无限逼近于0,故可得(
的取值范囤时
故选A
5.【解析】设第一象限的点为(m,n),则据题意得m=n,则有
故第一象限的点为(
且c<
化简得
式子整体除于
又因为e<1,联立最后答案为D
16.【解析】∵b>0,两边式子同除于b,得
令=t,取绝对值有
令f(x)
故t≥f(x)
g(x)max即可,故易得f(x)min
式子上下同除于(x+1),得
故利用基本不等
式得
综上联立得到取值范围为B选项
7.【解析】将▲ABC放置在右图的圆中,因为AB=
ACB=60
故可
得A
),设G:(
则有
8.【解析】对于f(x)≥g(x),则有
故▲≤0,解得
接下来进行试探性先行,令x=4,代入f(x)解
得x4时,得b
再对b进行分类讨论,当b<0时,对称轴在ⅹ轴,分析当对称轴<
4以及对称轴大于4时,记对b=8进行讨论,发先对称轴必定在x=4的左边,故b≥-恒
成立满足条件,综上联立得D选项
9.【解析】(1)略(2)有
20.【解析】提示:设a:(1,0)解得
解析】略
2
解析】sin130
50°=cos40
原式机密★试卷正式启用前
2021年浙江省普通高中学业水平考试模拟试题卷
数
学
学
科
姓名：
班级：
准考证号：
★考生注意事项：
1.本卷满分100分，时间为90分钟
2.请在答题卡区域内作答，在试卷、草稿纸上作答无效
---------------------------------★试题部分★---------------------------------
一．选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1.已知集合A={1，4，9}，集合B={x|x＜5}，则=（
）
A.{1}
B.{1，4}
C.{4}
D.{1，4，9}
2.函数f（x）=的定义域是（
）
A.（0，），+∞）
B.（0，+∞）
C.（-∞，0）
D.[0，），+∞）
3.计算+-=（
）
A.2
B.4
C.1
D.8
4.某几何体的三视图如图所示，其中主视图为
第4题图
等腰三角形，则该几何体的体积是（
）
A.
B.
C.
D.
5.如右图所示在直角坐标系中存在方程，F为该方程的焦点，A与B均在抛物线上，其中|AF|=2，|BF|=，若A与B分别在第二象限与第一象限内，则=（
）
A.
B.
C.
D.
第5题图
6.已知（x＞0，y＞0），则的最小值为（
）
A.1
B.
C.
D.2
7.已知函数f（x）=2，则其最小值为（
）
A.4
B.5
C.7
D.10
8.已知平面α与平面β为两个完全不同的平面，m与n为两条不重合的直线，则对此下列说法正确的是（
）
A.若α∥β，m∥α，则m∥β
B.若m⊥α，α∥β，则m⊥β
C.若m∥n，n∥α，则m∥α
D.若α⊥β，m⊥α，则n⊥β
9.若a＞0且a∈R，则“a+b＞2恒成立是b≥2”的（
）
A.既不充分也不必要
B.充分但不必要
C.充分且必要
D.必要但不充分
10.下列关于的图像正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
11.如右图所示,为长方体，且AB=BC=2，=4，点P为面上一动点，若，则P点的轨迹为（
）
A.抛物线
B.圆
C.双曲线
D.椭圆
12.已知数列满足，且，则满足≥4的n最小值为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
第11题图
13.函数=，=4，若与有且仅有两个交点，则正数m的值为（
）
A.
B.
C.
D.
14.如右图所示，在三棱锥E-ABC中ABC与AEB为全等的等边三角形，其中M为BE的中点，连接MC，则在E点运动的过程中，AE与面BMC的正弦值取值范围为（
）
A.（0，）
B.（0，1）
C.（0，
D.（0，
15.已知正方形ABCD四个顶点都在椭圆上（a＞b＞0），
第14题图
若椭圆的焦点在正方形内部，则该椭圆的离心率的取值范围是（
）
A.（，1）
B.（）
C.（，1）
D.（，1）
16.已知a∈R,b＞0，若存在实数x∈[0,1），使得成立，则的取值范围是
（
）
A.
B.
C.
D.
17.已知在▲ABC中，AB=，∠ACB=60°，则的取值范围是（
）
A.
[,]
B.（）
C.
D.[1-，）
18.已知函数f（x）=，g（x）=x，若f（x）满足f（x）≥g（x），且在定义域上，则b的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
二．填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分。）
19.已知圆C的方程为，点E的坐标为（2，0），则CE=
▲
；直线L：y=kx+1，若直线L恰好与圆C相切，则k的值为
▲
.
20.已知单位向量a，b，若|a+b|=1，则a与b的夹角余弦的值为
▲
.
21.已知圆锥展开图的侧面积为，且为半圆，则底面半径为
▲
.
22.=
▲
.（化简到最简并用tan表示）
三．解答题（本大题共3小题，共31分。）
（本题10分）23.已知等差数列满足,其中Sn为数列的前n项和.
（Ⅰ）若，求数列的通项公式;
（Ⅱ）在（Ⅰ）的基础上，记，记数列{}的前n项和，证≥n+1;
（Ⅲ）在（Ⅰ）的基础上，若数列=，直接写出{}的最大值及此时的n值.
（本题10分）24.如图，O为坐标原点，抛物线的方程为，F为其焦点，过F的直线交抛物线于A，B两点（A在B的左侧）.
（Ⅰ）若AB∥x轴，求|AB|的长度；
（Ⅱ）过A点做直线垂直AB交y轴于C点，B’是B点关
的x轴对称点，连接AB’,CB’，求（表示A点的
横坐标，k表示AB直线的斜率）的取值范围.
第24题图
（本题11分）25.设a∈[0,2]，已知函数f（x）=，x∈R.
（Ⅰ）若f（x）是奇函数，求a的值；
（Ⅱ）若x∈[15，+∞]，试证明f（x）·≥4ax（a≠0）；
（Ⅲ）设[0，+∞），且，若实数m满足f（）·f（）=，
且f（）·f（m-）＜成立，求证：当m时，
成立.
环大儿湾联盟数学学考第
页，共4页2021年浙江省普通高中学业考试模拟试题卷
数
学
学
科
参
考
答
案
一．选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
B
A
C
A
D
D
B
B
C
10
11
12
13
14
15
16
17
18
A
D
C
B
A
D
B
A
D
二．填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分。）
19.3
-1
20.
21.
22.
三．解答题（本大题共3小题，共31分。）
23.
（Ⅰ）由
得------2分
得=d
又∵，解得=1，d=2------3分
故------4分
（Ⅱ）由==------5分
则==n+≥n+1------6分
（Ⅲ）{}最大值为，此时n的值为2------10分（1个答案2分）
24.
（Ⅰ）∵抛物线方程为，故F：（0，1）------1分
当AB∥x轴时，y=1
则------2分
故|AB|=4------3分
（Ⅱ）设过F点的直线为
交抛物线有，得，=-4------4分
设A点坐标为，），过A点与直线AB垂直的直线为------5分
故C点坐标为（0，），同时可知B’：（，）------6分
则可知B’到到直线AC的距离为
|AC|=·
则=·=
=|+|=
+1=
+1------8分
故的范围为（3，+∞）------10分（区间左右两边各1分）
25.
（Ⅰ）∵f（x）=
为奇函数，故f（-x）=-f（x）------1分
∴=，解得a=0------2分
（Ⅱ）欲证明f（x）·≥4ax，x∈[15，+∞]
即证≥4ax，∵a＞0------3分
故得，又因为x＞0
故只需证明ax+2≥------4分
即证x≥，易得y=单调递增，故a=2时有最大值为15------6分
即f（x）·≥4ax，x∈[15，+∞]证明成立
（备注：确实“即证”“只需证明”不给分，换用其他同类词酌情给分）
（Ⅲ）由原式子f（）·f（）=，得
代入f（）·f（m-）＜
得
·f（m-）＜，------7分
∵＞0，m，f（x）=
在[m-，+∞）上单调递增且大于0（根据对称轴）
故有f（m-）＜f（）
即＞m-，2＞m，得
---①------8分
欲证明上式子，只需证明（2＞m
得当时，存在（2------9分
此时有（=
故=m，得=m（）------10分
由①，则有＞m+＜m（）
故a＜2am，得＜---②------11分
综上①②所述：证明成立
试题解析：
【解析】∵B中集合满足＜5的关系，故A中只有1与4符合，故选B
【解析】∵Inx中x＞0，且分母2x-1≠0，故联立解得A
【解析】log中加满足内部相乘，减满足内部相除，故选C
【解析】据图可判断底面积为=，∵h=2，故可得，故选A
【解析】∵F为焦点，，故F：（0，1），又∵，解得=1，故AF⊥y轴，同里得=，故即可求解得2··=
【解析】视为整体，有=（）·（）·=（2+）≥2，故选D
【解析】分类讨论，将原始子可变为，分x=-3与x=2进行讨论，最后画出函数图像，得x=-3时有最小值为5，故选B
【解析】A有可能和β重合；B正确；C有可能和α重合；D也有可能和β垂直
【解析】对于a＞0，要满足a+b＞2，则b≥2才可以成立；对于b≥2，因为a＞0，所以原始子满足a+b＞2，故选C
【解析】此类题采用特殊法，比如取x=-0.1代入得y为负数，或者用极限法，求得y无限逼近与0却无法取到，故选A
【解析】以B1为原点，B1A1为x轴，B1C1为y轴，B1B为z轴，则B：（0，0，4），∴BC1=，cos∠=,设P点（x，y，z），则有，故P点的轨迹为椭圆，故选D
【解析】令，则有=n-1+n-2+···+2+1+1=，故为递增数列，当n=3时，=4，此时满足最小值，故选C
【解析】将两式子等同，有-4=0，根据函数对称性知只需要令方程有唯一根即可使交点出现两个。化简可得▲==0时，m=，故选B
【解析】建立如下图所示的坐标系，AE与面BMC所成角实际上是FM与面BMC的所成角
故设AC=4，令M（a，1，）
∴（a，1，）
由翻折性质可得
同理（，-2，0）
（a，-1，）
得法向量其中一组为）
化简cos＜，n＞=,提取，由a的取值范围可得当a＜0时，无限逼近正∞，a＞0时无限逼近于0，故可得的取值范围时（0，），故选A
15.【解析】设第一象限的点为（m，n），则据题意得m=n，则有,解得
故第一象限的点为（，），∵=，且c＜，化简得，式子整体除于，得，故解得，又因为e＜1，联立最后答案为D
16.【解析】∵b＞0，∴两边式子同除于b，得，令=t，取绝对值有，得，，令f（x）=，g（x）=，故t≥f（x）min且t≤g（x）max即可，故易得f（x）min=-1
g（x）==，式子上下同除于（x+1），得
，故利用基本不等式得
≤，综上联立得到取值范围为B选项
17.【解析】将▲ABC放置在右图的圆中，因为AB=，∠ACB=60°，故可得r=1，得A：（，），B：（，），设C：（x，y），则有，故==
又∵x∈[-,]，得∈[,]
【解析】对于f（x）≥g（x），则有，故▲≤0，解得。接下来进行试探性先行，令x=4，代入f（x）解得x=4时，得b≥。再对b进行分类讨论，当b＜0时，对称轴在x轴，分析当对称轴＜4以及对称轴大于4时，记对b=-8进行讨论，发先对称轴必定在x=4的左边，故b≥恒成立满足条件，综上联立得D选项
【解析】（1）略（2）有
，解得k=-1
【解析】提示：设a：（1，0）解得b：（，0）
【解析】略
【解析】sin130°=sin50°=cos40°，
原式=
=
