上海市上海市高中2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案

上海中学2020学年第二学期高一年级数学期中考试
2021.04
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.
1.角度大小为7弧度的角是第________象限角
2.用弧度制表示所有终边位于第四象限角平分线的角构成的集合________.
3.函数false的定义域是________.
4.若角false的始边落在false轴正半轴，终边落在直线false上，则false________.
5.已知角false，且满足：false，则角false为________.
6.已知圆的一段弧长等于其内接正三角形的周长，则这段弧所对圆心角的弧度数是________.
7.在false中，false，false，false，则false的面积为________.
8.函数false的单调递减区间为________.
9.已知正六边形false，若false，false，则false用false，false表示为________.
10.已知false，则false________.
11.已知函数false，false满足：false，且false时，false则当false时，false的最小值为________.
12.在锐角三角形false中，若false，则false的最小值是________.
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13.命题false：“角false小于false”是命题false：“角false是第一象限角”的（ ）条件.
A.充要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.既非充分又非必要
14.若false，false的化简结果是（ ）.
A.false B.false C.false D.false
15.现给出以下4个命题：
（1）对于任意的向量false，都有false；
（2）已知向量false，false，false，若false且false，则false；
（3）已知三个非零向量false，false，false，则false与false不垂直；
（4）已知向量false，false，则false是“false，false中至少有一个是false”的充要条件.
其中正确的个数是（ ）
A.3 B.2 C.1 D.0
16.2021年第十届中国花卉博览会兴办在即，其中，以“蝶恋花”为造型的世纪馆引人貝目（如图①），而美妙的蝴蝶轮变不仅带来生活中的赏心悦目，也展示了极致的数学美学世界.数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：
如图②，平面上有两定点false，false，两动点false，false，且false，false绕点false逆时针旋转到false所形成的角记为false.
设函数false，false，其中，false，令，作随着false的变化，就得到了false的轨迹，其形似“蝴蝶”.则以下4幅图中，点false的轨迹（考虑糊蝶的朝向）最有可能为（ ）

图①图②

A B C D
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.（本题满分8分）
已知false，false两个向量，false，false，false，求false在false方向上的投影与数量投影.
18.（本题满分8分）
已知的数false
（1）false有解时，求实数false的取值范围；
（2）当false时，总有false，求定false的取值范围.
19.（本题满分10分）
在false中，角false，false，false的对边分别为false，false，false且false.
（1）求false；
（2）若false，求false的周长false的取值范围.
20.（本题满分10分）
数学建模搭建了数学与外部世界联系的桥梁，也是应用数学解决实际问题的基本手段.某中学程老师根据实际情境提出如下问题：有一家具，其水平截面如图③所示（各邻边垂直）.一房间的门框宽（即房门两边墙之间距离）为0.9米，门框厚为0.28米，思考能否将家具水平移入房内.（注：门框高度及房内外空间不受限制，且移动时均不发生形变.）
（1）如图④，false（米），在移动家具时，为顺利过门，家具的两个边false，false紧贴false，false，设直线false和直线false的夹角为false，家具的初始位置对应false，false与false重合时可视为移动成功，延长false交false于点false，设false（米），请写出false关于false的函数
（2）基于（1），请问家具能否移动成功？并说明理由.
21.（本题满分12分）
对于函数false，false，如果存在一组正常数false，false，…，false，（其中false为正整数），满足）false使得当false取任意实数时，有false，则称函数false具有“性质false”.
（1）判断以下函数是否具有“性质false”，并说明理由：
①函数false②函数false，false对任意实数均成立；
（2）证明：false具有性质false；
（3）设函数false，其中false，false，false是不全为0的实数且存在false，使得false，证明：存在false，使得false.
答案及其解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.
1.【答案】：一
【解析】∶false，所以第一象限
2.【答案】：false
【解析】：由已知得，第四象限角平分线的角构成的集合为false
3.【答案】：false
【解析】：由false得，定义域是false
4.【答案】：false
【解析】：由已知得，终边落在直线false上，false，false
5.【答案】：false，false
【解析】：由已知得，false，false，false，false，false
又因为false，所以false，false
6.【答案】：false
【解析】：设正三角形边长为false，外接圆的半径为false，则false，false，∴false
7.【答案】：false或false
【解析】：由已知得，false，false，false或16，所以
false或false
8.【答案】：false
【解析】：由题意得false，
所以false，所以false
9.【答案】：false
【解析】：false
10.【答案】：1
【解析】：由false切化弦得，false
∴false，再由积化和差，
false
∴false
11.【答案】：false
【解析】：由false迭代递推得false
∴false
①当false时，false，false
false，故false的最小值false
②当false时，false，
false，
false，故false的最小值为false，
综上所述，当false时，false的最小值为false.
12.【答案】：16
【解析】：由已知得，false，.：.false
所以false，又因为false
所以false
所以false
false，当且仅当false时取到等号.
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13.【答案】：D
【解析】：取false，左推不出右，取false，右推不出左，故选D
14.【答案】：A
【解析】：由false，false，false得，
false
故选A.
15.【答案】：C
【解析】：对于（1）对于任意的向量false，都有false，所以（1）错误；
对于（2）已知向量false，false，false，若false且false，只要保证false和false方向上的数量投影相等即可
∴false，故（2）错误；
对于（3）：false，垂直，故（3）错误；
对于（4）：false或false，故（4）正确，故选C
16.【答案】：B
【解析】：本题比较抽象，考虑特殊情况.
先考虑与false共线的蝴蝶身方向，令false，false，false要满足，故排除A，C；
再考虑与false垂直的方向，令false，false要满足，故排除D，故选B.
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.（本题满分8分）
【答案】：见解析
【解析】：由题意得false，false；
则false在false方向上的投影：false
false在false方向上的数量投影：false
18.（本题满分8分）
【答案】：见解析
【解析】：（1）由已知得，false
所以false
（2）由已知得false恒成立，
则false
false
所以实数false的取值范围为false
19.（本题满分10分）
【答案】：见解析
【解析】：（1）false
false，
所以false，false
（2）由已知得，false，false
false，false，∴false
false
∴false
∴false
∴false
20.（本题满分10分）
【答案】：见解析
【解析】：false，false
（2）由已知得，添加辅助线，要使家具能白移入房间内，
则要求外抛角点false到一边门框厚度false的距离false，
设点距离所在直线距离为：
false
false（当且仅当false），所以能移动成功.
21.（本题满分12分）
【解析】：（1）①由已知得，false所以false具有“性质false”；
②由已知得，false，false
得false，易知对任意false，false
所以false具有“性质false”；
（2）单位圆的性质，易令false满足false，
证明如下：
false
（3）本题难度较大，对其进行分类讨论：
①若false，此时取false即可；
②若false，采取反证法，若不存在false，使得false，则false恒成立，
又false
∵false，false，false
∴false，
再由false恒成立，
故false，进而false，与false，false，false是不全为0矛盾；
故存在false，使得false.
③若false，由false，false
得false，命题成立.