(共14张PPT)
制作：长沙市天心区长征学校
欧光俭
初中数学八年级教材（人教版）
问题1：甲工程队完成一项工程需n天,乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程,两队共同工作一天完成这项工程的几分之几
答:甲工程队一天完成这项工程的___________,
乙工程队一天完成这项工程的______________,
两队共同工作一天完成这项工程的_________________.
问题2：2001年,2002年,2003年某地的森林
面积(单位:公顷)分别是S1，S2，S3，2003年
与2002年相比,森林面积增长率提高了多少
答:2003年的森林面积增长率是___________,
2002年的森林面积增长率是______________,
2003年与2002年相比,森林面积增长率提高了
_______________.
从上面的的问题可知，为讨论数量关系
有时需要进行分式的加减运算．这就是
我们这节课将要学习的内容－－－
看 谁 解 得 快
１、我们在小学学习了分数的加减法，还记得
分数的加减法则是什么吗？（口答）
２、计算：
a
c
b
c
c
b
c
a
b
a
c
b
a
c
即:同分母分式相加减,
分母不变,把分子相加减
c
d
a
b
a
b
c
d
d
d
b
b
a
b
c
d
d
d
b
b
a
b
c
d
即:异分母分式相加减,
先通分,变为同分母的分式,
再加减
例题欣赏
例1 计算:
练一练
1.下列运算对吗？如不对，请改正：
（×）
（×）
2.计算：
(0)
例2.计算:
１、学习了分式的加减法法则。
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，
再加减。
２、注意的几点：
（２）如果分子是多项式，在进行减法时要先把分子
用括号括起来；
（３）加减运算完成后，能化简的要化简，最后结果
化成最简分式。
（１）异分母分式相加减，关键是先要找准最简公分母
转化为同分母分式相加减；
作业
谢谢指导
教材Ｐ２７，习题16.2
第４、５题(共11张PPT)
16.3.4分式方程的 应 用(2)
复习提问
1．解分式方程的步骤
(1)能化简的先化简；(2)方程两边同乘以最简公分母，化分式方程为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根．
2．列方程应用题的步骤是什么？
(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5) 验；（6）答．
3. 常用等量关系
(1)行程问题(2)数字问题(3)工程问题 (4)顺水逆水问题等
例1 某班学生到距学校12千米的烈士陵园扫墓,一部分人骑自行车先行,经0.5时后,其余的人乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是自行车的3倍,求自行车和汽车的速度.
解：设自行车速度为x千米/时，则汽车速度为________千米/时
3x
解得：x=16
经检验： x=16是原方程的根；
3x=48
答：自行车速度是16千米/时，汽车速度是48千米/时，
例2、小王在超市用了42元钱买了某种品牌的牛奶若干盒，过了一段时间再去超市，发现这种牛奶进行让利销售，每盒让利0.4元，他同样用了42元钱买，比上次买的数量多了0.5倍，求他第一次买了多少盒这种牛奶。
解：设他第一次买了x盒这种牛奶，则第二次买了______盒。
（x+2)
【课本例4】从2004年5月起某列车平均提速v千米/小时，用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度为多少？
练习1：某农场开挖一条长960米的渠道，开工后工作效率比计划提高50%，结果提前4天完成任务。原计划每天挖多少米？
解：设原计划每天挖x米，则实际每天挖___________米。
x（1+50%）
工作效率比计划提高50%
每天比计划多挖50%
练习2：甲、乙二人同时从张庄出发，步行15千米到李庄。甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时。二人每小时各走多少千米？
解：设甲速度为x千米/时，则乙速度为________千米/时
（x-1)
某商场把甲、乙两种糖果混合出售，并用以下公式来确定混合糖果的单价S：
(a1、a2分别表示甲、乙两种糖果的单价，m1、m2分别表示甲、乙两种糖果的质量千克数)。已知a1=30元/千克，a2=20元/千克。现在单价为24元/千克的这种混合糖果100千克，商场想通过增加甲种糖果，把单价提高10%，问应加入甲种糖果多少千克？你能帮商场算出结果吗？
S=
a1m1+a2m2
m1+m2
单价
=
总价格
总质量
动动脑：
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.
2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.
3.列:根据数量和相等关系,正确列出代数式和方程.
4.解:认真仔细.
5.验:有两次检验.
6.答:注意单位和语言完整.且答案要生活化.
随时小结
1
检验目的是:(1)是否是所列方程的解;
(2)是否满足实际意义.
布置作业
1.课本第39页第6题和7题
2.一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，
问规定日期是几天？(共33张PPT)
数学
初二
一、提出问题：
请问下面的运算过程对吗？
二、研究解决：
这是一道关于分式乘除的题目，运算时应注意：
显然此题在运算顺序上出现了错误，除没有转化为乘之前是不能运用结合律的，这一点大家要牢记呦！
①按照运算法则运算；
②乘除运算属于同级运算，应按照先出现
的先算的原则，不能交换运算顺序；
③当除写成乘的形式时，灵活的应用乘
法交换律和结合律可起到简化运算的作用；
④结果必须写成整式或最简分式的形式。
正确的解法：
除法转化为乘法之后可以运用乘法的交换律和结合律
3
2
3
1
)
2
(
2
2
+
-
×
+
×
-
=
x
x
x
x
x
三、知识要点与例题解析：
分式的乘方：把分子、分母各自乘方。
即 其中b≠0,a,b可
以代表数，也可以代表代数式。
③
④
①
整数指数幂的运算性质：
若m,n为整数，且a≠0,b≠0，则有
②
（2）
（3）
例1.(1)
解：(1)原式
4
4
2
2
3
3
2
)
(
)
(
)
(
)
(
a
bc
ab
c
c
b
a
·
-
·
-
=
分子、分母分别乘方
例1.(1)
（2）
把负整数指数写成正整数指数的形式
积的乘方
（3）
同底数幂相乘，底数不变指数相加
结果化为只含有正整数指数的形式
分式的混合运算：关键是要正确的使用相应的运算法则和运算顺序；正确的使用运算律，尽量简化运算过程；结果必须化为最简。
混合运算的特点：是整式运算、
因式分解、分式运算的综合运用，
综合性强，是本章学习的重点和难
点。
例2.计算：
1.
2.
3.
4.
1.解法一：
1.解法二：
= ……
2.解：
3. 解：
4.解：
仔细观察题目的结构特点，灵活运用运算律，适当运用计算技巧，可简化运算，提高速度，优化解题。
例2.计算：
1.
分析与解：
原式
巧用分配律
2.
分析与解：原式
巧用分配律
3.
把 和 看成整体，题目的实
质是平方差公式的应用。
换元可以使复杂问题的形式简化。
分析与解：原式
巧用公式
繁分式的化简：1.把繁分式些成分子除以分母的形式，利用除法法则化简；2. 利用分式的基本性质化简。
例4.
解法1， 原式
解法2，原式
四、拓展思维：
你能很快计算出
的值吗？
五、课后练习
1.
2.
3.
参考答案：
1.
2.
3.
教师：白芳(共22张PPT)
《分式》小结与复习(2)
典型例题
例1.下列计算正确的是( )
A
B
C
D
分式的乘除
c
配套练习
1.计算：
分式的乘除
典型例题
例3.下列运算正确的是( )
分式的加减
A
B
C
D
配套练习
3. 计算：
分式的加减
配套练习
分式的混合运算
4. 计算：
例1. 先化简，再求值：
典型例题
其中 。
化简求值
负整数指数幂
例2. 计算：
典型例题
3. 计算：
负整数指数幂
配套练习
科学记数法
例3. 用科学记数法表示：
典型例题
配套练习
科学记数法
4. 用科学记数法表示：
(结果保留2个有效数字)
典型例题
例4.解方程：
分式方程
配套练习
5.解方程：
分式方程
典型例题
例5.若分式方程 有增
增根问题
根，求m的值。
配套练习
增根问题
6.若分式方程 有增
根，则增根为 ，m的值为 。
典型例题
分式方程的应用
例6.A、B两地相距80km，一辆公共汽
车从A地开出2h后，又从A地开出一辆
小汽车，已知小汽车的速度是公共汽车
的3倍，结果小汽车比公共汽车早40min
到达B地。求两车的速度。
重庆市政府打算把一块荒地建成公园，动用了一台甲型挖土机，4天挖完了这块地的一半。后又加一台乙型挖土机，两台挖土机一起挖，结果1天就挖完了这块地的另一半。乙型挖土机单独挖这块地需要几天？
(1)设乙型挖土机单独挖这块地需要x天,那么它1天挖土量是
这块地的_______;
分析:请完成下列填空:
(2)甲型挖土机1天挖土量是这块地的______;
(3)两台挖土机合挖,1天挖土量是这块地的_____.
配套练习
8.轮船顺水航行30千米的时间与逆水航行20千米的时间相等，已知水流速度为2千米/时，求船在静水中的速度。
分式方程的应用
小结
1.负整数指数幂
2.科学记数法
3.分式方程的解法
4.分式方程的应用
小结
分式的运算(共10张PPT)
一、教学目标
明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.
二、重点、难点
重点：巩固分式的加减法、乘除法、乘方运算法则
难点：熟练进行分式的混合运算
三、教学过程
分数的混合运算的顺序
分式的混合运算的顺序
1、课堂引入
2、基础展示
÷
·
·
⑴
⑵
⑶
（2009年广西南宁）先化简，再求值，
，其中
（2010江苏南通）化简
3、中考链接
（2010 贵州贵阳）先化简：
当b=-1时，再从-2＜a＜2的范围内选取一个合适的整数a代入求值。
4、综合拓展
⑵
⑴
课本P18练习2（1）（2）
补充：
6、课堂小结
2、 有括号时先算括号内的，按照小括号、中括号、大括号的顺序计算.
1、式与数有相同的混合运算顺序：先 乘方再乘除然后加减
五、课后作业
2、计算
并求当a=-1时的值
1、课本P23第6题
补充作业题：
4
2006
APRIL
2345678911213k1的2021222324252627282030
县人,外图 cyworld
△出五Hwww.
MElIC(共11张PPT)
16.3 .2 分式方程2
像这样，分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
解分式方程的一般步骤
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2、解这个整式方程.
3、 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.
4、写出原方程的根.
解分式方程的思路是：
分式方程
整式方程
去分母
一化二解三检验
解方程
解：
方程两边都乘以 x ( x – 2 ) , 约去分母，得
5 ( x – 2 ) = 7x
解这个整式方程，得
x = – 5
检验：当 x = – 5 时，
x ( x – 2 ) = (– 5)(– 5 – 2) = 35 ≠0
所以 – 5 是原方程的根.
例 1
例2.解分式方程
在方程的两边都乘以最简公分母 ( x+1)( x – 1 ), 得到整式方程：
x + 1 = 2
解这个整式方程，得
x = 1
把 x = 1 代入最简公分母检验：
实际上原分式方程无解.
( x+1)( x – 1 )=0, 因此x= 1 不是原分式方程的根.
解方程
解：方程两边都乘以 (x+1) ( x – 1 ) , 约去分母，得
( x + 1 )2－4 = x2－1
解这个整式方程，得
x = 1
经检验得： x = 1 是增根
∴原方程无解.
例 3
3）解关于x的方程：
小练习：
作业：
1.解关于X的方程
（m≠n,m/n≠0）
谢谢！(共22张PPT)
复习回顾
1、分式的概念：
（1） 下列各式中，属于分式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
B
（2）A、B都是整式，则 一定是分式。
（3）若B不含字母，则 一定不是分式。
×
×
2、分式有意义：
3、分式的值为零：
（1）x取何值时，分式 有意义；
（1）x取何值时，分式 的值为零；
4、因式分解：
（1）提公因式法：
ma+mb=m（a+b）
例：8a3b2-12ab3c
（2）公式法：
平方差分式：a2-b2=（a+b）（a-b）
例：9a2-16b2
完全平方：a2+2ab+b2=（a+b）2
a2-2ab+b2=（a-b）2
例：16X2+24X+9
-x2+4xy-4y2
（4）综合运用：
一 提 取公因式
二 套 公式
平方差： a2-b2= (a+b)(a-b)
完全平方： a2 +2ab+b2 = (a+b)2
a2 - 2ab+b2 = (a-b)2
例：x3z-4x2yz+4xy2z
x4-8x2+16
新课教学
[思考]：下列两式成立吗？为什么？
分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于0的数，分数的值不变.
分数的基本性质：
即；对于任意一个分数 有：
类比分数的基本性质，你能得到分式的基本性质吗？说说看！
类比分数的基本性质，得到：
分式的基本性质：
分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不等于0的整式 ，分式的值不变.
例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1)
为什么给出
由 ,
知 .
(2)
为什么本题未给
(2)
解: (1)
由
知
下列分式的右边是怎样从左边得到的？
⑴ ⑵
下列各组中分式，能否由第一式变形为第二式？
与
(2) 与
例2：填空：
a2+ab
2ab-b2
x
1
[小结]：（1）看分母如何变化，想分子如何变化；
（2）看分子如何变化，想分母如何变化；
练习1. 填空:
．
三、练习
不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“－”号
⑴ ⑵ ⑶
[小结]：
分式的符号法则：
（2）
（1）
例4：不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数。
例5：不改变分式的值，使下列各式的分子与分母中的多项式按x的降幂排列,且首项的系数是正数.
巩固练习
1.若把分式
A．扩大两倍 B．不变
C．缩小两倍 D．缩小四倍
的 和 都扩大两倍,则分式的值( )
2.若把分式 中的 和 都扩大3倍,那么分式
的值( ).
A．扩大3倍 B．扩大9倍
C．扩大4倍 D．不变
B
A
判
断
题：
×
√
×
√
分式的基本性质及应用。(共14张PPT)
复习分式的通分:
（1）、
（2）、
4
复习分式的约分:
（1）
（2）
（3）
分式有意义的条件:
小明这样问小红：“当x为何值时，分式 无意义？”小红答：“
时，分式无意义．”
试问，小红回答有错误吗？如果有请你帮助小红找出错误的原因并改正．
束城中学八年级(2)班
观察、思考:
类比分数的乘除法法则，你能想出分式的乘除法法则吗？
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
法则用式子表示为：
例1 计算:
例2 计算:
例2 计算:
例3
“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分， “丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克。
（1）哪种小麦的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
解（1）
∵ 0＜（a－1）2＜ a 2－1
∴
“丰收2号”小麦的单位面积
产量高。
（2）
∴ “丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位
面积产量的 倍。
练习1 计算 :
练习2 计算 :
1、
2、
小结:
分式的乘除法法则是什么？
作业
习题16.2
复习巩固 1 . 2
下节课我们将学习分式的乘方法则，请同学们注意预习 (共12张PPT)
列分式方程解应用题的方法和步骤如下：
1：审题分析题意
2：设未知数
3：根据题意找相等关系，列出方程；
4：解方程，并验根（对解分式方程尤为重要）
5：写答案
某地电话公司调低了长途电话的话费标准,每分费用降低了25%,因此按原收费标准6元话费的通话时间,在新收费标准下可多通话5分时间,问前后两种收费标准每分收费各是多少
解:设原来的收费标准是x元/分钟，现在的收费标准是（1-0.25）x则
分析：这里的字母v、s表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x千米∕小时，先考虑下面的空：
从2004年5月起某列车平均提速v千米∕小时，用相
同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速
前多行驶50千米，提速前列车的平均速度为多少？
例题4：
提速前列车行驶 千米所用的时间为 小时，
提速后列车的平均速度为 千米∕小时，
提速后列车运行 千米所用的时间为
小时。
（x＋v）
s
（s＋50）
根据行驶时间的等量关系，得：
解：设提速前这次列车的平均速度为x千米∕小时，
则提速前它行驶s千米所用的时间为小时，提速后
列车的平均速度为（x＋v）千米∕小时，提速后它
运行（s＋50）千米所用的时间为 小时。
方程两边同乘以x（x＋v）,得：
s（x+v）=x（s+50）
解得：
检验：由于v,s都是正数， 时x（x+v）≠0,
是原方程的解。
答：提速前列车的平均速度为 千米/小时
x千米∕小时
s千米
（x＋v）千米∕小时
（s＋50）
2、 一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程共用时间t分，求两根水管各自的注水速度。
（提示：要考虑大水管的进水速度是小水管进水速度的多少倍）
练习:
一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快1小时到达。已知A、B两地相距80千米，水流速度是2千米/小时，求轮船在静水中的速度。
速度（千米/小时） 时间（小时） 路程（千米）
顺水
逆水
假设：轮船在静水中的速度是X千米/小时。
根据题意得：顺水比逆水快一个小时到达。
X+2
X-2
80
80
80
X-2
－
80
X+2
=
1
例4：照相机成像应用了一个重要原理， 即 （ )，其中 表示照相机镜头的焦距， 表示物体到镜头的距离， 表示胶片（像）到镜头的距离，如果一架照相机 已固定，那么就要依靠调整 、 来使成像清晰，问在 , 已知的情况下，怎样确定物体到镜头的距离
公式变形：把要求表示的字母看成未知数，其它字母看成已知数，按解方程的思想来进行解答。
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.
2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.
3.列:根据数量和相等关系,正确列出方程.
4.解:认真仔细解这个分式方程.
5.验:检验.（是否是分式方程的根， 是否符合题意）
6.答:注意单位和语言完整.
总结：
1、列分式方程解应用题，应该注意解题的五个步骤。
2、列方程的关键是要在准确设元（可直接设，也可间节设）的前提下找出等量关系。
3、解题过程注意画图或列表帮助分析题意找等量关系。
4、注意不要漏检验和写答案。
请同学总结该节课学习的内容
小结：
利用分式方程解决实际问题。
作业：P38 习题16.3
第3、4、5题(共14张PPT)
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少
解:设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
分母中含未知数的方程叫做分式方程.
像这样，分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
以前学过的分母里不含有未知数的方程叫做整式方程。
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
整式方程
分式方程
解得：
下面我们一起研究下怎么样来解分式方程：
方程两边同乘以（20+v）（20-v） ，得：
在解分式方程的过程中体现了一个非常重要的数学思想方法：转化的数学思想（化归思想）。
检验：将v=5代入分式方程，左边=4=右边，所以v=5是原分式方程的解。
解分式方程：
方程两边同乘以最简公分母（x-5）（x+5），得：
x+5=10
解得：
x=5
检验：将x=5代入原分式方程，发现这时x-5和x2-25的值都为0，相应分式无意义。所以x=5不是原分式方程的解。
原分式方程无解。
为什么会产生增根？
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适合于原方程的根.
产生的原因:分式方程两边同乘以一个零因式后,所得的根是整式方程的根,而不是分式方程的根.所以我们解分式方程时一定要代入最简公分母检验
····
····
使最简公分母值为零的根
······
···
解分式方程的一般步骤
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2、解这个整式方程.
3、 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.
4、写出原方程的根.
解分式方程的思路是：
分式方程
整式方程
去分母
一化二解三检验
解分式方程容易犯的错误有：
(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．
(2)约去分母后，分子是多项式时， 要注意添括号．(因分数线有括号的作用）
(3)增根不舍掉。
解分式方程
2. 解关于x的方程 产生增根,则常数m的值等于( )
(A)-2 (B)-1 (C ) 1 (D) 2
x-3
x-1
x-1
m
=
1.当m为何值时，方程 会产生增根
解方程：
随堂练习
1、解分式方程的思路是：
分式方程
整式方程
去分母
2、解分式方程的一般步骤：
一化二解三检验(共19张PPT)
问题 :
一艘轮船在静水中的最大航速是20千米/时,它沿江以最大船速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等。江水的流速是多少？
如果设江水的流速为v千米/时。
=
最大船速顺流航行100千米所用时间
以最大航速逆流航行60千米所用的时间
1.长方形的面积为10cm ，长为7cm。
宽应为____cm;
长方形的面积为S，长为a，宽应为______;
S
a
思考填空
2、把体积为200cm 的水倒入底面积为 33cm
的圆柱形容器中,水面高度为_____cm;
把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形
容器中,水面高度为______;
V
S
请大家观察式子 和 ，有什么特点？
请大家观察式子 和 ，有什么特点？
他们与分数有什么相同点和不同点？
都具有分数的形式
相同点
不同点
（观察分母）
分母中有字母
分式定义
一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有字母，
那么称 为分式。其中A叫做分式的分子，B为分式
的分母。
注意：分式是不同于整式的另一类有理式，且分母中含有字母是分式的一大特点。
分式的分母不能为0，
即当B≠0时，分式 才有意义。
A
B
判断：下面的式子哪些是分式？
分式:
思考：
1、分式 的分母有什么条件限制？
当B=0时，分式 无意义。
当B≠0时，分式 有意义。
2、当 =0时分子和分母应满足什么条件？
当A=0而 B≠0时，分式 的值为零。
(2) 当x为何值时，分式有意义
(1) 当x为何值时，分式无意义
例1. 已知分式 ,
(2)由（１）得 当x ≠-2时，分式有意义
∴当x = -2时分式:
解：(1)当分母等于零时,分式无意义。
无意义。
∴ x = -2
即 x+2=0
例2. 已知分式 ,
(4) 当x= - 3时，分式的值是多少
(3) 当x为何值时，分式的值为零
（４）当x ＝ -３时，
解：(３)当分子等于零而分母不
等于零时,分式的值为零。
的值为零。
∴当x = 2时分式
∴ x ≠ -2
而 x+2≠０
∴ x = ±2
则 x2 - 4=0
小结
分式的定义
分式有意义
分式的值为0
分母不等于0
①分子=0 ②分母≠0 ③最后答案
整式A、B相除可写为 的形式，若分母中含有字母，那么 叫做分式。
作业布置
P8 1, 2, 3(共13张PPT)
绝对值大于10的数记成a×10n的形式，其中1≤︱a︱<10，n是正整数.
例如:864000可以写成8.64×105.
科学记数法：
n等于原数的整数数位减1
用小数表示下列各数
类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值小于1的数，即将它们表示成a×10-n的形式.(其中n是正整数，1≤∣a∣＜10.)
类似:
0.01=
0.00000001=
0.1=
0.00001=
1 × 10-1
1 × 10-2
1 × 10-5
1 × 10-8
例题1：用科学记数法表示下列各数
0.000611= -0.00105=
6.11 × 10-4
-1.05 × 10-3
思考：当绝对值较小的数用科学记数法表示为a ×10-n时，a，n有什么特点？
a的取值一样为1≤︱a︱＜10；n是正整数，n等于原数中左边第一个不为0的数字前面所有的0的个数。（包括小数点前面的0）
0.0‥‥‥01=
1 × 10-n
n个0
学了就用
6.075×10－4
- 3.099×10－1
例2：用科学记数法表示：
（1） 0.0006075=
（2） -0.30990=
（3） -0.00607=
（4） -1009874=
（5） 10.60万=
- 6.07×10－3
- 1.009874×106
1.06×105
并指出结果的精确度与有效数字。
用a ×10n 表示的数，其有效数字由a来确定，其精确度由原数来确定。
分析：把a×10－n还原成原数时，只需把a的小数点
点向左移动n位。
（1）7.2×10－5=
（2）-1.5×10－4=
例3：把下列科学记数法还原。
例：纳米技术是21实际的新兴技术， 1纳米＝10－９米，已知某花粉的的直径是3500纳米，用科学记数法表示此种花粉的直径是多少米？
解：
3500纳米＝3500×１０－９米
＝（3.5×103）×10－９
＝35×103＋（－9）
＝3.5×10－6
答：这种花粉的直径为3.5×１０－6米.
1、用科学记数法表示下列各数，并保留3个有效数字。
（1）0.0003267 （2）-0.0011 （3）-890690
2、写出原来的数，并指出精确到哪一位？
（1）（-1×10）－2 （2）-7.001×10－3
随堂练习
3.已知1纳米=10-9 米，它相当于1根头发丝直径的六万分之一，则头发丝的半径为（ ）米。
4、计算：（结果用科学记数法表示）
用科学记数法填空：
（1）1微秒＝_________秒；
（2）1毫克＝_________克＝_________千克；
（3）1微米＝_________厘米＝_________ 米；
（4）1纳米＝_________微米＝_________米；
（5）1平方厘米＝_________平方米；
（6）1毫升＝ _________ 升=_________立方米.
生活小常识
1×10-6
1×10-6
1×10-3
1×10-6
1×10-4
1×10-4
1×10-6
1×10-3
1×10-9
1×10-3(共23张PPT)
人教版八年级（下册）
第十六章分式
16.1分式（第3课时）
分式的基本性质
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于０的整式，分式的值不变。
用式子表示为：
其中Ａ，Ｂ，Ｃ是整式。
复习回顾
化简下列分式：
（1）解:原式=
（2）解:原式=
分式性质应用
化简下列分式
练习：
化简下列分式(约分)
约分的步骤
（1）约去系数的最大公约数
（2）约去分子分母相同因式的最低次幂
(1)
(2)
(3)
把分式分子、分母的 公因式约去，这种变
形叫分式的约分.
分式约分的依据是什么？
分式的基本性质
对于分数而言，彻底约分后的分数叫什么？
在化简分式 时，小颖和小明的做法出现了分歧：
小颖：
小明：
你对他们俩的解法有何看法？说说看！
彻底约分后的分式叫最简分式.
一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式.
把一个分式的分子和分母的公因式约去,不改变分式的值，这种变形叫做分式的约分。
1.约分的依据是：
分式的基本性质.
2.约分的基本方法是：
先把分式的分子、分母分解因式,约去公因式.
3.约分的结果是：
整式或最简分式。
总结分式的约分
分子和分母没有公因式的分式称为最简分式.
注意:
化简分式和分式的计算时,通常要使结果成为最简分式.
最简分式
例题
约分：
分析：为约分要先找出分子和分母的公因式。
解：
例3 约分:
约分的基本步骤：（１）若分子﹑分母都是单项式，则约简系数，并约去相同字母的最低次幂；
（２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式
分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．
1、下列约分正确的个数有 （ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、0个
A
2、下列各式中是最简分式的（ ）
B
约 分
约 分
ma+mb+mc
(1)
a+b+c
★根据分式的基本性质，对下列各式进行约分.
(3)
1、分式的约分：把一分式的分子和分母分别除以它们的公因式叫做分式的约分
2、最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
3、约分的步聚：1.把分子、分母分解因式；2.约去分子、分母相同因式的最低次幂；3.尽量把分子、分母的最高次项的系数化为正数)
教学反思
分式的通分
与分数的通分类似，也可以利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把 和 化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
例题
通分：
分析：为通分要先确定分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母。
解：
（1）最简公分母是2a2b2c.
（2）最简公分母是(x+5)(x-5).
思考:
分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法根据了什么原理？
分式的基本性质
小结
1、分式的基本性质。
2、分式基本性质的应用。
3、分式的约分，最简分式。
4、分式的通分，最简公分母。
今 日 作 业
课本P9习题16.1第6题、第7题。(共18张PPT)
新人教版八(下)第16章分式课件
16.2.2 分式的加减（一）
2、你认为
3、猜一猜, 同分母的分式应该如何加减
1、同分母分数加减法的法则如何叙述？
分母不变,分子相加减.
【同分母的分数加减法的法则】
同分母的分数相加减，
【同分母的分式加减法的法则】
同分母的分式相加减，
分母不变,分子相加减.
计算：
解 : (1)
(2)
-1
例 1 计算 ：
(1)
解：原式=
=
=
注意：结果要化为最简分式！
=
把分子看作一个整体，先用括号括起来！
解：原式=
做一做
（1）异分母的分数如何加减？
（2）你认为异分母分式的加减应该如何进行？
比如 :
(通分,将异分母的分数化为同分母的分数)
例计算 :
例2
计算：
解:
a2 -4 能分解 :
a2 -4 =(a+2)(a-2),
其中 (a-2)恰好为第二分式的分母.
所以 (a+2)(a-2)
即为最简公分母.
分析
先找
最简公分母.
例 3 计算：
解：原式=
先找出最简公分母，再正确通分，转化为同分母的分式相加减。
例4、先化简，再求值:其中x=3
练3
：阅读下面题目的计算过程。
①
= ②
= ③
= ④
（1）上述计算过程，从哪一步开始错误，请写上该步的代号
（2）错误原因
（3）本题的正确结论为
②
小结：
（1）分式加减运算的方法思路：
通分
转化为
异分母相加减
同分母
相加减
分子（整式）相加减
分母不变
转化为
（2）分子相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误。
（3）分式加减运算的结果要约分，化为最 简分式（或整式）。
本节课你的收获是什么？(共15张PPT)
16.1.2 分式的基本性质(2) ------约分与通分
分数的约分与通分
1.约分：
约去分子与分母的最大公约数，化为最简分数。
2.通分：
先找分子与分母的最简公分母，再分子与分母同时乘与最简公分母，计算即可。
化简下列分式(约分)
约分的步骤
（1）约去系数的最大公约数
（2）约去分子分母的公因式。
(1)
(2)
(3)
把分式分子、分母的 公因式约去，这种变
形叫分式的约分.
分式约分的依据是什么？
分式的基本性质
对于分数而言，彻底约分后的分数叫什么？
在化简分式 时，小颖和小明的做法出现了分歧：
小颖：
小明：
你对他们俩的解法有何看法？说说看！
彻底约分后的分式叫最简分式.
一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式.
约分
注意：
当分子分母是多项式的时候，先进行分解因式，再约分
(3)
(4)
（1）
（2）
（3）
（4）
（1）
（2）
与
与
解：
（1）最简公分母是
(3)
把各分式化成相同
分母的分式叫做
分式的通分.
（2）
与
解：
（2）最简公分母是
(3)
解：
（3）最简公分母是
已知， ，求分式 的值。
练习：
P8 1.约分.
2.通分.
作业：
P9 6. 7.(共29张PPT)
第十七章 分式
相应的公式
下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
5x-7, 3x2-1,
-5,
试着自己举出分式的例子
（1）当a=1，2时，分别求分式 的值。
（2）当a取何值时，分式 无意义？
（4）当a取何值时，分式 值为零？
(3）当a取何值时，分式 有意义？
当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是 （ ）
（A）
（B）
( C)
（D）
在分式 中，当x为何值时，分式有意义？分式的值为零？
B
例１ 对于分式
（１）当x取什么数时，分式有意义？
（２）当x取什么数时，分式的值是零？
（３）当x＝１时，分式的值是多少？
最简公分母的确定
如果分母是单项式时，最简公分母是：①系数取最小公倍数；②字母取所有字母；③字母的次数取所有字母的最高次幂。
如果分母是多项式时，应该先考虑分解因式，再确定最简公分母。
分式的意义
分式有意义：分母不等于零
分式的值等于零：分子等于零，分母不等于零
分式的符号
分式的值为正：分子、分母同号；（A>0，B>0或A<0,B<0）
分式的值为负：分子、分母异号；（A>0,B<0或A<0,B>0)
分式的性质
分式的性质用于符号的改变；分式的化简（约分）；把异分母分式化成同分母分式（通分）。
分式运算的技巧
巧求分式的值
求分式的值，只要由条件求出字母的值代入
便可求出。本题右边为0，左边可以分解因
式，这样可以求出a、b的关系代入即可。
注意利用分式的性质
注意去倒数的技巧
例题讲解
计算下列各式：
计算下列各式：
概念：分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程。
解分式方程的步骤：
将分式方程转化为整式方程（方程两边同时乘以最简公分母；换元）
解整式方程
检验（验根）
写出方程的解
分 式 方 程
解分式方程易错点分析
分式方程巧解四法
解下列分式方程
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适合于原方程的根.
产生的原因:分式方程两边同乘以一个零因式后,所得的根是整式方程的根,而不是分式方程的根.
····
····
使分母值为零的根
······
···
例1：某两班学生利用双休日到距学校12千米的烈士陵园扫墓、植树，一部分人骑自行车，其余的人乘汽车。已知汽车的速度是自行车的速度的3倍。如果骑自行车的人先走，半小时后，乘汽车的人出发，结果他们同时到达，求两种车的速度。
速度
(千米/小时) 时间
(小时) 路程
(千米)
自行车
汽 车
自行车所行的时间-汽车所行的时间=1/2
12
12
x
3x
12/x
12/3X
例2：甲乙两班学生进行植树活动，甲班单独完成任务比乙班单独完成任务少用50分钟，若甲、乙两班一起植树1小时可以完成，问甲、乙两班单独植树，各需几分钟完成？
工作效率 工作时间 工作量
甲
乙
1/x
1/(x+50)
60
60
60/x
60/(X+50)
甲完成的工作量+乙完成的工作量=工作总量(共12张PPT)
复习回顾
1、分式的加减法则：
2、分式的乘除
计算：
在物理学上的应用
在图的电路中,已测定CAD支路的电阻是R1欧姆,又知CBD支路的电阻R2比R1大50欧姆,根据电学的有关定律可知总电阻R与R1R2满足关系式 ,试用含有R1的式子表示总电阻R
C
A
B
D
分式的混合运算：
先乘方乘除，再乘除，后加减。
计算:
解：
试一试
练习
作业P23 6
8式的加展(共9张PPT)
束城中学八年级(2)班
例4 计算:
分式乘除混合运算可以统一化为乘法运算
观察、思考:
分式乘方：要把分子、分母分别乘方
例5 计算:
例5 计算:
练习1 计算 :
练习2 计算 :
小结:
分式的乘方法则是什么？
作业
习题16.2
复习巩固 3(共14张PPT)
16.3.3分式方程的应用(1)
现在我们利用分式方程解决实际问题：
分析：甲队1个月完成总工程的1∕3，设乙队如果单独完成施工1个月能完成总工程的1∕x,那么甲队半个月完成总工程的 ，乙队半个月完成总工程的 ，两队半个
月完成总工程的 。
1∕6
1∕2x
1
6
﹢
1
2x
课本例3. 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独完成施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？
列方程的关键是什么？问题中的那个等量关系可以用来列方程？
关键：找出相等关系
甲队施工1个月的工作量+甲乙共施工半个月的工作量=总工作量
解：设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的 。
由题意得：
1
x
1
3
+
1
6
+
1
2x
=
1
2x+x+3=6x
x=1
经检验：x=1是原分式方程的解，且符合题意。
∵ 1﹥
1
3
∴ 乙队施工速度快。
总结：列分式方程解应用题的方法和步骤如下：
问题：请分析列分式方程解应用题与以前学习的列方程解应用题有什么区别？
1：审清题意，并设未知数
2：找出相等关系，并列出方程；
3：解这个分式方程，
4：验根（包括两方面 ：1、是否是分式方
程的根；2、是否符合题意）
5：写答案
区别：解方程后要检验。
例4：农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度。
请审题分析题意
分析：设自行车的速度是x千米/时，汽车的速度是3x千米/时
请根据题意填写速度、时间、路程之间的关系表
速度（千米/时） 路程（千米） 时间（时）
自行车
汽车
x
3x
15
15
请找出可列方程的等量关系
农机厂
向阳村
B
C
自行车先走 时
同时到达
行程问题基本关系：S=vt
解：设自行车的速度为x千米/时，那么汽车的速度是3x千米/时，
依题意得：
汽车所用的时间＝自行车所用时间－ 时
设元时单位一定要准确
即：
15＝45－2x
2x=30
x=15
经检验，15是原方程的根，并符合题意
由x＝15得3x=45
答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时
得到结果记住要检验。
例4：农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度。
本题还有其它解法吗？
等量关系：
汽车所用时间=自行车所用时间
小时
汽车走15千米所用时间=自行车走
所用时间
间接设未知数
如：设汽车走这段路需x小时，则自行车需
例5. 甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？
解：设甲每小时做x个零件则乙每小时做（ x －6）个零件，
依题意得：
经检验X=18是原方程的根,且符合题意。
答：甲每小时做18个，乙每小时12个
请审题分析题意
设元
我们所列的是一个分式方程，这是分式方程的应用
由x＝18得x－6=12
等量关系：甲用时间=乙用时间
1、 甲、乙两人练习骑自行车，已知甲每小时比乙多走6千米，甲骑90千米所用的时间和乙起骑60千米所用时间相等，求甲、乙每小时各骑多少千米？
2、甲、乙两种商品，已知甲的价格每件比乙多6元，买甲90件所用的钱和买乙60件所用钱相等，求甲、乙每件商品的价格各多少元？
试一试
1. 甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？
2. 甲、乙两人练习骑自行车，已知甲每小时比乙多走6千米，甲骑90千米所用的时间和乙起骑60千米所用时间相等，求甲、乙每小时各骑多少千米？
3.甲、乙两种商品，已知甲的价格每件比乙多6元，买甲90件所用的钱和买乙60件所用钱相等，求甲、乙每件商品的价格各多少元？
有什么区别和联系？
联系
数量关系和所列方程相同
即：两个量的积等于第三个量
区别
一是工作问题，二是行程问题，三是价格问题
总结：
1、列分式方程解应用题，应该注意解题的五个步骤。
2、列方程的关键是要在准确设元（可直接设，也可间接设）的前提下找出等量关系。
3、解题过程注意画图或列表帮助分析题意找等量关系。
4、注意不要漏检验和写答案。
请同学总结该节课学习的内容
作业：
P38 T 3 T 4、5
1．乙分别从相距36千米的A、B两地同时相向而行．甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即从A向B行进，这样二人恰好在AB中点处相遇，又知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人速度．(共14张PPT)
16.3 分式方程
与实际问题
解分式方程的一般步骤
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2、解这个整式方程.
3、 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.
4、写出原方程的根.
解分式方程的思路是：
分式方程
整式方程
去分母
一化二解三检验
解方程
解：方程两边都乘以 (x+1) ( x – 1 ) , 得
( x + 1 )2－4 = x2－1
解得
x = 1
检验： x = 1 时（x+1）（x-1）=0，x=1不是原分式方程的解.
∴原方程无解.
分式方程的运用:
分析：甲队1个月完成总工程的1∕3，设乙队如果单独完成施工1个月能完成总工程的1∕x,那么甲队半个月完成总工程的 ，乙队半个月完成总工程的 ，两队半个
月完成总工程的 。
1∕6
1∕2x
1
6
﹢
1
2x
例1： 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独完成施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？
列方程的关键是什么？问题中的那个等量关系可以用来列方程？
关键：找出相等关系
甲队施工1个月的工作量+甲乙共施工半个月的工作量=总工作量
解：设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的 。
由题意得：
1
x
1
3
+
1
6
+
1
2x
=
1
2x+x+3=6x
x=1
经检验：x=1是原分式方程的解，且符合题意。
∵ 1﹥
1
3
∴ 乙队施工速度快。
总结：列分式方程解应用题的方法和步骤如下：
问题：请分析列分式方程解应用题与以前学习的列方程解应用题有什么区别？
1：审清题意，并设未知数
2：找出相等关系，并列出方程；
3：解这个分式方程，
4：验根（包括两方面 ：1、是否是分式方
程的根；2、是否符合题意）
5：写答案
区别：解方程后要检验。
例2. 甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？
解：设甲每小时做x个零件则乙每小时做（ x －6）个零件，
依题意得：
经检验X=18是原方程的根,且符合题意。
答：甲每小时做18个，乙每小时12个
请审题分析题意
设元
我们所列的是一个分式方程，这是分式方程的应用
由x＝18得x－6=12
等量关系：甲用时间=乙用时间
甲、乙两种商品，已知甲的价格每件比乙多6元，买甲90件所用的钱和买乙60件所用钱相等，求甲、乙每件商品的价格各多少元？
试一试
练习2：甲、乙二人同时从张庄出发，步行15千米到李庄。甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时。二人每小时各走多少千米？
解：设甲速度为x千米/时，则乙速度为________千米/时
（x-1)
练习1：某农场开挖一条长960米的渠道，开工后工作效率比计划提高50%，结果提前4天完成任务。原计划每天挖多少米？
解：设原计划每天挖x米，则实际每天挖 _________ __ 米。
x（1+50%）
工作效率比计划提高50%
每天比计划多挖50%
小结：
1、列分式方程解应用题，应该注意解题的五个步骤。
2、列方程的关键是要准确设元（可直接设，也可间接设）的前提下找出等量关系。
3、解题过程注意画图或列表帮助分析题意找等量关系。
4、注意不要漏检验和写答案。
谢谢！(共17张PPT)
16.3分式方程
引导者_葛铁雷
苏通大桥效果图
长风破浪会有时
直挂云帆济沧海
问题:
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的水流速度为多少？
分析：
设江水的水流速度为v千米/时，
轮船顺流航行的速度为_____千米/时，
逆流航行的速度为_____千米/时，
顺流航行100千米所用时间为______小时,
逆流航行60千米所用时间为______小时.
(20+v)
(20-v)
列得方程:
议一议
此方程有何特征？
分式方程：分母中含有未知数的方程
练一练
下列方程是分式方程的有( )
A.
B.
C.
D.
E.
F.
A.C.D.F
怎样才能解这个方程呢 说说你的想法.
两边同乘以 得:
这个是什么
解得: v=5
检验:将v=5代入原方程,左边=4=右边,因此v=5是分式方程的解.
各分母的最简公分母
试一试
解：方程两边同乘最简公分母
得整式方程
解得
检验：将
代入原分式方程检验发现分母
相应的分式无意义，因此x=5不是分式方程的解，此分式方程无解
思考
上面两个分式方程中
去分母所得整式方程的解就是
①的解，而
去分母后所得整式方程的解却不是
②的解呢？
增根的定义
产生的原因:分式方程两边同乘以一个零因式后,所得的根是整式方程的根,而不是分式方程的根.
····
····
增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适合于原方程的根.
使分母值为零的根
······
···
因此解分式方程可能产生增根，解分式方程必须检验
解下列分式方程
（1）
（2）
分式方程
去分母
整式方程
X=a
解分式方程
检验
最简公分母为0
最简公分母不为0
a是分式方程的解
a不是分式方程的解
解分式方程的一般步骤如下：
解分式方程的一般步骤:
在方程的两边都乘以最简公分母,化成____________方程;
解这个____________方程;
检验:把__________方程的根代入____________.如果值_________,就是原方程的根;如果值__________,就是增根.应当__________,原分式方程无解；
写出分式方程的解.
整式
整式
这个整式
最简公分母中
不为零
为零
舍去
填空
1、分式方程 的最简公分母是 .
2、如果 有增根,那么增根为 .
X=2
X-1
3、关于x的方程 =4 的解是x= ,则a= .
2
练习：
4、解方程
小结
(1 ) 认识了分式方程
（2）解分式方程的一般步骤
