8.6.1直线与直线垂直 教案 2020-2021学年高中数学人教A版（2019）必修第二册

第八章
立体几何初步
8.6
空间直线、平面的垂直
8.6.1
直线与直线垂直
教学设计
一、教学目标
1.
理解两异面直线所成角的定义，会求两异面直线所成的角；
2.
掌握证明两条异面直线垂直的方法.
二、教学重难点
1.
教学重点
异面直线所成的角，两条异面直线垂直的定义.
2.
教学难点
求异面直线所成的角.
三、教学过程
（一）新课导入
思考：如图，在正方体中，直线与直线AB，直线与直线AB都是异面直线，直线与相对于直线AB的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？
（二）探索新知
如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线，，我们把直线与所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.
如果两条异面直线所成的角是直角，那么这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作.
当两条直线a，b相互平行时，我们规定它们所成的角为0.所以空间两条直线所成角的取值范围是.
例1
如图，已知正方体.
（1）哪些棱所在的直线与直线垂直？
（2）求直线与所成的角的大小.
（3）求直线与AC所成的角的大小.
解：（1）棱AB，BC，CD，DA，，，，所在直线分别与直线垂直.
（2）因为是正方体，所以，因此为直线与所成的角.又因为，所以直线与所成的角等于.
（3）如图，连接.因为是正方体，所以.从而四边形是平行四边形，所以.于是为异面直线与AC所成的角.
连接，易知是等边三角形，所以.从而异面直线与AC所成的角等于.
例2
如图（1），在正方体中，为底面的中心.求证.
证明：如图（2），连接.
是正方体，
.
四边形是平行四边形.
.
直线与所成的角即为直线与BD所成的角.
连接，，易证.
又为底面的中心，
为的中点，
.
.
（三）课堂练习
1.在正方体中，与垂直的直线是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：A中，与所成角为，由已知条件可得，在中为，所以与不垂直.
B中，，所以与不垂直.
C中，设分别为和的中点，则.
又因为也是的中点，，所以，所以与垂直.
D中，，所以与所成角为，由已知
条件可得在中，为，所以与不垂直.
2.在长方体中，，，则异面直线与所成的角为(
)
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
答案：C
解析：如图，连接，因为，所以为异面直线与所成的角.因为，所以，故选C.
3.如图所示，正方体中，①与平行；②与垂直；③与垂直.以上三个结论中，正确的序号是(
)
A.①②
B.②③
C.③
D.①②③
答案：C
解析：①在正方体中，由图可知与异面，故①不正确；②因为，与不垂直，所以与不垂直，故②不正确；③因为，
所以与所成角即为与所成角，由已知条件可知，所以与垂直，即与垂直，故③正确.
4.已知四面体的棱都相等，为的重心，则异面直线与所成角的余弦值为__________.
答案：
解析：设四面体的棱长为，延长交于，取的中点，连接.由题意知为的中点，所以，所以为异面直线与所成的角.由题意知，则在中，.
5.如图，已知正方体.
（1）求与所成角的大小；
（2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：.
答案：（1）如图，连接AC，.
由几何体是正方体，知四边形为平行四边形，所以，
从而AC与所成的角为与所成的角.
由，可知.
故与所成的角为60°.
（2）如图，连接BD.
易知四边形为平行四边形，所以，
因为EF为的中位线，所以.
又，所以，所以.
小结作业
小结：
求异面直线所成的角；
证明两条异面直线垂直.
作业：
四、板书设计
8.6.1
直线与直线垂直
1.
异面直线所成的角：如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线，，我们把直线与所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.
2.
两条异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，那么这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作.