8.3列表与独立性检验 课后小练-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册（机构适用）（Word含答案）

8.3列表与独立性检验
1.2020年，受新冠肺炎疫情的影响，在全国的许多地方都采取了在家线上学习的方式，此种方式对学生的自制力、自觉性有极高的要求.某校某学习小组调查研究“学生线上学习时智能手机对学习成绩的影响”，得到了如下样本数据：
不使用
使用
合计
优秀
8
4
12
不优秀
2
16
18
合计
10
20
30
附 K2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ， n=a+b+c+d .
p(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
根据表中的数据，下列说法中正确的是（ ??）
A.?有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习无影响
B.?有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响
C.?在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为中学生使用手机对学习无影响
D.?在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为中学生使用手机对学习有影响
2.某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计得下方的 2×2 列联表.则根据列联表可知（??? ）
年轻人
非年轻人
总计
经常用流行用
125
25
150
不常用流行用语
35
15
50
总计
160
40
200
参考公式：独立性检验统计量 X2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ，其中 n=a+b+c+d .
下面的临界值表供参考：
P(x2≥x0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A.?有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
B.?没有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
C.?有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
D.?有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系
3.为了研究高中学生对乡村音乐的态度（喜欢和不喜欢两种态度）与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2=8.01，附表如下：
P（K2≥k0）
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
参照附表，得到的正确的结论是（ ??）
A.?有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关”
B.?有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别无关”
C.?在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢乡村音乐与性别有关”
D.?在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢乡村音乐与性别无关”
4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： I(t)=K1+e?0.23(t?53) ，其中K为最大确诊病例数．当I( t? )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 t? 约为（??? ）（ln19≈3）
A.?60?????????????????????????????????????????B.?63?????????????????????????????????????????C.?66?????????????????????????????????????????D.?69
5.下列说法中不正确的是（??? ）
A.?独立性检验是检验两个分类变量是否有关的一种统计方法
B.?独立性检验得到的结论一定是正确的
C.?独立性检验的样本不同，其结论可能不同
D.?独立性检验的基本思想是带有概率性质的反证法
6.下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程 y=3?5x ，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；③线性回归方程 y=bx+a 必过 (x,y) ；④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患肺病；其中错误的个数是（?? ）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
7.在研究某地区高中学生体重与身高间的相关关系的过程中，不会使用到的统计方法是（??? ）
A.?随机抽样???????????????????????????B.?散点图???????????????????????????C.?回归分析???????????????????????????D.?独立性检验
8.为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算 P(K2≥k0)=0.01 ，根据这一数据分析，下列说法正确的是（??? ）
A.?有1%的人认为该栏目优秀；
B.?有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；
C.?有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；
D.?没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.
9.下列说法正确的是（??? ）
①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域越窄，说明回归方程的预报精度越高；②在独立性检验时，两个变量的 2×2 列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明“这两个变量没有关系”成立的可能性就越大；③在回归直线方程 y=0.2x+12 中，当解释变量 x 每增加一个单位时，预报变量 y 就增加0.2个单位；④ R2 越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好.
A.?①②③??????????????????????????????????B.?②③??????????????????????????????????C.?①④??????????????????????????????????D.?①③④
10.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（??? ）
①从独立性检验可知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，他一定患有肺病;②从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误;③若 k2 的观测值得到有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有95人患有肺病.
A.?①????????????????????????????????????????B.?②????????????????????????????????????????C.?③????????????????????????????????????????D.?②③
11.某医疗研究所为了了解某种血清预防感冒的作用，把500名使用过该血清的人与另外500名未使用该血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”．已知利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.则下列结论中，正确结论的序号是________．
①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的有效率为5%.
12.下列说法正确的是________.
①独立性检验中，为了调查变量 X 与变量 Y 的关系，经过计算得到 P(k2≥6.635)=0.01 ，表示的意义是有99%的把握认为变量 X 与变量 Y 有关系；
② f(x)=ex?ax 在 x=1 处取极值，则 a=e ；
③ a>b 是 lna>lnb 成立的充要条件.
13.新冠疫情爆发以来，在党和政府的领导下，社区工作人员做了大量的工作，为总结工作中的经验和不足，设计了一份调查问卷，满分100分，随机发给100名男性居民和100名女性居民，分数统计如下：
100位男性居民评分频数分布表
分组
频数
[50,60)
3
[60,70)
12
[70,80)
72
[80,90)
8
[90,100]
5
合计
100
100位女性居民评分频数分布表
分组
频数
[50,60)
5
[60,70)
15
[70,80)
64
[80,90)
7
[90,100]
9
合计
100
（Ⅰ）求这100位男性居民评分的均值 x 和方差 S2 ；
（Ⅱ）已知男性居民评分 X 服从正态分布 N(μ,σ2) ， μ 用 x 表示， σ2 用 S2 表示，求 P(67.8（Ⅲ）若规定评分小于70分为不满意，评分大于等于70分为满意，能否有99%的把握认为居民是否满意与性别有关?
附： 52≈7.2 ， P(μ?σ参考公式 K2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ， n=a+b+c+d .
p(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.204
6.635
7.879
10.828
14.探索浩瀚宇宙是全人类的共同梦想，我国广大科技工作者、航天工作者为推动世界航天事业发展付出了艰辛的努力，为人类和平利用太空、推动构建人类命运共同体贡献了中国智慧、中国方案、中国力量.
（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程 y=bx+a 的系数公式
b=i=1nxiyi?nx?yi=1nxi2?nx2=i=1n(xi?x)(yi?y)i=1n(xi?x)2 ; a=y?bx .）
（参考数据： i=15xiyi=5×2+20×14+35×24+40×35+50×40=4530 ， i=15xi2=52+202+352+402+502=5750 .）
（1）某公司试生产一种航空零件，在生产过程中，当每小时次品数超过 90 件时，产品的次品率会大幅度增加，为检测公司的试生产能力，同时尽可能控制不合格品总量，抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析，已知在 x （单位：百件）件产品中，得到次品数量 y （单位：件）的情况汇总如下表所示，且 y （单位：件）与 x （单位：百件）线性相关：
x （百件）
5
20
35
40
50
y （件）
2
14
24
35
40
根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过 90 件，请通过计算分析，按照公司的现有生产技术设备情况，判断可否安排一小时试生产 10000 件的任务？
（2）“战神”太空空间站工作人员需走出太空站外完成某项试验任务，每次只派一个人出去，且每个人只派出一次，工作时间不超过 10 分钟，如果有人 10 分钟内不能完成任务则撤回，再派下一个人.现在一共有 n 个人可派，工作人员 a1,a2,a3,?,an 各自在 10 分钟内能完成任务的概率分别依次为 p1,p2,p3,?,pn ，且 p1=p2=p3=?=pn=0.5 ， n∈N? ，各人能否完成任务相互独立，派出工作人员顺序随机，记派出工作人员的人数为 X ， X 的数学期望为 E(X) ，证明： E(X)<2 .
15.2020突如其来的疫情让我们经历了最漫长、最特殊的一个假期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习.复课后某校进行了摸底考试，某数学教师为了调查高二学生这次摸底考试的数学成绩与每天在线学习数学的时长之间的相关关系，对在校高二学生随机抽取45名进行调查，了解到其中有25人每天在线学习数学的时长不超过1小时，并得到如下的等高条形图：
附临界值表
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
参考公式： K2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ，其中 n=a+b+c+d .
（1）根据等高条形图填写下面 2×2 列联表，并根据列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“高二学生的这次摸底考试数学成绩与其每天在线学习数学的时长有关”；
数学成绩不超过120分
数学成绩超过120分
总计
每天在线学习数学不超过1小时
25
每天在线学习数学超过1小时
总计
45
（2）从被抽查的，且这次数学成绩超过120分的学生中，再随机抽取3人，求抽取的3人中每天在线学习数学的时长超过1小时的人数 ξ 的分布列与数学期望.
---------------------------------------------------------------参考答案------------------------------------------------------------
1.【答案】 B 2.【答案】 A 3.【答案】 A 4.【答案】 C 5.【答案】 B 6.【答案】 C 7.【答案】 D 8.【答案】 C 9.【答案】 D 10.【答案】 B
11.【答案】 ①
12.【答案】 ①②
13.【答案】 解：（Ⅰ）由频率分布表可知：
x=55×3+65×12+75×72+85×8+95×5100=7500100=75 ，
S2=(55?75)2×3+(65?75)2×12+(75?75)2×72+(85?75)2×8+(95?75)2×5100=52 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知： X~N(75,52) ，则 σ=σ2=S2=52≈7.2 ，
∴P(67.8∴P(67.8（Ⅲ）由已知条件可得： 2×2 列联表如下：
满意
不满意
合计
男性
85
15
100
女性
80
20
100
合计
165
35
200
∴k=200×(85×20?80×15)2100×100×165×35=200231=0.866 ，
∵k≈0.866<6.635 ，
∴ 没有99%的把握认为是否满意与性别有关.
14.【答案】 （1）解：由已知可得： x=5+20+35+40+505=30 ；
y=2+14+24+35+405=23 ；
又因为 i=15xi2=52+202+352+402+502=5750 ；
i=15xiyi=5×2+20×14+35×24+40×35+50×40=4530 ；
由回归直线的系数公式知：
b=i=15xiyi?5x?yi=15xi2?5x2=4530?5×30×23(52+202+352+402+502)?5×302=10801250=0.864
a=y?bx=23?0.864×30=?2.92 ?
所以 y=bx+a=0.864x?2.92
当 x=100 （百件）时， y=0.864×100?2.92=83.48<90 ,符合有关要求
所以按照公司的现有生产技术设备情况，可以安排一小时试生产 10000 件的任务.
（2）解：由题意知： X=1,2,3,?,n ，
P(X=k)=(1?12)k?1×12=12k ， k=1,2,3,?,n?1 ；
P(X=n)=(1?12)n?1=12n?1
所以 E(X)=12+222+323+...+n?22n?2+2n?12n?1
E(X)2=122+223+324+...+n?22n?1+2n?12n ?
两式相减得： E(X)2=12+122+123+...+12n?2+n+12n?1?2n?12n
=12+122+...+12n?1+12n ? =1?12n ?
故 E(X)=2?12n?1<2
15.【答案】 （1）解：根据等高条形图，得 2×2 列联表
数学成绩不超过120分
数学成绩超过120分
总计
每天在线学习数学不超过1小时
15
10
25
每天在线学习数学超过1小时
5
15
20
总计
20
25
45
根据列联表中的数据，得到 K2 的观测值
k=45(15×15?5×10)220×25×25×20=44180=5.5125>3.841 .
所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“高二学生的这次摸底考试数学成绩与其每天在线学习数学的时长有关”.
（2）解：由列联表可得，被抽查学生中这次数学成绩超过120分的有25人，其中，每天在线学习数学的时长超过1小时的有15人，每天在线学习数学的时长不超过1小时的有10人，从中随机抽取3人，则抽取的3人中每天在线学习数学的时长超过1小时的人数 ξ 的可能取值为0，1，2，3.
P(ξ=0)=C150C103C253=6115 ， P(ξ=1)=C151C102C253=2792 ，
P(ξ=2)=C152C101C253=2146 ， P(ξ=3)=C153C100C253=91460 .
所以 ξ 的分布列为
ξ
0 ?
1
2 ?
3 ?
P
6115 ?
2792 ?
2146 ?
91460 ?
所以 ξ 的数学期望 E(ξ)=0×6115+1×2792+2×2146+3×91460=828460=95 .