第7章 复数 单元测试A卷-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册（Word含解析）

2020—2021学年高一数学下学期第七章单元测试卷
满分： 100分 时间： 60分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
单项选择题：本题共12小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共计60分。
1．已知复数false满足false，且有false，求false（ ）
A．false B．false C．false D．都不对
2．已知复数false和false满足false，false，则false的取值范围为（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．当false时，false（ ）
A．1 B．-1 C．false D．false
4．已知false是虚数单位，则复数false对应的点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．false、false是复数，则下列结论中正确的是（ ）
A．若false，则false B．false
C．false D．false
6．设i为虚数单位，false，“复数false不是纯虚数“是“false”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．在实数集false中，我们定义的大小关系“false”为全体实数排了一个“序”.类似地，我们在复数集false上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“false”.定义如下：对于任意两个复数false，false，当且仅当“false”或“false且false”时，false.按上述定义的关系“false”，给出如下四个命题：
①若false，则false；
②若false，false，则false；
③若false，则对于任意false，false；
④对于复数false，若false，则false.
其中所有真命题的个数为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．若复数false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
9．已知复数false满足false，则false的最大值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
10．设i为虚数单位，复数z满足false，则复数z的共轭复数等于（ ）
A．1-i B．-1-i C．1+i D．-1+i
11．已知false为虚数单位，且false，复数false满足false，则复数false对应点的轨迹方程为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
12．复数false满足false，则false的虚部是（? ）
A．false B．false C．false D．false
第Ⅱ卷（非选择题 共40分）
二、填空题：本题共计4小题，共计16分。
13．欧拉公式false（false为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，false表示的复数在复平面中位于第______象限.
14．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于第________象限．
15．已知复数false，false，则“false”是“false为纯虚数”的______条件．（填写“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中的一个）
16．复平面上点false对应着复数false以及向量false，对于复数false，下列命题都成立；①false；②false；③false；④false；⑤若非零复数false，满足false，则false.则对于非零向量false仍然成立的命题的所有序号是___________.
三、解答题：本题共计4小题，共计24分。
17．下列命题在复数集中是否正确？为什么？
（1）若false，false，且false，则方程false有两个实数根；
（2）若false，false，且false是方程false的两个根，则false，false；
（3）若false，false，且false是方程false的两个根，则false；
（4）若false，false，且false是方程false的根，则false也是方程的根.
18．如图，向量false对应的复数为false，把false绕点O按逆时针方向旋转120°，得到false.求向量false对应的复数（用代数形式表示）.
19．在①false为实数，②false为虚数，③false为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.
已知复数：false
（1）若________，求实数false的值；
（2）当false在复平面内对应的点位于第三象限时，求false的取值范围.
20．已知复数false满足false，且false的虚部为false，false在复平面内所对应的点在第四象限.
（1）求false；
（2）若false，false在复平面上对应的点分别为false，false，false为坐标原点，求false.
参考答案
1．A
【分析】
根据题意可设false（false为虚数单位）；然后再利用棣莫佛公式，可得false，再根据复数的概念，可得false，利用三角函数同角关系，即可求出false的值，进而求出结果.
【详解】
因为false，设false（false为虚数单位）；
由棣莫佛公式，可得false，
所以false
所以false，即false
因为false，
所以false；
化简可得false，即false
所以false，所以false；
所以false.
故选：A.
2．A
【分析】
设false，由false可得false，设false，则点false和点false距离为3，作图图象即可得解.
【详解】
设false，
则false表示点false到点false的距离是到点false距离的false倍.
则false，
化简得：false，
即复数false在复平面对应得点为以false为圆心，5为半径的圆上的点.
设false，因为false，所以点false和点false距离为3，
所以复数false在复平面对应得点为以false为圆心，2为半径的圆即以false为圆心，8为半径的圆上构成的扇环内（含边界），如图所示：
false表示点false和原点false的距离，由图可知false的最小为0，最大为false.
故选：A.
3．D
【分析】
根据false的结构特点，先由false，得到false，再代入false求解.
【详解】
因为false
所以false
所以false ，
所false，
故选：D
4．D
【分析】
先化简false，再利用复数的除法化简得解.
【详解】
false.
所以复数对应的点false在第四象限，
故选：D
5．D
【分析】
举反例false，false可判断选项A、B，举反例false，false可判断选项C，设false，false，分别计算false、false即可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】
对于选项A：取false，false，false，false，
满足false，但false与false是两个复数，不能比较大小，故选项A不正确；
对于选项B：取false，false，false，
而false无意义，故选项B不正确；
对于选项C：取false，false，则false，但是false，false，故选项C不正确；
对于选项D：设false，false，则false
false，
false，false，所以false，所以false，故选项D正确.
故选：D.
6．A
【详解】
false，
z不是纯虚数，则false，所以false，即false，
所以false是false的充分而不必要条件.
故选：A.
7．B
【详解】
对于复数false，false，显然满足false，但false，false，不满足false，故①为假命题；
设false，false，false，
由false，得“false”或“false且false”，
由false，得“false”或“false且false”，
所以， “false”或“false且false”，即false，故②为真命题；
设false，false，false，
由false可得“false”或“false且false”，
显然有“false”或“false且false”，从而false，
故③为真命题；
对于复数false，false，显然满足false，
令false，则false，false，
显然不满足false，故④为假命题.
故选：B.
8．C
【详解】
由题得false，
所以false.
故选：C
9．C
【详解】
由false可设：false，false，
falsefalse（其中false），
false当false时，false.
故选：false.
10．B
【详解】
∵复数false满足false，∴false，
∴复数false的共轭复数等于false，故选B.
11．C
【详解】
false，由题意知false，则复数false对应点的轨迹方程为falsefalse.
故选：C．
12．A
【详解】
∵false，∴false，
∴false，即false的虚部是false，故选A.
13．三
【详解】
由欧拉公式可得false，则false表示的复数在复平面中对应的点为false.
false点false在第三象限，
即false表示的复数在复平面中位于第三象限.
故答案为：三.
14．四
【详解】
因为z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，
所以false，
故对应点为false，位于第四象限，
故答案为：四
15．充要
【详解】
当false时，false为纯虚数，充分性成立，
若false纯虚数，则false，解得false，必要性成立，
∴“false”是“false为纯虚数”的充要条件．
故答案为：充要．
16．①②③
【分析】
①根据平面向量加法交换律判定；
②结合平面向量加法运算法则判定；
③由false判定；
④结合平面向量数量积判定；
⑤结合平面向量数量积判定.
【详解】
解：①false成立，故①正确；
②由平面向量加法运算法则可得false，故②正确；
③false成立，故③正确；
④false，故④不成立，
⑤若非零向量false，满足false，
则false，则false，
所以false不一定成立，故⑤不成立.
故答案为：①②③
17．（1）、（2）、（4）正确，（3）不正确，答案见解析
【分析】
（1）根据方程根与判别式之间的关系即可求解.
（2）利用求根公式即可判断.
（3）若方程有两个虚数根即可判断.
（4）将false代入方程即可判断.
【详解】
（1）方程false，false
若false，，即方程有两个实数根，正确；
（2）false是方程false的两个根，
不妨设false，false，
所以false，
false，正确；
（3）false是方程false的两个根，
若false，不妨取false，此时false，false，
此时false，false，所以false，错误；
（4）false是方程false的根，不妨设false，
即false，即false，
即false，
所以false，false
false，则false
false，即false满足方程，
所以false也是方程的根，正确.
18．false
【分析】
根据复数乘法的几何意义，向量false对应的复数是复数false与false的积，其中复数false的模是1，辐角的主值是120°
【详解】
解：向量false对应的复数为
false
false
false.
19．（1）选择①：false或false；选择②：false或false；选择③：false；（2）false.
【分析】
（1）选好条件后，根据复数的性质列式子即可求解；
（2）令false实部和虚部都小于0即可.
【详解】
选择①，当false为实数时，有false，
解得false或false，
选择②，当false为虚数时，有false，
解得false或false，
选择③，当false为纯虚数时，有false，
解得false，∴false；
（2）因为false在复平面内对应的点位于第三象限，
所以false，
解得false，
所以false的取值范围为false.
20．（1）false；（2）false.
【分析】
（1）设false代数形式，根据false解得false；
（2）先根据复数得向量falsefalse坐标，再根据向量夹角公式得结果.
【详解】
（1）设：false，
因为：false，所以false，得false或false，
又false在复平面内所对应的点在第四象限，所以false；
（2）false，
所以false，false，false，false，false，
所以false，
所以false.