2020-2021 高中数学人教版必修四第二章平面向量数量积复习(共46张PPT)

(共46张PPT)
2.5
平面向量数量积复习
一、平面几何中的向量方法
1.请用连线的方式说明以下平面图形的性质和平面向量运算的关系.
2.用向量方法解决平面问题的“三步法”
向量
向量问题
运算
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若△ABC是直角三角形，则有
(
)
(2)若
则直线AB与CD平行.(
)
(3)向量
的夹角与直线AB,CD的夹角不相等.(
)
提示：(1)错误.因为△ABC是直角三角形，并不一定∠B是直
角，有可能∠A或∠C是直角，故
不一定成立.
(2)错误.
所以直线AB与CD平行或重合，故直线AB与
CD平行的结论不一定正确.
(3)正确.直线AB,CD的夹角范围是
当AB与CD的夹角是锐角或直角时，即为直线AB与CD的夹角，
否则不是直线AB与CD的夹角.
答案：(1)×
(2)×
(3)√
二、物理学中的量与向量的关系
1.物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是_____.
2.物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量
的_____.
思考：用向量法解答物理问题过程中，在给出答案时除了要考
虑向量本身的意义，还要考虑什么？
提示：在给出答案时还要考虑所给出的结果要满足实际意义.
向量
加减
【知识点拨】
1.平面几何中解析法与向量法的区别
(1)解析法是以数(或代数式)和数(或代数式)的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；而向量法是以向量和向量的运算为工具，对几何运算及其关系进行讨论.
(2)解析法是研究几何的代数方法，实质是利用坐标系将点表示成有序数对，建立点与有序数对之间的一一对应关系，从而将平面直线(曲线)表示为一个过程，即把几何问题归结为代数问题，然后运用代数运算或变换，对数、代数式及方程进行计算并讨论，最后再把计算、讨论的结果翻译成相应的几何结论.其过程可描述为：形到数→数的运算→数到形.
(3)向量法就思路而言同解析法一致，不同的只是用“向量和向量的运算”来代替“数(或代数式)和数(或代数式)的运算”.这就是说把点、线等几何元素直接归结为向量，对这些向量进行计算并讨论它们之间的关系，然后把这些计算、讨论的结果翻译成关于点、线等相应的结论.
其过程可描述为：形到向量→向量的运算→向量到形.
2.向量在物理中应用时要注意的问题
(1)把物理问题转化为数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型.
(2)利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象.
(3)在解决具体问题时，要明确和掌握用向量方法研究物理问题的相关知识：
①动量m
v是数乘向量;
②功是力F与在力F的作用下物体所产生的位移s的数量积.
类型
一
平面向量在平面几何中的应用
【典型例题】
1.(2013·武汉高一检测)已知|a|=
|b|=2,
向量a,b的夹
角为30°,
则以向量a,b为邻边的平行四边形的一条对角线的
长度为(
)
A.10
B.
C.2
D.22
2.求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值.
【解题探究】
1.以向量a,b为邻边的平行四边形的对角线的长度如何用a,b表示？如何求这些向量的模？
2.向量的运算有两种计算方法：一是根据向量线性运算和数量积的定义进行计算；二是依据向量的坐标来计算.
解答第2题可以考虑用哪种运算方法？
探究提示：
1.以向量a,b为邻边的平行四边形的对角线的长度分别是
|a－b|和|a+b|.根据|a－b|2=(a－b)2，|a+b|2=(a+b)2，求这
些向量的模.
2.解答第2题可以建系后通过向量的坐标计算向量的夹角.
【解析】1.选C.
以向量a,b为邻边的平行四边形的两条对角
线的长度可以分别表示为|a－b|和|a+b|.
因为|a|=
|b|=2,
且a,b的夹角为30°,
所以a·b=|a||b|cos
30°=
所以|a－b|2=(a－b)2=|a|2－2a·b+|b|2=
故|a－b|=2；
故|a+b|=
综上分析可知选C.
2.如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立
直角坐标系，
设A(2a,0),B(0,2a)，则D(a,0),C(0,a)，
从而可求：
=(a,－2a),不妨设
的夹角为θ,
则
故所求钝角的余弦值为
【拓展提升】用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算法的四个步骤：
①选取基底;②用基底表示相关向量;③利用向量的线性运算或数量积找相应关系;④把几何问题向量化.
(2)向量的坐标运算法的四个步骤：
①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化;③用向量的坐标运算找相应关系;④把几何问题向量化.
【变式训练】已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),试用向量方法求直线AC和OB(O为坐标原点)的交点P的坐标.
【解题指南】先设点P的坐标，然后用向量共线表示P在直线AC上，也在直线OB上，最后列出方程组求坐标.
【解析】设P(x,y)，则
因为P是AC与OB的交点，所以P在直线AC上，也在直线OB上，
即得
由点A(4,0),B(4,4),C(2,6)得，
得方程组
解得
故直线AC与OB的交点P的坐标为(3,3).
类型
二
向量在物理中的应用
【典型例题】
1.一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：N)的作用而
处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为
2和4，则F3的大小为__________．
2.一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，
测得风往东偏南30°方向吹，风速为4米/秒，这时气象台报告
实际风速为2米/秒.试求风的实际方向和汽车的速度大小.
【解题探究】
1.一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3的作用处于平衡状态，这三个力应满足什么关系？
2.题目中涉及以下三个速度：“车对地”，“风对地”，“风对车”，它们之间有什么关系？
探究提示：
1.这三个力应满足F1＋F2＋F3＝0.
2.v风地=v风车+v车地.
【解析】1.由已知得：F1＋F2＋F3＝0，
所以F3＝－(F1＋F2),
所以
＝22＋42＋2×2×4cos
60°
=4+16+8=28，
所以|F3|＝
答案：
2.依据物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度为v车地、
风对车的速度为v风车、风对地的速度为v风地、风对地的速度可
以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v风地=v风车+v车地.
如图，根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向量v风地的
有向线段
是平行四边形ABDC的对角线.
因为|
|=4,∠ACD=30°,|
|=2,
所以∠ADC=90°,
在Rt△ADC中,|
|=|
|cos
30°=
即风的实际方向是由正北向正南方向，汽车速度的大小为
米/秒.
【互动探究】题1中，试求力F1与F3的夹角的余弦值．
【解析】设F1与F3的夹角为θ，则
即F3与F1的夹角的余弦值为
【拓展提升】向量解决物理问题的步骤
类型
三
向量在解析几何中的应用
【典型例题】
1.平面上有三个点A(－2，y)，B(
)，C(x，y)(x≠0)，
若
则动点C的轨迹方程为________________.
2.已知圆C：(x-3)2+(y-3)2=4及点A(1,1)，M是圆上的任意
一点，点N在线段MA的延长线上，且
求点N的轨迹
方程．
【解题探究】
1.由
可得到什么等量关系？
2.如何分析点M与N坐标之间的关系？点M的坐标满足什么关系？
探究提示：
1.由
得
2.(1)根据相等向量对应坐标相等，可以得到点M与N坐标之间
的关系.(2)点M在圆C上，其坐标代入圆C的方程后成立.
【解析】
1.由题意
因为
所以
即
化简得y2＝8x
(x≠0)．
答案：y2＝8x
(x≠0)
2.设M(x0,y0),N(x,y).
由
得(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)，
所以
即
因为点M(x0，y0)在圆C上，所以(x0－3)2＋(y0－3)2＝4，
即(3－2x－3)2＋(3－2y－3)2＝4.
所以x2＋y2＝1.
所以所求点N的轨迹方程是x2＋y2＝1.
【拓展提升】向量法解决解析几何问题的关键点及常用知识
(1)关键点
向量法解决平面解析几何问题的关键是把点的坐标转换成向量的坐标，然后进行向量的运算.
(2)常用知识
相等向量、共线向量、垂直向量的坐标形式经常用到，必须熟练掌握.
【变式训练】(2013·湛江高一检测)平面直角坐标系中，
O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(-1,3)，若点C满足
其中α,β∈R且α+β=1,求点C的轨迹及
其轨迹方程.
【解析】因为A(3,1),B(-1,3)，所以
因为α+β=1，所以α=1-β.
又因为
所以
所以
所以
所以A,B,C三点共线.
所以点C的轨迹为直线AB.
因为
所以直线AB的方程为
化简得x+2y-5=0，所以点C的轨迹方程为x+2y-5=0.
【易错误区】利用向量判断平面图形形状时的误区
【典例】在△ABC中，
则△ABC的形状
一定是(
)
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选C.
由
得
所以
所以
即
所以
所以
所以∠A=90°.
所以△ABC是直角三角形.
【误区警示】
【防范措施】
1.正确进行向量关系式的变形
已知平面向量的关系式判断平面图形的形状时，要特别注意
应用向量运算的几何意义和运算律对向量关系式进行变形.
如本例中，
的应用.
2.理解向量关系与几何关系的区别和联系
为了正确地将向量运算结果“翻译”成几何关系，就要理解
清楚向量平行和垂直等概念与几何关系中相关概念的区别和
联系.如本例中，由
可得∠A=90°.
【类题试解】
若四边形A1A2A3A4满足：
则该四边形一定是(
)
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．直角梯形
【解析】选B.由
得
所以A1A2∥A3A4，|A1A2|=|A3A4|.
所以四边形A1A2A3A4是平行四边形.
又因为
所以A4A2⊥A1A3,所以四边形A1A2A3A4是菱形.
1.一物体受到相互垂直的两个力F1,F2的作用，两力大小都为
则两个力的合力的大小为(
)
A.5
N
B.5
N
C.5
N
D.5
N
【解析】选D.根据向量加法的平行四边形法则，合力F的大小
为
2.在四边形ABCD中，
且
则四边形ABCD
是(
)
A.梯形
B.菱形
C.矩形
D.正方形
【解析】选C.
由
得AB⊥BC，又
所以AB与DC平行且相等，从而四边形ABCD是矩形.
3.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，
C(－2，－1)．以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角
线的长分别是__________、___________.
【解析】
求两条对角线的长即求
与
的大小．
由
得
由
得
答案：
4.已知点A(1,1)，M(x,y)，且A与M不重合,若向量
与向量
a=(1,2)垂直,则点M的轨迹方程为____________.
【解析】由题意得
=(x－1,y－1)
因为
⊥a，所以
·a=0,
所以(x－1,y－1)·(1,2)=x－1+2(y－1)=0,
即x+2y－3=0(x≠1).
答案：x+2y－3=0(x≠1)
5.如图，已知两个力的大小和方向，
则合力的大小为________N；若在图
示坐标系中，用坐标表示合力，则
合力的坐标为__________.
【解析】
F1=(2,3),F2=(3,1)，
所以合力F=
F1+
F2=(2,3)+(3,1)=(5,4),
所以合力的大小为
答案：
(5,4)
6.已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，试用向量法求以AB为直径的圆的
方程.
【解析】设M(x,y)是圆上任意一点，因为AB是圆的直径，
当M不与A,B重合时，有AM⊥BM，所以
又
所以(x－x1)(x－x2)+(y－y1)(y－y2)=0,
经检验A(x1,y1),B(x2,y2)也适合.
所以所求圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.