人教版八年级数学下册第17章勾股定理全章导学案（word版无答案）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学下册第17章勾股定理全章导学案（word版无答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-06-01 12:38:42 | ||
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文档简介
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
学习目标：1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想；
2.会用勾股定理进行简单的计算.
重点：用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.
难点：会用勾股定理进行简单的计算.
一、知识回顾
1.网格中每个小正方形的面积为单位1,你能数出图中的正方形A、B 的面积吗？你又能想到什么方法算出正方形C的面积呢？
要点探究
探究点1：勾股定理的认识及验证
想一想 1.2500年前，毕达哥拉斯去老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面，联想到了正方形A，B和C面积之间的关系，你能想到是什么关系吗？
2.右图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？
3.在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？(每个小正方形的面积为单位1)
4.正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
思考 你发现了直角三角形三条边之间的什么规律？你能结合字母表示出来吗？
猜测：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么________.
活动2 接下来让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明活动1的猜想.
证法 利用我国汉代数学家赵爽的“赵爽弦图”
要点归纳：
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
公式变形：
探究点2：利用勾股定理进行计算
典例精析
例1如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
若a=b=5,求c;
若a=1,c=2,求b.
变式题1 在Rt△ABC中， ∠C=90°.
若a：b=1：2 ，c=5,求a;
若b=15，∠A=30°,求a,c.
方法总结:已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.
变式题2 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
方法总结:当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.
例2已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.
方法总结:由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．
针对训练
求下列图中未知数x、y的值：
二、课堂小结
内 容
勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
注 意 1.在直角三角形中
2.看清哪个角是直角
3.已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
1.下列说法中,正确的是 （ ）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
右图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_____________.
3.在△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=15，b=8，则c=_______.
（2）若c=13，b=12，则a=_______.
4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________.
5.求斜边长17cm、一条直角边长15cm的直角三角形的面积.
6.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长．
能力提升：
7.如图，以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，求△ABE及阴影部分的面积.
第2课时 勾股定理在实际生活中的应用
学习目标：1.会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题；
2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长.
重点：运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题.
难点：能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长.
一、知识回顾
1. 你能补全以下勾股定理的内容吗？
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么____________.
勾股定理公式的变形：a=_________,b=_________,c=_________.
在Rt△ABC中，∠C=90°.
(1)若a=3,b=4,则c=_________;(2)若a=5,c=13,则b=_________.
要点探究
探究点1：勾股定理的简单实际应用
典例精析
例1在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
方法总结:利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
读懂题意，分析已知、未知间的关系；
（2）构造直角三角形；
（3）利用勾股定理等列方程；
（4）解决实际问题.
针对训练
湖的两端有A、B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则 AB为 ( )
A.50米 B.120米 C.100米 D.130米
2.如图，学校教学楼前有一块长方形长为4米，宽为3米的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草.
（1）求这条“径路”的长；
（2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？
探究点2：利用勾股定理求两点距离及验证“HL”
思考:在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
证明:如图,在Rt△ABC 和Rt△A’ B’ C’中,∠C=∠C’=90°, AB=A’ B’,AC=A’ C’．
求证：△ABC≌△A’ B’ C’ ．
证明：在Rt△ABC 和Rt△A’ B’ C’中，∠C=∠C’=90°，
根据勾股定理得BC=_______________,B’ C’=_________________.
∵AB=A’ B’，AC=A’ C’，∴_______=________.
∴____________≌____________ (________)．
典例精析
例2 如图，在平面直角坐标系中有两点A(-3,5),B(1,2)求A,B两点间的距离.
方法总结:两点之间的距离公式：一般地，设平面上任意两点
探究点3：利用勾股定理求最短距离
想一想:1.在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，蚂蚁怎么走最近(在以下四条路线中选择一条)？
2.若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，π取3，请求出最短路线的长度.
要点归纳:立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.
典例精析
例3 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，π取3）?
变式题 小明拿出牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么？
例4 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
方法总结:求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运用勾股定理求最短路径.
针对训练
1.如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食物，求蚂蚁爬行的最短距离是多少
二、课堂小结
1.从电杆上离地面5m的C处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面钢缆A到电线杆底部B的距离是（ ）
A.24m B.12m C.m D. m
2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（ ）
A.9cm B.12cm C.15cm D.18cm
3.已知点(2,5),(-4,-3),则这两点的距离为_______.
4.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少？
如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
能力提升
6.为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？
第3课时 利用勾股定理作图或计算
学习目标：1.会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题；
2.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题.
重点：会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题.
难点：灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题.
一、知识回顾
1.我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数.你能在数轴上分别画出表示3,-2.5的点吗？
2.求下列三角形的各边长.
要点探究
探究点1：勾股定理与数轴
想一想 1.你能在数轴上表示出的点吗？呢？(提示：可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.)
2.长为的线段能是这样的直角三角形的斜边吗,即是直角边的长都为正整数？
3.以下是在数轴上表示出的点的作图过程，请你把它补充完整.
(1)在数轴上找到点A,使OA=______;
(2)作直线l____OA,在l上取一点B，使AB=_____;
(3)以原点O为圆心，以______为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示______的点.
要点归纳：利用勾股定理表示无理数的方法:
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.
类似地，利用勾股定理可以作出长为线段,形成如图所示的数学海螺.
典例精析
例1如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值.
易错点拨:求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，因而所表示的数不是斜边长.
针对训练
1.如图，点A表示的实数是 （ ）
2.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ ）
3.你能在数轴上画出表示的点吗？
探究点2：勾股定理与网格综合求线段长
典例精析
例2 在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．
方法总结:勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.
例3 如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，求AB边上的高.
方法总结:此类网格中求格点三角形的高的题，常用方法是利用网格求面积，再用面积法求高.
针对训练
1.如图是由4个边长为1的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多可以作出多少条长度为的线段？
如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，画出一个三角形的长分别为.
探究点3：勾股定理与图形的计算
典例精析
例4 如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.
方法总结:折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)；(2)用已知线数或含x的代数式表示出其他线段长；(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；(4)解这个方程，从而求出所求线段长.
变式题 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，求AM的长.
针对训练
1.如图，四边形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求四边形ABCD的面积．
二、课堂小结
1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.25
2.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2个单位长度的位置找一个点D，然后点D做一条垂直于数轴的线段CD，CD为3个单位长度，以原点为圆心，以到点C的距离为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（ ）
A.2和3之间 B.3和4之间
C.4和5之间 D.5和6之间
3.如图，网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则AB边上的高为_______.
4.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8cm，∠A=60°，∠ADC=150°，已知四边形ABCD的周长为32cm，求△BCD的面积．
5. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，求重叠部分△AFC的面积.
能力提升
6.问题背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为,求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
求△ABC的面积；
若△ABC三边的长分别为(a＞0)，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
图①? 图②
第1课时 勾股定理的逆定理
学习目标：1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数；
2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.
重点：掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数.
难点：能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.
一、知识回顾
1.勾股定理的内容是什么？
求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：
① a＝3，b＝4；
② a＝2.5，b＝6；
③ a＝4，b＝7.5.
要点探究
探究点1：勾股定理的逆定理
量一量 有以下三组数，分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
算一算 这三组数在数量关系上有什么相同点？
思考 据此你有什么猜想呢?
猜测：如果三角形的三边长a,b,c满足___________,那么这个三角形是_________三角形.
活动2 为了验证活动1的猜测，下面我们根据全等进行证明.
证一证 已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，
则A′B′2=_______+________ 。
∵a2+b2=c2，∴A′B′=_______.
在△ABC和△A′B′C′中，
A′C′=AC，
B′C′=BC， ∴△ABC____△A′B′C′(________) .
______=_______,
∴∠C____∠C′_____90° ， 即△ABC是__________三角形.
要点归纳：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
典例精析
例1(教材P32例1变式题)若△ABC的三边a,b,c满足 a:b: c=3:4:5，是判断△ABC的形状.
方法总结:已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.
例2(1)若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=，试说明△ABC是直角三角形.
若△ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状.
例3如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由.
针对训练
1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6
C．5，12，13 D．4，6，7
2.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则该三角形最长边上的高是 ( ）
A．4 B．3 C．2.5 D．2.4
3.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是_______________________.
探究点2：勾股数
要点归纳：勾股数：
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
常见的勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.
勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
典例精析
例4 下列各组数是勾股数的是 ( )
A.6，8，10 B.7，8，9
C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132
方法总结:根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.
探究点3：互逆命题与互逆定理
想一想 1.前面我们学习了两个命题，分别为：命题1，如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2；命题2，如果三角形的三边长a ，b ，c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.两个命题的条件和结论分别是什么？
2.两个命题的条件和结论有何联系？
要点归纳：
原命题、逆命题与互逆命题：题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.
针对训练
1说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？
(1)两条直线平行，内错角相等；
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
(3)全等三角形的对应角相等；
(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
二、课堂小结
内 容
勾股定理 的逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理 的逆定理的作用 从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形.
注 意 最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角.
勾股数一定是正整数.
1.下列各组数是勾股数的是 ( )
A.3，4，7 B.5，12，13
C.1.5，2，2.5 D.1，3，5
将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( )
A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
3.在△ABC中，∠A, ∠B, ∠C的对边分别a,b,c.
①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC是直角三角形；
②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°；
③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;
④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形.
以上命题中的假命题个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状是________________．
5.(1)一个三角形的三边长分别为15cm,20cm,25cm，则该三角形最长边上的高是______cm;
(2)“等腰三角形两底角相等”的逆定理为_______________________________________．
6.已知△ABC,AB=n2-1,BC=2n,AC=n2+1(n为大于1的正整数).问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.
7.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，AD=CD=,求四边形ABCD 的面积.
第2课时 勾股定理的逆定理的应用
学习目标：1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题；
2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.
重点：灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.
难点：将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.
一、知识回顾
1.你能说出勾股定理及其逆定理的内容吗？
快速填一填：(1)已知△ ABC中，BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形为_______三角形，_________是最大角;
(2)等腰△ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,则BC边上的高是__________cm.
要点探究
探究点1：勾股定理的逆定理的应用
典例精析
例1如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
分析：题目已知“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离，实质是要求出两艘船航向所成角，由此容易联想到勾股定理的逆定理.
方法总结:解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解.
变式题 如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？
分析：根据勾股定理的逆定可得△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD.
例2一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示,这个零件符合要求吗？
针对训练
1.A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C在B地的什么方向？
2.如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？
探究点2：勾股定理及其逆定理的综合应用
典例精析
例3 如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.
分析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形.
方法总结:四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用.
变式题1 如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.
变式题2如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30 cm2，DC＝12 cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面积.
针对训练
1.如图，△ABC中，AB=AC，D是AC边上的一点，CD=1，BC＝ 5 ，BD=2．
（1）求证：△BCD是直角三角形；
（2）求△ABC的面积．
二、课堂小结
1.医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东______的方向.
2.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是 （ ）
A B C D
如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.
如图，在△ABC中，AB=17，BC=16，BC边上的中线AD=15，试说明：AB=AC.
在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？
6.如图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，求PQ的长．
17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
学习目标：1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想；
2.会用勾股定理进行简单的计算.
重点：用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.
难点：会用勾股定理进行简单的计算.
一、知识回顾
1.网格中每个小正方形的面积为单位1,你能数出图中的正方形A、B 的面积吗？你又能想到什么方法算出正方形C的面积呢？
要点探究
探究点1：勾股定理的认识及验证
想一想 1.2500年前，毕达哥拉斯去老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面，联想到了正方形A，B和C面积之间的关系，你能想到是什么关系吗？
2.右图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？
3.在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？(每个小正方形的面积为单位1)
4.正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
思考 你发现了直角三角形三条边之间的什么规律？你能结合字母表示出来吗？
猜测：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么________.
活动2 接下来让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明活动1的猜想.
证法 利用我国汉代数学家赵爽的“赵爽弦图”
要点归纳：
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
公式变形：
探究点2：利用勾股定理进行计算
典例精析
例1如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
若a=b=5,求c;
若a=1,c=2,求b.
变式题1 在Rt△ABC中， ∠C=90°.
若a：b=1：2 ，c=5,求a;
若b=15，∠A=30°,求a,c.
方法总结:已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.
变式题2 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
方法总结:当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.
例2已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.
方法总结:由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．
针对训练
求下列图中未知数x、y的值：
二、课堂小结
内 容
勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
注 意 1.在直角三角形中
2.看清哪个角是直角
3.已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
1.下列说法中,正确的是 （ ）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
右图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_____________.
3.在△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=15，b=8，则c=_______.
（2）若c=13，b=12，则a=_______.
4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________.
5.求斜边长17cm、一条直角边长15cm的直角三角形的面积.
6.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长．
能力提升：
7.如图，以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，求△ABE及阴影部分的面积.
第2课时 勾股定理在实际生活中的应用
学习目标：1.会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题；
2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长.
重点：运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题.
难点：能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长.
一、知识回顾
1. 你能补全以下勾股定理的内容吗？
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么____________.
勾股定理公式的变形：a=_________,b=_________,c=_________.
在Rt△ABC中，∠C=90°.
(1)若a=3,b=4,则c=_________;(2)若a=5,c=13,则b=_________.
要点探究
探究点1：勾股定理的简单实际应用
典例精析
例1在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
方法总结:利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
读懂题意，分析已知、未知间的关系；
（2）构造直角三角形；
（3）利用勾股定理等列方程；
（4）解决实际问题.
针对训练
湖的两端有A、B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则 AB为 ( )
A.50米 B.120米 C.100米 D.130米
2.如图，学校教学楼前有一块长方形长为4米，宽为3米的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草.
（1）求这条“径路”的长；
（2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？
探究点2：利用勾股定理求两点距离及验证“HL”
思考:在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
证明:如图,在Rt△ABC 和Rt△A’ B’ C’中,∠C=∠C’=90°, AB=A’ B’,AC=A’ C’．
求证：△ABC≌△A’ B’ C’ ．
证明：在Rt△ABC 和Rt△A’ B’ C’中，∠C=∠C’=90°，
根据勾股定理得BC=_______________,B’ C’=_________________.
∵AB=A’ B’，AC=A’ C’，∴_______=________.
∴____________≌____________ (________)．
典例精析
例2 如图，在平面直角坐标系中有两点A(-3,5),B(1,2)求A,B两点间的距离.
方法总结:两点之间的距离公式：一般地，设平面上任意两点
探究点3：利用勾股定理求最短距离
想一想:1.在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，蚂蚁怎么走最近(在以下四条路线中选择一条)？
2.若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，π取3，请求出最短路线的长度.
要点归纳:立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.
典例精析
例3 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，π取3）?
变式题 小明拿出牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么？
例4 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
方法总结:求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运用勾股定理求最短路径.
针对训练
1.如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食物，求蚂蚁爬行的最短距离是多少
二、课堂小结
1.从电杆上离地面5m的C处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面钢缆A到电线杆底部B的距离是（ ）
A.24m B.12m C.m D. m
2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（ ）
A.9cm B.12cm C.15cm D.18cm
3.已知点(2,5),(-4,-3),则这两点的距离为_______.
4.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少？
如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
能力提升
6.为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？
第3课时 利用勾股定理作图或计算
学习目标：1.会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题；
2.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题.
重点：会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题.
难点：灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题.
一、知识回顾
1.我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数.你能在数轴上分别画出表示3,-2.5的点吗？
2.求下列三角形的各边长.
要点探究
探究点1：勾股定理与数轴
想一想 1.你能在数轴上表示出的点吗？呢？(提示：可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.)
2.长为的线段能是这样的直角三角形的斜边吗,即是直角边的长都为正整数？
3.以下是在数轴上表示出的点的作图过程，请你把它补充完整.
(1)在数轴上找到点A,使OA=______;
(2)作直线l____OA,在l上取一点B，使AB=_____;
(3)以原点O为圆心，以______为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示______的点.
要点归纳：利用勾股定理表示无理数的方法:
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.
类似地，利用勾股定理可以作出长为线段,形成如图所示的数学海螺.
典例精析
例1如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值.
易错点拨:求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，因而所表示的数不是斜边长.
针对训练
1.如图，点A表示的实数是 （ ）
2.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ ）
3.你能在数轴上画出表示的点吗？
探究点2：勾股定理与网格综合求线段长
典例精析
例2 在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．
方法总结:勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.
例3 如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，求AB边上的高.
方法总结:此类网格中求格点三角形的高的题，常用方法是利用网格求面积，再用面积法求高.
针对训练
1.如图是由4个边长为1的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多可以作出多少条长度为的线段？
如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，画出一个三角形的长分别为.
探究点3：勾股定理与图形的计算
典例精析
例4 如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.
方法总结:折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)；(2)用已知线数或含x的代数式表示出其他线段长；(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；(4)解这个方程，从而求出所求线段长.
变式题 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，求AM的长.
针对训练
1.如图，四边形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求四边形ABCD的面积．
二、课堂小结
1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.25
2.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2个单位长度的位置找一个点D，然后点D做一条垂直于数轴的线段CD，CD为3个单位长度，以原点为圆心，以到点C的距离为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（ ）
A.2和3之间 B.3和4之间
C.4和5之间 D.5和6之间
3.如图，网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则AB边上的高为_______.
4.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8cm，∠A=60°，∠ADC=150°，已知四边形ABCD的周长为32cm，求△BCD的面积．
5. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，求重叠部分△AFC的面积.
能力提升
6.问题背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为,求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
求△ABC的面积；
若△ABC三边的长分别为(a＞0)，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
图①? 图②
第1课时 勾股定理的逆定理
学习目标：1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数；
2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.
重点：掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数.
难点：能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.
一、知识回顾
1.勾股定理的内容是什么？
求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：
① a＝3，b＝4；
② a＝2.5，b＝6；
③ a＝4，b＝7.5.
要点探究
探究点1：勾股定理的逆定理
量一量 有以下三组数，分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
算一算 这三组数在数量关系上有什么相同点？
思考 据此你有什么猜想呢?
猜测：如果三角形的三边长a,b,c满足___________,那么这个三角形是_________三角形.
活动2 为了验证活动1的猜测，下面我们根据全等进行证明.
证一证 已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，
则A′B′2=_______+________ 。
∵a2+b2=c2，∴A′B′=_______.
在△ABC和△A′B′C′中，
A′C′=AC，
B′C′=BC， ∴△ABC____△A′B′C′(________) .
______=_______,
∴∠C____∠C′_____90° ， 即△ABC是__________三角形.
要点归纳：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
典例精析
例1(教材P32例1变式题)若△ABC的三边a,b,c满足 a:b: c=3:4:5，是判断△ABC的形状.
方法总结:已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.
例2(1)若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=，试说明△ABC是直角三角形.
若△ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状.
例3如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由.
针对训练
1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6
C．5，12，13 D．4，6，7
2.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则该三角形最长边上的高是 ( ）
A．4 B．3 C．2.5 D．2.4
3.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是_______________________.
探究点2：勾股数
要点归纳：勾股数：
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
常见的勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.
勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
典例精析
例4 下列各组数是勾股数的是 ( )
A.6，8，10 B.7，8，9
C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132
方法总结:根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.
探究点3：互逆命题与互逆定理
想一想 1.前面我们学习了两个命题，分别为：命题1，如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2；命题2，如果三角形的三边长a ，b ，c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.两个命题的条件和结论分别是什么？
2.两个命题的条件和结论有何联系？
要点归纳：
原命题、逆命题与互逆命题：题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.
针对训练
1说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？
(1)两条直线平行，内错角相等；
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
(3)全等三角形的对应角相等；
(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
二、课堂小结
内 容
勾股定理 的逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理 的逆定理的作用 从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形.
注 意 最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角.
勾股数一定是正整数.
1.下列各组数是勾股数的是 ( )
A.3，4，7 B.5，12，13
C.1.5，2，2.5 D.1，3，5
将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( )
A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
3.在△ABC中，∠A, ∠B, ∠C的对边分别a,b,c.
①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC是直角三角形；
②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°；
③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;
④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形.
以上命题中的假命题个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状是________________．
5.(1)一个三角形的三边长分别为15cm,20cm,25cm，则该三角形最长边上的高是______cm;
(2)“等腰三角形两底角相等”的逆定理为_______________________________________．
6.已知△ABC,AB=n2-1,BC=2n,AC=n2+1(n为大于1的正整数).问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.
7.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，AD=CD=,求四边形ABCD 的面积.
第2课时 勾股定理的逆定理的应用
学习目标：1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题；
2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.
重点：灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.
难点：将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.
一、知识回顾
1.你能说出勾股定理及其逆定理的内容吗？
快速填一填：(1)已知△ ABC中，BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形为_______三角形，_________是最大角;
(2)等腰△ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,则BC边上的高是__________cm.
要点探究
探究点1：勾股定理的逆定理的应用
典例精析
例1如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
分析：题目已知“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离，实质是要求出两艘船航向所成角，由此容易联想到勾股定理的逆定理.
方法总结:解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解.
变式题 如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？
分析：根据勾股定理的逆定可得△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD.
例2一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示,这个零件符合要求吗？
针对训练
1.A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C在B地的什么方向？
2.如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？
探究点2：勾股定理及其逆定理的综合应用
典例精析
例3 如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.
分析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形.
方法总结:四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用.
变式题1 如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.
变式题2如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30 cm2，DC＝12 cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面积.
针对训练
1.如图，△ABC中，AB=AC，D是AC边上的一点，CD=1，BC＝ 5 ，BD=2．
（1）求证：△BCD是直角三角形；
（2）求△ABC的面积．
二、课堂小结
1.医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东______的方向.
2.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是 （ ）
A B C D
如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.
如图，在△ABC中，AB=17，BC=16，BC边上的中线AD=15，试说明：AB=AC.
在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？
6.如图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，求PQ的长．