2020_2021学年新教材高中数学第十一章立体几何初步阶段提升课第三课立体几何初步学案新人教B版必修第四册
文档属性
| 名称 | 2020_2021学年新教材高中数学第十一章立体几何初步阶段提升课第三课立体几何初步学案新人教B版必修第四册 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 621.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-06-02 16:16:53 | ||
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文档简介
阶段提升课第三课 立体几何初步
思维导图·构建网络
考点整合·素养提升
题组训练一 立体几何的“折”与“展”?
1.如图1所示,边长为5+的正方形铁片,剪去阴影部分后,剩下一个扇形和一个圆,将它们分别焊成圆锥的侧面和圆锥的底面,如图2所示,试求扇形的半径l和圆的半径r.并求所得圆锥的体积V.
【解析】从题图1,知在正方形中,圆与正方形两邻边相切,也与扇形的弧相切;
扇形的半径等于圆锥的母线长,扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长.观察正方形的一条对角线,容易得到:
l+r+r=(5+)×. ①
由于扇形的弧长等于圆的周长,故可得l·=2πr. ②
联立①,②解得r=,l=4.
运用勾股定理可求得圆锥的高为:h==.
于是V=πr2h=π.
2.由y=|x|和y=3所围成的封闭图形,分别绕y轴和x轴旋转一周,求所得旋转体的表面积和体积.
【解析】在平面直角坐标系中画出平面封闭图形△OAB,如图1所示易知AO=BO=3,AC=BC=3.
(1)如图2所示,将△OAB绕y轴旋转一周,
注意到平面图形中AC与y轴垂直,由图形的对称性可知旋转后为圆锥体.S表=S圆锥侧+S底面
=π×3×3+π×32=9(+1)π.
V锥=π×32×3=9π.
(2)如图3所示,将△OAB绕x轴旋转一周,注意到AB平行于x轴,旋转后为圆柱面,AO,BO分别与x轴相交,旋转后为圆锥面.
S表=S圆柱侧+2S圆锥侧
=2·π·AO1·AB+2·π·AO1·AO=18(+2)π.
V=V圆柱-2V圆锥
=π·A·AB-·π·A·AC=36π.
解决立体几何折叠与旋转问题的关键
将平面图形按照一定的规则要求进行折叠或旋转,得到空间几何体,进而研究几何体的性质或计算,是一种常见的题型.解这类问题的关键是要分清折叠(旋转)变化前后的位置关系和数量关系的变与不变.
题组训练二 用三棱锥体积解题的几种类型?
1.在四面体ABCD中,已知AB=BC=CA=14,四面体的一个高DE=12,且2CD=BC+DE,2BC=DB+CD,求四面体中心过A点的高AF的长.
【解析】四面体ABCD中,BC=14,DE=12.
因为2CD=BC+DE=14+12=26,所以CD=13,
又2BC=DB+CD,所以BD=2BC-CD=2×14-13=15.
正△ABC的面积S△ABC=×142sin
60°=49,
因为cos∠BCD==,
所以sin∠BCD=,
所以S△BDC=×13×14×=84.
而S△BDC·AF=S△ABC·DE,
即84·AF=49×12,解得AF=7.
2.如图所示,已知四边形ABCD是边长为4的正方形,E,F分别是AB,AD的中点,GC垂直于ABCD所在平面且GC=2,求点B到平面EFG的距离.
【解析】连接EF,取EF的中点O,连接GB,GO,CO,FB,GF,GE,
设点B到平面EFG的距离为h.
连接BD,在Rt△ABD中,BD=4.
因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF=2.
由GC=2,GC⊥平面ABCD,AC=4,得OC=3,
在Rt△GOC中∠GCO=90°,由勾股定理,得GO===.
故VB-EFG=·S△EFG=EF·GO·h,
VG-EFB=S△EFB·GC=EB·AF·GC,
因为VB-EFG=VG-EFB
,
即EF·GO·h=EB·AF·GC,
所以h==
=.
所以点B到平面EFG的距离为.
3.如图所示,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E,F分别为AA1,CC1的中点,求四棱锥A1-EBFD1的体积.
【解析】因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,E、F分别为AA1,CC1的中点,
所以EB=BF=FD1=D1E===a.
所以四棱锥A1-EBFD1的底面EBFD1是菱形.
连接EF,则△EFD1≌△EFB,即=S△EFB.
因为三棱锥A1-EFB与三棱锥A1-EFD1等底同高,
所以=,即=2.
调整顶点和底面,则有=,
所以=2.
因为CC1∥平面ABB1A1,
所以三棱锥F-EBA1的高就是CC1到平面ABB1A1的距离,即棱长a.
又△EBA1的边EA1上的高为a,
所以=2··a=a3.
利用三棱锥的体积解题的关键与类型
利用三棱锥的体积解题是立体几何中的技巧,应用十分广泛,而且方法简单.解决这个问题的关键是从两个不同的角度选择三棱锥的底和顶点,利用同一个三棱锥的体积相等列方程.一般分为以下三种类型:
1.直接型
这类题目一般是给出一个三棱锥,我们可以直接认识它,应用它,往往表现为求三棱锥的高.
2.构造三棱锥
有些题目的题设中没有三棱锥,需要构造三棱锥,创造条件,再用三棱锥的体积解题,常用于求点到平面的距离.
3.综合型
这类题目既要构造三棱锥,又要进行等积代换或其他变换.一般来说,这类题目有一定难度,方法灵活,技巧性强,常用于求多面体的体积.
题组训练三 空间中的平行垂直关系?
1.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,PB⊥平面ABCD,MA∥PB,PB=2MA.在线段PB上是否存在一点F,使平面AFC∥平面PMD?若存在,请确定点F的位置;若不存在,请说明理由.
【解析】当点F是PB的中点时,平面AFC∥平面PMD,证明如下:如图,连接BD交AC于点O,连接FO,
那么PF=PB.
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以O是BD的中点.所以OF∥PD.
又OF?平面PMD,PD?平面PMD,
所以OF∥平面PMD.
又MA?PB,所以PF?MA.
所以四边形AFPM是平行四边形.
所以AF∥PM.
又AF?平面PMD,PM?平面PMD.
所以AF∥平面PMD.
又AF∩OF=F,AF?平面AFC,OF?平面AFC.
所以平面AFC∥平面PMD.
【补偿训练】
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为BC,CC1,C1D1,A1A的中点.求证:
(1)BF∥HD1.
(2)EG∥平面BB1D1D.
(3)平面BDF∥平面B1D1H.
【证明】由已知画图.
(1)取BB1的中点M,连接C1M,HM,
易证HMC1D1是平行四边形,所以HD1∥MC1,
又由已知可得四边形MBFC1是平行四边形,
所以MC1∥BF,所以BF∥HD1.
(2)取BD的中点O,连接OE,D1O,则OE?DC,
又D1G?DC,所以OE?D1G,
所以OEGD1是平行四边形,所以GE∥D1O.
又D1O?平面BB1D1D,EG?平面BB1D1D,
所以EG∥平面BB1D1D.
(3)由(1)知D1H∥BF,
又BD∥B1D1,B1D1,HD1?平面HB1D1,BF,BD?平面BDF,且B1D1∩HD1=D1,BD∩BF=B,
所以平面BDF∥平面B1D1H.
2.如图所示,在三棱锥A
-BCD中,AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.求证:EF⊥平面BCG.
【证明】由已知得,△ABC≌△DBC.因此AC=DC.
又G为AD的中点,则CG⊥AD;
同理,BG⊥AD.CG∩BG=G,
因此AD⊥平面BCG.由题意知,
EF为△DAC的中位线,
所以EF∥AD.所以EF⊥平面BCG.
本题条件不变,证明:平面BCG⊥平面ACD.
【证明】由已知得,△ABC≌△DBC,因此AC=DC.
又G为AD的中点,则CG⊥AD;
同理,BG⊥AD,CG∩BG=G,
因此AD⊥平面BCG.
因为AD?平面ACD,所以平面BCG⊥平面ACD.
1.判断线面平行的两种常用方法
面面平行判定的落脚点是线面平行,因此掌握线面平行的判定方法是必要的,判定线面平行的两种方法:
(1)利用线面平行的判定定理.
(2)利用面面平行的性质,即当两平面平行时,其中一平面内的任一直线平行于另一平面.
2.判断面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的判定定理.
(2)面面平行的传递性(α∥β,β∥γ?α∥γ).
(3)利用线面垂直的性质(l⊥α,l⊥β?α∥β).
3.判定线面垂直的方法
(1)线面垂直定义(一般不易验证任意性).
(2)线面垂直的判定定理(a⊥b,a⊥c,b?α,c?α,b∩c=M?a⊥α).
(3)平行线垂直平面的传递性质(a∥b,b⊥α?a⊥α).
(4)面面垂直的性质(α⊥β,α∩β=l,a?β,a⊥l?a⊥α).
(5)面面平行的性质(a⊥α,α∥β?a⊥β).
(6)面面垂直的性质(α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ?l⊥γ).
题组训练四 求(做)空间角?
1.在三棱锥A
-BCD中,E,F,G分别是AB,AC,BD的中点,若AD与BC所成的角是60°,那么∠FEG为 .?
【解析】如图,连接EF,EG,因为E,F,G分别是AB,AC,BD的中点,
所以EF∥BC,EG∥AD,
又AD与BC所成的角是60°,
所以∠FEG=60°或∠FEG=120°.
答案:60°或120°
2.在图(1)等边三角形ABC中,AB=2,E是线段AB上的点(除点A外),过点E作EF⊥AC于点F,将△AEF沿EF折起到△PEF(点A与点P重合,如图(2)),使得∠PFC=60°.
(1)求证:EF⊥PC.
(2)试问,当点E在线段AB上移动时,二面角P
-EB
-C的大小是否为定值?若是,求出这个二面角的平面角的正切值,若不是,请说明理由.
【解析】(1)因为EF⊥PF,EF⊥FC,
又由PF∩FC=F,所以EF⊥平面PFC.
又因为PC?平面PFC,所以EF⊥PC.
(2)由(1)知,EF⊥平面PFC,
所以平面BCFE⊥平面PFC,
作PH⊥FC,则PH⊥平面BCFE,
作HG⊥BE,连接PG,则BE⊥PG,
所以∠PGH是这个二面角的平面角,
设AF=x,则0所以FH=,PH=x,易求GH=x,
所以tan∠PGH==,
所以二面角P
-EB
-C的大小是定值.
求空间角的三种类型
(1)求异面直线所成的角,关键是选取合适的点引两条异面直线的平行线,这两条相交直线所成的锐角或直角即为两条异面直线所成的角.
(2)求直线与平面所成的角,关键是在斜线上选取恰当的点向平面引垂线,在此基础上进一步确定垂足的位置.
(3)求二面角,关键是作出二面角的平面角,而作二面角的平面角时,首先要确定二面角的棱,然后结合题设构造二面角的平面角.一般常用两种方法:定义法,垂面法.
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思维导图·构建网络
考点整合·素养提升
题组训练一 立体几何的“折”与“展”?
1.如图1所示,边长为5+的正方形铁片,剪去阴影部分后,剩下一个扇形和一个圆,将它们分别焊成圆锥的侧面和圆锥的底面,如图2所示,试求扇形的半径l和圆的半径r.并求所得圆锥的体积V.
【解析】从题图1,知在正方形中,圆与正方形两邻边相切,也与扇形的弧相切;
扇形的半径等于圆锥的母线长,扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长.观察正方形的一条对角线,容易得到:
l+r+r=(5+)×. ①
由于扇形的弧长等于圆的周长,故可得l·=2πr. ②
联立①,②解得r=,l=4.
运用勾股定理可求得圆锥的高为:h==.
于是V=πr2h=π.
2.由y=|x|和y=3所围成的封闭图形,分别绕y轴和x轴旋转一周,求所得旋转体的表面积和体积.
【解析】在平面直角坐标系中画出平面封闭图形△OAB,如图1所示易知AO=BO=3,AC=BC=3.
(1)如图2所示,将△OAB绕y轴旋转一周,
注意到平面图形中AC与y轴垂直,由图形的对称性可知旋转后为圆锥体.S表=S圆锥侧+S底面
=π×3×3+π×32=9(+1)π.
V锥=π×32×3=9π.
(2)如图3所示,将△OAB绕x轴旋转一周,注意到AB平行于x轴,旋转后为圆柱面,AO,BO分别与x轴相交,旋转后为圆锥面.
S表=S圆柱侧+2S圆锥侧
=2·π·AO1·AB+2·π·AO1·AO=18(+2)π.
V=V圆柱-2V圆锥
=π·A·AB-·π·A·AC=36π.
解决立体几何折叠与旋转问题的关键
将平面图形按照一定的规则要求进行折叠或旋转,得到空间几何体,进而研究几何体的性质或计算,是一种常见的题型.解这类问题的关键是要分清折叠(旋转)变化前后的位置关系和数量关系的变与不变.
题组训练二 用三棱锥体积解题的几种类型?
1.在四面体ABCD中,已知AB=BC=CA=14,四面体的一个高DE=12,且2CD=BC+DE,2BC=DB+CD,求四面体中心过A点的高AF的长.
【解析】四面体ABCD中,BC=14,DE=12.
因为2CD=BC+DE=14+12=26,所以CD=13,
又2BC=DB+CD,所以BD=2BC-CD=2×14-13=15.
正△ABC的面积S△ABC=×142sin
60°=49,
因为cos∠BCD==,
所以sin∠BCD=,
所以S△BDC=×13×14×=84.
而S△BDC·AF=S△ABC·DE,
即84·AF=49×12,解得AF=7.
2.如图所示,已知四边形ABCD是边长为4的正方形,E,F分别是AB,AD的中点,GC垂直于ABCD所在平面且GC=2,求点B到平面EFG的距离.
【解析】连接EF,取EF的中点O,连接GB,GO,CO,FB,GF,GE,
设点B到平面EFG的距离为h.
连接BD,在Rt△ABD中,BD=4.
因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF=2.
由GC=2,GC⊥平面ABCD,AC=4,得OC=3,
在Rt△GOC中∠GCO=90°,由勾股定理,得GO===.
故VB-EFG=·S△EFG=EF·GO·h,
VG-EFB=S△EFB·GC=EB·AF·GC,
因为VB-EFG=VG-EFB
,
即EF·GO·h=EB·AF·GC,
所以h==
=.
所以点B到平面EFG的距离为.
3.如图所示,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E,F分别为AA1,CC1的中点,求四棱锥A1-EBFD1的体积.
【解析】因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,E、F分别为AA1,CC1的中点,
所以EB=BF=FD1=D1E===a.
所以四棱锥A1-EBFD1的底面EBFD1是菱形.
连接EF,则△EFD1≌△EFB,即=S△EFB.
因为三棱锥A1-EFB与三棱锥A1-EFD1等底同高,
所以=,即=2.
调整顶点和底面,则有=,
所以=2.
因为CC1∥平面ABB1A1,
所以三棱锥F-EBA1的高就是CC1到平面ABB1A1的距离,即棱长a.
又△EBA1的边EA1上的高为a,
所以=2··a=a3.
利用三棱锥的体积解题的关键与类型
利用三棱锥的体积解题是立体几何中的技巧,应用十分广泛,而且方法简单.解决这个问题的关键是从两个不同的角度选择三棱锥的底和顶点,利用同一个三棱锥的体积相等列方程.一般分为以下三种类型:
1.直接型
这类题目一般是给出一个三棱锥,我们可以直接认识它,应用它,往往表现为求三棱锥的高.
2.构造三棱锥
有些题目的题设中没有三棱锥,需要构造三棱锥,创造条件,再用三棱锥的体积解题,常用于求点到平面的距离.
3.综合型
这类题目既要构造三棱锥,又要进行等积代换或其他变换.一般来说,这类题目有一定难度,方法灵活,技巧性强,常用于求多面体的体积.
题组训练三 空间中的平行垂直关系?
1.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,PB⊥平面ABCD,MA∥PB,PB=2MA.在线段PB上是否存在一点F,使平面AFC∥平面PMD?若存在,请确定点F的位置;若不存在,请说明理由.
【解析】当点F是PB的中点时,平面AFC∥平面PMD,证明如下:如图,连接BD交AC于点O,连接FO,
那么PF=PB.
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以O是BD的中点.所以OF∥PD.
又OF?平面PMD,PD?平面PMD,
所以OF∥平面PMD.
又MA?PB,所以PF?MA.
所以四边形AFPM是平行四边形.
所以AF∥PM.
又AF?平面PMD,PM?平面PMD.
所以AF∥平面PMD.
又AF∩OF=F,AF?平面AFC,OF?平面AFC.
所以平面AFC∥平面PMD.
【补偿训练】
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为BC,CC1,C1D1,A1A的中点.求证:
(1)BF∥HD1.
(2)EG∥平面BB1D1D.
(3)平面BDF∥平面B1D1H.
【证明】由已知画图.
(1)取BB1的中点M,连接C1M,HM,
易证HMC1D1是平行四边形,所以HD1∥MC1,
又由已知可得四边形MBFC1是平行四边形,
所以MC1∥BF,所以BF∥HD1.
(2)取BD的中点O,连接OE,D1O,则OE?DC,
又D1G?DC,所以OE?D1G,
所以OEGD1是平行四边形,所以GE∥D1O.
又D1O?平面BB1D1D,EG?平面BB1D1D,
所以EG∥平面BB1D1D.
(3)由(1)知D1H∥BF,
又BD∥B1D1,B1D1,HD1?平面HB1D1,BF,BD?平面BDF,且B1D1∩HD1=D1,BD∩BF=B,
所以平面BDF∥平面B1D1H.
2.如图所示,在三棱锥A
-BCD中,AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.求证:EF⊥平面BCG.
【证明】由已知得,△ABC≌△DBC.因此AC=DC.
又G为AD的中点,则CG⊥AD;
同理,BG⊥AD.CG∩BG=G,
因此AD⊥平面BCG.由题意知,
EF为△DAC的中位线,
所以EF∥AD.所以EF⊥平面BCG.
本题条件不变,证明:平面BCG⊥平面ACD.
【证明】由已知得,△ABC≌△DBC,因此AC=DC.
又G为AD的中点,则CG⊥AD;
同理,BG⊥AD,CG∩BG=G,
因此AD⊥平面BCG.
因为AD?平面ACD,所以平面BCG⊥平面ACD.
1.判断线面平行的两种常用方法
面面平行判定的落脚点是线面平行,因此掌握线面平行的判定方法是必要的,判定线面平行的两种方法:
(1)利用线面平行的判定定理.
(2)利用面面平行的性质,即当两平面平行时,其中一平面内的任一直线平行于另一平面.
2.判断面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的判定定理.
(2)面面平行的传递性(α∥β,β∥γ?α∥γ).
(3)利用线面垂直的性质(l⊥α,l⊥β?α∥β).
3.判定线面垂直的方法
(1)线面垂直定义(一般不易验证任意性).
(2)线面垂直的判定定理(a⊥b,a⊥c,b?α,c?α,b∩c=M?a⊥α).
(3)平行线垂直平面的传递性质(a∥b,b⊥α?a⊥α).
(4)面面垂直的性质(α⊥β,α∩β=l,a?β,a⊥l?a⊥α).
(5)面面平行的性质(a⊥α,α∥β?a⊥β).
(6)面面垂直的性质(α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ?l⊥γ).
题组训练四 求(做)空间角?
1.在三棱锥A
-BCD中,E,F,G分别是AB,AC,BD的中点,若AD与BC所成的角是60°,那么∠FEG为 .?
【解析】如图,连接EF,EG,因为E,F,G分别是AB,AC,BD的中点,
所以EF∥BC,EG∥AD,
又AD与BC所成的角是60°,
所以∠FEG=60°或∠FEG=120°.
答案:60°或120°
2.在图(1)等边三角形ABC中,AB=2,E是线段AB上的点(除点A外),过点E作EF⊥AC于点F,将△AEF沿EF折起到△PEF(点A与点P重合,如图(2)),使得∠PFC=60°.
(1)求证:EF⊥PC.
(2)试问,当点E在线段AB上移动时,二面角P
-EB
-C的大小是否为定值?若是,求出这个二面角的平面角的正切值,若不是,请说明理由.
【解析】(1)因为EF⊥PF,EF⊥FC,
又由PF∩FC=F,所以EF⊥平面PFC.
又因为PC?平面PFC,所以EF⊥PC.
(2)由(1)知,EF⊥平面PFC,
所以平面BCFE⊥平面PFC,
作PH⊥FC,则PH⊥平面BCFE,
作HG⊥BE,连接PG,则BE⊥PG,
所以∠PGH是这个二面角的平面角,
设AF=x,则0
所以tan∠PGH==,
所以二面角P
-EB
-C的大小是定值.
求空间角的三种类型
(1)求异面直线所成的角,关键是选取合适的点引两条异面直线的平行线,这两条相交直线所成的锐角或直角即为两条异面直线所成的角.
(2)求直线与平面所成的角,关键是在斜线上选取恰当的点向平面引垂线,在此基础上进一步确定垂足的位置.
(3)求二面角,关键是作出二面角的平面角,而作二面角的平面角时,首先要确定二面角的棱,然后结合题设构造二面角的平面角.一般常用两种方法:定义法,垂面法.
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