北师大版七年级下册数学《全等三角形》全等三角形的证明讲义

知识详解
　　　　　　　　　　　　　 　　　全等三角形 [知识要点]
一、全等三角形
1．判定和性质
一般三角形
直角三角形
判定
边角边（SAS）、角边角（ASA）
角角边（AAS）、边边边（SSS）
具备一般三角形的判定方法
斜边和一条直角边对应相等（HL）
性质
对应边相等，对应角相等
对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等
注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；
② 全等三角形面积相等．
2．证题的思路：
真题在线
　　 例1如图，∠E=∠F=90。，∠B=∠C，AE=AF，给出下
列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；
④CD=DN，其中正确的结论是 (把你认为所
有正确结论的序号填上)
例2在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是( )
A．1例3一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下右图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上
(1)求证：AB⊥ED
(2)若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明


例4若两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，试判断这两个三角形的第三边所对的角之间的关系，并说明理由

例5如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA=BC，EB=AC，FC=AB，∠AFB=51°，求∠DFE的度数

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．如图，AD、A′D′分别是锐角△ABC和△A′B′C′中BC，B′C′边上的高，且AB=A′B′，AD=A′D ′，若使△ABC≌△A′B′C′，请你补充条件(只需要填写一个你认为适当的条件)

2．如图，0A=0B，OC=OD，∠O=60°,∠C=25°,则 ∠BED等于
3．如图，把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1．请在下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形．

4．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠a的度数为　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　
5．如图，已知0A=OB，OC=0D，下列结论中：①∠A=∠B；②DE=CE；③连OE，则0E平分∠0，正确的是( )
A．①② B。②③ C．①③ D．①②③
6．如图，A在DE上，F在AB上，且AC=CE，∠l=∠2=∠3，则DE的长等于( )．
A：DC B．BC C．AB D．AE+AC
7．如图，AB∥CD，AC∥DB，AD与BC交于0，AE⊥BC．于E，DF⊥BC于F，那
么图中全等的三角形有( )对
A．5 B．6 C．7 D．8

8.如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35度，得到△A′B′C, A′B′交AC乎点D，已知∠A′DC=90°，求∠A的度数

9..如图，在△ABE和△ACD中，给出以下四个论断：①AB=AC；②AD=AE③AM=AN④AD⊥DC，AE⊥BE．以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程
已知：
求证：
10.在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE
(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE
(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明

11．在△ABC中，高AD和BE交于H点，且BH=AC，则∠ABC=
12．如图，已知AE平分∠BAC，BE上AE于E，ED∥AC，∠BAE=36°，那么∠BED=

13．如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，给出三个论断：①DE=FE；②AE=CE；③FC∥AB，以其中一个论断为结论，其余两个论断为条件，可作出三个命题，其中正确命题的个数是
14．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB=5，AC=3，则AD的取值范围是

15．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90° ．AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于F，E为垂足．则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE，其中正确结论的个数是( )
A．1 B.2 C．3 D．4
16．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB >AD，下列结论中正确的是( )
A．AB-AD>CB-CD B．AB-AD=CB-CD
C．AB-AD17．考查下列命题：①全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；②两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等；③两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等；④两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等．其中正确命题的个数有( )．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
18．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且,求∠ABC+∠ADC的度数。

19．如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE+CF与EF的大小关
系，并证明你的结论．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

20．如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五边形ABCDE的面积

21．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．

22．如图，已知∠ABC=∠DBE=90°，DB=BE，AB=BC．(1)求证：AD=CE，AD⊥CE
(2)若△DBE绕点B旋转到△ABC外部，其他条件不变，则(1)中结论是否仍成立?请证明

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1．如图，在锐角三角形ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，且CD，BE交于点P，若∠A=50°，求∠BPC的度数。
2、过等腰直角三角形直角顶点A作直线AM平行于斜边BC，在AM上取点D，使BD=BC，且DB与AC所在直线交于E，求证：CD=CE。
3、Rt△ABC，AB=AC,BM是中线，AD⊥BM交BC于D
求证：∠AMB=∠CMD
4.如图，已知△ABC是等边三角形，∠BDC＝120?，说明AD=BD+CD的理由
5. 如图14-29①，在ΔABC中∠ACB=900，AC=BC，M为AB中点，P为AB上一动点（P不与A、B重合），PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F。
（1）求证：ME=MF，ME⊥MF；
（2）如点P移动至AB的延长线上，如图14-29②，是否仍有如上结论？请予以证明。
6．已知：如图，点D在△ABC的边CA的延长线上，点E在BA的延长线上，CF、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线，且∠B=30°，∠D=40°，求∠F的度数。
7、等边三角形ABC和等边三角形DEF，D在AC边上。延长BD交CE延长线于N，延长AE交BC延长线于M。
求证：CM=CN
8、操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．
探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．
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