北师大版七年级下册数学《全等三角形》问题中常见的辅助线的作法(含答案)

《全等三角形》问题中常见的辅助线的作法（含答案）
【三角形辅助线做法】
图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。
【常见辅助线的作法有以下几种】
1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。
2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。
3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。
4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。
5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
6、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。
一、倍长中线（线段）造全等
（一）例题讲解
例1、（“希望杯”试题）已知，如图中，，，求中线AD的取值范围。
分析：本题的关键是如何把AB，AC，AD三条线段转化到同一个三角形当中。
解:延长AD到E，使，连接BE
又∵，
∴，
∵ (三角形三边关系定理)
即
∴
经验总结：见中线，延长加倍。
例2、如图，中，E、F分别在AB、AC上，，D是中点，试比较与EF的大小。
证明：延长FD到点G，使，连接BG、EG
∵，，
∴
∴
∵
∴
在中，
∵，
∴
例3、如图，中，，E是DC的中点，求证：AD平分.
证明方法一：利用相似论证。
证明：∵
∴
∵E是DC中点
∴，
∴∽
∴
∵
∴，
∴
∴
即AD平分
证明方法二：利用全等论证。
证明：延长AE到M，使，连结DM
易证
∴，
又∵
∴，
又∵，
∴
∴
∴
即AD平分
（二）实际应用：
1、（2009崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点。探究：AM与DE的位置关系及数量关系。
（1）如图1 当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系是 ；
（2）将图1中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转（）后，如图2所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由。
解：（1），；
证明：延长AM到G，使，连BG，则ABGC是平行四边形
∴，
又∵
∴
再证：
∴，
延长MN交DE于H
∵
∴
∴
（2）结论仍然成立．
证明：如图，延长CA至F，使，FA交DE于点P，并连接BF
∵，
∴
∵在和中
∴（SAS）
∴，
∴
∴
又∵，
∴，且
∴，
二、截长补短
（一）例题讲解
例1、如图，中，，AD平分，且，求证：
证明：过D作，垂足为M
∴
又∵，
∴
∴
∵
∴
∵AD平分
∴
在和中
，，
∴
∴
即:
例2、如图，，EA，EB分别平分，，CD过点E，求证：
证明：在AB上截取，连接EF
在和中
∴
∴
∴
即
在和中
∴（ASA）
∴
∴
例3、如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：
证明：延长AB到D，使，连接PD．则
∵AP，BQ分别是，的角平分线，，
∴，，
∴
又
∴
在与中
，，
∴（AAS）
∴
即
∴
例4、如图，在四边形ABCD中，，，BD平分.
求证：
解：过点D作于E，过点D作交BA的延长线于F
∵BD平分
∴，
在和中
∴（HL）
∴
∴
例5、如图，在中，，，P为AD上任意一点。
求证：
证明：如图，在AB上截取AE，使，连接PE
在和中
∴（SAS）
∴
在中，，即
（二）实际应用
如图，在四边形ABCD中，，点E是AB上一个动点，若，，且，判断与的关系并证明你的结论。
分析：此题连接AC，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。
解：有
连接AC，过E作并AC于F点
则可证为等边三角形
即，
∴
又∵，
∴
又∵
∴
在与中
，，
∴
∴
∴
点评：此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形的性质解决。
三、平移变换
（一）例题讲解
例1、AD为的角平分线，直线于A.E为MN上一点，周长记为，周长记为.求证：.
证明：延长BA到F，使,连接EF
∵AD为的角平分线
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴BC+BE+CE>AB+AC+BC
∴的周长小于的周长，即
例2、如图，在的边上取两点D、E，且，求证：.
解析：先连接AF并延长至G，使，其中F是BC的中点，连接GB，GC，GD，GE．可知四边形ABGC，四边形ADGE是平行四边形，延长AD至H，交BG于H．运用三角形的三边关系：“两边之和大于第三边”即可进行证明。
证明：连接AF并延长至G，使，其中F是BC的中点，连接GB，GC，GD，GE
∵
∴
∴四边形ABGC，四边形ADGE是平行四边形
∴，
延长AD至H，交BG于H
∵，
∴
∴
即
点评：本题考查了三角形三边关系，将证明边的大小关系的问题转化为三角形三边关系问题是解题的关键．本题借助辅助线DH起枢纽作用。
方法2：取BC中点M，连AM并延长至N，使，连BN，DN
∵
∴
∴（SAS）
∴
同理
延长ND交AB于P，则，
相加得：
各减去DP，得：
∴
四、借助角平分线造全等
（一）例题讲解
例1、如图，已知在中，，的角平分线AD，CE相交于点O.
求证：
证明：在AC上取点F，使，连接OF
∵AD是的平分线
∴
∵
∴
∴，
∵CE是的平分线
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
即：
例2、如图，中，AD平分，且平分BC，于E，于F. （1）说明的理由；（2）如果，，求AE、BE的长。
（1）证明:连接DB，DC
∵且平分BC
∴
∵，，AD平分
∴
∴
∴
（2）解: ∵，
∴
∴
∴，即，
∴
∴，
（二）实际应用
1、如图①，OP是的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在中，是直角，，AD、CE分别是、的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
（2）如图③，在中，如果不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
解：（1）FE与FD之间的数量关系为
（2）答：（1）中的结论仍然成立。
证法一：如图1，在AC上截取，连结FG
∵，AF为公共边，
∴
∴，
∵，AD、CE分别是、的平分线
∴
∴
∴
∵及FC为公共边
∴
∴
∴
证法二：如图2，过点F分别作于点G，于点H
∵，AD、CE分别是、的平分线
∴可得，F是的内心
∴，
又∵
∴
∴可证
∴
五、旋转
（一）例题讲解
例1、正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，，求的度数。
解：将绕点A顺时针旋转，至
∴
又∵，
∴
∴
又∵
∴
例2、D为等腰斜边AB的中点，，DM，DN分别交BC，CA于点E，F。
（1）当绕点D转动时，求证：；
（2）若，求四边形DECF的面积。
分析：（1）连CD，根据等腰直角三角形的性质得到CD平分，，，，则，，由得，根据等角的余角相等得到，根据全等三角形的判定易得，即可得到结论；（2）由，则，于是四边形DECF的面积，由而可得，根据三角形的面积公式易求得，从而得到四边形DECF的面积。
解：（1）连CD，如图，
∵D为等腰斜边AB的中点
∴CD平分，，，
∴，
∵
∴
∴
在和中
∴
∴
（2）∵
∴
∴四边形DECF的面积
而
∴
∴四边形DECF的面积
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质。
例3、 如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求的周长。
解：∵是等腰三角形，且
∴
∵是边长为3的等边三角形
∴
∴
∵顺时针旋转使DB与DC重合
在和中
∴
∴
∴
∴的周长为6
（二）实际应用
1、已知四边形ABCD中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC（或它们的延长线）于E、F．
（1）当绕B点旋转到时（如图1），易证．
（2）当绕B点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。
解：（1）∵，，，
∴（SAS）；
∴，
∵，
∴，为等边三角形
∴，
∴
（2）图2成立，图3不成立。
证明图2，延长DC至点K，使，连接BK
则
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
即
图3不成立，AE、CF、EF的关系是
2、（西城09年一模）已知: ，，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧。
（1）如图，当时，求AB及PD的长；
（2）当变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应的大小。
分析：（1）作辅助线，过点A作于点E，在中，已知，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在中，根据勾股定理可将AB的值求出；求PD的值有两种解法，解法一：可将绕点A顺时针旋转得到，可得，求PD长即为求的长，在中，可将的值求出，在中，根据勾股定理可将的值求出；解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，交PB于G，在中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在中，可求出PF，在中，根据勾股定理可将PD的值求出；
（2）将绕点A顺时针旋转，得到，PD的最大值即为的最大值，故当、P、B三点共线时，取得最大值，根据可求的最大值，此时．
解：（1）①如图，作于点E
∵中，，
∴
∵
∴
在中，
∴
②解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将将绕点A顺时针旋转得到，，可得，，
∴，，
∴，
∴；
解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，设DA的延长线交PB于G．
在中，可得，，
在中，可得，
在中，可得
（2）如图所示，将绕点A顺时针旋转,得到，PD的最大值，即为的最大值
∵中，，，且P、D两点落在直线AB的两侧
∴当、P、B三点共线时，取得最大值（如图）
此时，即的最大值为6
此时
3、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且，，. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系。
（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时；
（2）如图2，点M、N边AB、AC上，且当时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若，则（用、L表示）．
分析：（1）如果，，因为，那么，也就有，直角三角形MBD、NCD中，因为，，根据HL定理，两三角形全等。那么，，三角形NCD中，，，在三角形DNM中，，，因此三角形DMN是个等边三角形，因此，三角形AMN的周长
，三角形ABC的周长，因此．
（2）如果，我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换。延长AC至E，使，连接DE．（1）中我们已经得出，，那么三角形MBD和ECD中，有了一组直角，，，因此两三角形全等，那么，，．三角形MDN和EDN中，有，，有一条公共边，因此两三角形全等，，至此我们把BM转换成了CE，把MN转换成了NE，因为，因此．Q与L的关系的求法同（1），得出的结果是一样的。
（3）我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换，思路同（2）过D作，三角形BDM和CDH中，由（1）中已经得出的，我们做的角，，因此两三角形全等（ASA）．那么，，三角形MDN和NDH中，已知的条件有，一条公共边ND，要想证得两三角形全等就需要知道，因为，因此，因为，那么
，因此，这样就构成了两三角形全等的条件．三角形MDN和DNH就全等了．那么，三角形AMN的周长
．因为，，因此三角形AMN的周长．
解：（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系：；此时．
（2）猜想：结论仍然成立．
证明：如图2，延长AC至E，使，连接DE
∵，且
∴
又是等边三角形
∴
在与中
∴（SAS）
∴，
∴
在与中
∴（SAS）
∴
故的周长
而等边的周长
∴
（3）如图3，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若，则（用x、L表示）．
点评：本题考查了三角形全等的判定及性质；题目中线段的转换都是根据全等三角形来实现的，当题中没有明显的全等三角形时，我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知和所求条件相关的全等三角形。
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