(共25张PPT)
22.5菱形的性质
冀教版
八年级下
学习目标
1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；
2.探索并证明菱形的性质定理.
3.应用菱形的性质定理解决相关问题.
1、平行四边形有哪些性质?
2、矩形与平行四边形比较有哪些特殊的性质?
平行四边形:
边
：
角：
对角线：
矩
形：
角：
对角线：
对边平行且相等
对角相等、邻角互补
对角线互相平分
四个角都是直角
对角线相等
菱形就在我们身边
问题1:
上图中的这些平行四边形，你能发现它们有什么共同特征？菱形作为特殊的平行四边形,怎样在平行四边形的基础上来定义菱形呢?
平行四边形
菱形
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，但平行四边形不一定是菱形.
问题2:
菱形与平行四边形有什么关系？
平行四边形
菱形集合
平行四边形集合
活动探究
1.做一做:请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：
问题1:菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
问题2:菱形的四条边有什么关系
2.发现菱形的性质：
菱形是轴对称图形，有两条对称轴(直线AC和直线BD).
菱形四条边都相等(AB=BC=CD=AD).
菱形的对角线互相垂直(AC⊥BD)，且每条对角线平分
一组对角(∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD，
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA).
O
D
C
B
A
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1）AB
=
BC
=
CD
=AD；
（2）AC⊥BD；
（3）∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
3.证明菱形性质:
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB
=
CD，AD
=
BC（菱形的对边相等）.
又∵AB=AD;
∴AB
=
BC
=
CD
=AD.
A
B
C
O
D
（2）∵AB
=
AD,
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是菱形,
∴OB
=
OD
.
（菱形的对角线互相平分）
在等腰三角形ABD中,
∵OB
=
OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
A
B
C
O
D
菱形的四条边都相等，两条对角线互相
垂直，且每条对角线平分一组对角.
4.归纳结论
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
对称性：是轴对称图形.边：四条边都相等.
对角线：互相垂直，且每
条对角线平分一组对角.
角：对角相等.
边：对边平行且相等.
对角线：相互平分.
菱形的特殊性质
平行四边形的性质
例1.如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，
求证：EB=OA；
A
B
C
D
O
E
分析：要证EB＝OA，只需证它们所在的三角形全等，即△AOD≌△BEA.
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，AD=BA，
∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB
∴∠DAE＝∠AEB?
∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB
∴∠ABC=∠DAE?
∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB?
又∵AD＝BA
∴△AOD≌△BEA
∴AO＝BE
A
B
C
D
O
E
例2.如图，菱形ABCD的周长为16cm，∠ABC＝120°，对角线AC、BD相交于点O，求对角线BD和AC的长.
解:∵AB+BC+CD+AD=16cm,
∴AB=BC=CD=AD=4cm.
∵
BD平分∠ABC,∠ABC=120°，
∴∠ABD＝60°
∴
△ABD是等边三角形.
∴
BD=AB
＝
4cm.
在Rt△AOB中，OB=2cm,
A
B
C
D
O
能看成两个三角形来计算吗？是否能得出同样的结论呢？请大家计算一下这个菱形的面积：
由此你能得出什么结论呢？
课外延伸
O
D
C
B
A
菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。
由此可进一步推导得出：对角线互相垂直的四边形的面积都等于两条对角线乘积的一半。
课外延伸
当堂练习
(1)菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则∠BAC＝_______.
60°
(2)若菱形两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是_____.
A
B
C
D
O
3
4
5cm
(3)菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角线长为11cm，菱形的周长为______.
44cm
1.填空
(4)菱形的面积为64平方厘米，两条对角线的比为1∶2
,那么菱形的边长为_______.
4√5厘米
O
D
C
B
A
(1)菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（
）
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线互相垂直
D.对角线相等
(2)在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数是（
）
A.75°
B.60°
C.45°
D.30°
B
C
2.选择
3.已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.
求:(1)对角线AC的长度;
(2)菱形ABCD的面积.
解:(1)
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠AED=90°,
(2)菱形ABCD的面积
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
D
B
C
A
E
课堂总结
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质。
菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。
菱形的性质:
菱形的定义:
菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
布置作业
课本142页A组题和B组题
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22．5 菱形菱形的性质
01 基础题
知识点1 菱形的性质
1．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是(
)
A．AB∥DC
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．OA＝OC
2．(2019·河北)如图，在菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝(
)
A．30°
B．25°
C．20°
D．15°
3．(2019·贵阳)如图，菱形ABCD的周长是4
cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是(
)
A．1
cm
B．2
cm
C．3
cm
D．4
cm
4．(2020·邯郸永年区一模)边长为5的菱形ABCD按如图所示放置在数轴上，其中A点表示数－2，C点表示数6，则BD＝(
)
A．4
B．6
C．8
D．10
5．(2020·石家庄四十二中二模)如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，F是AC的中点，连接EF.如果EF＝4，那么菱形ABCD的周长为(
)
A．9
B．12
C．24
D．32
6．(2020·福建)如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF.求证：∠BAE＝∠DAF.
7．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，求证：∠DHO＝∠DCO.
知识点2 菱形的面积
8．如图，已知AC，BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是(
)
A．△ABD与△ABC的周长相等
B．△ABD与△ABC的面积相等
C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍
D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
9．已知菱形的两条对角线长分别为6和10，则该菱形的面积为（
）
．
10．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，BD＝7，则菱形ABCD的面积为（
）
易错点 点的位置不确定导致漏解
11．【分类讨论思想】四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上．若OE＝，则CE的长为（
）．
02 中档题
12．(2020·唐山迁西县期末)如图，菱形ABCD的顶点C在直线MN上．若∠1＝50°，∠2＝20°，则∠BDC的度数为(
)
A．20°
B．30°
C．35°
D．40°
13．(2020·石家庄桥西区模拟)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A′B′O′.当点A′与点C重合时，点A与点B′之间的距离为(
)
A．6
B．8
C．10
D．12
14．(2019·泸州)一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为(
)
A．8
B．12
C．16
D．32
15．(2020·荆州)如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE＝CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE＝DF；④∠BCE＝∠CDF.只选取其中一个添加，不能确定△BCE≌△CDF的是(
)
A．①
B．②
C．③
D．④
16．(2020·陕西)如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2.若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为（
）．
17．(2020·石家庄四十中模拟)如图，有一块菱形纸片ABCD，沿高DE剪下后拼成一个矩形，矩形的相邻两边DC和DE的长分别是5，3，则EB的长是(
)
A．0.5
B．1
C．1.5
D．2
18．(2019·宁波)如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．
(1)求证：BG＝DE.
(2)若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．
22．5 菱形菱形的性质
01 基础题
知识点1 菱形的性质
1．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是(B)
A．AB∥DC
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．OA＝OC
2．(2019·河北)如图，在菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝(D)
A．30°
B．25°
C．20°
D．15°
3．(2019·贵阳)如图，菱形ABCD的周长是4
cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是(A)
A．1
cm
B．2
cm
C．3
cm
D．4
cm
4．(2020·邯郸永年区一模)边长为5的菱形ABCD按如图所示放置在数轴上，其中A点表示数－2，C点表示数6，则BD＝(B)
A．4
B．6
C．8
D．10
5．(2020·石家庄四十二中二模)如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，F是AC的中点，连接EF.如果EF＝4，那么菱形ABCD的周长为(D)
A．9
B．12
C．24
D．32
6．(2020·福建)如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF.求证：∠BAE＝∠DAF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝AD.
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF(SAS)．
∴∠BAE＝∠DAF.
7．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，求证：∠DHO＝∠DCO.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，∠COD＝90°.
∵DH⊥AB，
∴OH＝BD＝OB.
∴∠OHB＝∠OBH.
∵AB∥CD，
∴∠OBH＝∠ODC.∴∠OHB＝∠ODC.
在Rt△COD中，∠ODC＋∠DCO＝90°，
在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°，
∴∠DHO＝∠DCO.
知识点2 菱形的面积
8．如图，已知AC，BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是(B)
A．△ABD与△ABC的周长相等
B．△ABD与△ABC的面积相等
C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍
D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
9．已知菱形的两条对角线长分别为6和10，则该菱形的面积为30．
10．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，BD＝7，则菱形ABCD的面积为．
易错点 点的位置不确定导致漏解
11．【分类讨论思想】四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上．若OE＝，则CE的长为4或2．
02 中档题
12．(2020·唐山迁西县期末)如图，菱形ABCD的顶点C在直线MN上．若∠1＝50°，∠2＝20°，则∠BDC的度数为(C)
A．20°
B．30°
C．35°
D．40°
13．(2020·石家庄桥西区模拟)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A′B′O′.当点A′与点C重合时，点A与点B′之间的距离为(C)
A．6
B．8
C．10
D．12
14．(2019·泸州)一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为(C)
A．8
B．12
C．16
D．32
15．(2020·荆州)如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE＝CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE＝DF；④∠BCE＝∠CDF.只选取其中一个添加，不能确定△BCE≌△CDF的是(C)
A．①
B．②
C．③
D．④
16．(2020·陕西)如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2.若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为2．
17．(2020·石家庄四十中模拟)如图，有一块菱形纸片ABCD，沿高DE剪下后拼成一个矩形，矩形的相邻两边DC和DE的长分别是5，3，则EB的长是(B)
A．0.5
B．1
C．1.5
D．2
18．(2019·宁波)如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．
(1)求证：BG＝DE.
(2)若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．
解：(1)证明：∵四边形EFGH是矩形，
∴EH＝FG，EH∥FG.
∴∠GFH＝∠EHF.
∵∠BFG＝180°－∠GFH，∠DHE＝180°－∠EHF，
∴∠BFG＝∠DHE.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC.
∴∠GBF＝∠EDH.
∴△BGF≌△DEH(AAS)．
∴BG＝DE.
(2)连接EG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵E为AD中点，
∴AE＝ED.
∵BG＝DE，
∴AE＝BG，AE∥BG.
∴四边形ABGE是平行四边形．
∴AB＝EG.
∵EG＝FH＝2，
∴AB＝2.
∴菱形ABCD的周长为8.
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