圆的对称性（二）
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(共18张PPT)
垂径定理
圆是轴对称图形.
想一想
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
●O
可利用折叠的方法即可解决上述问题.
1.圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么 你能找到多少条对称轴？
你是用什么方法解决上述问题的
AM=BM,
垂径定理
如图：AB是⊙O的一条弦.
（2）你能发现图中有哪些等量关系 与同伴说说你的想法.
探究活动1
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
●O
（1）所作的图是轴对称图形吗 如果是,其对称轴是什么
发现图中有:
A
B
C
D
M└
CD是直径
CD⊥AB
可推得
⌒
⌒
AC=BC,
⌒
⌒
AD=BD.
操作探究
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
题设
结论
（1）过圆心
（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
知二得三
动动脑筋
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。
⌒
⌒
⌒
⌒
C
.
O
A
E
B
D
叠 合 法
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。 ∵垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙ O的对称轴。
∴当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，AC、AD分别和BC、BD重合。
∴ AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
垂径定理三种语言
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
提示:
垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
记一记
●O
A
B
C
D
M└
如图∵ CD是直径, CD⊥AB。
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD=BD.
CD⊥AB,
垂径定理的推论
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
你能发现图中有哪些等量关系 与同伴说说你的想法和理由.
探究活动2
过点M作直径CD.
●O
下图是轴对称图形吗 如果是,其对称轴是什么
发现图中有:
C
D
CD是直径
AM=BM
可推得
⌒
⌒
AC=BC,
⌒
⌒
AD=BD.
●
M
A
B
┗
垂径定理的推论：
（1）推论1
① 平分弦（不是直径）的直径垂直与弦并且平分弦所对的两条弧。
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗
提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况:
垂径定理的推论
●O
A
B
C
D
1.两条弦在圆心的同侧
●O
A
B
C
D
2.两条弦在圆心的两侧
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.
练一练
驶向胜利的彼岸
挑战自我
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
√
√
3.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？
证明：相等。理由：
过O作OE⊥AB，垂足为E，
∴AE＝BE，CE＝DE。
∴ AE－CE＝BE－DE
∴AC＝BD
.
A
C
D
B
O
E
2.在半径为5㎜的⊙O中，弦AB=8㎜，则O到AB的距离= ，∠OAB的余弦值= 。
O
A
B
P
0.8
3mm
注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，是一种常用的辅助线添法．
C
D
A
B
E
4.平分已知弧AB
已知：AB
作法：
⒈ 连结AB.
⒉作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E.
点E就是所求弧AB的中点。
求作：AB的中点
⌒
⌒
你能破镜重圆吗？
A
B
A
C
m
n
·
O
1.作弦AB．AC及它们的垂直平分线m．n，交于O点；
2.以O为圆心，OA为半径作圆。
你能破镜重圆吗？
A
B
A
C
m
n
·
O
1.作弦AB．AC及它们的垂直平分线m．n，交于O点；
2.以O为圆心，OA为半径作圆。
课堂总结
回顾与思考
1.圆的基本性质：（1）圆的中心对称性（2）圆的轴对称性（3）圆的旋转不变性
4.垂径定理及推论的应用：（1）计算（2）证明（3）作图
2.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧
3.垂径定理的推论：
（1）推论1① 平分弦（不是直径）的直径垂直与弦并且平分弦所对的两条弧。
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
（2）推论2：圆内的两条平行弦所夹的弧相等。
作业：
教材
3.4.5
再 见
谢谢大家
垂径定理
圆是轴对称图形.
想一想
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
●O
可利用折叠的方法即可解决上述问题.
1.圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么 你能找到多少条对称轴？
你是用什么方法解决上述问题的
AM=BM,
垂径定理
如图：AB是⊙O的一条弦.
（2）你能发现图中有哪些等量关系 与同伴说说你的想法.
探究活动1
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
●O
（1）所作的图是轴对称图形吗 如果是,其对称轴是什么
发现图中有:
A
B
C
D
M└
CD是直径
CD⊥AB
可推得
⌒
⌒
AC=BC,
⌒
⌒
AD=BD.
操作探究
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
题设
结论
（1）过圆心
（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
知二得三
动动脑筋
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。
⌒
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⌒
⌒
C
.
O
A
E
B
D
叠 合 法
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。 ∵垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙ O的对称轴。
∴当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，AC、AD分别和BC、BD重合。
∴ AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
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垂径定理三种语言
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
提示:
垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
记一记
●O
A
B
C
D
M└
如图∵ CD是直径, CD⊥AB。
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD=BD.
CD⊥AB,
垂径定理的推论
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
你能发现图中有哪些等量关系 与同伴说说你的想法和理由.
探究活动2
过点M作直径CD.
●O
下图是轴对称图形吗 如果是,其对称轴是什么
发现图中有:
C
D
CD是直径
AM=BM
可推得
⌒
⌒
AC=BC,
⌒
⌒
AD=BD.
●
M
A
B
┗
垂径定理的推论：
（1）推论1
① 平分弦（不是直径）的直径垂直与弦并且平分弦所对的两条弧。
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗
提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况:
垂径定理的推论
●O
A
B
C
D
1.两条弦在圆心的同侧
●O
A
B
C
D
2.两条弦在圆心的两侧
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.
练一练
驶向胜利的彼岸
挑战自我
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
√
√
3.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？
证明：相等。理由：
过O作OE⊥AB，垂足为E，
∴AE＝BE，CE＝DE。
∴ AE－CE＝BE－DE
∴AC＝BD
.
A
C
D
B
O
E
2.在半径为5㎜的⊙O中，弦AB=8㎜，则O到AB的距离= ，∠OAB的余弦值= 。
O
A
B
P
0.8
3mm
注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，是一种常用的辅助线添法．
C
D
A
B
E
4.平分已知弧AB
已知：AB
作法：
⒈ 连结AB.
⒉作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E.
点E就是所求弧AB的中点。
求作：AB的中点
⌒
⌒
你能破镜重圆吗？
A
B
A
C
m
n
·
O
1.作弦AB．AC及它们的垂直平分线m．n，交于O点；
2.以O为圆心，OA为半径作圆。
你能破镜重圆吗？
A
B
A
C
m
n
·
O
1.作弦AB．AC及它们的垂直平分线m．n，交于O点；
2.以O为圆心，OA为半径作圆。
课堂总结
回顾与思考
1.圆的基本性质：（1）圆的中心对称性（2）圆的轴对称性（3）圆的旋转不变性
4.垂径定理及推论的应用：（1）计算（2）证明（3）作图
2.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧
3.垂径定理的推论：
（1）推论1① 平分弦（不是直径）的直径垂直与弦并且平分弦所对的两条弧。
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
（2）推论2：圆内的两条平行弦所夹的弧相等。
作业：
教材
3.4.5
再 见
谢谢大家