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20.2
数据的波动程度（第2课时）同步练习
一、选择题
1．（2021?江华县一模）数据2021，2021，2021，2021，2021，2021，2021，2021的方差是
A．2021
B．0
C．
D．2020
2．（2021春?雨花区校级期中）根据某市统计局发布的该市近5年的年度增长率的有关数据，经济学家评论说，该市近5年的年度增长率相当平稳，从统计学的角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据的 比较小．
A．中位数
B．平均数
C．众数
D．方差
3．（2021春?唐山月考）一班和二班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表：
班级
参赛人数
平均数
中位数
方差
一班
45
83
86
82
二班
45
83
84
135
某同学分析上表后得到如下结论：
①一班和二班学生平均水平相当；②一班优秀率高于二班优秀率（竞赛得分分为优秀）；③二班成绩比一班稳定．上述结论中正确的是
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
4．（2020秋?北海期末）某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的苹果树中各采摘了15棵，产量的平均数（单位：千克）及方差如下表所示：
甲
乙
丙
丁
26
25
26
23
1.7
1.2
1.6
1.6
若准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的苹果树进行种植，应选的品种是
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
5．（2021?龙湾区模拟）甲、乙、丙、丁四名学生参加市中小学生运动会跳高项目预选赛，他们8次跳高的平均成绩及方差如下表所示，要选一位成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员
甲
乙
丙
丁
（米
1.72
1.75
1.75
1.72
（米
1
1.3
1
1.3
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
二、填空题
6．（2020秋?本溪期末）战士甲在射击比赛中，射击8次，命中的环数分别为：8，5，5，8，9，10，7，4，则这组数据的方差是
．
7．（2020秋?龙华区期末）如图是甲，乙两种商品月的价格变化情况统计图，记甲种商品价格数据的方差为，乙种商品价格数据的方差为，那么
．（填“”、“
”或“”
）
8．（2020秋?万山区期末）在脱贫攻坚工作中，为比较甲、乙两村扶贫攻坚工作的成效，从这两村中，各随机抽取20户对其年收入情况进行调查．统计结果是两村年人均收入的平均数基本相同，方差分别是，，则年人均收入比较均衡的村是
．（填“甲”或“乙”
9．（2020秋?昌图县期末）甲、乙两名短跑运动员，每人训练10次，平均成绩恰好相等，且甲成绩的方差是0.11，乙成绩的方差是0.09．则在这10次训练中，甲、乙两人成绩较稳定的是
．
10．（2021?宝应县一模）从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是89，方差分别是，，．你认为适合选
参加决赛．
三、解答题
11．（2021?河南模拟）距离中考体考时间越来越近，年级想了解初三年级1512名学生周末在家体育锻炼的情况，在初三年级随机抽取了18名男生和18名女生，对他们周末在家的锻炼时间进行了调查，并收集得到了以下数据（单位：分钟）
男生：28，30，32，46，68，39，80，70，66，57，70，95，100，58，69，88，99，105
女生：36，48，78，99，56，62，35，109，29，88，88，69，73，55，90，98，69，72
统计数据，并制作了如下统计表：
时间
男生
2
5
7
4
女生
1
5
9
3
分析数据：两组数据的极差、平均数、中位数、众数如表所示
平均数
中位数
众数
方差
男生
66.7
70
617.3
女生
69.7
70.5
547.2
（1）请将上面的表格补充完整： ， ；
（2）已知该年级男女生人数差不多，根据调查的数据，估计初三年级周末在家锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）的同学约有多少人？
（3）王老师看了表格数据后认为初三年级的女生周末锻炼做得比男生好，请你结合统计数据，写出两条支持王老师观点的理由．
12．（2021?沙坪坝区校级模拟）目前，重庆市正全面开展生活垃圾分类工作．随着生活垃圾分类的全面推广，一些街镇也积极行动起来，通过入户宣传、开展各种趣味活动等，提高居民参与生活垃圾分类的积极性．为了进一步提高垃圾分类的准确度，某社区对甲、乙两个小区的居民进行了有关垃圾分类常识的测试，并从甲、乙两小区各随机抽取20名居民的测试成绩进行整理分析（成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．，下面给出了部分信息：
甲小区20名居民测试成绩：13，15，16，19，20，21，22，23，24，25，25，26，27，27，28，28，28，29，30，30．
乙小区20名居民测试成绩在组中的数据是：20，23，21，24，22，21．
甲、乙两小区被抽取居民的测试成绩统计表
平均数
中位数
方差
甲小区
23.8
25
25.75
乙小区
22.3
24.34
根据以上信息，解答下列问题：
（1） ， ；
根据以上数据，你认为 小区（填“甲”或“乙”
垃圾分类的准确度更高，说明理由： ；
（2）若甲、乙两个校区居民共2400人，估计两个小区测试成绩优秀的居民人数是多少？
13．（2021?禹州市模拟）某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况．对两条流水线上的产品进行抽样调查，随机从每条流水线上各抽取20件产品称出它们的质量（单位：，规定质量在范围内的产品为合格产品．将所得数据进行收集整理，部分信息如下：
．甲，乙两条流水线的产品质量的频数分布表如下：
质量
甲
1
1
3
12
2
1
乙
2
2
2
10
3
1
．甲流水线的产品质量在“”这一组的数据如下：
400
400
400
400
400
401
401
402
402
402
403
404
．根据甲、乙两条流水线的产品质量数据，得到的统计量如下：
统计量流水线
平均数
中位数
方差
合格率
甲
401
25.5
乙
401
401
36.1
请根据以上信息，回答下列问题：
（1） ， ．
（2）综合表中的统计量，你认为哪个流水线的产品生产情况较好？请从两个方面说明理由．
（3）若该食品厂现需要用甲流水线生产1600件产品，请估计这批产品中质量合格的有多少件．
14．（2020秋?光明区期末）某区举办中学生科普知识竞赛，各学校分别派出一支代表队参赛．知识竞赛满分为100分，规定85分及以上为“合格”，95分及以上为“优秀”．现将，两个代表队的竞赛成绩分布图及统计表展示如下：
组别
平均分
中位数
方差
合格率
优秀率
队
88
90
61
队
71
（1）求出成绩统计表中，的值．
（2）小明的成绩虽然在本队排名属中游，但是竞赛成绩低于本队的平均分，那么小明应属于哪个队？
（3）从平均分、合格率、优秀率、队内成绩的整齐性等方面进行综合评价，你认为集体奖应该颁给哪一队？
20.2
数据的波动程度（第2课时）同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（2021?江华县一模）数据2021，2021，2021，2021，2021，2021，2021，2021的方差是
A．2021
B．0
C．
D．2020
【解析】解：这组数据全部相等，均为2021，
这组数据没有波动，
这组数据的方差为0，
故选：．
2．（2021春?雨花区校级期中）根据某市统计局发布的该市近5年的年度增长率的有关数据，经济学家评论说，该市近5年的年度增长率相当平稳，从统计学的角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据的 比较小．
A．中位数
B．平均数
C．众数
D．方差
【解析】解：由于方差反映的是数据的波动大小，故增长率相当平衡是指明方差比较小．
故选：．
3．（2021春?唐山月考）一班和二班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表：
班级
参赛人数
平均数
中位数
方差
一班
45
83
86
82
二班
45
83
84
135
某同学分析上表后得到如下结论：
①一班和二班学生平均水平相当；②一班优秀率高于二班优秀率（竞赛得分分为优秀）；③二班成绩比一班稳定．上述结论中正确的是
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
【解析】解：由表格可知，一、二两班学生的平均成绩相同，即平均水平相当；
根据中位数可以确定，二班优秀的人数少于一班优秀的人数，所以一班优秀率高于二班优秀率；
根据方差可知，一班成绩的波动性比二班小，所以一班成绩比二班稳定．
故①②正确，
故选：．
4．（2020秋?北海期末）某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的苹果树中各采摘了15棵，产量的平均数（单位：千克）及方差如下表所示：
甲
乙
丙
丁
26
25
26
23
1.7
1.2
1.6
1.6
若准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的苹果树进行种植，应选的品种是
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【解析】解：在四个品种中甲、丙的平均数大于乙、丁，且丙的方差小于甲的方差，
丙品种的苹果数的产量高又稳定，
故选：．
5．（2021?龙湾区模拟）甲、乙、丙、丁四名学生参加市中小学生运动会跳高项目预选赛，他们8次跳高的平均成绩及方差如下表所示，要选一位成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员（
）
甲
乙
丙
丁
（米
1.72
1.75
1.75
1.72
（米
1
1.3
1
1.3
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【解析】解：乙、丙射击成绩的平均环数较大，
乙、丙成绩较好，
丙的方差乙的方差，
丙比较稳定，
成绩较好状态稳定的运动员是丙，
故选：．
二、填空题
6．（2020秋?本溪期末）战士甲在射击比赛中，射击8次，命中的环数分别为：8，5，5，8，9，10，7，4，则这组数据的方差是 4 ．
【解析】解：这组数据的平均数为，
这组数据的方差为，
故答案为：4．
7．（2020秋?龙华区期末）如图是甲，乙两种商品月的价格变化情况统计图，记甲种商品价格数据的方差为，乙种商品价格数据的方差为，那么 ．（填“”、“
”或“”
）
【解析】解：由图知，甲种商品价格的波动幅度明显小于乙种商品价格的波动幅度，
，
故答案为：．
8．（2020秋?万山区期末）在脱贫攻坚工作中，为比较甲、乙两村扶贫攻坚工作的成效，从这两村中，各随机抽取20户对其年收入情况进行调查．统计结果是两村年人均收入的平均数基本相同，方差分别是，，则年人均收入比较均衡的村是 乙 ．（填“甲”或“乙”
【解析】解：，，
，
年人均收入比较均衡的村是乙，
故答案为：乙．
9．（2020秋?昌图县期末）甲、乙两名短跑运动员，每人训练10次，平均成绩恰好相等，且甲成绩的方差是0.11，乙成绩的方差是0.09．则在这10次训练中，甲、乙两人成绩较稳定的是 乙 ．
【解析】解：甲成绩的方差是0.11，乙成绩的方差是0.09，
乙的方差小于甲的方差，
甲、乙两人成绩较稳定的是乙，
故答案为：乙．
10．（2021?宝应县一模）从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是89，方差分别是，，．你认为适合选 甲 参加决赛．
【解析】解：，，，
，
甲的成绩稳定，
适合选择甲参加决赛，
故答案为：甲．
三、解答题
11．（2021?河南模拟）距离中考体考时间越来越近，年级想了解初三年级1512名学生周末在家体育锻炼的情况，在初三年级随机抽取了18名男生和18名女生，对他们周末在家的锻炼时间进行了调查，并收集得到了以下数据（单位：分钟）
男生：28，30，32，46，68，39，80，70，66，57，70，95，100，58，69，88，99，105
女生：36，48，78，99，56，62，35，109，29，88，88，69，73，55，90，98，69，72
统计数据，并制作了如下统计表：
时间
男生
2
5
7
4
女生
1
5
9
3
分析数据：两组数据的极差、平均数、中位数、众数如表所示
平均数
中位数
众数
方差
男生
66.7
70
617.3
女生
69.7
70.5
547.2
（1）请将上面的表格补充完整： 68.5 ， ；
（2）已知该年级男女生人数差不多，根据调查的数据，估计初三年级周末在家锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）的同学约有多少人？
（3）王老师看了表格数据后认为初三年级的女生周末锻炼做得比男生好，请你结合统计数据，写出两条支持王老师观点的理由．
【解析】解：（1）将男生数据从小到大排列后，处在第9、10位的两个数的平均数为，因此中位数，
女生数据出现次数最多的是69和88，因此众数是69和88，即和88．
故答案为：68.5，69和88；
（2）据表格，可得锻炼时间在90分钟以上的男生有4人，女生有3人，（人，
答：初三年级锻炼时间在90分钟以上的同学有294人．
（3）理由一：因为，所以女生锻炼时间的平均时间更长，因此女生周末做得更好．
理由二：因为，所以锻炼时间排序后在中间位置的女生比男生更好，因此女生周末做得更好．
12．（2021?沙坪坝区校级模拟）目前，重庆市正全面开展生活垃圾分类工作．随着生活垃圾分类的全面推广，一些街镇也积极行动起来，通过入户宣传、开展各种趣味活动等，提高居民参与生活垃圾分类的积极性．为了进一步提高垃圾分类的准确度，某社区对甲、乙两个小区的居民进行了有关垃圾分类常识的测试，并从甲、乙两小区各随机抽取20名居民的测试成绩进行整理分析（成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．，下面给出了部分信息：
甲小区20名居民测试成绩：13，15，16，19，20，21，22，23，24，25，25，26，27，27，28，28，28，29，30，30．
乙小区20名居民测试成绩在组中的数据是：20，23，21，24，22，21．
甲、乙两小区被抽取居民的测试成绩统计表
平均数
中位数
方差
甲小区
23.8
25
25.75
乙小区
22.3
24.34
根据以上信息，解答下列问题：
（1） 40 ， ；
根据以上数据，你认为 小区（填“甲”或“乙”
垃圾分类的准确度更高，说明理由： ；
（2）若甲、乙两个校区居民共2400人，估计两个小区测试成绩优秀的居民人数是多少？
【解析】解：（1）乙小区20名居民测试成绩在组中的数据所占百分比为，
，
、组数据的个数为，
其中位数为，即；
根据以上数据，认为甲小区垃圾分类的准确度更高，理由如下：
甲小区垃圾分类的平均数及中位数均大于乙小区，所以甲社区的平均成绩高且高分人数多，
故答案为：40、22.5，甲、甲小区垃圾分类的平均数及中位数均大于乙小区，所以甲社区的平均成绩高且高分人数多；
（2）估计两个小区测试成绩优秀的居民人数是（人．
13．（2021?禹州市模拟）某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况．对两条流水线上的产品进行抽样调查，随机从每条流水线上各抽取20件产品称出它们的质量（单位：，规定质量在范围内的产品为合格产品．将所得数据进行收集整理，部分信息如下：
．甲，乙两条流水线的产品质量的频数分布表如下：
质量
甲
1
1
3
12
2
1
乙
2
2
2
10
3
1
．甲流水线的产品质量在“”这一组的数据如下：
400
400
400
400
400
401
401
402
402
402
403
404
．根据甲、乙两条流水线的产品质量数据，得到的统计量如下：
统计量流水线
平均数
中位数
方差
合格率
甲
401
25.5
乙
401
401
36.1
请根据以上信息，回答下列问题：
（1） 400.5 ， ．
（2）综合表中的统计量，你认为哪个流水线的产品生产情况较好？请从两个方面说明理由．
（3）若该食品厂现需要用甲流水线生产1600件产品，请估计这批产品中质量合格的有多少件．
【解析】解：（1）甲流水线的中位数为第10、11个数据的平均数，而第10、11个数据分别为400、401，
所以其中位数，
乙流水线的合格率，
故答案为：400.5，；
（2）甲流水线的产品生产情况较好，理由如下：
因为甲、乙流水线生产产品的平均数相同，而甲流水线生产产品的方差小且合格率大．
（3）估计这批产品中质量合格的有（件．
14．（2020秋?光明区期末）某区举办中学生科普知识竞赛，各学校分别派出一支代表队参赛．知识竞赛满分为100分，规定85分及以上为“合格”，95分及以上为“优秀”．现将，两个代表队的竞赛成绩分布图及统计表展示如下：
组别
平均分
中位数
方差
合格率
优秀率
队
88
90
61
队
71
（1）求出成绩统计表中，的值．
（2）小明的成绩虽然在本队排名属中游，但是竞赛成绩低于本队的平均分，那么小明应属于哪个队？
（3）从平均分、合格率、优秀率、队内成绩的整齐性等方面进行综合评价，你认为集体奖应该颁给哪一队？
【解析】解：（1）队成绩的平均分（分），中位数（分）．
（2）队的中位数为90分高于平均分88分，队的中位数85分低于平均数87分，
小明应该属于队；
（3）应该颁给队，理由如下：
①组的平均数和中位数高于队，优秀率也高于队，说明队的总体平均水平高于队；
②队的中位数高于队，说明队高分段学生较多；
③虽然队合格率高于队，但队方差低于队，即队的成绩比队的成绩整齐，
所以集体奖应该颁给队．
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精品试卷·第
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人教版
八年级数学下册
20.2
数据的波动程度（第2课时）
1.能熟练计算一组数据的方差；（重点）
2.能用样本的方差估计总体的方差及根据方差做决策。（难点）
学习目标
1.写出方差的计算公式：
3.方差的适用条件：
当两组数据的平均数相等或相近时，才利用方差来判断它们的波动情况．
2.意义：方差越大，数据的波动越大；
方差越小，数据的波动越小．
回顾旧知
例1
：现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近，快餐公司决定通过检查鸡腿的重量来确定选购哪家公司的鸡腿，检查人员从两家的鸡腿中各抽取15个鸡腿，记录它们的质量如下（单位：g）：
用样本方差估计总体方差
1
甲
74
74
75
74
76
73
76
73
76
75
78
77
74
72
73
乙
75
73
79
72
76
71
73
72
78
74
77
78
80
71
75
根据上面的数据，你认为快餐公司应该选购哪家加工厂的鸡腿？
知识讲解
解：甲、乙两家抽取的样本数据的平均数分别是
样本平均数相同，估计这批鸡腿的平均质量相近．
甲
74
74
75
74
76
73
76
73
76
75
78
77
74
72
73
乙
75
73
79
72
76
71
73
72
78
74
77
78
80
71
75
样本数据的方差分别是
由
可知，两家加工厂的鸡腿质量大致相等；由
可知，甲加工厂的鸡腿质量更稳定，大小更均匀．因此，快餐公司应该选购甲加工厂生产的鸡腿．
用样本方差来估计总体方差是统计的基本思想，就像用样本的平均数估计总体的平均数一样，考察总体方差时如果所要考察的总体包含很多个体，或者考察本身带有破坏性，实际中常常用样本方差来估计总体方差.
归纳小结
例2
：某跳远队准备从甲、乙两名运动员中选取成绩稳定的一名参加比赛.下表是这两名运动员10次测验成绩（单位：m）：
甲
5.85
5.93
6.07
5.91
5.99
6.13
5.98
6.05
6.00
6.19
乙
6.11
6.08
5.83
5.92
5.84
5.81
6.18
6.17
5.85
6.21
你认为应该选择哪名运动员参赛？为什么？
解：甲、乙测验成绩的平均数分别是
方差分别是
s2甲<
s2乙，因此，应该选甲参加比赛.
知识讲解
1.
甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下：
甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，4
乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7
经过计算，两人命中环数的平均数相同，但s2甲
s2乙，所以确定
去参加比赛.
>
乙
当堂训练
2.从甲、乙两种农作物中各抽取10株苗，分别测得它的苗高如下：(单位：cm)
甲：9，10，11，12，7，13，10，8，12，8
乙：8，13，12，11，10，12，7，7，9，11
问：(1)哪种农作物的苗长得比较高？
(2)哪种农作物的苗长得比较整齐？
解：(1)
，
∴两种农作物的苗长得一样高；
(2)
s2甲=3.6，s2乙=4.2，∵s2甲∴甲种农作物的苗长得比较整齐。
当堂训练
例3
某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛．在最近10次选拔赛中，他们的成绩（单位:
cm）如下：
甲：585
596
610
598
612
597
604
600
613
601
乙：613
618
580
574
618
593
585
590
598
624
（1）这两名运动员的运动成绩各有何特点？
分析：分别计算出平均数和方差；根据平均数判断出谁的成绩好，根据方差判断出谁的成绩波动大．
利用样本方差做决策
2
知识讲解
解：
(585+596+610+598+612+597+604+600+613+601)
=601．6，s2甲≈59.85；
(613+618+580+574+618+593+585+590+598+624)
=599．3，s2乙≈258.37．
由上面计算结果可知：甲队员的平均成绩较好，也比较稳定，乙队员的成绩相对不稳定．但甲队员的成绩不突出，乙队员和甲队员相比比较突出．
（2）历届比赛表明，成绩达到5.96
m就很可能夺冠，
你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？如果历
届比赛成绩表明，成绩达到6.10
m就能打破纪录，
那么你认为为了打破纪录应选谁参加这项比赛．
解：从平均数分析可知，甲、乙两队员都有夺冠的可能．但由方差分析可知，甲成绩比较平稳，夺冠的可能性比乙大．
但要打破纪录，成绩要比较突出，因此乙队员打破纪录的可能性更大，我认为为了打破纪录，应选乙队员参加这项比赛．
甲、乙两班各有8名学生参加数学竞赛，成绩如下表：
甲
65
74
70
80
65
66
69
71
乙
60
75
78
61
80
62
65
79
请比较两班学生成绩的优劣.
当堂训练
1.甲、乙两台机床同时生产一种零件.在10天中，两台机床每天出次品的数量如下表.
甲
0
1
0
2
2
0
3
1
2
4
乙
2
3
1
1
0
2
1
1
0
1
(1)分别计算两组数据的平均数和方差；
(2)从计算结果看，在10天中，哪台机床出次品的平均数较小？哪台机床出次品的波动较小？
巩固提高
2.甲、乙两台包装机同时包装糖果.从中各抽出10袋，测得它们的实际质量（单位：g）如下表.
甲
501
506
508
508
497
508
506
508
507
499
乙
505
507
505
498
505
506
505
505
506
506
(1)分别计算两组数据的平均数和方差；
(2)哪台包装机包装的10袋糖果的质量比较稳定？
3.为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中随机抽取10株麦苗，测得苗高（单位：cm）如下表.
甲
12
13
14
15
10
16
13
11
15
11
乙
11
16
17
14
13
19
6
8
10
16
(1)分别计算两种小麦的平均苗高；
(2)哪种小麦的长势比较整齐？
4.为了从甲、乙两名学生中选择一人去参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行10次测验，成绩（单位：分）如下：
甲的成绩
76
84
90
84
81
87
88
81
85
84
乙的成绩
82
86
87
90
79
81
93
90
74
78
（1）填写下表：
同学
平均成绩
中位数
众数
方差
85分以上的频率
甲
84
84
0.3
乙
84
84
34
84
90
0.5
14.4
（2）利用以上信息，请从不同的角度对甲、乙两名同学的成绩进行评价。
（2）利用以上信息，请从不同的角度对甲、乙两名同学的成绩进行评价
从众数看，甲成绩的众数为84分，乙成绩的众数是90分，乙的成绩比甲好；
从方差看，s甲2
=
14.4，
s乙2
=
34，
甲的成绩比乙相对稳定；
从甲、乙的中位数、平均数看，中位数、平均数都是84分，两人成绩一样好；
从频率看，甲85分以上的次数比乙少，乙的成绩比甲好.
根据方差做决策方差
方差的作用：比较数据的稳定性
利用样本方差估计总体方差
课堂小结
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