人教版2020——2021年 九年级数学下册第二十七章 相似三角形的应用同步训练（word版含解析）

九年级数学相似三角形的应用同步训练
一、 选择题
?1. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠ABD=36?，则图中相似三角形的对数有（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
?2. 若P是Rt△ABC斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线有（ ）条．
A.1 B.2 C.3 D.4
?3. 如图所示，不能判定△ABC?△DAC的条件是(? ? ? ? )

A.∠B=∠DAC B.∠BAC=∠ADC
C.AC2=DC?BC D.AD2=BD?BC
4. 如图，已知AB＝12，点C，D在AB上，且AC＝DB＝2，点P从点C沿线段CD向点D运动（运动到点D停止），以AP、BP为斜边在AB的同侧画等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，连接EF，取EF的中点G，下列说法中正确的有（ ）
①△EFP的外接圆的圆心为点G；②四边形AEFB的面积不变；
③EF的中点G移动的路径长为4；④△EFP的面积的最小值为8．

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
?5. 如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过P点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
?6. 如图，已知 AC=FE,BC=DE，点A，D，B，F在一条直线上，要利用“SSS”证明△ABC?△△FDE，还可以添加的一个条件是 （????????）

A.AD=FB B.DE=BD C.BF=DB D.以上都不对
?7. 如图，若P为△ABC的边AB上一点(AB>AC)，则下列条件不一定能保证△ACP∽△ABC的有（ ）

A.∠ACP＝∠B B.∠APC＝∠ACB
C.ACAB=APAC D.PCBC=ACAB
8. 两个相似三角形的面积比为1:4，则它们对应的中线的比为（ ）
A.1:2 B.2:1 C.1:2 D.2:1
?9. 如图，AD、BC相交于点O，AB?//?CD，若AOOD=23，则ABCD的值是（ ）
A.25 B.32 C.23 D.49
?10. 若△ABC∽△A'B'C'，∠A=30?，∠B=70?，则∠C'=( )
A.30? B.70? C.100? D.80?
?
11. 如图，在△ABC中，DE//BC，分别交AB，AC于点D，E． 若AD=1，DB=3，则△ADE的面积与△ABC的面积的比等于（ ）

A.13 B.14 C.19 D.116
?12. 如图，小明从路灯下A处向前走了5米，发现自己在地面上的影子长DE是2米，如果小明的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度AB是（ ）

A.4米 B.5.6米 C.2.2米 D.12.5米
?13. 如图，已知△ABC，BDDC=23，AEEC=34，AD、BE交于F，则AFFD?BFFE的值是（ ）
A.73 B.149 C.3512 D.5613
?14. 如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（ ）
A.4.5米 B.6米 C.7.5米 D.8米
?15. 如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AD与BE相交于点G，若AG:GD＝4:1，BD:DC＝2:3，则AE:EC的值是(??)

A. B. C. D.
二、 填空题
?16. 如图，点C是△ABD的边BD上一点， CD=3BC，若∠BAC=∠D,则BC:AB=__________.

?17. 某小组的同学用如下的方法来测量操场上旗杆的高度，在同一时刻量的某同学的身高为1.5米，影长1米，旗杆影长8米，则旗杆的长度为________?米.
?18. 在同一时间小明测得一棵树的影长是身高1.6m小华的影长4.5倍，则这棵树的高度是________．
?19. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90?，CD⊥AB于D，CD=6，BD=4，则AD=________．
三、 解答题 ?
20. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90?，BD⊥AC于D，求证：AB2=AD?AC，BD2=AD?DC．
?21. 如图，AD是△ABC的角平分线，以AD为弦的⊙O交AB，AC于E，F，已知EF?//?BC．

(1)求证：△AED?△DFC；
(2)若已知AE=6，CF=3，求DE长.
?22. 如图，在Rt△ACB中，∠C=90?，AC=16cm，BC=8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P的运动速度为4cm/s，Q点的运动速度为2cm/s，那么运动几秒时，△ABC和△PCQ相似？
参考答案
一、 选择题
1.
【答案】
B
【解答】
解：∵ AB=AC，∠A=36?，
∴ ∠ABC=∠C=12(180?-36?)=72?，
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠CBD=12∠ABC=12×72?=36?，
∴ ∠CBD=∠A，
∴ △BDC∽△ABC，
∴ 相似三角形的对数有1对．
故选：B．．
2.
【答案】
C
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
D
【解答】
解：已知，在△ABC和△DAC中，
∠ACD=∠BAC.
如果△ABC?△DAC，需满足的条件有：
①∠B=∠DAC或∠BAC=∠ADC；
②AC2=DC?BC，
故只有选项D不能判定△ABC?△DAC.
故选D．
4.
【答案】
B
【解答】
如图，
分别延长AE、BF交于点H．
∵ 等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，
∴ ∠A＝∠FPB＝45?，∠B＝∠EPA＝45?，
∴ AH?//?PF，BH?//?PE，∠EPF＝180?-∠EPA-∠FPB＝90?，
∴ 四边形EPFH为平行四边形，
∴ EF与HP互相平分．
∵ G为EF的中点，
∴ G也为PH中点，
即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，
∴ G的运行轨迹为△HCD的中位线MN．
∵ CD＝12-2-2＝8，
∴ MN＝4，即G的移动路径长为4．
故③EF的中点G移动的路径长为4，正确；
∵ G为EF的中点，∠EPF＝90?，
∴ ①△EFP的外接圆的圆心为点G，正确．
∴ ①③正确．
∵ 点P从点C沿线段CD向点D运动（运动到点D停止），易证∠EPF＝90?，所以四边形面积便是三个直角三角形的面积和，设cp＝x，则四边形面积S=x2-8x+1244
∴ AP不断增大，
∴ 四边形的面积S也会随之变化，故②错误．
④等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，
∠EPF＝90?，
AP=2PE，BP=2PF，
当AP＝AC＝2时，即PE=2，PF＝52，
S△PEF最小=12PE?PF＝5，故④错误；
5.
【答案】
C
【解答】
解：由于△ABC是直角三角形，
过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，
所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，
过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线．
故选：C．
6.
【答案】
A
【解答】
解：
∵ AC=EF?，BC=DE，
∴ 要根据sss证明△ABC?△FDB.
∴ 需要添加AD=BF即可.
故选：A．
7.
【答案】
D
【解答】
∵ ∠A＝∠A，
∴ 当∠APC＝∠ACB或∠ACP＝∠B或AC:AB＝AP:AC或AC2＝AB?AP时，
△ACP∽△ABC．
8.
【答案】
A
【解答】
解：∵ 两个相似三角形的面积比为1:4
∴ 它们的相似比为1:2
∴ 它们对应的中线的比为1:2．
故选A．
9.
【答案】
C
【解答】
解：∵ AB?//?CD，
∴ △AOB∽△DOC，
∴ ABCD=AOOD=23，
故选C．
10.
【答案】
D
【解答】
解：∵ ∠A=30?，∠B=70?，
∴ ∠C=180?-∠A-∠B=180?-30?-70?=80?，
∵ △ABC∽△A'B'C'，
∴ ∠C'=∠C=80?．
故选D．
11.
【答案】
D
【解答】
解：?DE/BC,
△ADE-△ABC,
S△ADES△ABC=AD2AB2,
AD=1,DB=3
AB=4,
S△ADES△ABC=ADAB2=142=116
故答案为：D．
12.
【答案】
B
【解答】
由图知，DE＝2米，CD＝1.6米，AD＝5米，
∴ AE＝AD+DE＝5+2＝7米
∵ CD?//?AB，
∴ △ECD∽△EBA
∴ CDAB=DEAE，即1.6AB=25+2，
解得AB＝5.6（米）．
13.
【答案】
C
【解答】
解：作EG?//?BC交AD于G，
∵ BDDC=23，AEEC=34，
∴ AEAC=37，
∴ GECD=37，
∴ GEBD=914，
∴ BFFE=149．
作DH?//?AC交BE于H，则DH=25CE=815AE，
∴ AFFD=AEDH=158，
∴ AFFD?BFFE=149×158=3512．
故选C．
14.
【答案】
B
【解答】
解：∵ 王华的身高王华的影长=路灯的高度路灯的影长，
当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即CDBD=CGAB，
当王华在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即EFBF=EHAB=CGAB，
∴ CDBD=EFBF，
∵ CG=EH=1.5米，CD=1米，CE=3米，EF=2米，
设AB=x，BC=y，
∴ 1y+1=2y+5，
解得y=3，
则1.5x=14，
解得，x=6米．
即路灯A的高度AB=6米．
故选B．
15.
【答案】
C
【解答】
解：如图，过点D作DFAC交BE于点F，
则△BCE?△BDF,△GDF?△GAE
∴ DFEC=BDBC?DFAE=DGAG
∵AG:GD=4:1,BD:DC=2:3
EC=52DFAE=ADFF
AEEC=4DF,52DF=4:52=85
故选C．
二、 填空题
16.
【答案】
12
【解答】
解：∵ CD=3BC，
∴ S△ACD=3S△ABC???，
∴ S△ABD=4S△ABC???.
∵ ∠BAC=∠D，∠B=∠B，
∴ △ABC?△DBA，
∴ S△ABCS△DBA=BCAB2=14，
∴ BCAB=12．
故答案为：12.
17.
【答案】
12
【解答】
解：设旗杆的长度为x米，
由题意，得x8=1.51，
解得x=12.
故答案为：12．
18.
【答案】
7.2m
【解答】
解：根据题意得，在同一时间，树的高度小华的身高=树的影长小华的影长，
即树的高度1.6=4.5，
解得，树的高度=7.2m．
故答案为：7.2m．
19.
【答案】
9
【解答】
解：∵ ∠C=90?，CD⊥AB，
∴ CD2=AD?BD，
∴ AD=CD2BD=9，
故答案为：9．
三、 解答题
20.
【答案】
证明：∵ BD⊥AC，
∴ ∠ADB=∠CDB=90?，
∵ ∠BAD=∠CAB，
∴ Rt△ABD∽Rt△ACB，
∴ AB:AC=AD:AB，
∴ AB2=AD?AC；
∵ ∠A+∠ABD=90?，∠DBC+∠ABD=90?，
∴ ∠A=∠DBC，
∴ Rt△ABD∽Rt△BCD，
∴ BD:CD=AD:BD，
∴ BD2=AD?DC．
【解答】
证明：∵ BD⊥AC，
∴ ∠ADB=∠CDB=90?，
∵ ∠BAD=∠CAB，
∴ Rt△ABD∽Rt△ACB，
∴ AB:AC=AD:AB，
∴ AB2=AD?AC；
∵ ∠A+∠ABD=90?，∠DBC+∠ABD=90?，
∴ ∠A=∠DBC，
∴ Rt△ABD∽Rt△BCD，
∴ BD:CD=AD:BD，
∴ BD2=AD?DC．
21.
【答案】
(1)证明：∵ EF//BC，
∴ ∠4=?∠3，
又∵?∠1=∠3，
∴∠4=∠1，
又∵ ∠DFC=∠AED，
∴ △AED?△DFC.
(2)解：∵ ∠1=∠2，∠1=∠3，
∴ ∠2=∠3，
又∠DEF=∠2，
∴ ∠DEF=∠3，
∴ DE=DF，
又△AED?△DFC，
∴ AEDF=DEFC，
∴ DF×DE=AE×FC，
又AE=6，CF=3，
∴ DE=32.
【解答】
(1)证明：∵ EF//BC，
∴ ∠4=?∠3，
又∵?∠1=∠3，
∴∠4=∠1，
又∵ ∠DFC=∠AED，
∴ △AED?△DFC.
(2)解：∵ ∠1=∠2，∠1=∠3，
∴ ∠2=∠3，
又∠DEF=∠2，
∴ ∠DEF=∠3，
∴ DE=DF，
又△AED?△DFC，
∴ AEDF=DEFC，
∴ DF×DE=AE×FC，
又AE=6，CF=3，
∴ DE=32.
22.
【答案】
同时运动0.8s或者2s时两个三角形相似．
【解答】
解：设同时运动ts时两个三角形相似，
当△PCQ∽△BCA，则PCBC=CQAC，4t8=8-2t16，t=0.8；
当△PCQ∽△ACB，则CQBC=PCAC，8-2t8=4t16，t=2．