北师大版七年级数学下册 第3章 变量之间的关系 单元复习试题（Word版含解析）

第3章
变量之间的关系
一、选择题
1．在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是（　　）
A．太阳光强弱
B．水的温度
C．所晒时间
D．热水器
2．气温y（℃）随高度x（km）的变化而变化的情况如下表，由表可知，气温y随着高度x的增大而（　　）
高度x/km
0
1
2
3
4
5
6
7
8
气温y/℃
28
22
16
10
4
﹣2
﹣8
﹣14
﹣20
A．升高
B．降低
C．不变
D．以上都不对
3．长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（　　）
A．y＝x2
B．y＝（12﹣x）2
C．y＝2（12﹣x）
D．y＝（12﹣x）x
4．小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，加快了骑车速度，下面是小明离家后他到学校剩下的路程s关于时间t的函数图象，那么符合小明行驶情况的图象大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．均匀地向如图的容器中注满水，能反映在注水过程中水面高度h随时间t变化的函数图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系，下列说法：
①乙晚出发1小时；
②乙出发3小时后追上甲；
③甲的速度是4千米/小时；
④乙先到达B地．
其中正确的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．匀速地向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t之间的函数关系如图所示，则该容器可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速行驶一段时间后到达学校，小刚从家到学校行驶路程s（单位：m）与时间t（单位：min）之间函数关系的大致图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．某批发市场对外批发某品脾的玩具，其价格与件数关系如图所示，请你根据图中描述判断：下列说法中错误的是（　　）
A．当件数不超过30件时，每件价格为60元
B．当件数在30到60之间时，每件价格随件数增加而减少
C．当件数为50件时，每件价格为55元
D．当件数不少于60件时，每件价格都是45元
10．甲，乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A，B两地间的路程为40km他们前进的路程为s（km），甲出发后的时间为t（h），甲，乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法不正确的是（　　）
A．甲的速度是10km/h
B．乙出发h后与甲相遇
C．乙的速度是40km/h
D．甲比乙晚到B地2h
11．放学后，小刚和同学边聊边往家走，突然想起今天是妈妈的生日，赶紧加快速度，跑步回家．小刚离家的距离s（m）和放学后的时间t（min）之间的关系如图所示，给出下列结论：
①小刚边走边聊阶段的行走速度是125m/min；②小刚家离学校的距离是1000m；③小刚回到家时已放学10min；④小刚从学校回到家的平均速度是100m/min
其中正确的个数为是（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
12．某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）：
温度/℃
﹣20
﹣10
0
10
20
30
声速/m/s
318
324
330
336
342
348
下列说法错误的是（　　）
A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速
B．温度越高，声速越快
C．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740m
D．当温度每升高10℃，声速增加6m/s
二、填空题
13．同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是y＝x+32，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是　
　℉．
14．小雨画了一个边长为3cm的正方形，如果将正方形的边长增加xcm那么面积的增加值y（cm2）与边长的增加值x（cm）之间的关系式为　
　．
15．小明早晨从家骑车到学校，先上坡，后下坡，行驶情况如图所示，如果返回时上、下坡的速度与去学校时上、下坡的速度相同，那么小明从学校骑车回家用的时间是　
　．
16．某航空公司行李的托运费按行李的质量收取，30kg以下免费，30kg及以上按图中所示的关系来计算，若某人行李的质量为200kg，则他需要付托运费　
　．
17．如图是甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程与时间的关系图象，则甲的速度　
　乙的速度（用“＞”“＝”或“＜”填空）．
18．将长为25cm、宽为10cm的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为2cm，设x张白纸粘合后的总长度为ycm，y与x的函数关系式为　
　．
19．如图，△ABC的边BC长12cm，乐乐观察到当顶点A沿着BC边上的高AD所在直线上运动时，三角形的面积发生变化．在这个变化过程中，如果三角形的高为x（cm），那么△ABC的面积y（cm2）与x（cm）的关系式是　
　．
三.解答题
20．某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如下表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）：
x（人）
500
1000
1500
2000
2500
3000
…
y（元）
﹣3000
﹣2000
﹣1000
0
1000
2000
…
（1）在这个变化过程中，　
　是自变量，　
　是因变量；
（2）观察表中数据可知，每月乘客量达到　
　人以上时，该公交车才不会亏损；
（3）请你估计当每月乘车人数为3500人时，每月利润为多少元？
21．地表以下岩层的温度与它所处的深度有表中的关系：
岩层的深度h/km
1
2
3
4
5
6
…
岩层的温度t/℃
55
90
125
160
195
230
…
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）岩层的深度h每增加1km，温度t是怎样变化的？试写出岩层的温度t与它的深度h之间的关系式；
（3）估计岩层10km深处的温度是多少．
22．张阳从家里跑步去体育场，在那里锻炼了一会儿后，又走到文具店去买笔，然后走回家，如图是张阳离家的距离与时间的关系图象．根据图象回答下列问题：
（1）体育场离张阳家多少千米？
（2）体育场离文具店多少千米？张阳在文具店逗留了多长时间？
（3）张阳从文具店到家的速度是多少？
23．如图，一个半径为18cm的圆，从中心挖去一个正方形，当挖去的正方形的边长由小变大时，剩下部分的面积也随之发生变化．
（1）若挖去的正方形边长为x（cm），剩下部分的面积为y（cm2），则y与x之间的关系式是什么？
（2）当挖去的正方形的边长由1cm变化到9cm时，剩下部分的面积由　
　cm2变化到　
　cm2．
参考答案
一、选择题
1．在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是（　　）
A．太阳光强弱
B．水的温度
C．所晒时间
D．热水器
【分析】函数的定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数，x叫自变量．函数关系式中，某特定的数会随另一个（或另几个）会变动的数的变动而变动，就称为因变量．
【解答】解：根据函数的定义可知，水温是随着所晒时间的长短而变化，可知水温是因变量，所晒时间为自变量．
故选：B．
2．气温y（℃）随高度x（km）的变化而变化的情况如下表，由表可知，气温y随着高度x的增大而（　　）
高度x/km
0
1
2
3
4
5
6
7
8
气温y/℃
28
22
16
10
4
﹣2
﹣8
﹣14
﹣20
A．升高
B．降低
C．不变
D．以上都不对
【分析】根据表格提供的数据第一行自变量x从左到右是逐渐增大的，对应的因变量y是从左到右是逐渐降低的．
【解答】解：由表格提供的数据第一行自变量x从左到右是逐渐增大的，对应的因变量y是逐渐减少的，
故选：B．
3．长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（　　）
A．y＝x2
B．y＝（12﹣x）2
C．y＝2（12﹣x）
D．y＝（12﹣x）x
【分析】首先利用x表示出长方形的另一边长，然后利用长方形的面积公式求解．
【解答】解：长方形的一边是xcm，则另一边长是（12﹣x）cm．
则y＝（12﹣x）x．
故选：D．
4．小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，加快了骑车速度，下面是小明离家后他到学校剩下的路程s关于时间t的函数图象，那么符合小明行驶情况的图象大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】由于开始以正常速度匀速行驶，接着停下修车，后来加快速度匀驶，所以开始行驶路S是均匀减小的，接着不变，后来速度加快，所以S变化也加快变小，由此即可作出选择．
【解答】解：因为开始以正常速度匀速行驶﹣﹣﹣停下修车﹣﹣﹣加快速度匀驶，可得S先缓慢减小，再不变，在加速减小．
故选：D．
5．均匀地向如图的容器中注满水，能反映在注水过程中水面高度h随时间t变化的函数图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】由于三个容器的高度相同，粗细不同，那么水面高度h随时间t变化而分三个阶段．
【解答】解：最下面的容器较粗，第二个容器最粗，那么第二个阶段的函数图象水面高度h随时间t的增大而增长缓慢，用时较长，最上面容器最小，那么用时最短．
故选：A．
6．A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系，下列说法：
①乙晚出发1小时；
②乙出发3小时后追上甲；
③甲的速度是4千米/小时；
④乙先到达B地．
其中正确的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】观察函数图象，从图象中获取信息，根据速度，路程，时间三者之间的关系求得结果．
【解答】解：由函数图象可知，乙比甲晚出发1小时，故①正确；
乙出发3﹣1＝2小时后追上甲，故②错误；
甲的速度为：12÷3＝4（千米/小时），故③正确；
乙的速度为：12÷（3﹣1）＝6（千米/小时），
则甲到达B地用的时间为：20÷4＝5（小时），
乙到达B地用的时间为：20÷6＝（小时），
1+3，
∴乙先到达B地，故④正确；
正确的有3个．
故选：C．
7．匀速地向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t之间的函数关系如图所示，则该容器可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】由函数图象可得容器形状不是均匀物体分析判断，由图象及容积可求解．
【解答】解：相比较而言，前一个阶段，用时较少，高度增加较快，那么下面的物体应较细．由图可得上面立方体的体积应大于下面立方体的体积．
故选：D．
8．小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速行驶一段时间后到达学校，小刚从家到学校行驶路程s（单位：m）与时间t（单位：min）之间函数关系的大致图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据小刚行驶的路程与时间的关系，确定出图象即可．
【解答】解：根据题意得：小刚从家到学校行驶路程s（单位：m）与时间t（单位：min）之间函数关系的大致图象是
故选：B．
9．某批发市场对外批发某品脾的玩具，其价格与件数关系如图所示，请你根据图中描述判断：下列说法中错误的是（　　）
A．当件数不超过30件时，每件价格为60元
B．当件数在30到60之间时，每件价格随件数增加而减少
C．当件数为50件时，每件价格为55元
D．当件数不少于60件时，每件价格都是45元
【分析】根据函数图象和图象中的数据可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
当件数不超过30件时，每件价格为60元，故选项A正确，
当件数在30到60之间时，每件价格随件数增加而减少，故选项B正确，
当件数为50件时，每件价格为：60﹣＝50（元），故选项C错误，
当件数不少于60件时，每件价格都是45元，故选项D正确，
故选：C．
10．甲，乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A，B两地间的路程为40km他们前进的路程为s（km），甲出发后的时间为t（h），甲，乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法不正确的是（　　）
A．甲的速度是10km/h
B．乙出发h后与甲相遇
C．乙的速度是40km/h
D．甲比乙晚到B地2h
【分析】A，B两地路程为40千米，由图象可得甲乙所用时间，从而可求得甲和乙的速度以及甲比乙晚到的时间；利用追及问题关系可求得甲乙相遇的时间．
【解答】解：已知
A，B两地间的路程为40km，由图可知，从A地到B，甲用时4小时，乙用时2﹣1＝1小时
∴甲的速度为40÷4＝10km/h，故A正确；
乙的速度为40÷1＝40km/h，故C选项正确；
设乙出发t小时后与甲相遇，则40t＝10（t+1）
∴t＝，故B选项错误；
由图可知，甲4小时到达B地，乙2小时到达B地，从而甲比乙晚到2小时，故D正确．
故选：B．
11．放学后，小刚和同学边聊边往家走，突然想起今天是妈妈的生日，赶紧加快速度，跑步回家．小刚离家的距离s（m）和放学后的时间t（min）之间的关系如图所示，给出下列结论：
①小刚边走边聊阶段的行走速度是125m/min；②小刚家离学校的距离是1000m；③小刚回到家时已放学10min；④小刚从学校回到家的平均速度是100m/min
其中正确的个数为是（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【分析】由0≤t≤8所对应的图象表示小刚边走边聊阶段，根据速度＝路程÷时间可判断①；由t＝0时s＝1000的实际意义可判断②；根据t＝10时s＝0可判断③；总路程除以所用总时间即可判断④．
【解答】解：①小刚边走边聊阶段的行走速度是＝50（m/min），此①错误；
②当t＝0时，s＝1000，即小刚家离学校的距离是1000m，此②正确；
③当s＝0时，t＝10，即小刚回到家时已放学10min，此③正确；
④小刚从学校回到家的平均速度是＝100（m/min），此④正确；
故选：B．
12．某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）：
温度/℃
﹣20
﹣10
0
10
20
30
声速/m/s
318
324
330
336
342
348
下列说法错误的是（　　）
A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速
B．温度越高，声速越快
C．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740m
D．当温度每升高10℃，声速增加6m/s
【分析】根据自变量、因变量的含义，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可．
【解答】解：∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，
∴选项A正确；
∵根据数据表，可得温度越高，声速越快，
∴选项B正确；
∵342×5＝1710（m），
∴当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1710m，
∴选项C错误；
∵324﹣318＝6（m/s），330﹣324＝6（m/s），336﹣330＝6（m/s），342﹣336＝6（m/s），348﹣342＝6（m/s），
∴当温度每升高10℃，声速增加6m/s，
∴选项D正确．
故选：C．
二、填空题
13．同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是y＝x+32，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是　77　℉．
【分析】把x的值代入函数关系式计算求出y值即可．
【解答】解：当x＝25°时，
y＝×25+32
＝77，
故答案为：77．
14．小雨画了一个边长为3cm的正方形，如果将正方形的边长增加xcm那么面积的增加值y（cm2）与边长的增加值x（cm）之间的关系式为　y＝x2+6x　．
【分析】直接利用新正方形面积减去原正方形面积进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：y＝（3+x）2﹣32＝x2+6x．
故答案为：y＝x2+6x．
15．小明早晨从家骑车到学校，先上坡，后下坡，行驶情况如图所示，如果返回时上、下坡的速度与去学校时上、下坡的速度相同，那么小明从学校骑车回家用的时间是　37.2min　．
【分析】根据图表可计算出上坡的速度以及下坡的速度．又已知返回途中的上、下坡的路程正好相反，故可计算出共用的时间．
【解答】解：由图中可以看出：上坡速度为：＝200（米/分），下坡速度为：＝500（m/min），
小明从学校骑车回家用的时间是：+＝7.2+30＝37.2（min）．
故答案为：37.2min．
16．某航空公司行李的托运费按行李的质量收取，30kg以下免费，30kg及以上按图中所示的关系来计算，若某人行李的质量为200kg，则他需要付托运费　340元　．
【分析】将x＝200代入函数关系式进行计算即可．
【解答】解：把x＝200代入得，
y＝2×200﹣60＝340（元），
故答案为：340元．
17．如图是甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程与时间的关系图象，则甲的速度　＞　乙的速度（用“＞”“＝”或“＜”填空）．
【分析】依题意，根据函数的图象可知，该函数为路程与时间关系的图象，甲的位移比乙的增加得快，故甲速大于乙速．
【解答】解：根据题意：甲的位移增加得快，故甲的速度大于乙的速度．
故答案为：＞．
18．将长为25cm、宽为10cm的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为2cm，设x张白纸粘合后的总长度为ycm，y与x的函数关系式为　y＝23x+2　．
【分析】等量关系为：纸条总长度＝25×纸条的张数﹣（纸条张数﹣1）×2，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：每张纸条的长度是25cm，x张应是25xcm，
由图中可以看出4张纸条之间有3个粘合部分，那么x张纸条之间有（x﹣1）个粘合，应从总长度中减去．
∴y与x的函数关系式为：y＝25x﹣（x﹣1）×2＝23x+2．
故答案为：y＝23x+2．
19．如图，△ABC的边BC长12cm，乐乐观察到当顶点A沿着BC边上的高AD所在直线上运动时，三角形的面积发生变化．在这个变化过程中，如果三角形的高为x（cm），那么△ABC的面积y（cm2）与x（cm）的关系式是　y＝6x　．
【分析】利用三角形的面积公式即可得到关系式．
【解答】解：∵△ABC的面积＝BC?x＝×12?x＝6x，
∴y与x的关系式为：y＝6x．
故答案为：y＝6x．
三.解答题
20．某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如下表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）：
x（人）
500
1000
1500
2000
2500
3000
…
y（元）
﹣3000
﹣2000
﹣1000
0
1000
2000
…
（1）在这个变化过程中，　每月的乘车人数x　是自变量，　每月的利润y　是因变量；
（2）观察表中数据可知，每月乘客量达到　观察表中数据可知，每月乘客量达到2000　人以上时，该公交车才不会亏损；
（3）请你估计当每月乘车人数为3500人时，每月利润为多少元？
【分析】（1）直接利用常量与变量的定义分析得出答案；
（2）直接利用表中数据分析得出答案；
（3）利用由表中数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，进而得出答案．
【解答】解：（1）在这个变化过程中，每月的乘车人数x是自变量，每月的利润y是因变量；
故答案为：每月的乘车人数x，每月的利润y；
（2）观察表中数据可知，每月乘客量达到观察表中数据可知，每月乘客量达到2000人以上时，该公交车才不会亏损；
故答案为：观察表中数据可知，每月乘客量达到2000；
（3）由表中数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，
当每月的乘车人数为2000人时，每月利润为0元，则当每月乘车人数为3500人时，每月利润为3000元．
21．地表以下岩层的温度与它所处的深度有表中的关系：
岩层的深度h/km
1
2
3
4
5
6
…
岩层的温度t/℃
55
90
125
160
195
230
…
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）岩层的深度h每增加1km，温度t是怎样变化的？试写出岩层的温度t与它的深度h之间的关系式；
（3）估计岩层10km深处的温度是多少．
【分析】（1）直接利用常量与变量的关系得出自变量和因变量；
（2）利用表格中数据进而得出答案；
（3）直接利用（2）中函数关系式得出t的值．
【解答】解：（1）上表反映了岩层的深度h（km）与岩层的温度t（℃）之间的关系；
其中岩层深度h（km）是自变量，岩层的温度t（℃）是因变量；
（2）岩层的深度h每增加1km，温度t上升35℃，
关系式：t＝55+35（h﹣1）＝35h+20；
（3）当h＝10km时，t＝35×10+20＝370（℃）．
22．张阳从家里跑步去体育场，在那里锻炼了一会儿后，又走到文具店去买笔，然后走回家，如图是张阳离家的距离与时间的关系图象．根据图象回答下列问题：
（1）体育场离张阳家多少千米？
（2）体育场离文具店多少千米？张阳在文具店逗留了多长时间？
（3）张阳从文具店到家的速度是多少？
【分析】（1）根据离开家的最大距离就是体育场到张阳家的距离解答；
（2）根据纵坐标的两个距离不变时的距离的差为体育场离文具店的距离计算即可得解，再求出距离不变时的时间差即可；
（3）根据速度＝路程÷时间，列式计算即可得解．
【解答】解：（1）体育场离张阳家2.5
km．
（2）因为2.5﹣1.5＝1（km），所以体育场离文具店1
km．因为65﹣45＝20（min），所以张阳在文具店逗留了20
min．
（3）文具店到张阳家的距离为1.5
km，张阳从文具店到家用的时间为100﹣65＝35（min），所以张阳从文具店到家的速度为1.5÷＝（km/h）．
23．如图，一个半径为18cm的圆，从中心挖去一个正方形，当挖去的正方形的边长由小变大时，剩下部分的面积也随之发生变化．
（1）若挖去的正方形边长为x（cm），剩下部分的面积为y（cm2），则y与x之间的关系式是什么？
（2）当挖去的正方形的边长由1cm变化到9cm时，剩下部分的面积由　（324π﹣1）　cm2变化到　（324π﹣81）　cm2．
【分析】（1）分别求出圆的面积、正方形的面积，结合题意计算，得到答案；
（2）求出正方形的边长为1cm和9cm时正方形的面积，得到答案．
【解答】解：（1）∵圆的半径为18cm，
∴圆的面积＝324π，
∵正方形边长为xcm，
∴正方形的面积为x2，
则剩下部分的面积为y＝324π﹣x2；
（2）正方形的边长为1cm时，剩下部分的面积为324π﹣1，
正方形的边长为9cm时，剩下部分的面积为324π﹣81，
∴剩下部分的面积由（324π﹣1）cm2变化到（324π﹣81）cm2，
故答案为：（324π﹣1）；（324π﹣1）．