二次根式全章学案
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文档简介
24．１ 二次根式(一)学案
学习目标
1、理解二次根式的定义．掌握二次根式有意义的条件（被开方数必须是非负数）．‘
2、理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0）并利用它们进行计算和化简．
学习重点：(1)二次根式的定义；(2)二次根式中字母的取值范围．
学习难点：利用“（a≥0）”解决具体问题
引导探究
1）什么叫平方根、算术平方根？
2）完成课本第27页的思考。
合作交流
1以上结果分别是，，，它们都表示一些正数的________。
2. 一个正数有__个平方根；0的平方根是___;在实数范围内，___没有平方根。
3. 开平方时，被开方数只能是_____和________，即________数。
概念总结
二次根式的概念
（1）形如____________的式子叫做二次根式。
（2）二次根式在形式上，必须含有根号“_______”称为_________。
（3）被开方数a可以是数，也可以是代数式，但值必须为_______数。
例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．
归纳：二次根式应满足两个条件：(1)_________________(2)_________________
例2．当x是多少时，在实数范围内有意义？
练习： 1．二次根式中，字母a的取值范围是（ ）
A. a＜l B.a≤1 C.a≥1 D.a＞1
2、函数y=中，自变量x的取值范围是_________
思考：如何确定二次根式中字母的取值范围？
思考： （a≥0）是一个____________
合作探究
根据算术平方根的意义填空：
（）2=_______；（）2=_______；（）2=______；
（）2=_______；（）2=______；（）2=_______；（）2=_______．
归纳：（）2=________（a≥0）
例1 计算
1．（）2 2．（3）2 3．（）2 4．（）2
练习
计算下列各式的值：
（）2 = （）2 = （）2 = （）2 =
（4）2 = =
课堂巩固：教科书P-28练习
课堂小结：本节课你都有哪些收获？
布置作业：教科书习题24.1-1、5
24．１ 二次根式(二)学案
【学习目标】
1、 理解=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．
2、通过具体数据的解答，探究=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．
重点：二次根式的定义及二次根式中字母的取值范围。
难点：二次根式中，较复杂的字母取值问题的讨论。
【学习过程】
一、复习引入
1．形如_____________的式子叫做二次根式；
2．（a≥0）是一个_____________；
3．()2＝_____（a≥0）．
猜想：当a≥0时，=__________，举例说明。
二、探究新知
填空：
=_______；=_______；=______；
=________；=________；=_______．
结论：=_____（a≥0）
例1 化简
（1） （2）
例2：在化简时,李明同学的解答过程是;张后同学的解答过程是. 谁的解答正确 为什么
练习1、：（1） （2）
（3） （x≥1）
应用拓展
1、填空：当a≥0时，=_____；当a<0时，=_______，
并根据这一性质回答下列问题．
（1）若=a，则a可以是什么数？
（2）若=-a，则a可以是什么数？
（3）>a，则a可以是什么数？
2、当x>2，化简-．
3、实数在数轴上的位置如图所示：
化简：
概念归纳：
代数式：用________（基本运算包括_____________）把________连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。
课堂巩固：教科书P-30练习
课堂小结：本节课你都有哪些收获？
布置作业：教科书习题24.1-2、6
24．2 二次根式的乘除（一）学案
【学习目标】
1、理解·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简
2、利用逆向思维，得出=·（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．
学习重点：·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）并利用它们进行计算和化简
学习难点：发现规律，导出·＝（a≥0，b≥0）
【学习过程】
交流探究
1．填空
（1）×=______，=_____；
（2）×=______，=______．
（3）×=____，=_____．
参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．
×_____，×_____，×________
2．利用计算器计算填空
（1）×______，（2）×______，
（3）×______，（4）×______，
引导归纳
一般地，对二次根式的乘法规定为
·＝________（a≥0，b≥0）
反过来: =_____·_____（a≥0，b≥0）
在本章中，如果没有特殊说明，所有的字母都表示正数。
例1．计算
（1）× （2）×
（3）× （4）×
例2 化简
（1） （2） （3） （4） （5）
巩固练习
（1）计算： ① × ②3×2 ③·
（2） 化简:
（3） 教材P33练习
应用拓展
1、．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
（1）
（2）×=4××=4×=4=8
课堂小结：本节课你都有哪些收获？
布置作业：教科书习题24.2-1、4
21．2 二次根式的乘除（二）学案
【学习目标】
1、理解=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．
2、利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．
学习重点：理解=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算
和化简．
学习难点：理解=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）
【学习过程】
合作交流
1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．
2．填空
（1）=________，=_________；
（2）=________，=________；
（3）=________，=_________；
（4）=________，=________．
所以：_____； _____； _____； _____．
3．利用计算器计算填空:（填>,<,=）
______；_______； _____；_____。
引导归纳
一般地，对二次根式的除法规定：
=—————（a≥0，b>0），
反过来，=____________（a≥0，b>0）
例1．计算：
（1） （2） （3） （4）
例2．化简：
（1） （2） （3） （4）
巩固练习
教材P36 练习1．
应用拓展
已知，且x为偶数，求（1+x）的值．
课堂小结：本节课你都有哪些收获？
布置作业：教科书习题24.2-2、3、5
21.2 二次根式的乘除（三）学案
【学习目标】
1、理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．
2、通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．
学习重点：理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．
学习难点：会判断一个二次根式是否是最简二次根式学习过程
【学习过程】
自主学习
计算（1）， （2）， （3）
合作探究
观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：
1．____________________________________________；
2．___________________________________________．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
例1、现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径的比是．试着化简一下。
=
例2．
;
;
(3)
例3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．
巩固练习
教材P36 练习1、2
课堂小结：本节课你都有哪些收获？
布置作业：教科书习题24.2-6、8
24.3 二次根式的加减（一）学案
【学习目标】
1、理解和掌握二次根式加减的方法．
2、强化对二次根式加减方法的理解，总结经验，用它进行根式的计算和化简．
【学习重点】掌握二次根式加减的方法，它进行根式的计算和化简．
【学习难点】对二次根式加减方法的理解
【教学过程】
新课引入
计算下列各式．
（1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2；
（3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a3
自主学习
做一做： 计算下列各式．
（1）2+3 （2）2-3+5
（3）+2+3 （4）3-2+
议一议：什么样的二次根式可以合并？举例说明。
概念归纳：
二次根式加减时，可以先将二次根式化成______________，再将_____________相同的二次根式进行合并．
※同类二次根式：________________________________.
例1．计算
（1）+ （2）+
例2．计算
（1）3-9+3 （2）（+）+（-）
巩固练习
教材P 40练习1、2．
应用拓展
1．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？
课堂小结：本节课你都有哪些收获？
布置作业：教科书习题24.3-1、2、5
24.3 二次根式的加减（二）学案
【 学习目标】
1、会将含有二次根式的式子进行乘除运算，含有二次根式的多项式乘法公式的应用．
2、复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．
【学习重点】含有二次根式的多项式乘法公式的应用
【学习难点】含有二次根式的多项式乘法公式的应用
【学习过程】
自主学习
1．计算
（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy
2．计算
（1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2 +（2x-1）2
引导探究
议一议：如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？
例1．计算:
（1）（+）× （2）（4-3）÷2
例2．计算
（1）（+6）（3-） （2）（+）（-）
巩固练习
课本P42练习1、2．
*应用拓展
已知=2-，其中a、b是实数，且a+b≠0，
化简+，并求值．
课堂小结：本节课你都有哪些收获？
布置作业：教科书习题24.3-3、4、6
二次根式复习学案
【学习目标】
1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；
2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．
【学习重点】熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．
【学习难点】熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．
【学习过程】
梳理知识
1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．
2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．
3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：
4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：
例题讲解
例1． x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：
巩固练习
x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？
把下列各式化成最简二次根式：
课堂小结：本节课你都有哪些收获？
布置作业：教科书复习题24.-1、2、3
·
·
·
·
0
2
1
学习目标
1、理解二次根式的定义．掌握二次根式有意义的条件（被开方数必须是非负数）．‘
2、理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0）并利用它们进行计算和化简．
学习重点：(1)二次根式的定义；(2)二次根式中字母的取值范围．
学习难点：利用“（a≥0）”解决具体问题
引导探究
1）什么叫平方根、算术平方根？
2）完成课本第27页的思考。
合作交流
1以上结果分别是，，，它们都表示一些正数的________。
2. 一个正数有__个平方根；0的平方根是___;在实数范围内，___没有平方根。
3. 开平方时，被开方数只能是_____和________，即________数。
概念总结
二次根式的概念
（1）形如____________的式子叫做二次根式。
（2）二次根式在形式上，必须含有根号“_______”称为_________。
（3）被开方数a可以是数，也可以是代数式，但值必须为_______数。
例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．
归纳：二次根式应满足两个条件：(1)_________________(2)_________________
例2．当x是多少时，在实数范围内有意义？
练习： 1．二次根式中，字母a的取值范围是（ ）
A. a＜l B.a≤1 C.a≥1 D.a＞1
2、函数y=中，自变量x的取值范围是_________
思考：如何确定二次根式中字母的取值范围？
思考： （a≥0）是一个____________
合作探究
根据算术平方根的意义填空：
（）2=_______；（）2=_______；（）2=______；
（）2=_______；（）2=______；（）2=_______；（）2=_______．
归纳：（）2=________（a≥0）
例1 计算
1．（）2 2．（3）2 3．（）2 4．（）2
练习
计算下列各式的值：
（）2 = （）2 = （）2 = （）2 =
（4）2 = =
课堂巩固：教科书P-28练习
课堂小结：本节课你都有哪些收获？
布置作业：教科书习题24.1-1、5
24．１ 二次根式(二)学案
【学习目标】
1、 理解=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．
2、通过具体数据的解答，探究=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．
重点：二次根式的定义及二次根式中字母的取值范围。
难点：二次根式中，较复杂的字母取值问题的讨论。
【学习过程】
一、复习引入
1．形如_____________的式子叫做二次根式；
2．（a≥0）是一个_____________；
3．()2＝_____（a≥0）．
猜想：当a≥0时，=__________，举例说明。
二、探究新知
填空：
=_______；=_______；=______；
=________；=________；=_______．
结论：=_____（a≥0）
例1 化简
（1） （2）
例2：在化简时,李明同学的解答过程是;张后同学的解答过程是. 谁的解答正确 为什么
练习1、：（1） （2）
（3） （x≥1）
应用拓展
1、填空：当a≥0时，=_____；当a<0时，=_______，
并根据这一性质回答下列问题．
（1）若=a，则a可以是什么数？
（2）若=-a，则a可以是什么数？
（3）>a，则a可以是什么数？
2、当x>2，化简-．
3、实数在数轴上的位置如图所示：
化简：
概念归纳：
代数式：用________（基本运算包括_____________）把________连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。
课堂巩固：教科书P-30练习
课堂小结：本节课你都有哪些收获？
布置作业：教科书习题24.1-2、6
24．2 二次根式的乘除（一）学案
【学习目标】
1、理解·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简
2、利用逆向思维，得出=·（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．
学习重点：·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）并利用它们进行计算和化简
学习难点：发现规律，导出·＝（a≥0，b≥0）
【学习过程】
交流探究
1．填空
（1）×=______，=_____；
（2）×=______，=______．
（3）×=____，=_____．
参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．
×_____，×_____，×________
2．利用计算器计算填空
（1）×______，（2）×______，
（3）×______，（4）×______，
引导归纳
一般地，对二次根式的乘法规定为
·＝________（a≥0，b≥0）
反过来: =_____·_____（a≥0，b≥0）
在本章中，如果没有特殊说明，所有的字母都表示正数。
例1．计算
（1）× （2）×
（3）× （4）×
例2 化简
（1） （2） （3） （4） （5）
巩固练习
（1）计算： ① × ②3×2 ③·
（2） 化简:
（3） 教材P33练习
应用拓展
1、．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
（1）
（2）×=4××=4×=4=8
课堂小结：本节课你都有哪些收获？
布置作业：教科书习题24.2-1、4
21．2 二次根式的乘除（二）学案
【学习目标】
1、理解=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．
2、利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．
学习重点：理解=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算
和化简．
学习难点：理解=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）
【学习过程】
合作交流
1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．
2．填空
（1）=________，=_________；
（2）=________，=________；
（3）=________，=_________；
（4）=________，=________．
所以：_____； _____； _____； _____．
3．利用计算器计算填空:（填>,<,=）
______；_______； _____；_____。
引导归纳
一般地，对二次根式的除法规定：
=—————（a≥0，b>0），
反过来，=____________（a≥0，b>0）
例1．计算：
（1） （2） （3） （4）
例2．化简：
（1） （2） （3） （4）
巩固练习
教材P36 练习1．
应用拓展
已知，且x为偶数，求（1+x）的值．
课堂小结：本节课你都有哪些收获？
布置作业：教科书习题24.2-2、3、5
21.2 二次根式的乘除（三）学案
【学习目标】
1、理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．
2、通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．
学习重点：理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．
学习难点：会判断一个二次根式是否是最简二次根式学习过程
【学习过程】
自主学习
计算（1）， （2）， （3）
合作探究
观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：
1．____________________________________________；
2．___________________________________________．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
例1、现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径的比是．试着化简一下。
=
例2．
;
;
(3)
例3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．
巩固练习
教材P36 练习1、2
课堂小结：本节课你都有哪些收获？
布置作业：教科书习题24.2-6、8
24.3 二次根式的加减（一）学案
【学习目标】
1、理解和掌握二次根式加减的方法．
2、强化对二次根式加减方法的理解，总结经验，用它进行根式的计算和化简．
【学习重点】掌握二次根式加减的方法，它进行根式的计算和化简．
【学习难点】对二次根式加减方法的理解
【教学过程】
新课引入
计算下列各式．
（1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2；
（3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a3
自主学习
做一做： 计算下列各式．
（1）2+3 （2）2-3+5
（3）+2+3 （4）3-2+
议一议：什么样的二次根式可以合并？举例说明。
概念归纳：
二次根式加减时，可以先将二次根式化成______________，再将_____________相同的二次根式进行合并．
※同类二次根式：________________________________.
例1．计算
（1）+ （2）+
例2．计算
（1）3-9+3 （2）（+）+（-）
巩固练习
教材P 40练习1、2．
应用拓展
1．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？
课堂小结：本节课你都有哪些收获？
布置作业：教科书习题24.3-1、2、5
24.3 二次根式的加减（二）学案
【 学习目标】
1、会将含有二次根式的式子进行乘除运算，含有二次根式的多项式乘法公式的应用．
2、复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．
【学习重点】含有二次根式的多项式乘法公式的应用
【学习难点】含有二次根式的多项式乘法公式的应用
【学习过程】
自主学习
1．计算
（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy
2．计算
（1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2 +（2x-1）2
引导探究
议一议：如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？
例1．计算:
（1）（+）× （2）（4-3）÷2
例2．计算
（1）（+6）（3-） （2）（+）（-）
巩固练习
课本P42练习1、2．
*应用拓展
已知=2-，其中a、b是实数，且a+b≠0，
化简+，并求值．
课堂小结：本节课你都有哪些收获？
布置作业：教科书习题24.3-3、4、6
二次根式复习学案
【学习目标】
1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；
2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．
【学习重点】熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．
【学习难点】熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．
【学习过程】
梳理知识
1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．
2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．
3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：
4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：
例题讲解
例1． x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：
巩固练习
x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？
把下列各式化成最简二次根式：
课堂小结：本节课你都有哪些收获？
布置作业：教科书复习题24.-1、2、3
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