2021年苏科版八年级下册（压轴题培优练）
专题05
分式与分式方程A卷（解析版）
一、选择题（每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）
1．关于x的方程的两个解为，，的两个解为，；的两个解为，，则关于x的方程的两个解为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【分析】由于可化为，由题中可得规律：方程
（其中为正整数）的解为，，根据这个规律即中得方程的解．
【详解】∵
∴
∴上述方程有解及
即及
所以原方程的解为，
故选：D
【点睛】本题主要考查了一类特殊方程的解，这是一个规律性的问题，要从所给的前面几个方程的解，归纳出一般性的结论，再所得的一般性结论，求出所给方程的解，体现了由特殊到一般再到特殊的思维过程，这是数学中常用的方法；这里也用到了整体思想，即要分别把、看成一个整体，才能符合题中所给方程的结构，否则无法完成．
2．若关于的不等式组有解，关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数的和为（
）
A．0
B．1
C．2
D．5
【答案】B
【分析】先解不等式组，由不等式组有解，可得＜
再解分式方程，当且时，分式方程的解为：再由为整数，分类讨论可得答案．
【详解】解：
由①得：＞
＞
＜
由②得：＜
＞
关于的不等式组有解，
＜
，
当时，方程无解，则
检验：
为整数，
或或
或或或或或
＜
或或
经检验：或或符合题意，
故选：
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，分类讨论数学思想，掌握以上知识是解题的关键．
3．已知关于的分式方程的解是非负数，那么的取值范围是（ ）
A．
B．
C．且
D．且
【答案】C
【分析】先解分式方程，再根据方程的解为非负数，列不等式组可以求得a的取值范围．
【详解】解：，
方程两边同乘2（x﹣2），得2（x﹣a）＝x﹣2，
去括号，得2x﹣2a＝x﹣2，
移项、合并同类项，得x＝2a﹣2，
∵关于x的分式方程的解为非负数，x﹣2≠0，
∴，
解得a≥1且a≠2．
故选：C．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组、分式方程的解，解答本题的关键是明确解分式方程的方法，注意：分式方程分母不能为0．
4．若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程有解，则满足条件的所有整数m的积为（
）
A．15
B．
C．
D．120
【答案】A
【分析】先解不等式①得：
＜
再解②得：＞结合不等式组有且仅有3个整数解，可得＜
可得＜
由为整数，或或或
再解，可得
由原分式方程有解，可得
从而可得
从而可得答案．
【详解】解：
由①得：＞
＞
＜
由②得：＞
＞
又因为不等式组有且仅有3个整数解，
＜
＜
＜
由为整数，
或或或
，
由原分式方程有解，
综上：或
故选：
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解问题，分式方程有解问题，掌握以上知识是解题的关键．
5．已知数m使关于x的不等式组至少有一个非负整数解，且使关于x的分式方程有不大于5的整数解，则所有满足条件的m的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】
分别解不等式组的两个不等式，根据“关于x的不等式组至少有一个非负整数解”，得到关于m的一元一次不等式，解之，解分式方程，结合“该分式方程有不大于5的整数解”，得到关于m的不等式，解之，经判断后即可得到m的值，即可得到答案．
【详解】
解不等式﹣11x﹣5≤6得：
x≥﹣1，
解不等式＞x﹣m得：
x＜2m，
∵关于x的不等式组至少有一个非负整数解，
∴2m＞0，
解得：m>0，
解分式方程得：
x＝，且x≠2，
∵关于x的分式方程有不大于5的整数解，
≤5且≠2，
解得：m≤13且m≠1，
则符合要求的m的值为：5，9，13，共3个，
故选：C．
【点睛】
此题考查解不等式组，解不等式，根据不等式组及不等式的解的情况确定未知数的值，正确求解很关键.
6．已知关于的分式方程无解，则的值为（
）
A．
B．或
C．
D．或或
【答案】D
【分析】
先求出分式方程的解，无解时，解中的分母为0或解等于±2即可.
【详解】
解：由得x=
∵分式方程无解
∴=±2或m+4=0
∴m=0或m=-8或
∴或或
故答案为D.
【点睛】
本题考查了分式的解和分式方程的解法，解答的关键在于解分式方程和分式无解的条件.另外，让分式的解有意义是本题的易错点.
二、填空题（不需写出解答过程，只需把答案直接填写在对应横线上）
7．正数范围内定义一种运算“”，其规律是，则：
（1）=____，
（2）当时．求x=____．
【答案】
【分析】
（1）根据新定义运算，把原式化成分式乘法，按法则计算即可；
（2）根据新定义运算，把原式化成分式方程，解分式方程即可．
【详解】
解：（1）根据题意得：=；
（2）由可得，
方程两边同乘以3（x+1）得：3（x+1）=1，
解得：x=，
经检验，x=是原分式方程的解．
故答案为：（1），（2）．
【点睛】本题考查了新定义运算、分式乘法、分式方程的解法；根据新定义运算规则，把原式转化成分式运算和解分式方程是解题关键．
三、解答题（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
8．已知：方程﹣=﹣的解是x=，方程﹣=﹣的解是x=，试猜想：
（1）方程+=+的解；
（2）方程﹣=﹣的解（a、b、c、d表示不同的数）．
【答案】（1）x=4；（2）x=．
【解析】
通过解题目中已知的两个方程的过程可以归纳出方程的解与方程中的常数之间的关系，利用这个关系可得出两个方程的解．
解：解方程﹣=﹣，先左右两边分别通分可得：，
化简可得：，
整理可得：2x=15﹣8，
解得：x=，
这里的7即为（﹣3）×（﹣5）﹣（﹣2）×（﹣4），
这里的2即为[﹣2+（﹣4）]﹣[﹣3+（﹣5）]；
解方程﹣=﹣，先左右两边分别为通分可得：
，
化简可得：，
解得：x=，
这里的11即为（﹣7）×（﹣5）﹣（﹣4）×（﹣6），
这里的2即为[﹣4+（﹣6）]﹣[﹣7+（﹣5）]；
所以可总结出规律：方程解的分子为右边两个分中的常数项的积减去左边两个分母中的常数项的积，解的分母为左边两个分母中的常数项的差减去右边两个分母中常数项的差．
（1）先把方程分为两边差的形式：方程﹣=﹣，
由所总结的规律可知方程解的分子为：（﹣1）×（﹣6）﹣（﹣7）×（﹣2）=﹣8，
分母为[﹣7+（﹣2）]﹣[﹣6+（﹣1）]=﹣2，
所以方程的解为x==4；
（2）由所总结的规律可知方程解的分子为：cd﹣ab，分母为（a+b）﹣（c+d），
所以方程的解为x=．
9．已知关于x的方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若此方程有两个整数根，求正整数k的值；
（3）若一元二次方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0满足|x1﹣x2|＝3，求k的值．
【答案】（1）见解析；（2）k＝1或k＝3；（3）k的值为﹣3或0
【分析】
（1）分k+1=0和k+1≠0两种情况考虑：当k+1=0时，方程为一元一次方程，有实数根；当k+1≠0时，根的判别式△=（k-3）2≥0，由此可得出方程有实数根．综上即可证出结论；
（2）由方程有两个实数根，可得出k≠-1，利用求根公式求出x1、x2的值，由x1=-1和x2为整数以及k为正整数，即可求出k的值；
（3）结合（2）的结论即可得出关于k的含绝对值符号的分式方程，解方程即可得出结论，经检验后，此题得解．
【详解】
解：（1）证明：当k+1=0，即k=-1时，原方程为-4x-4=0，
解得：x=-1；
当k+1≠0，即k≠-1时，△=（3k-1）2-4（k+1）（2k-2）=k2-6k+9=（k-3）2≥0，
∴方程有实数根，
综上可知：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）∵方程有两个整数根，
∴，，且k≠﹣1，
∵x2为整数，k为正整数，
∴k=1或k=3；
（3）由（2）得x1=-1，，且k≠-1，
∴|x1-x2|=，
解得：k=-3或k=0，
经检验k=﹣3或k=0是原方程的解，
故k的值为﹣3或0．
【点睛】
本题考查了根的判别式、解含绝对值符号的分式方程以及利用公式法解方程，解题的关键是：（1）分k+1=0和k+1≠0两种情况考虑；（2）找出x1=﹣1，；（3）找出关于k的含绝对值符号的分式方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用根的判别式的符号得出方程解的情况是关键．
10．符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：．请你根据上述规定，求出下列等式中x的值：．
【答案】x=2
【分析】
根据题意列出分式方程，解方程即可．
【详解】
解：
由，
可得
2
-1=1，
∴，
∴x=2，
经检验：x=2是原方程的解．
【点睛】
本题主要考查了解分式方程，准确计算是解题的关键．
11．在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，但诸如“123456”．生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解因式，例如多项式：x3＋2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x＋1）（x＋2），当x＝18时，x﹣1＝17，x＋1＝19，x＋2＝20，此时可以得到数字密码：171920，191720，201719等．
（1）根据上述方法，当x＝21，y＝7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（只需写出其中2个）
（2）若多项式x3＋（m＋n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，求m、n的值；
（3）若关于x的方程﹣＝无解，求k的值．
【答案】（1）212814、281421；（2）m=-12，n=17；（3）或或0．
【分析】
(1)根据因式分解的方法可以将题目中的式子因式分解，从而可以解答本题，注意本题答案不唯一
(2)
设，求出p、q、r，根据等号左右两边对应相等，可以求得m、n的值；
(3)去分母求出方程的解，根据方程无解得到x=-1或3或-7，代入求出k的值即可．
【详解】
(1)
，
当x＝21，y＝7时，x+y=28，x-y=14，
∴可以形成的数字密码是212814、281421；
(2)设，
∵当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，
∴27+p=24，27+q=28，27+r=34，
解得p=-3，q=1，r=7，
∴=
∴，
∴，解得；
(3)﹣＝，
去分母得（x+7）-k（x-3）=x+1，
解得，
∵方程﹣＝无解，
∴x=-1或3或-7，
当x=-1时，，解得k=，经检验是方程的解；
当x=3时，=3，方程无解；
当x=-7时，=-7，解得k=，经检验是方程的解；
当k=0时，方程（x+7）-k（x-3）=x+1，无解，则原方程无解；
∴k的值为或或0
．
【点睛】
此题考查多项式的分解因式，分式方程的应用，方程组的应用，（2）是难点，读懂例题中多项式分解因式的个数仿照解决问题是解题的关键．
12．我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．
如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为．
（1）已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”；
（2）已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和；
（3）已知分式，，（、、为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值．
【答案】（1）不是，利用见解析；（2）；（3）或或或
【分析】
（1）先化简，再计算，再根据“雅中值”的定义可得答案；
（2）由定义可得：整理可得：的表达式，再化简
根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是的因数，从而可得答案；
（3）由定义可得：整理可得：从而可得：，再消去，结合因式分解可得结合、、为整数，分类讨论后可得答案．
【详解】
解：（1）
不是的“雅中式”．
（2）
关于的“雅中值”是，
为整数，且“雅中式”的值也为整数，
是的因数，
可能是：
的值为：
的值为：
（3）
是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，
整理得：
由上式恒成立：
消去可得：
、、为整数
为整数，
当时，
此时：
当时，
此时：
当时，
此时：
当时，
此时：
综上：的值为：或或或
【点睛】
本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键．
13．阅读：对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则或．
又因为，所以关于的方程有两个解，分别为．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程的两个解分别为，则＝_____；＝________；
（2）方程的两个解中较大的一个为_______；
（3）关于的方程的两个解分别为，则＝_____，＝_____．
【答案】（1）－4，3；（2）3；（3）
【分析】
（1）根据定义得到p=，q=，然后代入即可求解；
（2）方程的两个解根据公式可以解出；
（3）要将原式构造成题目中的形式，首先将方程左右两端+1，将右端变形为，然后将当做题目中的x，整体代入求解，最后解两个一元一次方程即可．
【详解】
（1）由题意得：p=，q=
∵方程的解为
∴p=，q=；
（2）由题意得：，
∴，解得或3
∴当时，；当时，
∴较大的解为3
（3）∵
∴
∴
∴或
∴或
∵
∴．
【点睛】
此题涉及的知识点是分式的综合应用，解一元二次方程，整体代入法解方程，难度较大，解题时先搞清楚规律，把握已知的结论是解本题的关键．
14．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释我们有如下两个约定：（Ⅰ）方程的整数解称之为“暖根”：（Ⅱ）若两个方程存在一个相同的解，则称这两个方程为“同源方程”．
（1）已知一元一次方程①与分式方程②：方程①有“暖根”吗？
填（有或没有）；方程②有“暖根”吗？
填（有或没有）；它们是“同源方程”吗？
填（是或不是）
（2）已知关于x，y二元一次方程：和（其中m，n为常数）它们是“同源方程”吗？如果是，请写出它们的公共解：如果不是，请说明理由；
（3）已知关于x的方程：和（其中k为常数）分别都有“暖根”，求k的值．
【答案】（1）有；没有；不是；（2）当，n=6时，有无数个公共解，公共解满足；当时，公共解为；（3）k=
【分析】
（1）根据求出①②两个方程的解，然后根据“暖根”的定义和“同源方程”的定义即可得出结论；
（2）联立方程组，变形整理后对m的值分类讨论，分别求出方程的解即可；
（3）分别求出两个方程的解，然后由题意可得和都为整数，且≠0且≠-1，设=（n为整数且n≠0），根据方程的解为整数求出n的值，即可求出k的值．
【详解】
解：（1）
解得：
∴方程①有“暖根”；
解得：
经检验，是增根，原方程无解，
∴方程②没有“暖根”；
根据“同源方程”的定义，它们不是“同源方程”
故答案为：有；没有；不是；
（2）是，
联立
①－②，得
整理，得
当=0且=0时，方程有无数个解
即，n=6时，有无数个公共解，公共解满足；
当时，即时，
将代入②，得
y=
此时公共解为
综上：当，n=6时，有无数个公共解，公共解满足；当时，公共解为；
（3）①
整理，得
当k=2时，此方程无解，即无“暖根”；
当k≠2时，解得：；
②
整理，得
当k=1时，此方程无解，即无“暖根”；
当k≠1时，解得：；
由题意可得和都为整数，且≠0且≠-1
设=（n为整数且n≠0），此时=-1＋n为整数
则k=2－
∴==为整数
∴n－1=1或-1
解得n=2或0（不符合前提，舍去）
∴k=2－=，此时≠0且≠-1
综上：k=．
【点睛】
此题考查的是一元一次方程、二元一次方程和分式方程的应用，掌握相关概念及各个方程的解法是解题关键．
15．探索发现：
……
根据你发现的规律，回答下列问题：
（1）＝
，＝
；
（2）利用你发现的规律计算：
（3）利用规律解方程：
【答案】（1）；（2）；（3）见解析．
【分析】
（1）根据简单的分式可得，相邻两个数的积的倒数等于它们的倒数之差，即可得到和
（2）根据（1）规律将乘法写成减法的形式，可以观察出前一项的减数等于后一项的被减数，因此可得它们的和.
（3）首先利用（2）的和的结果将左边化简，再利用分式方程的解法求解即可.
【详解】
解：（1），
；
故答案为
（2）原式＝
;
（3）已知等式整理得：
所以，原方程即：
，
方程的两边同乘x（x+5），得：x+5﹣x＝2x﹣1，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入x（x+5）＝24≠0，
∴原方程的解为：x＝3．
【点睛】
本题主要考查学生的归纳总结能力，关键在于根据简单的数的运算寻找规律,是考试的热点.
16．石家庄某学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动，在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计，兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．
（观察）
①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为
个单位长度．
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为
个单位长度．
（发现）
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP，不包括点O，如图2所示）
①a＝
；
②分别求出各部分图象对应的函数解析式，并在图2中补全函数图象．
（拓展）
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，若这两个机器人在第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是
．（直接写出结果）
【答案】【观察】①90；②105；【发现】①50；②y＝，补全图象见解析；【拓展】0＜x≤12或48≤x≤72
【分析】
【观察】①先据题意求出两个机器人速度的关系，再确定第二次迎面相遇的位置，然后设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可求出结果；
②仿照①的解题思路和方法解答即可；
【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点B时，根据题意可列方程150﹣x＝2x，解出的x的值即为a的值；
②分0＜x≤50与50＜x＜75两种情况，分别求出正比例函数与一次函数的关系式，进一步即可补全函数图象；
【拓展】分三种情况画出图形，然后根据题意得出相应的分式方程，解方程即可得出y与x的关系，进而可得关于x的不等式，解不等式即可得到结论．
【详解】
解：【观察】①∵相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，
∴相遇地点与点B之间的距离为150﹣30＝120个单位长度，
设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v＝4v，
∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为，
机器人乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为，而，
∴机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，
机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇，
设此时相遇点距点A为m个单位，
根据题意得，30+150+150﹣m＝4（m﹣30），解得：m＝90，
故答案为：90；
②∵相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，
∴相遇地点与点B之间的距离为150﹣35＝115个单位长度，
设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为，
∴机器人乙从相遇点到点A再到点B所用的时间为，
机器人甲从相遇点到点B所用时间为，而，
∴机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，
机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇，
设此时相遇点距点A为m个单位，
根据题意得，35+150+150﹣m＝（m﹣35），解得：m＝105，
故答案为：105；
【发现】①当第二次相遇地点刚好在点B时，
设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为，
根据题意知，150﹣x＝2x，∴x＝50，
即：a＝50，
故答案为：50；
②当0＜x≤50时，点P（50，150）在线段OP上，
∴线段OP的表达式为y＝3x，
当v＜时，即当50＜x＜75，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点B返回向点A时，
设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为，
根据题意知，x+y＝（150﹣x+150﹣y），
整理，得y＝﹣3x+300，
∴y与x的函数关系式是y＝，
补全图象如图2所示：
【拓展】①如图，
由题意知，，
∴y＝5x，
∵0＜y≤60，
∴0＜x≤12；
②如图，
∴，
∴y＝﹣5x+300，
∵0≤y≤60，
∴48≤x≤60，
③如图，
由题意得，＝，
∴y＝5x﹣300，
∵0≤y≤60，
∴60≤x≤72，
∵0＜x＜75，
∴48≤x≤72，
综上所述，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是0＜x≤12或48≤x≤72，
故答案为：0＜x≤12或48≤x≤72．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用、两点间的距离、一元一次方程和一元一次不等式的应用，难度较大，正确理解题意、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．
17．俗语有言“冬腊风腌，蓄以御冬”，没有腊味，如何能算得土是过冬？腊肉一直享有“一家煮肉百家香”的赞语，腌制好的腊肉，吃起来味道醇香，肥而不腻口，瘦而不塞牙，不论是煎，蒸，炒，炸，皆成美味．三口村店为迎接新年的到来，12月份购进了一批腊肉和香肠，已知用4000元购进腊肉的数量与用5000元购进香肠的数量一样多，其中每袋香肠的进价比每袋腊肉的进价多10元．
（1）每袋腊肉和香肠的进价分别是多少元？
（2）12月份上半月，该店每袋腊肉和香肠的售价分别为60元和80元，销售量之比为4：3，销售利润为3400元．12月份下半月，该店调整了销售价格，在上半月的基础上，每袋腊肉的售价增加了，每袋香肠的售价减少了元，结果腊肉的销售量比上半月腊肉的销售量增加了，香肠的销售量比上半月香肠的销售量增加了，下半月的销售利润比上半月的销售利润多864元．求a的值．
【答案】（1）每袋腊肉进价为40元，每袋香肠进价为50元；（2）10．
【分析】
（1）设每袋腊肉的进价为x元，则每袋香肠的进价为(x+10)元，根据题意可列分式方程，求解即可．
（2）根据题意可求出上半月腊肉销售量和香肠销售量，再用a表示出下半月调整售价后，腊肉的售价和销量、香肠的售价和销量．最后根据下半月利润，列出关于a的方程，解出a即可．
【详解】
（1）设每袋腊肉的进价为x元，则每袋香肠的进价为(x+10)元，
根据题意可列方程：，
解得：，经检验是原方程的解．
故每袋腊肉进价为40元，每袋香肠进价为40+10=50元．
（2）设上半月腊肉销售量为m袋，则上半月香肠销售量为袋．
根据题意可列方程：，
解出：，
则上半月腊肉销售量为80袋，香肠销售量为60袋．
下半月调整售价后，腊肉的售价为元，销量为袋；香肠的售价为元，销量为袋．下半月的利润为元．
即可列出方程．
∴．
解得：，（舍）．
故a的值为10．
【点睛】
本题考查分式方程和一元二次方程的实际应用．根据题意找出等量关系是解答本题的关键．
18．某商场购进甲、乙两种商品，每个乙种商品的价格比每个甲种商品的价格倍少元，用元购进甲种商品的数量与用元购进乙种商品的数量相同，请回答下
列问题：
（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）若商场从厂家购进甲、乙两种商品共个，且甲种商品的数量不多于乙种商品的数量，设购进甲个，总成本是元，求与的函数关系式，并求出最少成本的方案和最少成本；
（3）用（2）中的最少成本的再次同时购进甲、乙两种商品，在钱全部用尽的情况下，请直接写出再次购进甲、乙两种商品有多少种方案．
【答案】（1）每个甲、乙两种商品的进价分别是30元和40元；（2）y=-10x+4000，成本最少的方案为：购进甲种商品50个，乙种商品50个，最少成本为3500元；（3）8种
【分析】
（1）设每个甲种商品的进价为x元，根据题意列出方程，解之即可；
（2）根据题意列出表达式，求出x的范围，根据一次函数的性质得到当x=50时满足条件；
（3）根据题意列出二元一次方程，求出整数解，即可得出方案数．
【详解】
解：（1）设每个甲种商品的进价为x元，
由题意可得：，
解得：x=30，
经检验：x=30是原方程的解，
∴每个甲、乙两种商品的进价分别是30元和40元；
（2）∵购进甲x个，则购进乙100-x个，
则x≤100-x，
∴x≤50，
则y=30x+40（100-x）=-10x+4000，
∵-10＜0，
∴当x=50时，y最小，
即成本最少的方案为：购进甲种商品50个，乙种商品50个，最少成本为3500元；
（3）由于最少成本为3500元，
则最少成本的为3500×=1000元，
∵1000元全部用尽，
则30x+40y=1000，
∴y=25-，
当x=4、8、12、16、20、24、28、32时，y可以取整数，
则共有8种方案．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，一次函数的实际应用，二元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系．
19．推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率是新农村建设的一项重要举措．某村在小城镇建设中集约了2400亩土地，计划对其进行平整．经投标，由甲乙两个工程队来完成平整任务．甲工程队每天可平整土地45亩，乙工程队每天可平整土地30亩．已知乙工程队每天的工程费比甲工程队少500元，当甲工程队所需工程费为12000元，乙工程队所需工程费为9000元时，两工程队工作天数刚好相同．
（1）甲乙两个工程队每天各需工程费多少元？
（2）现由甲乙两个工程队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过110000元．
①甲乙两工程队分别工作的天数共有多少种可能？
②写出其中费用最少的一种方案，并求出最低费用．
【答案】（1）甲每天需工程费2000元、乙工程队每天需工程费1500元；（2）①甲乙两工程队分别工作的天数共有7种可能；②当甲平整52天，乙平整2天时，费用最低，最低费用为107000元
【分析】
（1）设甲每天需工程费x元、乙工程队每天需工程费（x﹣500）元，构建方程求解即可．
（2）①设甲平整x天，则乙平整y天．由题意，45x+30y＝2400
①，且2000x+1500y≤110000
②把问题转化为不等式解决即可．
②总费用w＝2000x+1500（80﹣1.5x）＝﹣250x+120000，利用函数的性质解答即可．
【详解】
（1）设甲每天需工程费x元、乙工程队每天需工程费（x﹣500）元，
由题意，＝，
解得x＝2000，
经检验，x＝2000是分式方程的解．
答：甲每天需工程费2000元、乙工程队每天需工程费1500元．
故答案为甲每天需工程费2000元、乙工程队每天需工程费1500元；
（2）①设甲平整x天，则乙平整y天．
由题意，45x+30y＝2400
①，且2000x+1500y≤110000
②，
由①得到y＝80﹣1.5x③，
把③代入②得到，2000x+1500（80﹣1.5x）≤110000，
解得，x≥40，
∵y＞0，
∴80﹣1.5x＞0，
x＜53.3，
∴40≤x＜53.3，
∵x，y是正整数，
∴x＝40，y＝20或x＝42，y＝17或x＝44，y＝14或x＝46，y＝11或x＝48，y＝8，或x＝50，y＝5或x＝52，y＝2．
∴甲乙两工程队分别工作的天数共有7种可能．
故答案为共有7中可能；
②总费用w＝2000x+1500（80﹣1.5x）＝﹣250x+120000，
∵﹣250＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴x＝52时，w的最小值＝107000（元）．
答：最低费用为107000元．
故答案为：最低费用为107000元．
【点睛】
本题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，是利润问题中的综合题，考查较为全面，对于一次函数而言，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小．
20．某自行车经营店销售型，型两种品牌自行车，今年进货和销售价格如下表：(今年1年内自行车的售价与进价保持不变)
型车
型车
进货价格(元/辆)
1000
1100
销售价格(元/辆)
1500
今年经过改造升级后，型车每辆销售价比去年增加400元．已知型车去年1月份销售总额为3.6万元，今年1月份型车的销售数量与去年1月份相同，而销售总额比去年1月份增加．
（1）若设今年1月份的型自行车售价为元/辆，求的值？(用列方程的方法解答)
（2）该店计划8月份再进一批型和型自行车共50辆，且型车数量不超过型车数量的2倍，应如何进货才能使这批自行车获利最多？
（3）该店为吸引客源，准备增购一种进价为500元的型车，预算用8万元购进这三种车若干辆，其中型与型的数量之比为，则该店至少可以购进三种车共多少辆？
【答案】（1）今年1月份的型自行车售价为1200元；（2）型进17辆，型进33辆时获利最多；（3）该店至少可以共购进92辆．
【分析】
（1）设今年1月份的型自行车售价为元，根据题意列出方程，求解即可；
（2）设购买型自行车辆，根据型车数量不超过型车数量的2倍列出不等式求出a的范围，再列出W和a的关系式，据此求出W的最大值即可；
（3）设购进型辆，则型辆，型辆，列出n和a的方程，解出，得到当时，最小值为92.
【详解】
解：（1）设今年1月份的型自行车售价为元，
则去年行自行车售价为元．
根据题意，得，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，
∴今年1月份的型自行车售价为1200元；
（2）设购买型自行车辆，则型自行车辆，
解得：，且为整数
所以利润
因为，所以随的增大而减小，
∴当时，即型进17辆，型进33辆时获利最多．
（3）设购进型辆，则型辆，型辆，
根据题意，得：
解得：，
因为，所以，且为整数，
因为为整数，所以为5的倍数，
∴当时，最小值为92，
答：该店至少可以共购进92辆.
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，一次函数的实际应用，二元一次方程的实际应用，解题的关键是理解题意，列出相应的关系式.2021年苏科版八年级下册（压轴题培优练）
专题05
分式与分式方程A卷（原卷版）
一、选择题（每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）
1．关于x的方程的两个解为，，的两个解为，；的两个解为，，则关于x的方程的两个解为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
2．若关于的不等式组有解，关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数的和为（
）
A．0
B．1
C．2
D．5
3．已知关于的分式方程的解是非负数，那么的取值范围是（ ）
A．
B．
C．且
D．且
4．若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程有解，则满足条件的所有整数m的积为（
）
A．15
B．
C．
D．120
5．已知数m使关于x的不等式组至少有一个非负整数解，且使关于x的分式方程有不大于5的整数解，则所有满足条件的m的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．已知关于的分式方程无解，则的值为（
）
A．
B．或
C．
D．或或
二、填空题（不需写出解答过程，只需把答案直接填写在对应横线上）
7．正数范围内定义一种运算“”，其规律是，则：
（1）=____，
（2）当时．求x=____．
三、解答题（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
8．已知：方程﹣=﹣的解是x=，方程﹣=﹣的解是x=，试猜想：
（1）方程+=+的解；
（2）方程﹣=﹣的解（a、b、c、d表示不同的数）．
9．已知关于x的方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若此方程有两个整数根，求正整数k的值；
（3）若一元二次方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0满足|x1﹣x2|＝3，求k的值．
10．符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：．请你根据上述规定，求出下列等式中x的值：．
11．在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，但诸如“123456”．生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解因式，例如多项式：x3＋2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x＋1）（x＋2），当x＝18时，x﹣1＝17，x＋1＝19，x＋2＝20，此时可以得到数字密码：171920，191720，201719等．
（1）根据上述方法，当x＝21，y＝7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（只需写出其中2个）
（2）若多项式x3＋（m＋n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，求m、n的值；
（3）若关于x的方程﹣＝无解，求k的值．
12．我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．
如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为．
（1）已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”；
（2）已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和；
（3）已知分式，，（、、为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值．
13．阅读：对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则或．
又因为，所以关于的方程有两个解，分别为．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程的两个解分别为，则＝_____；＝________；
（2）方程的两个解中较大的一个为_______；
（3）关于的方程的两个解分别为，则＝_____，＝_____．
14．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释我们有如下两个约定：（Ⅰ）方程的整数解称之为“暖根”：（Ⅱ）若两个方程存在一个相同的解，则称这两个方程为“同源方程”．
（1）已知一元一次方程①与分式方程②：方程①有“暖根”吗？
填（有或没有）；方程②有“暖根”吗？
填（有或没有）；它们是“同源方程”吗？
填（是或不是）
（2）已知关于x，y二元一次方程：和（其中m，n为常数）它们是“同源方程”吗？如果是，请写出它们的公共解：如果不是，请说明理由；
（3）已知关于x的方程：和（其中k为常数）分别都有“暖根”，求k的值．
15．探索发现：
……
根据你发现的规律，回答下列问题：
（1）＝
，＝
；
（2）利用你发现的规律计算：
（3）利用规律解方程：
16．石家庄某学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动，在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计，兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．
（观察）
①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为
个单位长度．
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为
个单位长度．
（发现）
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP，不包括点O，如图2所示）
①a＝
；
②分别求出各部分图象对应的函数解析式，并在图2中补全函数图象．
（拓展）
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，若这两个机器人在第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是
．（直接写出结果）
17．俗语有言“冬腊风腌，蓄以御冬”，没有腊味，如何能算得土是过冬？腊肉一直享有“一家煮肉百家香”的赞语，腌制好的腊肉，吃起来味道醇香，肥而不腻口，瘦而不塞牙，不论是煎，蒸，炒，炸，皆成美味．三口村店为迎接新年的到来，12月份购进了一批腊肉和香肠，已知用4000元购进腊肉的数量与用5000元购进香肠的数量一样多，其中每袋香肠的进价比每袋腊肉的进价多10元．
（1）每袋腊肉和香肠的进价分别是多少元？
（2）12月份上半月，该店每袋腊肉和香肠的售价分别为60元和80元，销售量之比为4：3，销售利润为3400元．12月份下半月，该店调整了销售价格，在上半月的基础上，每袋腊肉的售价增加了，每袋香肠的售价减少了元，结果腊肉的销售量比上半月腊肉的销售量增加了，香肠的销售量比上半月香肠的销售量增加了，下半月的销售利润比上半月的销售利润多864元．求a的值．
18．某商场购进甲、乙两种商品，每个乙种商品的价格比每个甲种商品的价格倍少元，用元购进甲种商品的数量与用元购进乙种商品的数量相同，请回答下
列问题：
（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）若商场从厂家购进甲、乙两种商品共个，且甲种商品的数量不多于乙种商品的数量，设购进甲个，总成本是元，求与的函数关系式，并求出最少成本的方案和最少成本；
（3）用（2）中的最少成本的再次同时购进甲、乙两种商品，在钱全部用尽的情况下，请直接写出再次购进甲、乙两种商品有多少种方案．
19．推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率是新农村建设的一项重要举措．某村在小城镇建设中集约了2400亩土地，计划对其进行平整．经投标，由甲乙两个工程队来完成平整任务．甲工程队每天可平整土地45亩，乙工程队每天可平整土地30亩．已知乙工程队每天的工程费比甲工程队少500元，当甲工程队所需工程费为12000元，乙工程队所需工程费为9000元时，两工程队工作天数刚好相同．
（1）甲乙两个工程队每天各需工程费多少元？
（2）现由甲乙两个工程队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过110000元．
①甲乙两工程队分别工作的天数共有多少种可能？
②写出其中费用最少的一种方案，并求出最低费用．
20．某自行车经营店销售型，型两种品牌自行车，今年进货和销售价格如下表：(今年1年内自行车的售价与进价保持不变)
型车
型车
进货价格(元/辆)
1000
1100
销售价格(元/辆)
1500
今年经过改造升级后，型车每辆销售价比去年增加400元．已知型车去年1月份销售总额为3.6万元，今年1月份型车的销售数量与去年1月份相同，而销售总额比去年1月份增加．
（1）若设今年1月份的型自行车售价为元/辆，求的值？(用列方程的方法解答)
（2）该店计划8月份再进一批型和型自行车共50辆，且型车数量不超过型车数量的2倍，应如何进货才能使这批自行车获利最多？
（3）该店为吸引客源，准备增购一种进价为500元的型车，预算用8万元购进这三种车若干辆，其中型与型的数量之比为，则该店至少可以购进三种车共多少辆？
