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22.5菱形的判定
01 基础题
知识点1 四条边相等的四边形是菱形
1．如图，嘉淇在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求，连接AC，BC，BD，DA，根据他的作图方法可知，四边形ADBC一定是（
）
．
2．(2020·唐山玉田县一模)如图，①以点A为圆心，2
cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM，AN于点B，D；②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C;
③分别连接BC，CD，AC.若∠MAN＝60°，则∠ACB的大小为（
）．
3．(2020·郴州)如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF.连接DE，DF，BE，BF.求证：四边形BEDF是菱形．
知识点2 两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4．如图，下列条件之一能使?ABCD是菱形的为(
)
①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD.
A．①③
B．②③
C．③④
D．①②③
5．如图，在?ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF.求证：四边形AECF是菱形．
6．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE，CD.
(1)求证：AD＝CE.
(2)填空：四边形ADCE的形状是（
）．
易错点 对菱形的判定方法掌握不透导致出错
7．(2019·宁夏)如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是(
)
A．AC⊥BD
B．AB＝AD
C．AC＝BD
D．∠ABD＝∠CBD
02 中档题
8．(2020·唐山玉田县一模)如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处，易证四边形AECF是平行四边形．当∠BAE＝________时，四边形AECF是菱形．(
)
A．30°
B．40°
C．45°
D．50°
9．(2019·永州)如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点．若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为(
)
A．40
B．24
C．20
D．15
10．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形(
)
A．AB＝AC
B．∠BAC＝90°
C．∠BAC＝120°
D．∠BAC＝150°
11．如图，A，B两点的坐标分别为(5，0)，(1，3)，点C是平面直角坐标系内一点．若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是菱形，则点C的坐标为（
）．
12．(2020·石家庄四十二中二模)如图，已知△ABC，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，小红按如下步骤作图：
①分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于M，N两点；
②连接MN，分别交AB，AC于点D，O；
③过点C作CE∥AB交MN于点E，连接AE，CD.
则四边形ADCE的周长为(
)
A．10
B．20
C．12
D．24
13．(2020·滨州)如图，过?ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB，BC，CD，DA于点P，M，Q，N.
(1)求证：△PBE≌△QDE.
(2)顺次连接点P，M，Q，N，求证：四边形PMQN是菱形．
03 综合题
14．(2020·唐山一模)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转α，得到△ADE，连接BD，CE交于点F.
(1)求证：△ABD≌△ACE.
(2)用α表示∠ACE的度数．
(3)若使四边形ABFE是菱形，直接写出α的度数．
22.5菱形的判定
01 基础题
知识点1 四条边相等的四边形是菱形
1．如图，嘉淇在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求，连接AC，BC，BD，DA，根据他的作图方法可知，四边形ADBC一定是菱形．
2．(2020·唐山玉田县一模)如图，①以点A为圆心，2
cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM，AN于点B，D；②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C;
③分别连接BC，CD，AC.若∠MAN＝60°，则∠ACB的大小为30°．
3．(2020·郴州)如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF.连接DE，DF，BE，BF.求证：四边形BEDF是菱形．
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAC＝∠DCA＝∠BCA＝∠BAC.
∴∠EAD＝∠EAB＝∠FCD＝∠FCB.
又∵AE＝CF，
∴△DCF≌△BCF≌△DAE≌△BAE(SAS)．
∴DF＝BF＝DE＝BE.
∴四边形BEDF为菱形．
知识点2 两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4．如图，下列条件之一能使?ABCD是菱形的为(A)
①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD.
A．①③
B．②③
C．③④
D．①②③
5．如图，在?ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF.求证：四边形AECF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵DE＝BF，
∴AE＝CF.
∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．
∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．
6．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE，CD.
(1)求证：AD＝CE.
(2)填空：四边形ADCE的形状是菱形．
证明：∵MN是AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，∠AOD＝∠COE＝90°.
∵CE∥AB，∴∠DAO＝∠ECO.
∴△ADO≌△CEO(ASA)．
∴AD＝CE.
易错点 对菱形的判定方法掌握不透导致出错
7．(2019·宁夏)如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是(C)
A．AC⊥BD
B．AB＝AD
C．AC＝BD
D．∠ABD＝∠CBD
02 中档题
8．(2020·唐山玉田县一模)如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处，易证四边形AECF是平行四边形．当∠BAE＝________时，四边形AECF是菱形．(A)
A．30°
B．40°
C．45°
D．50°
9．(2019·永州)如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点．若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为(B)
A．40
B．24
C．20
D．15
10．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形(A)
A．AB＝AC
B．∠BAC＝90°
C．∠BAC＝120°
D．∠BAC＝150°
11．如图，A，B两点的坐标分别为(5，0)，(1，3)，点C是平面直角坐标系内一点．若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是菱形，则点C的坐标为(－4，3)．
12．(2020·石家庄四十二中二模)如图，已知△ABC，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，小红按如下步骤作图：
①分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于M，N两点；
②连接MN，分别交AB，AC于点D，O；
③过点C作CE∥AB交MN于点E，连接AE，CD.
则四边形ADCE的周长为(A)
A．10
B．20
C．12
D．24
13．(2020·滨州)如图，过?ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB，BC，CD，DA于点P，M，Q，N.
(1)求证：△PBE≌△QDE.
(2)顺次连接点P，M，Q，N，求证：四边形PMQN是菱形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴EB＝ED，AB∥CD.
∴∠EBP＝∠EDQ.
在△PBE和△QDE中，
∴△PBE≌△QDE(ASA)．
(2)∵△PBE≌△QDE，∴EP＝EQ.
同理可证△BME≌△DNE，
∴EM＝EN.
∴四边形PMQN是平行四边形．
∵PQ⊥MN，
∴四边形PMQN是菱形．
03 综合题
14．(2020·唐山一模)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转α，得到△ADE，连接BD，CE交于点F.
(1)求证：△ABD≌△ACE.
(2)用α表示∠ACE的度数．
(3)若使四边形ABFE是菱形，直接写出α的度数．
解：(1)证明：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转α，得到△ADE，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝α.
又∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝AD＝AE.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
(2)∵∠CAE＝α，AC＝AE，
∴∠ACE＝(180°－∠CAE)＝(180°－α)＝90°－α.
(3)α＝120°.
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22.5菱形的判定
冀教版
八年级下
学习目标
1.掌握并运用菱形的判定定理。
2.通过观察、操作等活动，发展学生的直觉思维，增进主动探究的意识，发展学生的演绎推理能力。
在菱形ABCD中,对角线
AC,BD相交于点O.
(1)图中有哪些线段是
相等的?
哪些角是相等的?
(2)图中有哪些等腰三角形、直角三角形？
(3)两条对角线AC，BD有什么特定的
位置关系？
复习回顾
菱形的性质
1.菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形。
2.菱形的四条边都相等。
3.菱形两条对角线互相垂直。
4.菱形每条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，它有
条对称轴，对称轴是它
．
菱形是中心对称图形，它的对称中心是它两条对角线的
．
归纳
对角线所在的直线
交点
两
菱形ABCD中，AB=AC=5，
求（1）
∠BAD的度数
(2)BD的长．
练习
想一想
同学们想一想，我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定时，我们首先想到的第一种方法是什么？那么类比着它们，菱形的第一种判定方法是什么？
一组邻边相等的平行四边形是菱形.
根据定义得：
A
B
C
D
还有什么方法吗?
先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？
探究一
由作图可知，这个四边形四条边都相等，这个四边形是菱形，为什么呢？
∵AB=BC=CD=DA
∴AB=CD,BC=DA
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
有四条边相等的四边形是菱形。
∵在四边形ABCD中,
AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
数学语言：
探究二
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?
猜想：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
A
B
C
D
已知：在
中，AC
⊥
BD
ABCD
ABCD
求证：
是菱形
证明：
∵四边形ABCD是
平行四边形
∴OA=OC
又∵
AC
⊥
BD;
∴BA=BC
∴
ABCD是菱形
O
如图，
ABCD的两条对角线AC、BD
相交于点O，AB=
5
，AC=8，DB=6
求证:四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
∴四边形ABCD是菱形.
∴OA=OC=4
OB=OD=3
证明:
∵
AB=5
∴
∴AC⊥BD
∴
∠AOB=
∵
四边形ABCD是平行四边形
（1）∵
四边形ABCD是平行四边形
(平行四边形的对角线互相平分)
(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
四条边都相等的四边形是菱形．
你知道如何判别菱形吗？
一组邻边相等的平行四边形是菱形．
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
A
B
C
D
O
E
1.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,CE
∥BD.
求证：四边形OCED是菱形
考考你，你会用吗？
2.如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.试问四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由。
A
B
C
D
E
F
1
2
3
解：四边形AEDF是菱形
理由：∵DE
∥AC
DF∥AB
∴四边形AEDF是平行四边形
∵
DE
∥AC
∴∠2=
∠3
∵
AD是△ABC的角平分线
∴
∠1=
∠2
∴AE=DE
∴
□
AEDF是菱形
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1.如图，
ABCD的两条对角线AC、BD
相交于点O，AB=
5
，AC=8，DB=6
A
B
C
D
O
1.AC，BD互相垂直吗？为什么？
2.四边形ABCD是菱形吗？为什么？
3.如图，
ABCD的两条对角线AC、BD
相交于点O，AB=
5
，AC=8，DB=6
1.AC，BD互相垂直吗？为什么？
2.四边形ABCD是菱形吗？为什么？
A
B
C
D
O
∴四边形ABCD是菱形.
∴OA=OC=4
OB=OD=3
证明:
∵
AB=5
∴
∴AC⊥BD
∴
∠AOB=
∵
四边形ABCD是平行四边形
（1）∵
四边形ABCD是平行四边形
(平行四边形的对角线互相平分)
(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
一组邻边相等
对角线互相垂直
四条边相等
五种判定方法
四边形
平行四边形
菱形
菱形的判定方法：
归纳：
1.判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等
的四边形是菱形；
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一
组对角的四边形是菱形．
√
╳
╳
╳
2.□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
（1）若AB=AD，则□ABCD是
形；
（2）若AC=BD，则□ABCD是
形；
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是
形；
（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是
形。
A
B
C
D
O
菱
矩
矩
菱
请你动脑筋
把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分ABCD的形状吗？
A
C
D
B
思考:
D
C
B
A
课堂小结
菱形常用的判定方法：
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.有四条边相等的四边形是菱形.
布置作业
课本146页A组题和B组题
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