21.2分式方程 讲义-2020-2021学年沪教版（上海）八年级数学下册（机构）（含答案）

21.2分式方程
21.2分式方程


要点梳理
要点1如方程false，像这样，分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为０，则整式方程的解是原分式方程的解，否则这个解就不是原分式方程的解．
要点2解分式方程的一般步骤：
1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2、解这个整式方程.
3、把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.
4、写出原方程的根.
要点5增根问题:
1.增根的产生:分式方程本身隐含着分母不为0的条件,当把分式方程转化为整式方程后,方程中未知数允许取值的范围扩大了,如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0,那么就会出现不适合原方程的增根。
2.验根:因为解分式方程可能出现增根,所以解分式方程必须验根。
3.增根的特点:增根是原分式方程转化为整式方程的根,增根必定使各分式的最简公分母为0。
解分式方程的思想就是转化,即把分式方程整式方程。
常见考法
(1考查分式方程的概念、分式方程解和增根的机会比较少,通常与其他知识综合起来命题,题型以选择、填空为主;
(2分式方程的解法,是段考、中考考查的重点。
误区提醒
(1去分母时漏乘整数项;
(2去分母时弄错符号;
(3换元出错;
(4忘记验根。
典型例题
例1.己知分式方程 xx?4?nx?4=2 有增根 x=4 ，则n的值为多少（?? ） A.?x??????????????????????????????????????????B.?0??????????????????????????????????????????C.?4??????????????????????????????????????????D.?0或4
【解析】解：分式方程 xx?4?nx?4=2 有增根 x=4 ，
方程两边都乘以x-4去分母得 x?n=2(x?4) ，
把 x=4 代入得 4?n=0 ，
解得 n=4 ，
故答案为：C.
例2.分式方程 x?1x?2=mx?2 无解，则m的值为（?? ）
A.?1??????????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????????C.??2??????????????????????????????????????????D.?0
【解析】解：去分母得x-1=m，
解得x=m+1，
∵原方程无解，
∴x=2，即m+1=2，解得m=1，
即当m=1时，关于x的分式方程 x?1x?2=mx?2 无解.
故答案为：A.
基础巩固
1.若分式方程 x+2x+3=mx+3 会产生增根，则m的值是（?? ）
A.?2?????????????????????????????????????????B.?1?????????????????????????????????????????C.??1?????????????????????????????????????????D.??2
2.下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程 1?4x+2=0 的根为2；③方程 12x=12x?4 的最简公分母为 2x(2x?4) ；④ x+1x?1=1+1x 是分式方程.其中正确的个数是（?? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
3.若分式方程 x+2x+3=mx+3 无解，则m的值为（?? ）
A.?﹣1??????????????????????????????????????????B.?0??????????????????????????????????????????C.?1??????????????????????????????????????????D.?3
4.若关于x的方程 6?xx?3?2mx?3=0 有增根，则m的值是（???? ）
A.?32????????????????????????????????????????B.??23????????????????????????????????????????C.?3????????????????????????????????????????D.??3
5.若关于 x 的分式方程 2x?3+x+m3?x=2 有增根，则 m 的值为（?? ）
A.?m=-1???????????????????????????????B.?m=0???????????????????????????????C.?m=3???????????????????????????????D.?m=0或m=3
6.若关于x的分式方程 x?2x?3=mx?3 有增根，则m的值是（??? ）
A.?﹣3??????????????????????????????????????????B.?1??????????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????????D.?3
7.若关于x的方程 ax?2=x?1x?2 －3有增根，则a＝________.
8.关于x的分式方程 mx?2+3x?2=1 有增根，则m的值为________.
9.若关于x的方程： 3x?3+axx2?9=4x+3 无解，求a的值．
10.m 为何值时，关于 x 的方程 2x?2+mxx2?4=3x+2 会产生增根?
答案解析
1.【答案】 C
【解析】解：方程两边同时乘以x+3，得
x+2=m，
∵分式方程 x+2x+3=mx+3 会产生增根，
∴x+3=0，
解得x=-3，
将x=-3代入x+2=m，得
m=-3+2=-1.
故答案为：C.
2.【答案】 B
【解析】解：分式方程不一定会产生增根，故①错误；
当x=2时，左边=1-42+2=1-1=0=右边，所以方程 1?4x+2=0 的根为x=2，故②正确；
方程 12x=12x?4 变形为12x=12x?2 ， 所以最简公分母为2x(x-2)，故③错误；
x+1x?1=1+1x 的分母中含有未知数，所以是分式方程，故④正确.
故答案为：B.
3.【答案】 A
【解析】两边同乘以(x+3)得：x+2=m，x=m-2，
∵方程无解
∴x+3=0，即m-2+3=0，
∴m=-1，
故答案为：A.
4.【答案】 A
【解析】解：由 6?xx?3?2mx?3=0 得 6?x?2m=0 ，
∵ 关于 x 的方程 6?xx?3?2mx?3=0 有增根，
∴x=3 ，
当 x=3 时， 6?3?2m=0 ，
解得 m=32 ，
故答案为：A．
5.【答案】 A
【解析】解：∵2x?3+x+m3?x=2
∴2x?3+?(x+m)x?3=2
2-（x+m）=2（x-3）
2-x-m=2x-6
3x-8+m=0
∵分式方程有增根
∴将x=3代入3x-8+m=0可得
m=-1
故答案为：A.
6.【答案】 B
【解析】解：方程两边都乘x-3，
得x-2=m
∵原方程有增根，
∴最简公分母x-3=0，
解得x=3，
当x=3时，m=1
故m的值是1．
故答案为：B．
7.【答案】 1
【解析】两边都乘以x-2，得
a=x-1，
∵方程有增根，
∴x-2=0，
∴x=2，
∴a=2-1=1.
故答案为1.
8.【答案】 -3
【解析】解： mx?2+3x?2=1
分式方程去分母得： m+3=x?2 ，
由分式方程有增根，得到 x?2=0 ，即 x=2 ，
把 x=2 代入整式方程得： m+3=0 ，
解得： m=?3 .
故答案为：-3.
9.【答案】 解：分式方程去分母得：3x+9+ax＝4x﹣12，（1）由分式方程有增根，得到（x+3）（x﹣3）＝0，即x＝3或x＝﹣3，
把x＝3代入整式方程得：18+3a＝0，即a＝﹣6；
把x＝﹣3代入整式方程得：﹣3a＝﹣24，即a＝8，
综上，a的值为﹣6或8．（2）整式方程整理得：（a﹣1）x＝﹣21，
由方程无解，得到a﹣1＝0，
即a＝1或8或﹣6．
10.【答案】 解：原方程化为： 2x?2+mxx?2x+2=3x+2,
方程两边同时乘以（x＋2）（x?2）
得2（x＋2）＋mx＝3（x?2），
整理得（m?1）x＋10＝0，
∵关于x的方程? 2x?2+mxx2?4=3x+2 会产生增根，
∴（x＋2）（x?2）＝0，
∴x＝?2?或x＝2，
∴当x＝?2时，（m?1）×（?2）＋10＝0，解得m＝6，
当x＝2时，（m?1）×2＋10＝0，解得m＝?4，
∴m＝?4或m＝6时，原方程会产生增根．