21.3无理方程 讲义-2020-2021学年沪教版（上海）八年级数学下册（机构）（word版含解析）

676275-27432021.3无理方程
21.3无理方程

学习目标
1.?知道无理方程、代数方程的概念，并会识别无理方程；?
2.?经历探索无理方程解法的过程，领会无理方程“有理化”的化归思想；?
3.?会解简单的无理方程，，知道解无理方程需要检验，及如何检验。
要点梳理
要点1
无理方程的解法1：.去分母法:
用去分母法解分式方程的一般步骤是:
①在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程;
②解这个整式方程;
③把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公分母不为零的根是原方程的根,使最简公分母为零的根是增根,必须舍去。
在上述步骤中,去分母是关键,验根只需代入最简公分母。
2.换元法:
用换元法解分式方程的一般步骤是:
②换元:换元的目的就是把分式方程转化成整式方程,要注意整体代换的思想;
③三解:解这个分式方程,将得出来的解代入换的元中再求解;
④四验:把求出来的解代入各分式的最简公分母检验,若结果是零,则是原方程的增根,必须舍去;若使最简公分母不为零,则是原方程的根。
解无理方程也大多利用换元法,换元的目的是将无理方程转化成有理方程。
典型例题
例1．下列方程中，没有实数根的是（　　）
A．x+1＝0 B．x2﹣1＝0 C．false+1＝0 D．false＝0
【解析】解：方程x+1＝0的解是x＝﹣1，故选项A有实数根；
方程x2﹣1＝0的解是x＝±1，故选项B有实数根；
方程false+1＝0移项后得false＝﹣1，因为算术平方根不能为负，故选项C没有实数根；
方程false＝0的解为x＝﹣1，故选项D有实数根．
故选：C．
例2．下列方程中，有实数根的方程是（　　）
A．x4+1＝0 B．false＝﹣1
C．false＝﹣x D．false
【解析】解：false、false，false，方程 false没有实数解；
false、false，故无实数解；
false、两边平方得false，解得false， false，经检验，原方程的解为false；
false、去分母得false，经检验原方程没有实数解，
故选：false．
基础巩固
1．方程false 的解是（　　）
A．x=3 B．x=8 C．x1=3，x2=8 D．x1=3，x2=﹣8
2．下列关于false的方程中，属于无理方程的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．下列关于false的方程中，有实数根的是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
4．下列方程中有实数解的是（　　）
A．x2+3x+4＝0 B．false+1＝0 C．false＝false D．false＝﹣x
5．下列方程中，有实数根的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．下列方程中，有实数根的方程是（ ）
A．x2+1=0 B．x?2+12=0
C．x+1=2 D．x?1+1?x=2
7．方程false的根为____．
8．方程false的根是_______．
9．转化是数学解题的一种极其重要的数学思想，实质是把新知识转化为旧知识，把未知转化为已知，把复杂的问题转化为简单的问题．
例如，解方程false时，我们就可以通过换元法，设false，将原方程转化为false，解方程得到false，false，因为false．所以false舍去，因此得到false，所以false，false．
请参考例题解法，解方程：false．
10．“通过等价变换，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式．例如：解方程x﹣false＝0，就可利用该思维方式，设false＝y，将原方程转化为：false这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x．这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下列问题：
（1）填空：若false，则false的值为　 　；
（2）直接写出方程false的根；
（3）解方程：false2false﹣8＝0．
答案解析
1．A
【解析】
试题分析：根据二次根式的性质false false可得5-x≥0，即x≤5，再根据题意可得x+1=（5-x）2，可得x2-11x+24=0，解得x=3或x=8（舍去）.
故选A
2．D
【解析】A选项中根号内没有未知数，所以不是无理方程，故本选项不符合题意；
B选项中根号内没有未知数，所以不是无理方程，故本选项不符合题意；
C选项中根号内没有未知数，所以不是无理方程，故本选项不符合题意；
D选项中根号内含有未知数，所以是无理方程，故本选项符合题意；
故选D．
3．B
【解析】解：A、将方程变形为：false，由二次根式的非负性可知，方程不成立，故方程没有实数解，所以A选项错误；
B、两边平方得false（false），解得：false，false，经检验，false原方程的解，所以B选项正确；
C、false，即false，方程没有实数解，所以D选项错误；
D、false，则有：false且false，解得：false且false，不存在这样的实数，故方程无解，所以D选项错误．
故选：B．
4．D
【解析】解：A、x2+3x+4＝0，
△＝32﹣4×1×4＝﹣7＜0，
即此方程无实数解，故本选项错误；
B、可得false＝﹣1，
∵算术平方根是一个非负数，
∴此方程无实数解，故本选项错误；
C、false＝false，
方程两边都乘（x﹣3）得：x＝3，
∵x＝3代入x﹣3＝0，
∴x＝3是原方程的增根，即原方程无解，故本选项错误；
D、false＝﹣x，x＝x2，解得x1＝0，x2＝1（是增根，舍去），故本选项正确；
故选：D．
5．C
【解析】解：A、x4≥0，x4+1＞0，方程x4+1=0没有实数解；
B、false，任何数的算术平方根是非负数，故原方程没有实数解；
C、两边平方得x+2=x2，解得x1=-1，x2=2，经检验，原方程的解为x=-1；
D、去分母得x=1，经检验x=1是原方程的增根，故原方程没有实数解，
故选：C．
6．C
【解析】
【解析】A.?x2+1=0，
此时方程无解，故本选项错误；
B.?∵x?2+12=0
∴x?2=-12
∵算术平方根是非负数
∴此时方程无解，故本选项错误；
C.?∵x+1=2
∴x+1=4
∴x=3
故本选项正确；
D.?∵x?1+1?x=2
∴x?1?0且1?x?0
解得：x=1
代入得：0+0=2
此时不成立，故本选项错误；
故选C.
7．false
【解析】解：方程两边同时平方得：false，
∴false，
即false，
∴x1=x2=1，
经检验，x=1是原方程的根，
故答案为：x=1．
8．false
【解析】方程两边平方得：false
∴false，false
∵false
∴false
∴false不符合题意，故舍去
∴原方程的根为false
故答案为：false．
9．x1=-4，x2=1．
【解析】解：设false=y，则x2+3x=y2．
原方程可转化为：y2-y-2=0．
∴（y-2）（y+1）=0．
∴y1=2，y2=-1．
当y=2时，即false=2，
∴x2+3x=4．
即x2+3x-4=0．
解这个方程得x1=-4，x2=1，
经检验，x=-4、x=1均为原方程根，．
∵y=false≥0，
∴y=-1舍去．
所以原方程的解为：x1=-4，x2=1．
10．（1）0；（2）false，false，false，false；（3）false＝false，false＝false
【解析】解：（1）设false，原方程转化为false，解得false，false，
当t＝0时，false；当false时，false（舍去）；
所以false的值为0；
故答案为0；
（2）设false，原方程转化为false，解得false，false，
当t＝1时，则false，解得false，
当t＝2时，则|x|＝2，解得false，
所以原方程的解为false，false，false，false；
（3）设false＝t，原方程转化为false，解得false，false，
当t＝﹣4时，false＝﹣4，不合题意舍去；
当t＝2时，false＝2，则false，解得false＝false，false＝false，
经检验，原方程的解为false＝false，false＝false．