22.3梯形 讲义-2020-2021学年沪教版（上海）八年级数学下册（机构）（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 22.3梯形 讲义-2020-2021学年沪教版（上海）八年级数学下册（机构）（word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 100.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-06-01 15:43:56 | ||
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文档简介
1285875-30289522.3梯形
22.3梯形
学习目标
1．熟练掌握特殊梯形的证明；
2．灵活的运用中位线的相关性质解决边和角的相关数量问题．
要点梳理
一、梯形及梯形的有关概念
（1）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
底：平行的两边叫做底，其中较长的是下底，较短的叫上底．
腰：不平行的两边叫做腰．
高：梯形两底之间的距离叫做高．
（2）特殊梯形
396240113030
624840333375 直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形．
特殊梯形
等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
思考讨论：若上面两个条件同时成立是否是梯形?
交流：如果同时具备直角梯形和等腰梯形的特征，那么该图形是矩形．
【等腰梯形性质】
等腰梯形性质定理1等腰梯形在同一底上的两个内角相等．
等腰梯形性质定理2等腰梯形的两条对角线相等．
另外：等腰梯形是轴对称图形；
【等腰梯形判定】
等腰梯形判定定理1在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形．
等腰梯形判定定理2对角线相等的梯形是等腰梯形．
典型例题
例1.如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，若BC＝6，则DE＝（? ）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?5
【解析】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ 12 BC＝3，
故答案为：B.
例2.下列四个命题中，假命题是（?????? ）
A.?有两个内角相等的梯形是等腰梯形??????????????????????B.?等腰梯形一定有两个内角相等
C.?两条对角线相等的梯形是等腰梯形??????????????????????D.?等腰梯形的两条对角线相等
【解析】解：A、有两个内角相等的梯形是等腰梯形，如：直角梯形，故这个命题为假命题；
B、等腰梯形一定有两个内角相等，这个命题为真命题；
C、两条对角线相等的梯形是等腰梯形，这个命题为真命题；
D、等腰梯形的两条对角线相等，这个命题为真命题．
故答案为：A．
基础巩固
1.如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，如果△ABC的周长为20，那么△DEF的周长是（ ??）
A.?20?????????????????????????????????????????B.?15?????????????????????????????????????????C.?10?????????????????????????????????????????D.?5
2.在梯形 ABCD 中， AD // BC ，那么下列条件中，不能判断它是等腰梯形的是（???? ）
A.?AB=DC????????????????B.?∠DAB=∠ABC????????????????C.?∠ABC=∠DCB????????????????D.?AC=DB
3.在课外活动课上，教师让同学们作一个对角线完全垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为800平方厘米，则对角线所用的竹条至少需（?? ）
A.?40 2 cm?????????????????????????????B.?40cm?????????????????????????????C.?80cm?????????????????????????????D.?80 2 cm
4.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC．BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（? ）
A.?AC=BD???????????????????????B.?OB=OC???????????????????????C.?∠BCD=∠BDC???????????????????????D.?∠ABD=∠ACD
5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，若△BEF的面积为4cm2 ， 则梯形ABCD的面积为（?? ）
A.?8cm2????????????????????????????????B.?12cm2????????????????????????????????C.?16cm2????????????????????????????????D.?20cm2
6.如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为（?????? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
7.如图，直线 l1⊥x 轴于点 (1?,??0) ，直线 l2⊥x 轴于点 (2?,??0) ，直线 l3⊥x 轴于点 (3?,??0) ，…，直线 ln⊥x 轴于点 (n?,??0) （其中 n 为正整数）．函数 y=x 的图象与直线 l1 , l2 , l3 ,…， ln 分别交于点 A1 , A2 , A3 ，…， An ；函数 y=2x 的图象与直线 l1 , l2 , l3 ,…， ln 分别交于点 B1 , B2 , B3 ，…, Bn ，如果 △OA1B1 的面积记作 S1 ，四边形 A1A2B2B1 的面积记作 S2 ，四边形 A2A3B3B2 的面积记作 S3 ,…，四边形 An?1AnBnBn?1 的面积记作 Sn ，那么 S2015= ________.
8.已知点A、B到直线l的距离分别为4与6，O是线段AB的中点，那么点O到直线l的距离是________．
9.已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，∠C=30°，AD=4，BC=10.求：梯形两腰AB、CD的长.
10.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DE∥BC，如果△AED的周长为28cm，EB＝9cm，求梯形ABCD的周长．
答案解析
1.【答案】 C
【解析】∵D、E分别是△ABC的边BC、AB的中点，
∴DE= 12 AC，同理 EF= 12 BC，DF= 12 AB，∴C△DEF=DE+EF+DF= 12 （AC+BC+AB）= 12 ×20=10．
故答案为：C．
2.【答案】 B
【解析】解：A、∵四边形ABCD为梯形，且 AD // BC ， AB=DC ，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项不符合题意；
B、∠DAB=∠ABC，不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项符合题意；
C、∵四边形ABCD为梯形，且 AD // BC ，∠ABC=∠DCB，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD为梯形，且 AD // BC ， AC=DB ，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
3.【答案】 B
【解析】解：∵四边形是等腰梯形
∴梯形的两条对角线相等
∵对角线相互垂直，设对角线长度为a，根据面积公式得： S=12·a·a
即：800= 12a2 ，解得：a=40
故答案为：B
4.【答案】 C
【解析】解：A．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，故本选项不符合题意．
B．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，∠ABC=∠DCB，
∵在△ABC和△DCB中，AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB（SAS）．∴∠ACB=∠DBC．∴OB=OC．故本选项不符合题意．
C．∵BC和BD不一定相等，∴∠BCD与∠BDC不一定相等，故本选项符合题意．
D．∵∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，∴∠ABD=∠ACD．故本选项不符合题意．
故答案为：C．
5.【答案】 C
【解析】解：如图，过A作AN⊥BC于N，交EF于M，
∵EF是梯形ABCD的中位线，
∴AD+BC＝2EF，EF∥AD∥BC，
∴AM⊥EF，AM＝MN，
∵△BEF的面积为4cm2 ，
∴ 12 EF×AM＝4，
∴EF×AM＝8，
∴梯形ABCD的面积为 12 (AD+BC)×AN＝ 12 ×2EF×2AM＝2EF×AM＝16cm2 ，
故答案为：C.
6.【答案】 B
【解析】解：如图，将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，过点M作MO⊥ED于点O，则MO是梯形CDEF的中位线，
∴EO=OD=2，MO=12（EF+CD）=2.
∵点M、N分别是FC、AD的中点，
∴AN=ND=32 ，
∴ON=OD-ND=2-32=12.
在Rt△MON中，MN2=MO2+ON2 ， 即MN=22+122=172.
故答案为：B.
7.【答案】 2014.5
【解析】解：∵ ln?1 ⊥x轴， ln ⊥x轴，
∴An﹣1Bn﹣1∥AnBn ， 且 ln?1 与 ln 的距离为1，
∴四边形 An?1AnBnBn?1 是梯形，An(n，n)，Bn(n，2n)，
根据题意，AnBn=2n﹣n=n，An﹣1Bn﹣1=n﹣1，
∴四边形 An?1AnBnBn?1 的面积 Sn = 12 （n+n﹣1）×1= 12 （2n﹣1），
∴当n=2015时， S2015 = 12 ×（2×2015﹣1）=2014.5，
故答案为：2014.5．
8.【答案】 5或1
【解析】解：如图一，作AD⊥l于D ， BC⊥l于C ， OF⊥l于F ．
∵AD⊥l于D ， BC⊥l ， OF⊥l于F ，
∴AD∥OF∥BC ，
∴ABCD是直角梯形，
∵O是AB的中点，AD＝4，BC＝6，
∴DF＝CF ，
∴OF＝ 12 （AD+BC）＝ 12 （4+6）＝5．
如图二，作AD⊥l于D ， BC⊥l于C ， OF⊥l于F ．
∵AD⊥l于D ， BC⊥l ， OF⊥l于F ，
∴AD∥OF∥BC ，
连接DO并延长，交BC于G ， 则易得△AOD≌△BOG ，
∴BG＝AD＝4，DO＝GO ，
又∵BC＝6，
∴CG＝6﹣4＝2，
∵OF∥CG ，
∴DF＝CF ，
∴OF＝ 12 CG＝1，
故答案为：5或1．
9.【答案】 解：作DE∥AB交BC于点E，则四边形ABED是平行四边形．
∴AB=DE，AD=BE，∠DEC=∠B=60°，
∵∠C=30°，
∴∠EDC=180°-60°-30°=90°，
∵CE=BC-BE=BC-AD=6，
∴DE=3，CD=3 3 ，
即AB=3，CD=3 3 ．
故答案为：AB=3，CD=3 3 ．
10.【答案】 梯形ABCD的周长是46cm．
【解析】∵AB∥DC，DE∥CB（已知），∴四边形DEBC是平行四边形（两组对边互相平行的四边形是平行四边形）；
∴CD＝BE＝9cm，DE＝BC（平行四边形的对边相等），∴梯形ABCD的周长
＝AD+AB+BC+CD＝AD+AE+DE+BE+CD＝△ADE的周长+BE+CD＝28cm+9cm+9cm＝46cm，即梯形ABCD的周长是46cm．
22.3梯形
学习目标
1．熟练掌握特殊梯形的证明；
2．灵活的运用中位线的相关性质解决边和角的相关数量问题．
要点梳理
一、梯形及梯形的有关概念
（1）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
底：平行的两边叫做底，其中较长的是下底，较短的叫上底．
腰：不平行的两边叫做腰．
高：梯形两底之间的距离叫做高．
（2）特殊梯形
396240113030
624840333375 直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形．
特殊梯形
等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
思考讨论：若上面两个条件同时成立是否是梯形?
交流：如果同时具备直角梯形和等腰梯形的特征，那么该图形是矩形．
【等腰梯形性质】
等腰梯形性质定理1等腰梯形在同一底上的两个内角相等．
等腰梯形性质定理2等腰梯形的两条对角线相等．
另外：等腰梯形是轴对称图形；
【等腰梯形判定】
等腰梯形判定定理1在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形．
等腰梯形判定定理2对角线相等的梯形是等腰梯形．
典型例题
例1.如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，若BC＝6，则DE＝（? ）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?5
【解析】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ 12 BC＝3，
故答案为：B.
例2.下列四个命题中，假命题是（?????? ）
A.?有两个内角相等的梯形是等腰梯形??????????????????????B.?等腰梯形一定有两个内角相等
C.?两条对角线相等的梯形是等腰梯形??????????????????????D.?等腰梯形的两条对角线相等
【解析】解：A、有两个内角相等的梯形是等腰梯形，如：直角梯形，故这个命题为假命题；
B、等腰梯形一定有两个内角相等，这个命题为真命题；
C、两条对角线相等的梯形是等腰梯形，这个命题为真命题；
D、等腰梯形的两条对角线相等，这个命题为真命题．
故答案为：A．
基础巩固
1.如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，如果△ABC的周长为20，那么△DEF的周长是（ ??）
A.?20?????????????????????????????????????????B.?15?????????????????????????????????????????C.?10?????????????????????????????????????????D.?5
2.在梯形 ABCD 中， AD // BC ，那么下列条件中，不能判断它是等腰梯形的是（???? ）
A.?AB=DC????????????????B.?∠DAB=∠ABC????????????????C.?∠ABC=∠DCB????????????????D.?AC=DB
3.在课外活动课上，教师让同学们作一个对角线完全垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为800平方厘米，则对角线所用的竹条至少需（?? ）
A.?40 2 cm?????????????????????????????B.?40cm?????????????????????????????C.?80cm?????????????????????????????D.?80 2 cm
4.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC．BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（? ）
A.?AC=BD???????????????????????B.?OB=OC???????????????????????C.?∠BCD=∠BDC???????????????????????D.?∠ABD=∠ACD
5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，若△BEF的面积为4cm2 ， 则梯形ABCD的面积为（?? ）
A.?8cm2????????????????????????????????B.?12cm2????????????????????????????????C.?16cm2????????????????????????????????D.?20cm2
6.如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为（?????? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
7.如图，直线 l1⊥x 轴于点 (1?,??0) ，直线 l2⊥x 轴于点 (2?,??0) ，直线 l3⊥x 轴于点 (3?,??0) ，…，直线 ln⊥x 轴于点 (n?,??0) （其中 n 为正整数）．函数 y=x 的图象与直线 l1 , l2 , l3 ,…， ln 分别交于点 A1 , A2 , A3 ，…， An ；函数 y=2x 的图象与直线 l1 , l2 , l3 ,…， ln 分别交于点 B1 , B2 , B3 ，…, Bn ，如果 △OA1B1 的面积记作 S1 ，四边形 A1A2B2B1 的面积记作 S2 ，四边形 A2A3B3B2 的面积记作 S3 ,…，四边形 An?1AnBnBn?1 的面积记作 Sn ，那么 S2015= ________.
8.已知点A、B到直线l的距离分别为4与6，O是线段AB的中点，那么点O到直线l的距离是________．
9.已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，∠C=30°，AD=4，BC=10.求：梯形两腰AB、CD的长.
10.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DE∥BC，如果△AED的周长为28cm，EB＝9cm，求梯形ABCD的周长．
答案解析
1.【答案】 C
【解析】∵D、E分别是△ABC的边BC、AB的中点，
∴DE= 12 AC，同理 EF= 12 BC，DF= 12 AB，∴C△DEF=DE+EF+DF= 12 （AC+BC+AB）= 12 ×20=10．
故答案为：C．
2.【答案】 B
【解析】解：A、∵四边形ABCD为梯形，且 AD // BC ， AB=DC ，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项不符合题意；
B、∠DAB=∠ABC，不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项符合题意；
C、∵四边形ABCD为梯形，且 AD // BC ，∠ABC=∠DCB，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD为梯形，且 AD // BC ， AC=DB ，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
3.【答案】 B
【解析】解：∵四边形是等腰梯形
∴梯形的两条对角线相等
∵对角线相互垂直，设对角线长度为a，根据面积公式得： S=12·a·a
即：800= 12a2 ，解得：a=40
故答案为：B
4.【答案】 C
【解析】解：A．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，故本选项不符合题意．
B．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，∠ABC=∠DCB，
∵在△ABC和△DCB中，AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB（SAS）．∴∠ACB=∠DBC．∴OB=OC．故本选项不符合题意．
C．∵BC和BD不一定相等，∴∠BCD与∠BDC不一定相等，故本选项符合题意．
D．∵∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，∴∠ABD=∠ACD．故本选项不符合题意．
故答案为：C．
5.【答案】 C
【解析】解：如图，过A作AN⊥BC于N，交EF于M，
∵EF是梯形ABCD的中位线，
∴AD+BC＝2EF，EF∥AD∥BC，
∴AM⊥EF，AM＝MN，
∵△BEF的面积为4cm2 ，
∴ 12 EF×AM＝4，
∴EF×AM＝8，
∴梯形ABCD的面积为 12 (AD+BC)×AN＝ 12 ×2EF×2AM＝2EF×AM＝16cm2 ，
故答案为：C.
6.【答案】 B
【解析】解：如图，将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，过点M作MO⊥ED于点O，则MO是梯形CDEF的中位线，
∴EO=OD=2，MO=12（EF+CD）=2.
∵点M、N分别是FC、AD的中点，
∴AN=ND=32 ，
∴ON=OD-ND=2-32=12.
在Rt△MON中，MN2=MO2+ON2 ， 即MN=22+122=172.
故答案为：B.
7.【答案】 2014.5
【解析】解：∵ ln?1 ⊥x轴， ln ⊥x轴，
∴An﹣1Bn﹣1∥AnBn ， 且 ln?1 与 ln 的距离为1，
∴四边形 An?1AnBnBn?1 是梯形，An(n，n)，Bn(n，2n)，
根据题意，AnBn=2n﹣n=n，An﹣1Bn﹣1=n﹣1，
∴四边形 An?1AnBnBn?1 的面积 Sn = 12 （n+n﹣1）×1= 12 （2n﹣1），
∴当n=2015时， S2015 = 12 ×（2×2015﹣1）=2014.5，
故答案为：2014.5．
8.【答案】 5或1
【解析】解：如图一，作AD⊥l于D ， BC⊥l于C ， OF⊥l于F ．
∵AD⊥l于D ， BC⊥l ， OF⊥l于F ，
∴AD∥OF∥BC ，
∴ABCD是直角梯形，
∵O是AB的中点，AD＝4，BC＝6，
∴DF＝CF ，
∴OF＝ 12 （AD+BC）＝ 12 （4+6）＝5．
如图二，作AD⊥l于D ， BC⊥l于C ， OF⊥l于F ．
∵AD⊥l于D ， BC⊥l ， OF⊥l于F ，
∴AD∥OF∥BC ，
连接DO并延长，交BC于G ， 则易得△AOD≌△BOG ，
∴BG＝AD＝4，DO＝GO ，
又∵BC＝6，
∴CG＝6﹣4＝2，
∵OF∥CG ，
∴DF＝CF ，
∴OF＝ 12 CG＝1，
故答案为：5或1．
9.【答案】 解：作DE∥AB交BC于点E，则四边形ABED是平行四边形．
∴AB=DE，AD=BE，∠DEC=∠B=60°，
∵∠C=30°，
∴∠EDC=180°-60°-30°=90°，
∵CE=BC-BE=BC-AD=6，
∴DE=3，CD=3 3 ，
即AB=3，CD=3 3 ．
故答案为：AB=3，CD=3 3 ．
10.【答案】 梯形ABCD的周长是46cm．
【解析】∵AB∥DC，DE∥CB（已知），∴四边形DEBC是平行四边形（两组对边互相平行的四边形是平行四边形）；
∴CD＝BE＝9cm，DE＝BC（平行四边形的对边相等），∴梯形ABCD的周长
＝AD+AB+BC+CD＝AD+AE+DE+BE+CD＝△ADE的周长+BE+CD＝28cm+9cm+9cm＝46cm，即梯形ABCD的周长是46cm．