黑龙江省大庆市高中2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 PDF版含答案

2020---2021 学年度下学期期中考试高一数学试题
一、单选题
???? z
1．在复平面内，与向量 为（ ）
OZ ?(1,2)对应的复数为z，则 ?（ ）
1?i
A．57? B．63π C．45? D．84?
3 1 3 1 1 1 1 1
A． ? i B．? ? i C．? ? i D．? ? i ?
2 2 2 2 2 2 2 2 8．将函数 f(x)?2sinx的图象向右平移 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来
6
2．正方形 ? ?
O?A?B?C?的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的周 1
的 (??0)倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间( , )上是增函数，则?
? 6 3
长是（ ）
的取值范围是（ ）
A．6cm B．8cm C．?2?3 2?cm D．?2?2 2?cm 1
A．(0, ] B．(0,2] C．(2,3) D．[3,??)
2
3．在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，
9．如图，已知圆锥CO的轴截面是正三角形，AB是底面圆O的直径，点D在? 上，且
???? ???? ???? AB
若AE ?mAB?nAD，则m?n的值为（ ）
∠AOD?2∠BOD，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为（ ）
1 1
A． B．1 C．?1 D．?
2 2 3 1 1 3
A． B． C． D．
2 4 4
?? 4
? 3 ?? ?
4．若sin? ???? ，则sin? ?2???（ ）
? 6 ? 2 ? 6 ? ?? ? 1 ? ??
10．已知sin? ???? ?cos?，则cos?2?? ??（ ）
? 6 ? 3 ? 3 ?
1 1 3 3
A．? B． C．? D．
2 2 2 2 7 4 3 4 3 7
A．? B．? C． D．
5．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的 9 9 9 9
多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，该几何 11．设a，b，c分别是?ABC的内角A，B，C的对边，已知?b?c?sin?A?C???a?c??sinA?sinC?，
体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为 ???? ???? ????
设D是BC边的中点，且?ABC的面积为 3，则AB??DA?DB?等于( )
（ ）
A．2 B．4 C．?4 D．?2
6 6 6 6
A． B． C． D． ????????
18 9 12 3 12．已知在?OAB中，OA?OB ? 2，AB?2 3，动点P位于线段AB上，当PA·PO取得最小值
a?i ???? ????
6．已知复数 是纯虚数（i是虚数单位），则实数a等于（ ） 时，向量PA与PO的夹角的余弦值为（ ）
2?i
1
A．?2 B．2 C． D．?1 2 7 2 7 21 21
2 A．? B． C．? D．
? 7 7 7 7
7．三棱锥P?ABC中PA?平面ABC，?BAC ? ,AP ?3,BC ?6，则三棱锥外接球的表面积
2
试卷第1页，总2页
二、多选题 ? ? ? ? ?
(2)若a ?(a?2b),求a与b的夹角的余弦值.
13．已知m,n是不重合的直线，?,?是不重合的平面，则下列命题错误的是（ ）
? ?? ? ??
20．已知函数 f(x)?2sinxcosx?2 3sin x? cos x?
A．若m??，n//?，则m//n B．若m//?，m//?，则?//? ? ? ? ?
? 4 ? ? 4 ?
C．若???? （ ）求函数 的对称轴方程；
n，m//n，则m//?且m//? D．若m??，m??，则?//? 1 f(x)
? ? ? ? ??
14．己知向量a ??2，1?,b ???3，1?，则（ ） （2）将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度，得到函数g(x)的图象，当x??0, ?，求g(x)的
3 ? 2?
? ? ? ?
A．?a?b??a B．向量 ? 10 ? 值域．
a在向量b 上的投影向量是? a
2
? ? ?2 5 5?
C． ?
a?2b ?5 D．与向量a方向相同的单位向量是?? , ? 21．如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ABC是边长为2的等边三角形，BB1 ?4，E为棱A1C1
? 5 5 ??
的中点，F 为棱A1B1的中点，BC1?B1C ?O .
三、填空题
（1）证明：AB// 平面EFO；
15．已知i是虚数单位，复数z满足z?1?i??2i，则 1
z ?__________．
（2）求三棱锥B1?A1CC1的体积.
2 1 tan?
16．已知sin(???)? ，sin(???)? ，则 的值为_______．
3 3 tan?
17．如图所示，为了测量A、B两岛屿的距离，小明在D处观测到A、B分 22．如图所示，在四棱锥 ? ?
P?ABCD中，?ABC ??ACD ?90 ，?BAC ??CAD? 60 ，PA?
别在D处的北偏西 ? ?
15 、北偏东45 方向，再往正东方向行驶10海里至C处， 平面ABCD，PA?2，AB ?1，设M 、N 分别为PD、AD
观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西 ? 的中点.
60 方向，则A、B两岛屿
（1）求证：平面CMN //平面 ；
的距离为 PAB
_______海里．
（2）求三棱锥A?CMN的侧面积.
18．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，?ABC 为等边三角形且其面积为9 3，
则三棱锥D? ABC 体积的最大值为___________.
23．在?ABC 中，内角A,B,C的对边分别为
四、解答题 ? ??
? a,b,c,bsinA?acos B? ．
19．已知平面向量 ? ? ?
a ?(2,2),b ?(x,?1). ? 6?
? ? （ ）求角 的大小；
(1)若a//b,求x的值; 1 B
（2）设点D是AC的中点，若BD? 3，求a?c的取值范围．
试卷第2页，总2页
参考答案
1．A 2．B 3．D 4．A 5．B 6．C
7．C 8．B 9．A 10．D 11．A 12．C
13．ABC 14．ACD
15．?1?i 16．3 17．5 6 18．18 3
5
19．(1)x??1.(2) 5
【详解】
? ?
(1)平面向量a ?(2,2),b?(x,?1)，
? ?
若a//b,则2?(?1)?2x ?0，
解得x??1；
? ? ? ? ? ? 2
(2)若a ?(a?2b),则a?(a?2b)?a ?2a?b?0，
2 2
即?2 ?2 ??2?(2x?2)?0,解得x?3，
?
∴b?(3,?1)，
? ?
? ? a?b 2?3?2?(?1) 5
∴a与b的夹角的余弦值为 ? ? ? ?
2 2 2 2 .
|a||b| 2 ?2 ? 3 ?(?1) 5
k? ?
20．（1）对称轴方程为x? ? ，k∈Z．（2）[? 3,2]
2 12
【详解】
? ?
（1）∵函数f（x）＝2sinxcosx+2 3sin（x? ）cos（x? ）
4 4
? ?
＝sin2x? 3sin（2x? ）＝sin2x? 3cos2x＝2sin（2x? ），
2 3
? ? k? ? k? ?
∴令2x? ?kπ? ，求得x? ? ，k∈Z，故函数f（x）的对称轴方程为x? ? ，
3 2 2 12 2 12
k∈Z．
? ?? ? ? ?? ?? ? ??
（2）g(x)=f ?x? ??2sin ?2?x? ?? ??2sin?2x? ?
? 3? ? ? 3? 3? ? 3?
? ? 2?
令t ?2x? ?[? , )则2sint?[? 3,2]，故g(x)的值域为[? 3,2]
3 3 3
21．（1）证明见解析；（2）4 3 .
3
答案第1页，总4页
【详解】
（1）如图，连接A1B，
因为点E为棱A1C1的中点，点F 为棱A1B1
的中点，
所以EF是△A1B1C1的中位线，故
EF//B1C1.
又BC//B1C1，所以EF//BC .
又EF ?平面EFO，BC?平面EFO，
所以BC//平面EFO
同理OF 是?A1B1C 的中位线，故OF//A1C.
OF ?平面EFO，A1C ?平面EFO，
所以A1C//平面EFO
又因为BC?A1C ?C ，
所以平面A1BC//平面EFO.
又A1B?平面A1BC，
所以A1B//平面EFO.
（2）取B1C1的中点G，连接A1G .
因为△A1B1C1是等边三角形，
所以A1G?B1C1.
又平面BCC1B1 ?平面A1B1C1，平面BCC1B1?平面A1B1C1 ? B1C1，
所以A1G ?平面BCC1B1.
1 1
又A1G? 3，S△B1C1C ? ??B1C1?C1C ? ?2?4?4，
2 2
则由等体积法知三棱锥B1?A1CC1的体积
答案第2页，总4页
1 1 4 3
VB1?A1CC1 ?VA1?B1CC1 ? ?S△B1C1C ?A1G ? ?4? 3? .
3 3 3
22．（1）证明见解析；（2）3? 3.
【详解】
（1）∵M 、N 分别为PD、AD的中点，∴MN //PA，
又MN ?平面PAB，PA?平面PAB，∴MN //平面PAB，
在 o ?
Rt?ACD中，?CAD ?60 ，CN ? AN ，∴?ACN ?60 ，
又 ?
?BAC ?60 ，∴CN //AB，
∵CN ?平面PAB，AB? 平面PAB，∴CN //平面PAB，
又CN?MN ? N ，∴平面CMN //平面PAB，
（2）∵PA?平面ABCD，AN ?平面ABCD，CN ?平面ABCD，
由（1）可知MN //PA，∴MN ? AN、MN ?CN ，
∵ ? ?
?ABC ??ACD ?90 ，?BAC ??CAD? 60 ，PA?2，AB ?1，
1
∴AC ?2AB?2，AD?2AC?4，MN ? PA?1，
2
1
由（1）可知CN ? AN ? AD ?2，
2
在 2 2
Rt?CMN 中，AM ?CM ? CN ?MN ? 4?1? 5，
∴ 1 ? 1 3
S?ACN ? AN?CN?sin60 ? ?2?2? ? 3，
2 2 2
1 1
又S?AMN ? AN?MN ? ?2?1?1，
2 2
在△ 2 AC 2
ACM 中，AM ?CM ，∴AC边上的高h? AM ?( ) ? 5?1?2，
2
1 1
∴S?ACM ? AC?h? ?2?2?2，
2 2
∴三棱锥A?CMN的侧面积S ?S?ACN ?S?AMN ?S?ACM ?3? 3.
?
23．（1） ；（2）(2 3,4]
3
【详解】
a b
（1）在?ABC 中，由正弦定理 ? ，可得bsinA?asinB，
sinA sinB
答案第3页，总4页
? ?? ? ??
又由bsinA?acos?B? ?，可得asinB ?acos? B? ?，
? 6? ? 6 ?
? ??
即 3 1
sinB ?cos?B? ?，即sinB= cosB+ sinB，可得tanB? 3，
? 6 ? 2 2
?
又因为B?(0,?)，所以B ? ．
3
（2）如图，延长BD到E，满足DE ?BD，连接AE、CE，
2?
则ABCE为平行四边形，且BE ?2 3,?BAE ? ,AB ?c,AE ? BC ?a，
3
2?
在△BAE中，由余弦定理得 2 2 2
(2 3) ?a ?c ?2accos ，
3
即 2 2 2
a ?c ?ac?12，可得 2
(a?c) ?ac?12，即ac ?(a?c) ?12，
2
? 3
由基本不等式得： 2 ?a c? 2
ac ?(a?c) ?12? ，即
? ? (a?c) ?12，
? 2 ? 4
即 2
(a?c) ?16，可得a?c?4，（当且仅当a=c=2取等号号）
又由AE? AB ? BE，即a?c ?2 3，
故a?c的取值范围是(2 3,4] .
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