2020-2021学年北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明 期末复习综合训练1（word版含答案）

2021学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》期末复习综合训练1（附答案）
1．如图，在△ABC中，点D在边BC上，且满足AB＝AD＝DC，过点D作DE⊥AD，交AC于点E．设∠BAD＝α，∠CAD＝β，∠CDE＝γ，则（　　）
A．2α+3β＝180° B．3α+2β＝180° C．β+2γ＝90° D．2β+γ＝90°
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，作AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，若BC＝4，CE＝3，则AE的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足|2a﹣3b﹣7|+（2a+3b﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为
（　　）
A．7 B．11或7 C．11 D．7或10
4．如图，CD垂直平分线段AB，交AB于D，∠EAC＝∠CAD，且CE⊥AE，CD＝1，AE＝2，则BC+CE的值为（　　）
A．1+ B．2﹣1 C．3 D．4
5．如图，△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠BAD＝20°，则∠BCD的度数为（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
6．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．如图，已知△ABC中，AC＝BC，且点D在△ABC外，且点D在AC的垂直平分线上，连接BD，若∠DBC＝30°，∠ACD＝13°，则∠A＝　 　度．
8．如图所示，Rt△ABC中，CF是斜边AB上的高，角平分线BD交CF于点G，DE⊥AB于点E，则下列结论：①∠A＝∠BCF；②CD＝CG；③AD＝BD；④BC＝BE．正确结论的序号　 　．
9．已知△ABC的某两个内角的比是4：7且AB＝AC，BD⊥AC于D，BE平分∠ABC交AC于E，则∠EBD的大小是　 　或　 　．
10．如图，三角形ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，三角形BCD的面积为45，三角形ADC的面积为20，则三角形ABD的面积等于　 　．
11．已知在有一角为30°的直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，若在等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝BC，则△ABC底角的度数为　 　．
12．在△ABC中，AB＝AC，且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形，则各内角的度数为　 　．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BC于点E．在BC上取点D，使CD＝CA．若AD＝BD，则∠DAE＝　 　．
14．在△ABC中，AB＝5，AD是BC边上的高，且AD＝3，∠ABC＝2∠DAC，则BC＝　 　．
15．平面直角坐标系中，已知A（﹣5，0），点P在第二象限，△AOP是以OA为腰的等腰三角形，且面积为10，则满足条件的P点坐标为　 　．
16．如图，已知等边三角形ABC的边长为3，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，取PA＝CQ，连接PQ，交AC于M，则EM的长为　 　．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线交AB于点D，交BC的延长线于点E，交AC于点F，若∠A＝50°，AB+BC＝6，则△BCF的周长＝　 　，∠EFC＝　 　度．
18．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，过点B作BD⊥BC，交AC于点D，若AD＝1，则CD的长度为　 　．
19．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝　 　度．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D和E分别是边BC和AC上的点，且满足DB＝DA＝DE，∠CDE＝50°，则∠BAC＝　 　°．
21．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，D为垂足交AC于E．
（1）若∠A＝50°，求∠EBC的度数．
（2）若AB＝8，△BEC的周长是11，求△ABC的周长．
22．如图△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AB于E，交AC于F求证：AF＝ED．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N．
（1）求△AEN的周长．
（2）求∠EAN的度数．
（3）判断△AEN的形状．
24．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
25．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若AD＝BD＝DE，求∠BAC的度数．
26．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；
（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
27．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，AC的垂直平分线BE与CD交于点F，与AC交于点E．
（1）判断△DBC的形状并证明你的结论．
（2）求证：BF＝AC．
（3）试说明CE＝BF．
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，若点P从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．
（1）用含t的式子表示线段AP、AQ的长；
（2）当t为何值时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形？
（3）当t为何值时，PQ∥BC？
参考答案
1．解：∵AB＝AD＝DC，∠BAD＝α，
∴∠B＝∠ADB，∠C＝∠CAD＝β，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠CAD+∠AED＝90°，
∵∠CDE＝γ，∠AED＝∠C+∠CDE，
∴∠AED＝γ+β，
∴2β+γ＝90°，
故选：D．
2．解：在Rt△BCE中，∠C＝90°，
∴BE＝＝＝5，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE＝5，
故选：C．
3．解：∵|2a﹣3b﹣7|+（2a+3b﹣13）2＝0，
∴，
解得：，
当a为底时，三角形的三边长为1，1，5，由于1+1＜5，故不等构成三角形；
当b为底时，三角形的三边长为1，5，5，则周长为11，
∴等腰三角形的周长为11，
故选：C．
4．解：∵CE⊥AE，CD⊥AB，∠EAC＝∠CAD，
∴CE＝CD＝1，
在Rt△ACE中，
∴AC＝＝＝，
∵CD垂直平分线段AB，
∴BC＝AC＝，
∴BC+CE＝1+，
故选：A．
5．解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵BC＝BD，
∴AB＝BD，
∴∠BAD＝∠ADB＝20°，
∴∠ABD＝140°，
∴∠CBD＝80°，
又∵BC＝BD，
∴∠BCD＝50°＝∠BDC，
故选：A．
6．解：（1）证明：作PH⊥AB于H，
∵AP是∠CAB的平分线，
∴∠PAE＝∠PAH，
在△PEA和△PHA中，
，
∴△PEA≌△PHA（AAS），
∴PE＝PH，
∵BP平分∠ABD，且PH⊥BA，PF⊥BD，
∴PF＝PH，
∴PE＝PF，
∴（1）正确；
（2）与（1）可知：PE＝PF，
又∵PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，
∴点P在∠COD的平分线上，
∴（2）正确；
（3）∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP＝360°，
又∵∠OEP+∠OFP＝90°+90°＝180°，
∴∠O+∠EPF＝180°，
即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB＝180°，
由（1）知：△PEA≌△PHA，
∴∠EPA＝∠HPA，
同理：∠FPB＝∠HPB，
∴∠O+2（∠HPA+∠HPB）＝180°，
即∠O+2∠APB＝180°，
∴∠APB＝90°﹣，
∴（3）错误；
故选：C．
7．解：如图，过C作CM⊥BD，交BD的延长线于M，过D作DN⊥AC于N，
∵点D在AC的垂直平分线上，
∴DN是AC的垂直平分线，
∴NC＝AC，
∵AC＝BC，
∴NC＝BC，
在Rt△BMC中，∠DBC＝30°，
∴CM＝BC，
∴CM＝CN，
在Rt△DNC和Rt△DMC中，
∵，
∴Rt△DNC和Rt△DMC（HL），
∴∠DCM＝∠DCN＝13°，
∵∠DBC＝30°，
∴∠MCB＝60°，
∴∠ACB＝60°﹣26°＝34°，
又∵AC＝BC，
∴∠A＝（180°﹣34°）＝73°，
故答案为：73．
8．解：∵Rt△ABC中，CF是斜边AB上的高，
∴∠A+∠ABC＝∠BCF+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠BCF；故①正确；
∵∠CDG+∠CBD＝90°，∠BGF+∠ABD＝90°，且BD是△ABC的角平分线，
∴∠CDG＝∠BGF，
∵∠BGF＝∠CGD，
∴∠CDG＝∠CGD，
∴CD＝CG，故②正确；
无法求得∠A的度数，即∠A不一定等于∠ABD，
故AD不一定等于BD，故③错误．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，角平分线BD交CF于点G，DE⊥AB，
∴CD＝DE，∠CDB＝∠EDB，
∴BC＝BE，故④正确；
故答案为：①②④．
9．解：①如图1，当三个内角的比为：4：4：7时，三个内角分别是48°，48°，84°．
∵BE平分∠ABC，BD⊥AC，∠A＝84°，
∴∠ABE＝∠ABC＝24°，∠ABD＝90°﹣84°＝6°，
∴∠EBD＝∠ABE﹣∠ABD＝24°﹣6°＝18°．
②如图2，当三个内角的比为：4：7：7时，三个内角分别是40°，70°，70°．
∵BE平分∠ABC，BD⊥AC，∠A＝40°，
∴∠ABE＝∠ABC＝35°，∠ABD＝90°﹣40°＝50°，
∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝50°﹣35°＝15°．
故答案为：18°，15°
10．解：延长AD交BC于E，如图所示：
∵BD平分∠ABC，AD垂直于BD，
∴∠ABD＝∠EBD，∠ADB＝∠EDB＝90°，
在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD（ASA），
∴AD＝ED，
∴△ABD的面积＝△EBD的面积，△CDE的面积＝△ACD的面积＝20，
∴△ABD的面积＝△EBD的面积＝△BCD的面积﹣△CDE的面积＝45﹣20＝25．
故答案为：25．
11．解：分为三种情况：①如图，
△ABC中，AB＝AC，AD＝BC，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC＝BC，
∴AD＝BD＝DC，
∴△BAC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝45°；
②如图，
△ABC中，AC＝BC，
∵AD＝BC，AD⊥BC，
∴∠D＝90°，AD＝AC，
∴∠ACD＝30°，
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠BAC，
∵∠B+∠BAC＝∠ACD，
∴∠B＝∠BAC＝15°，
③如图，
AD＝BC，∠C＝30°，
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠BAC＝75°；
故答案为：45°、45°或15°、15°或75°、75°．
12．解：①如图①，∵AB＝AC，BD＝CD，CD＝AD，
∴∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴4∠B＝180°，
∴∠B＝45°，∠C＝45°，∠BAC＝90°．
②如图②，∵AB＝AC，AD＝BD，AC＝CD，
∴∠B＝∠C＝∠BAD，∠CAD＝∠CDA，
∵∠CDA＝∠B+∠BAD＝2∠B，
∴∠BAC＝3∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°，∠C＝36°，∠BAC＝108°．
③如图③，∵AB＝AC，AD＝BD＝BC，
∴∠B＝∠C，∠A＝∠ABD，∠BDC＝∠C，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，
∴∠ABC＝∠C＝2∠A，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴5∠A＝180°，
∴∠A＝36°，∠C＝72°，∠ABC＝72°．
④如图④，∵AB＝AC，AD＝BD，CD＝BC，
∴∠ABC＝∠C，∠A＝∠ABD，∠CDB＝∠CBD，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，
∴∠ABC＝∠C＝3∠A，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴7∠A＝180°，
∴∠A＝（）°，∠C＝（）°，∠ABC＝（）°．
故答案为：（45°、45°、90°），（36°、36°、108°），（36°、72°、72°），（、、）．
13．解：设∠B＝x，∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝x，
∵AD＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝x，
∵△CAD中，CA＝CD，
∴∠CAD＝（180°﹣∠C）＝90°﹣，
∵△ABC中，∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴x+x+x+90°﹣＝180°，
∴x＝36°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝（90°﹣36°）﹣36°＝18°．
故答案为：18°．
14．解：如图1中，当高AD在△ABC内部时，作∠ABC的角平分线交AD于O，交AC于H．
∵∠ABH＝∠CBH，∠ABC＝2∠DAC，
∴∠OAH＝∠OBD，
∵∠AOH＝∠BOD，
∴∠AHO＝∠ODB＝90°，
∴∠BHA＝∠BHC＝90°，
∵∠ABH+∠BAH＝90°，∠HBC+∠C＝90°，
∴∠BAH＝∠C，
∴BC＝BA＝5．
如图2中，当高在△ABC外时，延长CD到O，使得DO＝DC，作∠ABC的角平分线BH交AO于H．
∵AD⊥CO，CD＝DO，
∴AC＝AO，
∴∠DAC＝∠DAO，
∵∠ABC＝2∠DAC，
∴∠ABC＝2∠DAO，
由图1可知，AB＝AO＝5，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝4，
∴OD＝CD＝OB﹣BD＝1，
∴BC＝BD﹣CD＝4﹣1＝3，
综上所述，BC的长为5或3．
故答案为：5或3．
15．解：设P（m，n）．
∵A（﹣5，0），
∴OA＝5，
∵S△POA＝10，
∴×5×n＝10，
∴n＝4，
当OP＝OA＝5时，m2+42＝52，
∴m＝±3，
∵m＜0，
∴m＝﹣3，
∴P（﹣3，4），
当AP′＝5时，（m+5）2+42＝52，
∴m＝﹣2或﹣8，
∴P′（﹣8，4）或（﹣2，4）．
故答案为（﹣3.4）或（﹣8，4）或（﹣2，4）．
16．解：过P作PF∥BC交AC于F，如图所示：
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFM＝∠QCM，∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∠A＝60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP＝PF＝AF，
∵PE⊥AC，
∴AE＝EF，
∵AP＝PF，AP＝CQ，
∴PF＝CQ，
在△PFM和△QCM中，
，
∴△PFM≌△QCM（AAS），
∴FM＝CM，
∵AE＝EF，
∴EF+FM＝AE+CM，
∴AE+CM＝ME＝AC，
∵AC＝3，
∴ME＝，
故答案为：．
17．解：如图：已知DF垂直且平分AB?AF＝BF，AD＝BD，∠A＝∠ABF＝50°，∠ADF＝90°
∠EFC＝180°﹣∠A﹣∠ADF＝40°（对角相等）
因为AB+BC＝6，AB＝AC＝BF+FC
故周长△BCF＝FC+BF+BC＝6．
故填6；40°．
18．解：∵BD⊥BC，
∴∠CBD＝90°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝120°﹣90°＝30°，
∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝30°，
∴∠A＝∠ABD，
∴DB＝AD＝1，
在Rt△CBD中，
∵∠C＝30°，
∴CD＝2BD＝2．
故答案为2．
19．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝∠A＝60°，
∵CG＝CD，
∴∠GDC＝30°，
∵DF＝DE，
∴∠E＝15°．
故答案为：15．
20．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
设∠B＝∠C＝α，
∵DB＝DA＝DE，
∴∠DAB＝∠B＝α，∠DAE＝∠DEA，
∵∠DEA＝∠CDE+∠C＝50°+α，
∴∠DAE＝50°+α，
∴∠BAC＝∠DAE+∠DAB＝50°+2α，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴50°+2α+α+α＝180°，解得α＝32.5°，
∴∠BAC＝50°+2×32.5°＝115°，
故答案为115．
21．解：（1）∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ABC＝∠C＝65°．
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝50°．
∴∠EBC＝15°．
（2）∵AE＝BE，AB＝8，
∴BE+CE＝8．
∵△BEC的周长是11，
∴BC＝3，
∴△ABC的周长是8+8+3＝19．
22．证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，
∴AE＝DE，∠AOE＝∠AOF＝90°，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∴AF＝ED．
23．解：（1）∵AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，
∴AE＝BE，AN＝CN，
∵BC＝12，
∴△AEN周长l＝AE+EN+AN＝BE+EN+NC＝BC＝12；
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AE＝BE，AN＝CN，
∴∠BAE＝∠CAN＝30°，
∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN＝60°；
（3）∵∠AEN＝∠B+∠BAE＝60°，∠ANE＝∠C+∠CAN＝60°，
∴△AEN为等边三角形．
24．解：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
25．解：（1）过点A作AF⊥BC于F．
∵AB＝AC，AD＝AE．
∴BF＝CF，DF＝EF，
∴BD＝CE．
（2）∵AD＝DE＝AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝∠ADE＝60°．
∵AD＝BD，
∴∠DAB＝∠DBA．
∴∠DAB＝∠ADE＝30°．
同理可求得∠EAC＝30°，
∴∠BAC＝120°．
26．（1）解：∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠BAC＝25°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠EDA＝90°﹣25°＝65°．
（2）证明∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°＝∠ACB，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAC，
∵AD＝AD，
∴△AED≌△ACD，
∴AE＝AC，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥CE，AD平分线段EC，
即直线AD是线段CE的垂直平分线．
27．解：（1）△DBC是等腰直角三角形，
理由：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝45°，
∴BD＝CD，
∴△DBC是等腰直角三角形；
（2）∵BE⊥AC，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°，
∵∠BFD＝∠CFE，
∴∠DBF＝∠ACD，
在△BDF与△CDA中，
，
∴△BDF≌△CDA，
∴BF＝AC；
（3）∵BE是AC的垂直平分线，
∴CE＝AC，
∴CE＝BF．
28．解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°．
又∵AB＝12cm，
∴AC＝6cm，BP＝2t，AP＝AB﹣BP＝12﹣2t，AQ＝t；
（2）∵△APQ是以PQ为底的等腰三角形，
∴AP＝AQ，即12﹣2t＝t，
∴当t＝4时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形；
（3）当PQ⊥AC时，PQ∥BC．
∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°
∵PQ∥BC，
∴∠QPA＝30°
∴AQ＝AP，
∴t＝（12﹣2t），解得t＝3，
∴当t＝3时，PQ∥BC．