2020-2021学年北师大版八年级数学下册第4章因式分解期末复习综合训练（word解析版）

2021学年北师大版八年级数学下册《第4章因式分解》期末复习综合训练1（附答案）
1．下列式子中，从左到右的变形为因式分解的是（　　）
A．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） B．x（x+1）＝x2+x
C．x2+x＝x2（1+） D．x2+2xy+y2＝（x﹣y）2
2．已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，则该长方形的面积为（　　）cm2．
A． B． C．15 D．16
3．已知a﹣b＝﹣2，ab＝1，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
4．设n是任意正整数，代入式子n3﹣n中计算时，四名同学分别得出如下四个结果，其中正确的结果可能是（　　）
A．388944 B．388947 C．388953 D．388949
5．在2018，2019，2020，2021这四个数中，不能表示为两个整数平方差的数是（　　）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
6．已知x2+3x﹣3＝0，则代数式x3+5x2+3x﹣10的值为（　　）
A．﹣1 B．10 C．6 D．﹣4
7．已知△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣c）2﹣b（a﹣c）＝0，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
8．若多项式5x2+17x﹣12可因式分解为（x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，则a﹣c的值是（　　）
A．1 B．7 C．11 D．13
9．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（　　）
A．16x2+1 B．x2﹣2x+2 C．a2+2ab+4b2 D．x2﹣x+
10．对于任何整数，多项式（n+5）2﹣n2一定是（　　）
A．2的倍数 B．5的倍数 C．8的倍数 D．n的倍数
11．分解因式：ma2﹣4mab+4mb2＝　 　．
12．已知a+b＝，ab＝，并满足a＞b，则a2﹣b2＝　 　．
13．若多项式x2﹣kxy+9y2可以分解成（x﹣3y）2．则k的值为　 　．
14．计算（﹣2）2021+（﹣2）2022＝　 　（用幂的形式表示）．
15．若m﹣2n﹣2＝0，则m2﹣4mn+4n2+5的值是　 　．
16．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）探究：上述操作能验证的等式是：　 　；（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2；
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
C．a2+ab＝a（a+b）．
（2）应用：利用所选（1）中等式两边的等量关系，完成下面题目：
若x+4y＝6，x﹣4y＝5，则x2﹣16y2+64的值为　 　．
17．若m2＝n+2020，n2＝m+2020（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值　 　．
18．设n＞﹣1，且n≠1，则n3+1与n2+n的大小关系是　 　．
19．如果多项式6x2﹣kx﹣2因式分解后有一个因式为3x﹣2，则k＝　 　．
20．若a2+2ab+b2﹣c2＝10，a+b+c＝5，则a+b﹣c的值是　 　．
21．因式分解：
（1）3ab2+6ab+3a；
（2）a2（a﹣b）﹣4（a﹣b）．
22．已知x、y满足xy＝14，x2y﹣xy2﹣x+y＝65，求下列各式的值：
（1）x2+y2；
（2）x+y．
23．分解因式．
（1）5x2y﹣25x2y2+40x3y．
（2）x2（a﹣b）2﹣y2（b﹣a）2．
24．把下列各式分解因式：
（1）a（x﹣y）﹣b（y﹣x）； （2）a3+10a2+25a；
（3）（x2+4）2﹣16x2．
25．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式；
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；
（3）若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，利用得到的结论，求a2+b2+c2的值．
26．阅读下列材料：
因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．
过程如下：
x2﹣2xy+y2﹣16
＝（x﹣y）2﹣16
＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）．
这种因式分解的方法叫分组分解法．
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）因式分解：a2﹣6ab+9b2﹣25；
（2）因式分解：x2﹣4y2﹣2x+4y；
（3）△ABC三边a，b，c满足a2+c2+2b2﹣2ab﹣2bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．
27．阅读下列材料：整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解的过程．将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x＝y，则原式＝y2+2y+1＝（y+1）2再将“y”还原即可．
解：设x2+2x＝y．
原式＝y（y+2）+1（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2+2x+1）2（第四步）．
问题：（1）①该同学因式分解的结果不正确，请直接写出正确的结果　 　；
②根据材料1，请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣6x+8）（x2﹣6x+10）+1进行因式分解；
（2）根据材料1，请你模仿以上方法尝试计算：
（1﹣2﹣3﹣…﹣2020）×（2+3+…+2021）﹣（1﹣2﹣3﹣…﹣2021）×（2+3+…+2020）．
参考答案
1．解：A、x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），把多项式转化成几个整式积的形式，故本选项符合题意；
B、x（x+1）＝x2+x是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、x2+x＝x2（1+），其中不是整式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、x2+2xy+y2＝（x+y）2，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．解：∵长方形的周长为16cm，
∴2（x+y）＝16，
∴x+y＝8①；
∵（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，
∴（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝0，
∴（x﹣y﹣1）2＝0，
∴x﹣y＝1②．
联立①②，得，
解得：，
∴长方形的面积S＝xy＝＝（cm2），
故选：A．
3．解：a3b﹣2a2b2+ab3
＝ab（a2﹣2ab+b2）
＝ab（a﹣b）2
＝1×（﹣2）2
＝4．
故选：D．
4．解：∵n3﹣n＝n（n﹣1）（n+1）≈n3，
又∵≈73，
∴n＝73，
∴n3﹣n＝72×73×74＝388944，
故选：A．
5．解：∵平方差公式为a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
A．2018＝1×2018＝2×1009，（a+b）（a﹣b）的奇偶性相同2018分成两个因数相乘时为一奇一偶所以2018不能表示为两个整数的平方差故选项A符合条件；
B．∴10102﹣10092＝（1010+1009）（1010﹣1009），
∵（1010+1009）（1010﹣1009）
＝2019，
∴2019＝10102﹣10092．故选项B不符合条件；
C．2020＝5062﹣5042＝（506+504）×（506﹣504），故选项C不符合条件；
D．2021＝10112﹣10102＝（1011+1010）×（1011﹣1010），故选项D不符合条件．
故选：A．
6．解：∵x2+3x﹣3＝0，
∴x2+3x＝3，
x3+5x2+3x﹣10
＝x3+3x2+2x2+3x﹣10
＝x（x2+3x）+2x2+3x﹣10
＝3x+2x2+3x﹣10
＝2x2+6x﹣10
＝2（x2+3x）﹣10
＝2×3﹣10
＝﹣4．
故选：D．
7．解：∵（a﹣c）2﹣b（a﹣c）＝0．
∴（a﹣c）（a﹣c﹣b）＝0．
∵三角形两边之和大于第三边．
∴a﹣c﹣b＜0．
∴a﹣c＝0．
∴a＝c．
∴△ABC是等腰三角形．
故选：A．
8．解：因为5x2+17x﹣12＝（x+4）（5x﹣3）＝（x+a）（bx+c），
所以a＝4，b＝5，c＝﹣3，
所以a﹣c＝4﹣（﹣3）＝7，
故选：B．
9．解：A、16x2+1只有两项，不符合完全平方公式，故此选项不符合题意；
B、x2﹣2x+2虽然有三项，但不符合完全平方公式，故此选项不符合题意；
C、a2+2ab+4b2虽然有三项，但不符合完全平方公式，故此选项不符合题意；
D、x2﹣x+＝（x﹣）2，符合完全平方公式，故此选项符合题意；
故选：D．
10．解：∵（n+5）2﹣n2＝（n+5+n）（n+5﹣n）＝5（2n+5），
∴多项式（n+5）2﹣n2一定是5的倍数．
故选：B．
11．解：原式＝m（a2﹣2ab+4b2）＝m（a﹣2b）2．
故答案为：m（a﹣2b）2．
12．解：∵a+b＝，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
＝
＝，
∵a＞b，
∴a﹣b＝，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝＝．
故答案为：．
13．解：∵x2﹣kxy+9y2＝（x﹣3y）2＝x2﹣6xy+9y2．
∴k＝6．
故答案为：6．
14．解：（﹣2）2021+（﹣2）2022＝（﹣2）2021×（1﹣2）＝22021．
15．解：∵m﹣2n﹣2＝0．
∴m﹣2n＝2．
∴原式＝（m﹣2n）2+5．＝4+5．＝9．
故答案为9．
16．解：（1）图一剩余部分面积＝a2﹣b2
图二的面积＝（a+b）（a﹣b）
故有：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
故选：B．
（2）∵x+4y＝6，x﹣4y＝5．
∴x2﹣16y2＝（x+4y）（x﹣4y）＝30．
∴x2﹣16y2+64的值为94．
故答案为：94．
17．解：∵m2＝n+2020，n2＝m+2020，
∴m2﹣n2＝n﹣m，
∴（m+n）（m﹣n）＝n﹣m，
∵m≠n，
∴m+n＝﹣1，
∵m2＝n+2020，n2＝m+2020，
∴m2﹣n＝2020，n2﹣m＝2020，
∴原式＝m3﹣mn﹣mn+n3
＝m（m2﹣n）+n（n2﹣m）
＝2020m+2020n
＝2020（m+n）
＝2020×（﹣1）
＝﹣2020．
故答案为：﹣2020．
18．解：n3+1﹣（n2+n）
＝n3﹣n2﹣n+1
＝n2（n﹣1）﹣（n﹣1）
＝（n﹣1）（n2﹣1）
＝（n﹣1）2（n+1）
∵n＞﹣1，且n≠1
∴n+1＞0，（n﹣1）2＞0
∴（n﹣1）2（n+1）＞0
∴n3+1＞n2+n
故答案为：n3+1＞n2+n．
19．解：∵多项式6x2﹣kx﹣2因式分解后有一个因式为3x﹣2，
∵，，
∴另一个因式是（2x+1），即6x2﹣kx﹣2＝（3x﹣2）（2x+1）＝6x2﹣x﹣2，
则k的值为1，
故答案为：1．
20．解：a2+2ab+b2﹣c2＝10，
（a+b）2﹣c2＝10，
（a+b+c）（a+b﹣c）＝10，
∵a+b+c＝5，
∴5（a+b﹣c）＝10，
∴a+b+c＝2；
故答案为：2．
21．解：（1）原式＝3a（b2+2b+1）
＝3a（b+1）2；
（2）原式＝（a﹣b）（a 2﹣4）
＝（a﹣b）（a+2）（a﹣2）．
22．解：∵xy＝14，x2y﹣xy2﹣x+y＝65，
∴xy（x﹣y）﹣（x﹣y）＝（x﹣y）（xy﹣1）＝65，
∴x﹣y＝5，
∴（1）x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝53；
（2）∵（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy＝81，
∴x+y＝±9．
23．解：（1）5x2y﹣25x2y2+40x3y
＝5x2y（1﹣5y+8x）；
（2）x2（a﹣b）2﹣y2（b﹣a）2
＝（a﹣b）2（x2﹣y2）
＝（a﹣b）2（x﹣y）（x+y）．
24．解：（1）a（x﹣y）﹣b（y﹣x）＝a（x﹣y）+b（x﹣y）＝（x﹣y）（a+b）；
（2）a3+10a2+25a＝a（a2+10a+25）＝a（a+5）2 ；
（3））（x2+4）2﹣16x2＝（x2+4﹣4x）（x2+4+4x）＝（x﹣2）2（x+2）2．
25．解解：（1）∵边长为（a+b+c）的正方形的面积为：（a+b+c）2，
分部分来看的面积为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）∵（a+b+c）2
＝（a+b+c）（a+b+c）
＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2
＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（3）∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2bc﹣2ac
＝102﹣2×35
＝30，
∴a2+b2+c2的值为30．
26．解：（1）a2﹣6ab+9b2﹣25，
＝（a﹣3b）2﹣25，
＝（a﹣3b﹣5）（a﹣3b+5）；
（2）x2﹣4y2﹣2x+4y，
＝（x﹣2y）（x+2y）﹣2（x﹣2y），
＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）；
（3）△ABC是等边三角形，
理由如下：
∵a2+c2+2b2﹣2ab﹣2bc＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（c2﹣2bc+b2）＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，
∴a﹣b＝0，且b﹣c＝0，
∴a＝b，且b＝c，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
27．解：（1）①设x2+2x＝y．
原式＝y（y+2）+1（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2+2x+1）2（第四步）
＝（x+1）4，
故答案为：（x+1）4；
②设x2﹣6x＝y，
原式＝（y+8）（y+10）+1
＝y2+18y+80+1
＝（y+9）2
＝（x2﹣6x+9）2
＝（x﹣3）4；
（2）设1﹣2﹣3﹣…﹣2020＝y，
原式＝y（2+3+…+2021）﹣（y﹣2021）（2+3+…+2020）
＝y（2+3+…+2020）+2021y﹣y（2+3+…+2020）+2021（2+3+…+2020）
＝2021y+2021（2+3+…+2020）
＝2021（y+2+3+…+2020）
＝2021（1﹣2﹣3﹣…﹣2020+2+3+…+2020）
＝2021×1
＝2021．