2020-2021学年北师大版八年级数学下册第4章因式分解 期末复习综合训练（word解析版）

2021学年北师大版八年级数学下册《第4章因式分解》期末复习综合训练2（附答案）
1．下列因式分解正确的是（　　）
A．3ax2﹣6ax＝3（ax2﹣2ax） B．x2+y2＝（﹣x+y）（﹣x﹣y）
C．a2+2ab﹣4b2＝（a+2b）2 D．﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）2
2．若多项式5x2+17x﹣12可因式分解成（x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，则a+c之值为何？（　　）
A．1 B．7 C．11 D．13
3．下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）
A．a2﹣1 B．a2﹣2a﹣1 C．a2﹣a+1 D．a2﹣2a+1
4．若a﹣b＝，则a2﹣b2﹣b的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
5．下列多项式可以用平方差公式分解因式的是（　　）
A．4x2+y2 B．﹣4x2+y2 C．﹣4x2﹣y2 D．4x3﹣y2
6．多项式m2﹣4与多项式m2﹣4m+4的公因式是（　　）
A．m﹣2 B．m+2 C．m+4 D．m﹣4
7．下列各数能整除224﹣1的是（　　）
A．62 B．63 C．64 D．66
8．若x2﹣6x+m因式分解的结果是（x﹣n）2，则m＝　 　；n＝　 　．
9．已知ab＝2，a﹣b＝3，则代数式a3b﹣a2b2+＝　 　．
10．若a+b＝3，ab＝2，则a2b+ab2＝　 　，（a﹣b）2＝　 　．
11．如果二次三项式3a2+7a﹣k中有一个因式是3a﹣2，那么k的值为　 　．
12．已知a，b，c是三角形△ABC的三边，且满足a2﹣b2+bc﹣ac＝0，则△ABC为　 　三角形．
13．若多项式x2﹣（m﹣1）x+16能用完全平方公式进行因式分解，则m＝　 　．
14．已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x2﹣6x＝　 　；则2x3﹣7x2+4x﹣2019＝　 　．
15．已知关于x的二次三项式3x2+mx﹣2＝（3x﹣2）（x+a），则4ax2﹣4mx+1分解因式的结果为　 　．
16．分解因式3x（m+n）﹣6y（m+n）＝　 　．
17．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d＝　 　．
18．若长为a，宽为b的长方形的周长为20，面积为18，则a2b+ab2的值为　 　．
19．已知2x2﹣3x﹣1＝0，则4x4﹣12x3+15x2﹣9x＝　 　．
20．9（a﹣b）2+36（b2﹣ab）+36b2
21．因式分解：（2a﹣b）（3a﹣2）+b（2﹣3a）
22．因式分解
（1）4a（a+2b）﹣（a+2b）2； （2）（a2+1）2﹣4a2
23．【阅读材料】
因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．
再将“A”还原，原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．
【问题解决】
（1）因式分解：1+5（x﹣y）+4（x﹣y）2；
（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；
（3）证明：若n为正整数，则代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方．
24．分解因式
（1）3a2（x+y）3﹣27a4（x+y）
（2）（x2﹣9）2﹣14（x2﹣9）+49
25．下面是某同学对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解的过程
解：设x2﹣2x＝y
原式＝（y﹣1）（y+3）+4（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2﹣2x+1）2（第四步）
回答下列问题
（1）该同学第二步到第三步运用了
A．提取公因式
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底　 　（填“彻底”或者“不彻底”）若不彻底．请直接写出因式分解的最后结果．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x﹣10）+25进行因式分解．
26．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到等式（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解各下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式　 　．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝　 　．
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x＝　 　，y＝　 　，z＝　 　．
27．阅读运用
由多项式乘法得：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）
如，分解因式：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）
（1）分解因式：x2﹣5x+6；
（2）分解因式：2x2+12x+16；
（3）如果a?b＝0，那么a＝0或b＝0，根据这个原理可以求出某些一元二次方程的根，如x2+5x+6＝0
解：（x+2）（x+3）＝0
∴x+2＝0或x+3＝0
解得x1＝﹣2，x2＝﹣3
请根据这种方法解方程：2x2+6x﹣8＝0．
参考答案
1．解：A、3ax2﹣6ax＝3ax（x﹣2），故此选项错误；
B、x2+y2，无法分解因式，故此选项错误；
C、a2+2ab﹣4b2，无法分解因式，故此选项错误；
D、﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）2，正确．
故选：D．
2．解：利用十字交乘法将5x2+17x﹣12因式分解，
可得：5x2+17x﹣12＝（x+4）（5x﹣3）．
∴a＝4，c＝﹣3，
∴a+c＝4﹣3＝1．
故选：A．
3．解：A、a2﹣1＝（a+1）（a﹣1），故此选项错误；
B、a2﹣2a﹣1，无法分解因式，故此选项错误；
C、a2﹣a+1，无法运用完全平方公式分解因式，故此选项错误；
D、a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，正确．
故选：D．
4．解：∵a﹣b＝，
∴a2﹣b2﹣b
＝（a+b）（a﹣b）﹣b
＝（a+b）﹣b
＝（a﹣b）
＝×
＝
故选：B．
5．解：A：两个平方项的符号相同，故本选项错误；
B：﹣4x2与y2的符号相反，能用平方差公式分解因式，故本选项正确；
C：两个平方项的符号相同，故本选项错误；
D：4x3不是平方项，故本选项错误．
故选：B．
6．解：m2﹣4＝（m+2）（m﹣2），m2﹣4m+4＝（m﹣2）2，
m2﹣4与多项式m2﹣4m+4的公因式是m﹣2，
故选：A．
7．解：224﹣1＝（212+1）（212﹣1）＝（212+1）（26+1）（26﹣1）＝（212+1）×65×63，
∴所给的各数中能整除224﹣1的是63．
故选：B．
8．解：x2﹣6x+m因式分解的结果是（x﹣n）2，
则x2﹣6x+9＝（x﹣3）2．
故m＝9，n＝3，
故答案为：9，3．
9．解：∵ab＝2，a﹣b＝3，
∴a3b﹣a2b2+
＝ab（a2﹣2ab+b2）
＝ab（a﹣b）2
＝×2×32
＝×2×9
＝9，
故答案为：9．
10．解：∵a+b＝3，ab＝2，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）
＝3×2
＝6，
（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
＝9﹣4×2
＝1．
故答案为：6，1．
11．解：设3a2+7a﹣k＝B（3a﹣2），
B＝（3a2+7a﹣k）÷（3a﹣2）＝a+3，
∴（3a﹣2）（a+3）＝3a2+7a﹣k，
解得k＝6．
故答案为：6．
12．解：∵a2﹣b2+bc﹣ac＝0，
∴（a2﹣b2）+（bc﹣ac）＝0，
∴（a+b）（a﹣b）+c（b﹣a）＝0，
∴（a﹣b）[（a+b）﹣c]＝0，
∵a，b，c是三角形△ABC的三边，
∴（a+b）﹣c＞0，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形，
故答案为：等腰．
13．解：∵多项式x2﹣（m﹣1）x+16能用完全平方公式进行因式分解，
∴m﹣1＝±8，
解得：m＝9或m＝﹣7，
故答案为：9或﹣7
14．解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x＝1，2x2﹣4x＝2，
∴3x2﹣6x＝3（x2﹣2x）＝3．
2x3﹣7x2+4x﹣2019＝x（2x2﹣7x）+4x﹣2019
＝x（2x2﹣4x﹣3x）+4x﹣2019
＝x（2﹣3x）+4x﹣2019
＝2x﹣3x2+4x﹣2019
＝﹣3x2+6x﹣2019
＝﹣3（x2﹣2x）﹣2019
＝﹣3×1﹣2019
＝﹣2022．
故答案为：3，﹣2022．
15．解：∵关于x的二次三项式3x2+mx﹣2分解因式的结果为（3x﹣2）（x+a），
∴（3x﹣2）（x+a）＝3x2+（3a﹣2）x﹣2a＝3x2+mx﹣2，
∴m＝3a﹣2，﹣2a＝﹣2，
∴m＝1，a＝1，
∴4ax2﹣4mx+1
＝4x2﹣4x+1
＝（2x﹣1）2．
故答案为：（2x﹣1）2．
16．解：原式＝3（m+n）（x﹣2y），
故答案为：3（m+n）（x﹣2y）
17．解：∵x2﹣2x﹣5＝0，
∴x2﹣2x＝5，
∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5
＝x2（x2﹣2x）+x2﹣12x﹣5
＝5x2+x2﹣12x﹣5
＝6x2﹣12x﹣5
＝6（x2﹣2x﹣5）+25
＝6×0+25
＝25
故答案为：25．
18．解：根据题意得：2（a+b）＝20，ab＝18，
解得：a+b＝10，ab＝18，
则原式＝ab（a+b）＝180，
故答案为：180
19．解：∵2x2﹣3x﹣1＝0，
∴2x2﹣3x＝1，
4x4﹣12x3+15x2﹣9x＝2x2（2x2﹣3x）﹣6x3+15x2﹣9x＝﹣6x3+17x2﹣9x＝﹣3x（2x2﹣3x）+8x2﹣9x＝8x2﹣12x＝4（2x2﹣3x）＝4；
故答案为4．
20．解：原式＝9[（a﹣b）2﹣4b（a﹣b）+4b2]
＝9（a﹣b﹣2b）2
＝9（a﹣3b）2．
21．解：（2a﹣b）（3a﹣2）+b（2﹣3a）
＝（2a﹣b）（3a﹣2）﹣b（3a﹣2）
＝（3a﹣2）（2a﹣b﹣b）
＝2（3a﹣2）（a﹣b）．
22．解：（1）4a（a+2b）﹣（a+2b）2＝（a+2b）（4a﹣a﹣2b）＝（a+2b）（3a﹣2b）；
（2）（a2+1）2﹣4a2＝（a2+2a+1）（a2﹣2a+1）＝（a+1）2（a﹣1）2；
23．解：（1）原式＝（x﹣y+1）[4（x﹣y）+1]＝（1+x﹣y）（1+4x﹣4y）．
（2）原式＝（a+b）2﹣4（a+b）+4
＝[（a+b）﹣2]2
＝（a+b﹣2）2．
（3）原式＝（n2+3n+2）（n2+3n）+1
＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1
＝（n2+3n+1）2．
∵n为正整数，
∴n2+3n+1为正整数．
∴代数（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方．
24．解：（1）3a2（x+y）3﹣27a4（x+y）
＝3a2（x+y）[（x+y）2﹣9a2]
＝3a2（x+y）（x+y﹣3a）（x+y+3a）；
（2）（x2﹣9）2﹣14（x2﹣9）+49＝（x2﹣9﹣7）2
＝（x2﹣16）2＝（x+4）2（x﹣4）2．
25．解：（1）该同学第二步到第三步运用了C；
（2）∵（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4，
∴该同学因式分解的结果不彻底；
（3）设x2﹣4x＝y
原式＝y（y﹣10）+25＝y2﹣10y+25＝（y﹣5）2＝（x2﹣4x﹣5）2＝（x﹣5）2（x+1）2；
故答案为：不彻底．
26．解：（1）由图可得，
图2中所表示的数学等式是：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+2bc+2ac）＝102﹣2×35＝100﹣70＝30，
故答案为：30；
（3）∵（5a+7b）（9a+4b）＝45a2+20ab+63ab+28b2＝45a2+83ab+28b2，
∴x＝45，y＝28，z＝83，
故答案为：45，28，83．
27．解：（1）x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）；
（2）2x2+12x+16＝2（x2+6x+8）＝2（x+2）（x+4）；
（3）2x2+6x﹣8＝0，
2（x2+3x﹣4）＝0，
2（x+4）（x﹣1）＝0，
∴x+4＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝1．