经典考题解析
例1如图9-1所示,抛物线y=(x+1)2+k与x轴交于A,B
两点,与y轴交于点C(0,-3
(1)求抛物线的对称轴及k的值
(2)点M是抛物线上一动点,且在第三象限
o/Bx
①当点M运动到何处时,△AMB的面积最大 求出△AMB的
最大面积及此时点M的坐标;
②当点M运动到何处时,四边形AMCB的面积最大 求出四边
图9-1
形AMCB的最大面积及此时点M的坐标
例2)如图9-3所示,抛物线与x轴交于A
(x1,0)和
(2,0)两点,且x1是方程x2-4x-12=0的两个根,
(1)求抛物线的表达式;
(2)点M是线段AB上的一个动点,过点M作MN∥BC,交
AC于点N,连接CM当△CMN的面积最大时,求点M的坐标
例3(山东如图9-5所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-5(a≠0)
交y轴于点A,交x轴于点B(一5,0)和点C(1,0),过点A作AD∥x
轴,交抛物线于点D
(1)求此抛物线的表达式;
(2)点E是抛物线上一点,且点E关于x轴的对称点在直线AD
上,求△EAD的面积;
3)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点,当点P运动到某
位置时,△ABP的面积最大,求出此时点P的坐标和△ABP的最95
大面积
1.如图所示,已知抛物线经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点
(1)求抛物线的表达式.千义,一1
(2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作MN∥y轴与抛物线交于点N
若点M的横坐标为m,请用含m的代数式表示MN的长
(3)在(2)的条件下,分别连接NB,NC,是否存在点M,使△BNC的面积最大 若存
在,求M的值;若不存在,请说明理由
数长,示39图眼,(一,)长液
的0,一,a|o
(第1题)
2.如图所示,抛物线41:y=-x2平移得到抛物线122经过点O(0,)和点A(4,0)
且顶点为点B,它的对称轴与l1相交于点C,设l1,l2与BC围成的阴影部分面积为5,解
答下列问题
(1)求l2表示的函数解析式,它的对称轴及顶点的坐标
(2)求点C的坐标,并直接写出S的值.
(3)在直线AC上是否存在点P,使得S△m=2S 若存在求点P的坐标若不存
在,请说明理由
到,大最果2
(),的面纸的已面一
F计一异面(3的中(,回
回(),,的面A,)改,《第2题例1如图7-10所示,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴正半轴于点A(3,0),
交y轴于点B
(1)求抛物线和直线AB的表达式
C(P)
(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,分别连
接PA,PB,当点P运动到顶点C时,过C作垂直于x轴的直
线CD交直线AB于D,求线段CD的长及S
(3)是否存在一点P,使S△PAB最大 若存在,求出点P的
坐标并求出最大值若不存在,请说明理由
例2)如图7-11所示,已知抛物线y=-x2+bxz+c与叶2
直线相交于A(-1,0),C(2,3)两点,与y轴交于点N.其顶点
为D
)A:0
(1)求抛物线及直线AC的表达式
(2)设点M的坐标为(3,m),求使MN+MD的值最小时
的值;
(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求
△APC的面积的最大值
图7-11
例3]如图7-14所示,抛物线1交x轴于点A(-30,
B(1,0),交y轴于点C(0,-3)将抛物线l沿y轴翻折得抛物线
(1)求l1的表达式;
(2)在l1的对称轴上找出点P,使点P到点A的对称点A1及C
两点的距离差最大,并说出理由.
评图由量
1.如图(a)所示,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax
1
x+4与x轴交于A
两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,且点B的坐标为(4,0),点E(m,0)为x轴上的一
个动点过点E作直线lx轴,与抛物线y=ax2-2x+4交于点F,与直线AC交于点G
(1)分别求抛物线y=ax2-2x+4和直线AC的表达式
(2)当-8(3)如图(b所示,作射线OF与直线AC交于点P,请求出使FP:PO=1:2时m
的值
b)
(第1题)
2.如图所示,已知抛物线的方程c1y=-1(
2(x+2)(x-m)(m>0)与x轴相交于点
B,C,与y轴相交于点E,且点B在点C的左侧
(1)若抛物线c1过点M(2,2),求实数m的值
(2)在(1)的条件下,求△BCE的面积;
(3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使BH+EH最小,并求出点H
的坐标
(第2题)
3.如图所示,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(1,0),B(4,0),C(0,3)三点
(1)求抛物线的表达式
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得四边形PAC的周
长最小 若存在,求出四边形PAOC周长的最小值;若不存在,请说
明理由
且,)
(第3题谈中考数学中的二次函数最值问题（二）
在数学问题中，当某元素在给定条件变动时，求某几何量或所用时间的最大（多）值或
最小（少）值问题，称为最值问题。中考时，最值问题一般都在压轴题出现。常见的题型中
有求线段、面积、时间的最值问题，也有求线段之和（差）或面积之比的最值问题；还有胡
不归问题等。解题的关键是灵活运用所学知识解决问题。常用的方法有：轴对称﹣最短路线
问题丶求二次函数最值方法、构造相似三角形、添加辅助圆等。
二次函数中与周长有关的最值问题
例
1.
（缩编题）如图，已知
A( 2,0)
2，B(4,0)，抛物线
y
ax
bx 1过
A、
B
两点，并与
1
过
A点的直线
y
x
1交于点C
．
2
（1）求抛物线解析式及对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点
P
，使四边形
ACPO的周长最小？若存在，求出点
P
的坐标，若不存在，请说明理由；
温馨提示：（1）由待定系数法求解即可；
（2）将四边形周长最小转化为
PC
PO最小即可；
1
y
1
x2
1略解：（
）
x 1
，抛物线对称轴为直线
X=1
8
4
（2）存在，使四边形
ACPO的周长最小，只需
PC
PO最小
取点C(0, 1)关于直线
x
1的对称点C (2, 1)，连C
O
与直线
x
1的交点即为
P
点．
设过点C 、O
直线解析式为：
y kx
1
1
1 k
y
x则
P
点坐标为
(1,
)
2
2
2
解题感悟：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、．解
答时，应用了数形结合和转化的数学思想．
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例
2.
抛物线
y＝x2+bx+c与
x轴交于
A、B两点，与
y轴交于点
C，点
A的坐标为（﹣1，0），
点
C的坐标为（0，﹣3）．点
P为抛物线
y＝x2+bx+c上的一个动点．过点
P作
PD⊥x轴
于点
D，交直线
BC于点
E．
（1）求
b、c的值；
（2）设点
F在抛物线
y＝x2+bx+c的对称轴上，当△ACF的周长最小时，直接写出点
F
的坐标；
（3）在第一象限，是否存在点
P，使点
P到直线
BC的距离是点
D到直线
BC的距离的
5倍？若存在，求出点
P所有的坐标；若不存在，请说明理由．
温馨提示：（1）把
A、C点的坐标代入抛物线的解析式列出
b、c的方程组，解得
b、c
便可；
（2）连接
BC与对称轴交于点
F，此时△ACF的周长最小，求得
BC的解析式，再求得
BC与对称轴的交点坐标便可；
（3）设
P（m，m2﹣2m﹣3）（m＞3），根据相似三角形的比例式列出
m的方程解答便可．
略解：（1）b=-2，c=3
（2）直线
BC与抛物线的对称轴交于点
F，连接
AF，如图
1，
此时，AF+CF＝BF+CF＝BC的值最小，∵AC为定值，∴此时△AFC的周长最小，
由（1）知，b＝﹣2，c＝﹣3，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，
∴对称轴为
x＝1，令
y＝0，得
y＝x2﹣2x﹣3＝0，
解得，x＝﹣1，或
x＝3，∴B（3，0），∵C（0，﹣3），
设直线
BC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），得
，解得，
，
∴直线
BC的解析式为：y＝x﹣3，当
x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，∴F（1，﹣2）；
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（3）设
P（m，m2﹣2m﹣3）（m＞3），过
P作
PH⊥BC于
H，过
D作
DG⊥BC于
G，如
图
2，则
PH＝5DG，E（m，m﹣3），∴PE＝m2﹣3m，DE＝m﹣3，
∵∠PHE＝∠DGE＝90°，∠PEH＝∠DEG，∴△PEH∽△DEG，∴
，
∴
，∵m＝3（舍），或
m＝5，
∴点
P的坐标为
P（5，12）．
故存在点
P，使点
P到直线
BC的距离是点
D到直线
BC的距离的
5
倍，其
P点坐标为
（5，12）．
解题感悟：本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，相
似三角形的性质与判定，轴对称的性质应用求线段的最值，第（2）题关键是确定
F点的位
置，第（3）题关键在于构建相似三角形．
例
3.
如图，已知二次函数图象的顶点坐标为
A(1,4)，与坐标轴交于
B、C
、D三点，且
B
点的坐标为
( 1,0)．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于
x轴上方部分有两个动点M
、N，且点
N在点M
的左侧，过M
、
N作
x轴的垂线交
x轴于点G
、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大
值；
（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点
P，使 PNC的面积是
矩形MNHG
9面积的
？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．
16
温馨提示：（1）二次函数表达式为：
y
a(x
1)2
4，将点
B的坐标代入上式，即可求解；
（2）矩形MNHG的周长C
2MN
2GM
2(2x
2)
2( x2
2x
3)
2x2
8x
2，即可
求解；
（3）
S
27
1 PNC
PK
CD
1
PH
9
sin
45 3
2，解得：
PH
HG，即可求解．
8
2
2
4
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略解：（1）
y
x2
2x
3 ①；
（2）设点M
的坐标为
(x, x2
2x
3)，则点
N(2
x, x2
2x
3)，
则MN
x
2
x
2x
2，GM
x2
2x
3，
矩形MNHG的周长C
2MN
2GM
2(2x
2)
2( x2
2x
3)
2x2
8x
2，
b 2
0，故当
x
2，C
有最大值，最大值为
10，
2a
此时
x
2，点
N
(0,3)与点
D重合；
3
P
3
3
3
2
3
3
2（
）
横坐标为：
或
或
．
2
2
2
解题感悟：本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要
会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，
从而求出线段之间的关系．
例
4.
（缩编题）如图
1，在平面直角坐标系中，抛物线
y
ax2
bx
c(a
0)与
x轴交于
A，
B
两点（点
A在点
B
的左侧），与
y轴交于点
C
，点
A的坐标为
( 1,0)
，且
OC
OB，
tan OAC
4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D和点C
关于抛物线的对称轴对称，直线
AD下方的抛物线上有一点
P，过点
P
作
PH
AD于点H，作
PM
平行于
y轴交直线
AD于点M
，交
x轴于点
E，求
PHM
的
周长的最大值．
温馨提示：（1）先由锐角三角函数的定义求得C
的坐标，从而得到点
B的坐标，设抛物线
的解析式为
y
a(x
1)(x
4)
，将点C
的坐标代入求解即可；
（2）先求得抛物线的对称轴，从而得到点
D(3, 4)，然后可求得直线
AD的解析式
y
x
1，
故∠BAD
=45
°，接下来证明 PMD
为等腰直角三角形，所当PM
有最大值时三角形的周
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长最大，设
P(a,a2
3a
4)，M
( a
1)，则
PM
a
2
2a
3，然后利用配方可求得
PM
的最大值，最后根据 MPH
的周长
(1
2)PM
求解即可；
略解：（1）
y
x2
3x
4．
（2）
3
3抛物线的对称轴为
x
，C(0, 4)， 点D和点C
关于抛物线的对称轴对
2 1
2
称，
k
b
0
D(3, 4)设直线
AD的解析式为
y
kx
b． 将
A( 1,0)
D(3,
4)
、
代入得：
，
3k
b
4
解得
k
1，
b
1， 直线
AD的解析式
y
x
1． 直线
AD的一次项系数
k
1，
BAD
45 ． PM
平行于
y轴， AEP
90 ， PMH
AME
45 ．
MPH
的周长
PM
MH
PH
PM
2MP
2
PM
(1
2)PM
．
2
2
设
P(a,a2
3a
4)，则M
(a, a
1)，则
PM
a
1
(a2
3a
4)
a2
2a
3
(a
1)2
4．
当
a
1时，PM
有最大值，最大值为
4． MPH
的周长的最大值
4
(1
2)
4
4
2
；
解题感悟：本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次
函数的最值、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出
PM
的长与
a的函数
关系式是解题的关键．直线
Y=±
+
与
X轴的夹角（锐角）为
45度很关键.求最值时用配
方法求二次函数的最值是常用的重要方法之一。
5.
y
1例
如图，抛物线
x2
bx
c与
x轴交于点
A，点
B，与
y轴交于点C
，抛物线的对
2
称轴为直线
x
1，点C坐标为
(0,4)．
（1）求抛物线表达式；
（2）在抛物线上是否存在点P
，使∠ABP
∠
=BCO
，如果存在，求出点P
坐标；如果不存乐
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在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点
P在
x轴上方，点M
是直线
BP上方抛物线上的一个动点，求
点M
到直线
BP的最大距离；
（4）点G
是线段
AC
上的动点，点H
是线段
BC上的动点，点Q是线段
AB上的动点，三
个动点都不与点
A，B，C
重合，连接GH
，GQ，HQ，得到 GHQ，直接写出 GHQ周
长的最小值．
温馨提示：（1）利用抛物线的对称轴为
x
1，求出
b的值，再把
b的值和C
的坐标代入
y
1
x2
bx
c计算即可；
2
（
2）作
PE
x
轴于点
E
，利用相似三角形的判定方法可证得
PEB∽ BOC
，设
P(m,
1
m2
m
4)
PE
|
1
，则
m2
m
4
|，
BE
2
m，再分别讨论
P的位置列式求解
2
2
即可；
（3）作MF
x轴于点
F
，交
BP于点
R，作MN
BP于点
N，用待定系数法求出直线
BP
的解析式，利用解析式表示出MR的长度，再通过求证 MNR∽ BFR联合Rt MNR
建立比
值关系列式计算即可；
（4）作Q点关于
AC的对称点Q1，作Q关于CB的对称点Q2
，连接Q1Q2与
AC
于G1，与CB
交于点
H1，连接QQ1交
AC
于
J，连接QQ2交CB于
K，此时△QG1H1
的周长最小，这个最
小值
QQ2
，再证明Q1Q2
2JK
，JK
最小时， QGH
周长最小，利用图
2证明当点Q与点
O重合时
JK
最小，在图
3中利用相似三角形的性质求出
JK
的最小值即可解决问题．
1
略解：（1）
y
x2
x
4．
2
（2）如图
1中，作
PE
x轴于点
E．
ABP
BCO， PEB
BOC
90 ，
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PE
OB
1
PEB∽ BOC
，
（此处也可以由等角的正切值相等得到），
BE
OC
2
设
P(m,
1
m2
m
4)，则
PE
|
1
m2
m
4
|，
BE
2
m，
2
2
1
m2
m
4
①当点
P在
x
1轴上方时：
2
，解得m
3，m
2（不符题意，舍），
2
m
2
1
2
1m2
m
4
②当点
P在
x
1轴下方时：
2
，解得m1
5，m2
2（不符题意，舍），2
m
2
P(
3,
5
)或
P( 5,
7
)．
2
2
（3）作MF
x轴于点
F
，交
BP于点
R，作MN
BP于点
N．
y
1
1
x2
x
4
(x
4)(x
2)， A( 4,0)，
B(2,0)，设
yBP
kx
b
，2
2
1
P(
3,
5),
(2,0)
k
1
1将
代入得解得
,b1
1，
yBP
x
1，2
2
2
M
(a,
1设
a2
a
4)，则
R(a,
1
a
1)，
MR
(
1
a2
a
4)
(
1
a
1)
1
a2
1
a
3，
2
2
2
2
2
2
MNR
NR
RF
RFB
90 ， NRM
FRB， MNR∽ BFR，
，
MN
FB
tan
ABP
1
RF
NR
MN
2
2
5
，在Rt MNR
中
NR
:MN
:MR
1:
2
:
5，
，
2
FB
MN
MR
5
5
MN
5
a
2
5
a
6
5
5
(a
1
)2
5
5
，
5
5
5
5
2
4
当
a
1
5
5
时，MN
最大为
．
2
4
（4）作Q点关于
AC的对称点Q1，作Q关于CB的对称点Q2
，连接Q1Q2与
AC
于G1，与CB
交于点
H1，连接QQ1交
AC
于
J，连接QQ2交CB于
K，此时△QG1H1
的周长最小，这个最
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小值
Q1Q2
．
QJ
JQ1，QK
KQ2
， Q1Q2
2JK
， 当
JK
最小时，Q1Q2最小，如图
2中：
CJQ
CKQ
90
， C
、
J、Q、
K四点共圆，线段CQ就是圆的直径，
JK
是弦，
JCK
是定值， 直径CQ最小时，弦
JK
最小，
当点Q与点O重合时，CQ最小，此时
JK
最小，如图
3中：
在Rt COA
中， COA
90 ，CO
4，
AO
4， AC
AO2
CO2
42
42
4
2
，
Rt COB， COB
90 ，CB
CO2
BO2
42
22
2
5，
OJ
⊥AC
，OK
⊥CB
1
1
4
5，∴
CB
OK
OC
OB， OK
，
2
2
5
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4
5
8
5
CK
CO2
OK
2
42
(
)
， JCO
OCA， CJO
COA，
5
5
CJO
CJ
CO∽ COA，
， CO2
CJ
CA，同理可得：CO2
CK
CB，
CO
CA
CJ
CA
CK
CB
CJ
CK
，
， JCK
BCA， CJK∽ CBA，
CB
CA
8
5
JK
CK
JK
，
5
JK
6
10，
，
BA
CA
6
4
2
5
QGH
QQ
2JK
6
10
12
10
周长的最小值
1
2
2
．5
5
解题感悟：本题主要考查了二次函数综合题，其中涉及了待定系数法求二次函数，二次函数
与坐标轴交点问题，待定系数法求一次函数，相似三角形的判断与性质，圆的性质，勾股定
理，中位线，三角函数等知识点，熟练掌握二次函数的性质及相似三角形的判定定理并灵活
运用分类讨论的思想是解题的关键．在第（4）小题的解答过程采用了转化的数学思想方法，
应用轴对称的性质化解了解题的难点。
例
6.如图，抛物线
y
x2
bx
c．经过
A( 1,0)，B(5,0)两点，与
y轴交于C点．已
知M
(0,1)，E(a,0)，
F
(a
1,0)，点
P是第一象限内的抛物线上的动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若 PCM是以CM为底边的等腰三角形，求
a为何值时，四边形
PMEF周
长最小？请说明理由．
温馨提示：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）四边形
PMEF的四条边中，PM
、EF
长度固定，因此只要ME
PF
最小，
则PMEF
的周长将取得最小值．将点M
向右平移1
个单位长度(EF
的长度），
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得M1(1,1)；作点M1关于
x轴的对称点M
2，则M
2
(1, 1)；连接
PM
2，与
x轴
交于
F
点，此时ME
PF
PM
2
最小．
略解：（1）
y
x2
4x
5；
（2） M
(0,1)，C(0,5)， PCM是以点
P为顶点的等腰三角形，
点
P的纵坐标为
3．令
y
x2
4x
5
3，解得
x
2
6．
点
P在第一象限， P(2
6，3)．四边形
PMEF的四条边中，
PM
、
EF
长度固定，因此只要ME
PF
最小，则
PMEF的周长将取得最小值．
如图
2，将点M
向右平移
1
个单位长度
(EF的长度），得M1(1,1)；
作点M1关于
x轴的对称点M
2，则M
2
(1, 1)；连接
PM
2，与
x轴交于
F点，此时
ME
PF
PM
2
最小．
设直线
PM
2
的解析式为
y
mx
n
，将
P(2
6
，
3)
，
M
2
(1, 1)
代入得：
(2
6)m
n
3
4
6
4
4
6
1
，解得：m
，
n
，
m
n
1
5
5
y
4
6
4
x
4
6
1
6
5
．当
y
0时，解得
x
．
5
5
4
6
5
6
5
6
1
F
(
，0)． a
1
， a
．
4
4
4
a
6
1
时，四边形
PMEF周长最小．
4
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解题感悟：本题是二次函数综合题，第（1）问考查了待定系数法；第（2）问主
要考查了轴对称 最短路线的性质．要懂得线段
EF
的长是
1，也是解题的关
键；试题计算量偏大，注意认真计算．
变式训练
1.如图，抛物线
y
ax2
3ax
c(a
0)与
x轴交于
A，B两点，交
y轴于点C
，其中
A( 1,0)，
C(0,3)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点
P是线段
BC上方抛物线上一动点（不与
B，C
重合），过点
P作
PD
x轴，垂足
为D，交
BC于点
E，作
PF
直线
BC于点
F
，设点
P的横坐标为
x， PEF的周长记为
l，
求
l关于
x的函数关系式，并求出
l的最大值及此时点
P的坐标；
（3）点H是直线
AC
上一点，该抛物线的对称轴上一动点G
，连接OG，GH
，则两线段OG，
GH
的长度之和的最小值等于
，此时点G
的坐标为
（直接写出答案．
)
温馨提示：（1）将点
A、C
代入求得解析式；
（2）设出点
P和点
E的坐标，表示出线段
PE
的长度表达式，由
PEF∽ BOC，通过相似
比等于周长之比，也等于对应线段之比，求出
PEF的周长表达式，从而求出最大值和点
P
坐标；
（3）线段之和求极值的类型，将点O关于抛物线的对称轴对称，得到点
Q，过点Q作
QH
AC
，交对称轴于一点G
，则QH
即为OG
GH
长度之和的最小值．
3
9
略解：（1）
y
x2
x
3
4
4
2
P(x,
3
x2
9（
）设
x
3)直线
BC的解析式为
y
3
x
3，点
E(x,
3
x
3)
4
4
4
4
PE
3
9
x2
x
3
3
3
x
3
x2
3x， OBC∽ PEF
PE
l，
，
4
4
4
4
BC
C OBC
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l
9
36
36
9
x2
x，当
x
2时
L的最大值为
，点
P坐标为
(2,
)；
5
5
5
2
（3）如图，作点O关于对称轴的对称点Q(3,0)，作QH
AC
交对称轴于G
，过点G
作
GM
AB于M
，
AOC∽ AHQ
AC
OC
10
3
6
QH
10 GMQ∽ ACO
AQ
QH
4
QH
5
3
MQ
GM
2
GM
GM
1
G(3
1
，
)
OC
AO
3
1
2
2
2
考查目的：本题主要是考查了周长极值，线段极值，（2）要注意
OBC
与
PEF之间的相似
关系，运用相似之比获得周长表示式会更快些，（3）要了解点与线之间垂线段最短，本题是
一道很好的压轴题．
2.如图，已知抛物线
y
ax2
bx
c经过
A( 3,0)，
B(1,0)，C
(0,3)三点，其顶
点为D，对称轴是直线
l，
l与
x轴交于点H
．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若点
P是该抛物线对称轴
l上的一个动点，求 PBC周长的最小值．
（3）如图（2），若
E是线段
AD上的一个动点
(E与
A、D不重合），过
E点作
平行于
y轴的直线交抛物线于点
F
，交
x轴于点G，设点
E的横坐标为m，
四边形
AODF的面积为
S．
①求
S与m的函数关系式．
②
S是否存在最大值，若存在，求出最大值及此时点
E的坐标，若不存在，请说
明理由．
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温馨提示：（1）设交点式
y
a(x
3)(x
1)，然后把C点坐标代入求出
a即可得
到抛物线解析式；
（2）利用配方法得到
y
(x
1)2
4，从而得到D( 1,
4)，抛物线的对称轴为直
线
x
1，连接
AC交直线
x
1于
P，如图
1，利用两点之间线段最短得到
此时PB
PC的值最小， PBC周长的最小值，然后利用勾股定理计算出
AC
和BC即可得到 PBC周长的最小值；
（3）①如图
2，先利用待定系数法求出直线
AD的解析式为
y
2x
6，设
E(m，
2m
6)( 3
m
1)，则F
(m, m2
2m
3)，则可表示出
EF
m2
4m
3，
根据三角形面积公式，利用
S
S ADF
S ADO得到
S
m
2
4m
3
6；
②先利用配方法得到
S
(m
2)2
7
，然后根据二次函数的性质解决问题．
略解：（1）
y
x2
2x
3；
（2）
y
x2
2x
3
(x
1)2
4，
D( 1,4)，抛物线的对称轴为直线
x
1，
连接
AC交直线
x
1于
P，如图
1，则
PA
PB， PB
PC
PC
PA
AC，
此时PB
PC的值最小， 此时 PBC周长的最小值，
PBC周长的最小值
AC
BC
32
32
12
32
3
2
10；
（3）①如图
2，设直线
AD的解析式为
y
kx
b，
3k
b
0
k
2
把
A( 3,0)，
D( 1,
4)代入得
，解得
， 直线
AD的解析式为
k
b
4
b
6
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y
2x
6，设
E(m，
2m
6)( 3
m
1)，则F
(m, m2
2m
3)，
EF
m2
2m
3
(2m
6)
m2
4m
3，
S
S
1
1
2
2 ADF
S ADO
EF
2
3 4
EF
6
m
4m
3
6
m
4m
3( 3
m
1)2
2
②存在． S
(m
2)2
7， 当m
2时，
S有最大值，最大值为
7，此时
E
点坐标为
( 2,
2)．
考查目的：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特
征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，会求抛物线与
x轴的
交点坐标；能利用两点之间线段最短解决最短路径问题．
3.（缩编题）如图，已知二次函数
y
ax2
4x
c的图象与
x轴交于点
A( 1,0)、点C
，与
y
轴交于点
B(0, 5)．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点
P，使得 ABP的周长最小．请求出点
P的坐标，
并求出
ABP周长的最小值；
温馨提示：（1）利用
A( 1,0)、点
B(0, 5)代入解析式求出即可；
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（2）利用轴对称图形的性质得出
P点位置，进而得出直线
BC的解析式，进而求出
P点坐
标；
略解：（1）
y
x2
4x
5；
（2）所求的点
P的坐标为
(2, 3)．
考查目的：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质和利用轴对称
求最短路径等知识，利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．
4.已知抛物线
y
ax2
bx
4经过点
A(2,0)、
B( 4,0)，与
y轴交于点C
．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图
1，点
P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形
ABPC的面积最大时，求
点
P的坐标；
（3）如图
2，线段
AC
的垂直平分线交
x轴于点
E，垂足为D，M
为抛物线的顶点，在直
线DE上是否存在一点G
，使
CMG的周长最小？若存在，求出点G
的坐标；若不存在，
请说明理由．
温馨提示：（1）把点
A、
B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求函二次数解析式
解答；
（2）连接OP，由
S
S AOC
S OCP
S OBP，可得出关于
P点横坐标的表达式，然后利用二
次函数的最值问题求出点
P的坐标；
（3）连接
AM
交直线DE于点G
，此时， CMG的周长最小．求出直线
AM
的解析式，再
由
ADE∽ AOC
，求出点
E的坐标，求出直线DE的解析式，则由
AM
、
DE两直线的交
点可求得G
点坐标．
1
y
1略解：（
）
x2
x
4；
2
（2）
P的坐标为
( 2, 4)．
3
y
1
x2
x
4
1（
）
(x
1)2
9
， 顶点M
( 1,
9
)．
2
2
2
2
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如图，连接
AM
交直线DE于点G
，此时，
CMG的周长最小．
9
设直线
AM
的解析式为
y
kx
b，且过点
A(2,0)，M
( 1,
)，
2
2k
b
0
3
9
，
直
线
AM
的
解
析
式
为
y
x
3
．
在
Rt AOC
中
，
k
b
2
2
AC
OA2
OC2
22
42
2
5
． D为
AC
1的中点，
AD
AC
5
，
2
ADE
AOC
AD
AE
5
AE
∽
，
，
，
AE
5 OE
AE
AO
5
2
3，
AO
AC
2
2
5
m
n
2
E( 3,0)，由图可知D(1, 2)设直线DE的函数解析式为
y
mx
n，
，
3m
n
0
m
1
1
3
1
3
y
x
解得：
2
， 直线DE的解析式为
y
x
．
2
2，
n
3
2
2
3
y
x
3
2
2
x
3
解得：
4
，
G(
3
,
15
)．
y
15
4
8
8
考查目的：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数
法求一次函数解析式，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最
值问题．理解坐标与图形性质；会运用数形结合思想解决数学问题．第（3）问实际上是教
会求三角形周长最小值的方法，其依据就是轴对称的性质。
5.综合与探究
1
在平面直角坐标系中，抛物线
y
x2
bx
c经过点
A( 4,0)，点M
为抛物线的顶点，点
B
2
在
y轴上，且OA
OB，直线
AB与抛物线在第一象限交于点C(2,6)，如图①．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线
AB的函数解析式为
，点M
的坐标为
，
cos ABO
；
连接OC
，若过点O的直线交线段
AC
于点
P，将
AOC
的面积分成1:
2的两部分，则点
P
的坐标为
；
（3）在
y轴上找一点Q，使得 AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点
A关于
y轴的对
称点
A ，连接MA 交
y轴于点Q，连接
AM
、AQ，此时 AMQ的周长最小．请求出点Q的
坐标；
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（4）在坐标平面内是否存在点
N，使以点
A、O、C
、N为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，请直接写出点
N的坐标；若不存在，请说明理由．
温馨提示：（1）将点
A、C
的坐标代入抛物线表达式即可求解；
（2）点
A( 4,0)，OB
OA
4，故点
B(0,4)，即可求出
AB的表达式；OP将
AOC
的面
积分成1:
2
AP
1
2的两部分，则
AC或
AC，即可求解；
3
3
（3）
AMQ的周长
AM
AQ
MQ
AM
A M
最小，即可求解；
（4）分
AC
是边、
AC
是对角线两种情况，分别求解即可．
1
略解：（1）
y
x2
2x；
2
（2）直线
AB的表达式为：
y
x
4；点M
( 2, 2)；
P( 2,2)或
(0,4)；
（3）
AMQ的周长
AM
AQ
MQ
AM
A M
最小，
1
4k
b
0
k
点
A (4,0)
，设直线
A M
的表达式为：
y
kx
b，则
，解得
3
2k
b
2
，
b
4
3
AM
1
4
4
4故直线
的表达式为：
y
x
，
令
x
0，则
y
，故点Q(0,
)；
3
3
3
3
（4）存在，理由：
N的坐标为
(6,6)或
( 6, 6)或
( 2,6)．
考查目的：本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、
图形的平移、轴对称的性质、面积的计算等，第（4）问，要注意分类求解，避免遗漏．
6.如图
1，抛物线
y
ax2
bx
c(a
0)的顶点为
(1,
4)，交
x轴于
A，B两点，交
y轴于点
D，
其中点
B的坐标为
(3,0)
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图
2，过点
A的直线与抛物线交于点
E，交
y轴于点
F
，其中点
E的横坐标为
2，
若直线
PQ为抛物线的对称轴，点G
为直线
PQ上的一动点，则
x轴上是否存在一点H，使
D
，G
，H
，F
四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G
，H
的坐
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标；若不存在，请说明理由．
温馨提示：（1）因为已知抛物线顶点坐标，故可设顶点式，再把点
B坐标代入即求得抛物
线解析式．
（2）先由抛物线解析式求点
A、D、
E坐标，得到点
D、
E关于对称轴直线
x
1对称，
故有DG
EG．求直线
AE解析式，进而得到其与
y轴交点
F
，作
F
关于
x轴的对称点
F
，
则有
FH
F
H
．所以当点
E、G
、H、
F
在同一直线上时，四边形
DGHF周长最小．求
EF
的长和直线
EF
解析式，即求得点G
、H的坐标．
略解：解：（1）
y
(x
1)2
4
x2
2x
3
（2）
x轴上存在点H使
D，G
，H，
F
四点所围成的四边形周长最小．
如图，作点
F
关于
x轴对称的对称点
F
，连接
EF
x
0时，
y
x2
2x
3
3
D(0,3) 当
y
0时，
x2
2x
3
0解得：
x1
1，
x2
3
A( 1,0) 点
E在抛物线上且横坐标为
2
yE
2
2
2 2
3
3 E(2,3)
点D、
E关于对称轴对称 DG
EG设直线
AE解析式为
y
kx
e
k
e
0
k
1
解得：
直线
AE
:
y
x
1 F
(0,1)
2k
e
3
e
1
F
(0, 1)，HF
HF
，
DF
3
1
2
C四边形DGHF
DF
DG
GH
FH
DF
EG
GH
F H
当点
E、G
、H、
F
在同一直线上时，C四边形DGHF
DF
EF 最小
EF
22
(3 1)2
2
5
C四边形DGHF
2
2
5
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设直线
EF
解析式为
y
mx
1 2m
1
3 m
2 直线
EF
:
y
2x
1
1
1
当
y
0时，解得
x
H
(
，
0)当
x
1时，
y
2
1 1 G(1,1)
2
2
四边形
DGHF周长最小值为
2
2
5，点G
坐标为
(1,1)，点H
1坐标为
(
，
0)．
2
考查目的：本题考查了二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径，解二元一次方程、一元
二次方程，一次函数的图象与性质，两点间距离公式．两动点求几条线段和最小值的常规
做法是作定点关于动点运动所在直线的对称点，利用轴对称性质把线段进行转换．
小结归纳：二次函数周长最值问题同样是中考的常见题型，要引起高度重视‘，其类型有
（1）求矩形周长最值问题，一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成
一个矩形，求其周长最值，解题时，一般可先设此点坐标，点
p
到
x
轴、y
轴的距离之和再
乘以
2，即为周长然后将其化为顶点式，并根据
a
的正负及自变量的取值范围判断最值。
（2）求三角形周长最值，一般是利用两点之间线段最短的性质求解：过程是先判断图形中
那些边是定值，哪些边是变量；再利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化
的边，求其和的最小值；两条变化的边的和最小值加上不变的边长即为周长最小值。
2021.3.26
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页谈中考数学中的二次函数最值问题（二）
在数学问题中，当某元素在给定条件变动时，求某几何量或所用时间的最大（多）值或
最小（少）值问题，称为最值问题。中考时，最值问题一般都在压轴题出现。常见的题型中
有求线段、面积、时间的最值问题，也有求线段之和（差）或面积之比的最值问题；还有胡
不归问题等。解题的关键是灵活运用所学知识解决问题。常用的方法有：轴对称﹣最短路线
问题丶求二次函数最值方法、构造相似三角形、添加辅助圆等。
二次函数中与周长有关的最值问题
例
1.
2（缩编题）如图，已知
A( 2,0)，
B(4,0)，抛物线
y
ax
bx 1过
A
、
B
两点，并与
1
过
A
点的直线
y
x
1交于点C
．
2
（1）求抛物线解析式及对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点
P
，使四边形
ACPO
的周长最小？若存在，求出点
P
的坐标，若不存在，请说明理由；
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第
1
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例
2.
抛物线
y＝x2+bx+c
与
x
轴交于
A、B
两点，与
y
轴交于点
C，点
A
的坐标为（﹣1，0），
点
C
的坐标为（0，﹣3）．点
P
为抛物线
y＝x2+bx+c
上的一个动点．过点
P
作
PD⊥x
轴于点
D，交直线
BC
于点
E．
（1）求
b、c
的值；
（2）设点
F
在抛物线
y＝x2+bx+c
的对称轴上，当△ACF
的周长最小时，直接写出点
F的坐标；
（3）在第一象限，是否存在点
P，使点
P
到直线
BC
的距离是点
D
到直线
BC
的距离的5
倍？若存
在，求出点
P
所有的坐标；若不存在，请说明理由．
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第
2
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例3.
如图，已知二次函数图象的顶点坐标为
A(1,4)
，与坐标轴交于B
、C
、D
三点，且B点
的坐标为( 1,0)
．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x
轴上方部分有两个动点M
、N
，且点N
在点M
的左侧，过M
、
N
作
x
轴的垂线交
x
轴于点G
、
H
两点，当四边形
MNHG
为矩形时，求该矩形周长的最大
值；
（3）当矩形
MNHG
的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点
P
，使 PNC
的面积是
9
矩形
MNHG
面积的
？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．
16
乐博思
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第
3
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页
例
4.
（缩编题）如图
1，在平面直角坐标系中，抛物线
y
ax2
bx
c(a
0)与
x
轴交于
A
，
B
两点（点
A
在点
B
的左侧），与
y
轴交于点
C
，点
A
的坐标为
( 1,0)
，且
OC
OB
，
tan OAC
4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点
D
和点C
关于抛物线的对称轴对称，直线
AD
下方的抛物线上有一点
P
，过点
P
作
PH
AD于点
H
，作
PM
平行于
y
轴交直线
AD
于点
M
，交
x
轴于点
E
，求
PHM
的
周长的最大值．
例
5.如图，抛物线
y
1
x2
bx
c
与
x
轴交于点
A
，点
B
，与
y
轴交于点C
，抛物线的对
2
称轴为直线
x
1，点C
坐标为
(0,4)．
（1）求抛物线表达式；
（2）在抛物线上是否存在点P
，使∠ABP
∠
=BCO
，如果存在，求出点P
坐标；如果不存
在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点P
在x
轴上方，点M
是直线BP
上方抛物线上的一个动点，求
点M
到直线BP
的最大距离；
（4）点G
是线段
AC
上的动点，点H
是线段BC
上的动点，点Q
是线段
AB
上的动点，三个
动点都不与点
A
，B
，C
重合，连接GH
，GQ
，HQ
，得到 GHQ
，直接写出 GHQ
周长
的最小值．
例
6.如图，抛物线
y
x2
bx
c
．经过
A( 1,0)，B(5,0)两点，与
y
轴交于C点．已
知M
(0,1)，E(a,0)，
F
(a
1,0)，点
P
是第一象限内的抛物线上的动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若 PCM
是以CM
为底边的等腰三角形，求
a为何值时，四边形
PMEF
周
长最小？请说明理由．
变式训练
1.如图，抛物线
y
ax2
3ax
c(a
0)与
x
轴交于
A
，B
两点，交
y
轴于点C
，其中
A( 1,0)，
C(0,3)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点
P
是线段
BC
上方抛物线上一动点（不与
B
，C
重合），过点
P
作
PD
x
轴，垂足
为
D
，交
BC
于点
E
，作
PF
直线
BC
于点
F
，设点
P
的横坐标为
x
， PEF
的周长记为
l
，
求
l
关于
x
的函数关系式，并求出
l
的最大值及此时点
P
的坐标；
（3）点
H
是直线
AC
上一点，该抛物线的对称轴上一动点G
，连接OG
，GH
，则两线段OG
，
GH
的长度之和的最小值等于
，此时点G
的坐标为
（直接写出答案．
)
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2.如图，已知抛物线
y
ax2
bx
c经过
A( 3,0)，
B(1,0)，C
(0,3)三点，其顶
点为D，对称轴是直线
l，
l与
x轴交于点
H
．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若点
P
是该抛物线对称轴
l上的一个动点，求 PBC周长的最小值．
（3）如图（2），若
E
是线段
AD
上的一个动点
(E
与
A
、
D
不重合），过
E
点作
平行于
y
轴的直线交抛物线于点
F
，交
x轴于点G
，设点
E
的横坐标为m，
四边形
AODF
的面积为
S
．
①求
S
与m的函数关系式．
②
S
是否存在最大值，若存在，求出最大值及此时点
E
的坐标，若不存在，请说
明理由．
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3.（缩编题）如图，已知二次函数
y
=ax2
4x
+c
的图象与x
轴交于点
A( 1,0)
、点C
，与
y
轴交于点B(0, 5)
．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P
，使得 ABP
的周长最小．请求出点P
的坐标，
并求出 ABP
周长的最小值；
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4.已知抛物线
y
ax2
bx
4经过点
A(2,0)、
B( 4,0)，与
y
轴交于点C
．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图
1，点
P
是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形
ABPC
的面积最大时，求
点
P
的坐标；
（3）如图
2，线段
AC
的垂直平分线交
x
轴于点
E
，垂足为
D
，
M
为抛物线的顶点，在直
线
DE
上是否存在一点G
，使
CMG
的周长最小？若存在，求出点G
的坐标；若不存在，
请说明理由．
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5.综合与探究
1
在平面直角坐标系中，抛物线
y
x2
bx
c
经过点
A( 4,0)，点
M
为抛物线的顶点，点
B
2
在
y
轴上，且OA
OB
，直线
AB
与抛物线在第一象限交于点C(2,6)，如图①．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线
AB
的函数解析式为
，点
M
的坐标为
，
cos ABO
；
连接OC
，若过点O
的直线交线段
AC
于点
P
，将
AOC
的面积分成1:
2的两部分，则点
P
的坐标为
；
（3）在
y
轴上找一点Q
，使得 AMQ
的周长最小．具体作法如图②，作点
A
关于
y
轴的对
称点
A ，连接
MA 交
y
轴于点Q
，连接
AM
、AQ
，此时 AMQ
的周长最小．请求出点Q
的
坐标；
（4）在坐标平面内是否存在点
N
，使以点
A
、O
、C
、N
为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，请直接写出点
N
的坐标；若不存在，请说明理由．
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6.如图
1，抛物线
y
ax2
bx
c(a
0)的顶点为
(1,
4)，交
x
轴于
A
，B
两点，交
y
轴于点
D
，
其中点
B
的坐标为
(3,0)
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图
2，过点
A
的直线与抛物线交于点
E
，交
y
轴于点
F
，其中点
E
的横坐标为
2，
若直线
PQ为抛物线的对称轴，点G
为直线
PQ
上的一动点，则
x
轴上是否存在一点
H
，使
D
，G
，H
，F
四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G
，H
的坐
标；若不存在，请说明理由．
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小结归纳：二次函数周长最值问题同样是中考的常见题型，要引起高度重视‘，其类型有
（1）求矩形周长最值问题，一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成
一个矩形，求其周长最值，解题时，一般可先设此点坐标，点
p
到
x
轴、y
轴的距离之和再
乘以
2，即为周长然后将其化为顶点式，并根据
a
的正负及自变量的取值范围判断最值。
（2）求三角形周长最值，一般是利用两点之间线段最短的性质求解：过程是先判断图形中
那些边是定值，哪些边是变量；再利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化
的边，求其和的最小值；两条变化的边的和最小值加上不变的边长即为周长最小值。
2021.3.26
乐博思
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页谈中考数学中的二次函数最值问题（三）
在数学问题中，当某元素在给定条件变动时，求某几何量或所用时间的最大（多）值或
最小（少）值问题，称为最值问题。中考时，最值问题一般都在压轴题出现。常见的题型中
有求线段、面积、时间的最值问题，也有求线段之和（差）或面积之比的最值问题；还有胡
不归问题等。解题的关键是灵活运用所学知识解决问题。常用的方法有：轴对称﹣最短路线
问题丶求二次函数最值方法、构造相似三角形、添加辅助圆等。
二次函数中与面积有关的最值问题
例
1（.
缩编题）已知直线
l1
:
y
2x
10交
y轴于点
A，交
x轴于点
B，二次函数的图象过
A，
B两点，交
x轴于另一点C
，BC
4，且对于该二次函数图象上的任意两点
P1(x1，y1)，P2
(x2，
y2
)，当
x1
x2 5时，总有
y1
y2．
（1）求二次函数的表达式；
（2）
E为线段
BC上不与端点重合的点，直线
l3
:
y
2x
q过点C
且交直线
AE于点
F
，
求
ABE与
CEF
面积之和的最小值．
温馨提示：（1）先求出点
A，点
B，点C
坐标，利用待定系数法可求解析式；
2
S
CE（
）通过证明
CEF∽ BEA，可得
CEF
(
)2
，
BE
t(0
t
4)，则CE
4
t
，可求
S ABE
BE
1
S
5(4
t)
2
S ABE
t
10
5t
，
CEF
，利用二次函数的性质可求解．2
t
略解：（1）
y
2(x
1)(x
5)
2x2
12x
10；
（2）如图，
、
直线
l3
:
y
2x
q过点C
， 0
2 1
q， q
2， 直线
l3解析式为：
y
2x
2，
l3
/
/l1， CF
/
/AB， ECF
ABE， CFE
BAE， CEF∽ BEA，
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S
CE
1
CEF
(
)2
，设
BE
t(0
t
4)，则CE
4
t
， S ABE
t
10
5t，S ABE
BE
2
CE
4
t
5(4
t)2
S
2
2 CEF
(
)
SBE
ABE
(
)
5t
，
t
t
S
S
5t
5(4
t)
2
10t
80
ABE
CEF
40
10(
t
2
2
)2
40
2
40，
t
t
t
当
t
2
2时，
S ABE
S CEF
的最小值为
40
2
40．
解题感悟：本题是二次函数综合题，考查了一次函数和二次函数的图象和性质，利用待定系
数法可求解析式，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，利用数形结合思想和函
数和方程的思想解决问题是本题的关键．把求最值问题转化为二次函数的问题，通过配方
求得最值是求最值一种非常常用的一种方法。
例
2.（缩编题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线
y
x2
bx
c与直线
AB相交于
A，
B两点，其中
A( 3, 4)，
B(0, 1)．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点
P为直线
AB下方抛物线上的任意一点，连接
PA，
PB，求
PAB面积的最大值；
温馨提示：（1）将点
A、
B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
1
1
（2）
PAB
面积
S
PH
(xB
x
2
A
)
(x
1
x
4x
1)
(0
3)
3
x2
9
x，即可求
2
2
2
2
解；
略解：（1）
y
x2
4x
1；
4
3k
t
k
1
（2
）设直线
AB的表达式为：
y
kx
t，则
，解得
，
t
1
t
1
故直线
AB的表达式为：
y
x
1，过点
P作
y轴的平行线交
AB于点
H，
乐博思
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设点
P(x,
x2
4x
1)，则
H
(x,
x
1)，
PAB
1面积
S
PH
(x
x
1
2
3
2
9B
2
A
)
(x
1
x
4x
1)
(0
3)
x
x，
2
2
2
3
0，故
S
3有最大值，当
x
时，
S
27的最大值为
；
2
2
8
解题感悟：本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、面积的计算等，把三
角形
PAB的面积分为三角形APH和BPH的面积之和来计算是一种常用的方法.
还可以过抛
物线上的一点作一条与
AB平行且与该抛物线只有这一交点的直线，建立该直线方程并与
AB
的直线方程联立求解，求出该点坐标。
1
例
3.
（缩编题）如图，直线
y
x
2
交
y
轴于点
A
，交
x
轴于点
C
，抛物线
2
y
1
x2
bx
c经过点
A，点C，且交
x轴于另一点
B．
4
（1）直接写出点
A，点
B，点C
的坐标及拋物线的解析式；
（2）在直线
AC
上方的抛物线上有一点M
，求四边形
ABCM
面积的最大值及此时点M
的
坐标；
1
x
0
y
1
x
2
A
1温馨提示：（
）令
，由
，得
点坐标，令
y
0，由
y
x
2，得C
点
2
2
坐标，将
A、C
的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，进而由二次函数解
析式令
y
0，便可求得
B点坐标；
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（2）过M
点作MN
x
AC
1
1
1轴，与
交于点
N，设M
(a,
a2
a
2)，则
N
(a,
a
2)，
4
2
2
由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于
a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得
最大值，并求得
a的值，便可得M
点的坐标；
略解：A(0
,2)，C(4,0)
,
B(-2,0)
;
（2）过M
点作MN
x轴，与
AC
交于点
N，如图
1，
设M
(a,
1
a2
1
a
2)，则
N
(a,
1
a
2)，
4
2
2
1
S ACM
MN
OC
1
(
1
a2
a)
4
1
a2
2a，
2
2
4
2
S
1 ABC
BC
OA
1
(4
2)
2
6，
2
2
S四边形ABCM
S ACM
S
1
2
1
ABC
a
2a
6
(a
2)
2
8，
2
2
当
a
2时，四边形
ABCM
面积最大，其最大值为
8，此时M
的坐标为
(2,2)；
解题感悟：本题是一个二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，
求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第（2）问会用函数的
解析式来表示线段的长，会把无规则的四边形变为三角形来求面积是解题的关键。
例
4.
如图
1，抛物线
y
ax2
bx
3(a
0)与
x轴交于
A( 1,0)，B(3,0)，与
y轴交于点C
．已
知直线
y
kx
n过
B，C两点．
（1）求抛物线和直线
BC的表达式；
（2）点
P是抛物线上的一个动点．
①如图
1，若点
P在第一象限内，连接
PA，交直线
BC于点
D．设
PDC
的面积为
S1， ADC
S
的面积为
S
，求
12
的最大值；S2
②如图
2，抛物线的对称轴
l与
x轴交于点
E，过点
E作
EF
BC，垂足为
F
．点Q是对称
轴
l上的一个动点，是否存在以点
E，
F
，
P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，
乐博思
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求出点
P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．
温馨提示：（1）把
A( 1,0)，B(3,0)代入可求得抛物线的表达式，再求得点C
的坐标，把
B(3,0)，
C
的坐标代入即可求解；
（
2）①设点
D
的坐标为
(m, m
3)
，利用待定系数法求得直线
AD
的表达式
y
m
3
x
m
3
m
3
m
3
4m
，解方程
x
x2
2x
3，求得点
P的横坐标为
，
m
1
m
1
m
1
m
1
m
1
4m
S
S
PD
MN
m
m2
3m
利用平行线分线段成比例定理求得
1
PDC
m
1
，设
S
22
S ADC
DA
AM
m
1
(m
1)
S
m21
t
t
3m
，则
2
，整理得
(t
1)m
2
(2t
3)m
t
0，根据△ 0，即可解决问题．
S2
(m
1)
②根据等腰直角三角形的性质求得的点
F
坐标为
(2,1)，分
EF
为边和
EF
为对角线两种情况
讨论，即可求解．
略解：（1）
y
x2
2x
3，直线
BC的表达式为
y
x
3．
（2）①∵
交直线
BC于点
D， 设点
D的坐标为
(m, m
3)，
m
3
k
b
0
k1
设直线
AD的表达式为
y
k
x
b
，
1
1
，解得，
m
11
1
mk1
b1
m
3
b
m
3
1
m
1
AD
y
m
3
x
m
3
m
3
x
m
3 直线
的表达式，
，
x2
2x
3，
m
1
m
1
m
1
m
1
4m
4m
整理得，
(x
)(x
1)
0解得
x
或
1（不合题意，舍去），
m
1
m
1
点D的横坐标为m
4m，点
P的横坐标为
，
m
1
分别过点
D、
P作
x轴的垂线，垂足分别为M
、
N，如图
1中：
乐博思
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DM
/
/PN
4m，OM
m，ON
，OA
1，
m
1
4m
S
S
PD
MN
m
m21
PDC
3m
S
2
m
1
，设
1
t，则
t
m
3m
S2
S ADC
DA
AM
m
1
(m
1)
2
S
22
(m
1)
9
整理得，
(t
1)m2
(2t
3)m
t
0，∵△≥
0，∴
2
3
2
4
t
+
1
≥
0
解得：
≤
16
S
9
1
有最大值，最大值为
．
S2
16
②存在，理由如下：过点
F
作
FG
OB于G
，如图
2中，
∵
=
2
+
2
+
3
的对称轴为
x
1， OE
1，∵
3,0
,
(0,3)
OC
OB
3，
∵
∠
=
900， OCB是等腰直角三角形，∵
∠
=
900
,
BE
OB
OE
2，
EFB是等腰直角三角形， FG
GB
EG
1，
点
F
的坐标为
(2,1)，
当
EF为边时，
四边形
EFPQ为平行四边形，
QE
PF，QE
/
/PF
/
/
y轴， 点
P的横坐标与点
F
的横坐标同为
2，
当
x
2时，
y
22
2
2
3
3， 点
P的坐标为
(2,3)，
QE
PF
3 1
2，点Q的坐标为
(1,
2)，
根据对称性当
P(0,3)时，Q(1,4)时，四边形
EFQP也是平行四边形．
当
EF为对角线时，如图
3中，
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四边形
PEQF
为平行四边
QE
PF，QE
/
/PF
/
/
y轴，
同理求得：点
P的坐标为
(2,3)， QE
PF
3 1
2，点Q的坐标为
(1, 2)；
综上，点
P的坐标为
(2,3)时，点Q的坐标为
(1,
2)或
(1, 2)，
P(0,3)时，Q(1,4)．
解题感悟：本题主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角
三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等高的三角形的面积的比等于底边的比，
二次函数的性质以及平行四边形的判定和性质，第(2)问把面积比的问题转化为一元二次方
程，再用根的判别式来求解是难点，也是关键；（3）注意要分
EF
是对角线与边两种情况讨
论
例
5.
（缩编题）
在平面直角坐标系
xOy中，等腰直角 ABC
的直角顶点C
在
y轴上，另两
个顶点
A，
B在
x轴上，且
AB
4，抛物线经过
A，
B，C三点，如图
1所示．
（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．
（2）过原点任作直线
l交抛物线于M
，
N两点，如图
2所示．求
CMN
面积的最小值．
温馨提示：（1）先根据等腰直角三角形的性质求得OA、OB、OC
，进而得
A、
B、C
三
点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；
（2）设直线
l的解析式为
y
kx，M
(x1，
y1)，
N
(x2，
y2
)，联立方程组求得
|
x1
x2
|，再
由三角形的面积公式求得结果；
y
1略解：
x2
2；
2
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（2）设直线
l的解析式为
y
kx，M
(x1，
y1)，
N
(x2，
y2
)，
1
y
x2
2
1
由
2
，可得
x2
kx
2
0，
x1
x2
2k，
x1
x2
4，
y
kx
2
(x1
x
2
2
)
(x1
x
2
2
)
4x1x2
4k
2
16，
|
x1
x2
|
2
k
2
4，
S
1 CMN
OC |
x1
x2
|
2
k
2
4
， 当
k
0时
2
k
2
4
取最小值为
4．
2
CMN
面积的最小值为
4．
解题感悟：本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象
与性质，待定系数法，轴对称的性质，第（2）关键是求得M
、N两点的横坐标之差，它们
的差为什么用绝对值表示，那是因为M点可能在
N的上方,
也可能在
N点的下方.
例
6.
（缩编题）
如图所示，抛物线
y
x2
2x
3与
x轴相交于
A、
B两点，与
y轴相交
于点C
，点M
为抛物线的顶点．
（1）求点C
及顶点M
的坐标．
（2）若点
N
是第四象限内抛物线上的一个动点，连接
BN
、CN
，求
BCN
面积的最大值
及此时点
N的坐标．
（3）若点
D是抛物线对称轴上的动点，点G
是抛物线上的动点，是否存在以点
B、C
、D、
G
为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G
的坐标；若不存在，试说明理由．
温馨提示：（1）令抛物线解析式中
x
0即可求出C
点坐标，写出抛物线顶点式，即可求出
顶点M
坐标；
（2）过
N
点作
x轴的垂线交直线
BC于Q点，设
N(n,n2
2n
3)，求出
BC解析式，进而
得到Q点坐标，最后根据
S BCN
S NQC
S NQB
即可求解；
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（3）设
D点坐标为
(1,
t)，G
点坐标为
(m,m2
2m
3)，然后分成①
DG
是对角线；②DB是
对角线；③
DC是对角线时三种情况进行讨论即可求解；
略解：（1）C
点坐标为
(0, 3)，顶点M
的坐标为
(1, 4)；
（2）过
N点作
x轴的垂线交直线
BC于Q点，连接
BN
，CN
，如图
1所示：
令
y
x2
2x
3
0，解得：
x
3或
x
1， B(3,0)，
A( 1,0)，
设直线
BC的解析式为：
y
ax
b，
3
b
将C(0, 3)，
B(3,0)代入直线
BC的解析式得：
，
0
3a
b
a
1
解得：
， 直线
BC的解析式为：
y
x
3，
b
3
设
N
点
坐
标
为
(n,n2
2n
3)
，
故
Q
点
坐
标
为
(n,n
3)
，
其
中
0
n
3
，
则
S
1 BCN
S NQC
S NQB
QN
(x
1
Q
xC
)
QN
(x
1
1
B
x
)
QN
(x
x
x
x
)
QN
(x
x
)2
2
Q
2
Q
C
B
Q
2
B
C
，（
其
中
xQ
，
xC
，
xB
分
别
表
示
Q
，
C
，
B
三
点
的
横
坐
标
），
且
QN
(n
3)
(n2
2n
3)
n2
3n，
xB
xC
3，
S
1
3
9
3
3
27故
BCN
( n
2
3n) 3
n2
n
(n
)2
，其中
0
n
3，
2
2
2
2
2
8
n
3
S
27
3
15当
时，
BCN
有最大值为
，此时点
N的坐标为
(
,
)，2
8
2
4
（3）设D点坐标为
(1,
t)，G
点坐标为
(m,m2
2m
3)，且
B(3,0)，C(0, 3)
分情况讨论：
①当
DG
为对角线时，则另一对角线是
BC，
此时四边形
DCGB为平行四边形，此时G
坐
标为
(2, 3)；
x
x
y
y
②当
DB为对角线时，则另一对角线是GC
，线段
DB的中点坐标为
(
D
B
,
D
B
)，即
2
2
1
3
t
0
xG
xC
yG
yC
(m
0
m
2
,
2m
3
3(
,
)，线段GC的中点坐标为
(
,
)，即
)，
2
2
2
2
2
2
此时
DB的中点与GC
的中点为同一个点，
1
3
m
0
2
2
m
4
，解得
，
t
0
m
2
2m
3
3
t
2
2
2
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经检验，此时四边形
DCBG为平行四边形，此时G
坐标为
(4,5)；
③当
DC为对角线时，
x
x
y
y
线段
DC
1
0
t
3的中点坐标为
(
D
C
,
D
C
)，即
(
,
)，
2
2
2
2
xG
xB
yG
yB
(m
3
2
,m
2m
3
0线段GB的中点坐标为
(
,
)，即
)，
2
2
2
2
此时
DC的中点与GB的中点为同一个点，
1
0
m
3
2
2
m
2
2
，解得
，经检验，此时四边形
DGCB为平行四边形，此时
t
3
m
2m
3
0
t
8
2
2
G
坐标为
( 2,5)；
综
上
所
述
，
G
点
坐
标
存
在
，
为
(2, 3)
或
(4,5)
或
( 2,5)
；
解题感悟：本题是二次函数综合题目，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求直线的
解析式、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；本题综合性较强，具有一定
的难度，熟练掌握二次函数的图形和性质，学会用代数的方法求解几何问题．掌握中点坐标
公式并会合理应用是关键（平行四边形、菱形等题型求解常用到中点坐标公式）
变式训练
1.在平面直角坐标系
xOy中，已知抛物线
y
ax2
bx
c与
x轴交于
A( 1,0)，
B(4,0)两点，
与
y轴交于点C(0, 2)．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图
1，点D为第四象限抛物线上一点，连接
AD，BC交于点
E，连接
BD，记
BDE
S
的面积为
S
11，
ABE的面积为
S2
，求
的最大值；S2
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（3）如图
2，连接
AC
，BC，过点O作直线
l
/
/BC
，点
P，Q分别为直线
l和抛物线上的
点．试探究：在第一象限是否存在这样的点
P，Q，使 PQB∽ CAB．若存在，请求出所
有符合条件的点
P的坐标；若不存在，请说明理由．
温馨提示：（1）设抛物线的解析式为
y
a(x
1)(x
4)
，将点C
的坐标代入可求得
a的值，
从而得到抛物线的解析式；
（2）过点D作DG
x轴于点G
，交
BC于点
F
，过点
A作
AK
x轴交
BC的延长线于点
K，
证明 AKE∽ DFE
DF
DE
S1
S BDE
DE
DF，得出
，则
，求出直线
BC的解析式为
AK
AE
S2
S ABE
AE
AK
y
1
1
S
x
2，设D(m,
m2
3
m
2)，则
F
(m,
1m
2)，可得出
1
的关系式，由二次函数的
2
2
2
2
S2
性质可得出结论；
（3
a）设
P(a
，
11
)，①当点
P在直线
BQ右侧时，如图
2，过点
P作
PN
x轴于点
N，过2
点Q作QM
3 直线
PN
于点M
，得出Q(
a1
，
a1
2)，将点Q的坐标代入抛物线的解析式4
5
求得
a的值即可，②当点
P在直线
BQ左侧时，由①的方法同理可得点Q的坐标为
(
a
4
1
，2)，
代入抛物线的解析可得出答案．
1
略解：（1）
y
x2
3
x
2．
2
2
（2）过点D作
DG
x轴于点G
，交
BC于点
F
，过点
A作
AK
x轴交
BC的延长线于点
K，
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AK
/
/DG
AKE
DFE
DF
DE
S
S
DE
DF
，
∽
，
，
1
BDE
，
AK
AE
S2
S ABE
AE
AK
4k
b
0
1
k
设直线
BC
的解析式为
y
kx
b
11，
，解得b
2
2
， 直线
BC
的解析式为
1
b1
2
y
1
x
2
1
5
5
，
A( 1,0)，
y
2
， AK
，
2
2
2
2
设
D(m,
1
m2
3
m
2)，则
F
(m,
1m
2)， DF
1
m
2
1m2
3
1
m
2
m2
2m
2
2
2
2
2
2
2
1
S
m
2
2m
1
2
1
4
1
4
S
m2
m
(m
2)2
． 当m
2时，
1
有最大值，最大值是
S
52
5
5
5
5
S2
2
4
．
5
（3）①当点
P在直线
BQ右侧时，如图
2，过点
P作
PN
x轴于点
N，过点Q作QM
直
线
PN
于点M
，
P(68
,
34
)．
9
9
②当点
P在直线
BQ左侧时，
乐博思
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Q
5
6
2
41
3
41由①的方法同理可得点
的坐标为
(
a1，
2)．此时点
P的坐标为
(
,
)．4
5
5
考查目的：本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，相
似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，二次函数的性质，三角形的面积等知识，熟练掌
握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
2.如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC的边
BC在
x轴上， ABC
90 ，以
A为顶点的抛
物线
y
x2
bx
c经过点C(3,0)，交
y轴于点
E(0,3)，动点
P在对称轴上．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点
P从
A点出发，沿
A
B方向以
1个单位
/秒的速度匀速运动到点
B停止，设运
动时间为
t秒，过点
P作
PD
AB交
AC
于点D，过点
D平行于
y轴的直线
l交抛物线于点
Q，连接
AQ，CQ，当
t为何值时，
ACQ的面积最大？最大值是多少？
（3）若点M
是平面内的任意一点，在
x轴上方是否存在点
P，使得以点
P，M
，E，C
为
顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M
点坐标；若不存在，请说明理由．
温馨提示：（1）将点C
、
E的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
1
（2）
S ACQ
DQ
BC，即可求解；2
（3）分
EC是菱形一条边、
EC是菱形一对角线两种情况，分别求解即可．
略解：（1）
y
x2
2x
3，
则点
A(1,4)；
（2）将点
A、C
的坐标代入一次函数表达式并解得：直线
AC
的表达式为：
y
2x
6，
t2
点
P(1,4
t
2
t
2
t)，则点
D(
，
4
t)，设点Q(
，
4
)，
2
2
4
S
1
DQ
BC
1
t
2 ACQ
t，2
4
乐博思
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1
0，故
S
4
ACQ
有最大值，当
t
2时，其最大值为
1；
（3）设点
P(1,m)，点M
(x,
y)，
①当
EC是菱形一条边时，
当点M
在点
P右方时，点M
(4,
17)；
当点M
在点
P左方时，点M
( 2,3
14)；
②当
EC是菱形一对角线时，
则
EC中点即为
PM
中点，则
x
1
3，
y m 3，点M(2,2)；
综上，点M
(4,
17)或
( 2,3
14)或M(2,2)．
考查目的：本题考查的是二次函数综合运用，涉及到菱形的性质、图形的平移、面积的计算
等，其中第（3）问要注意分类求解，避免遗漏．
3
3.
2已知抛物线
y
ax
x
4的对称轴是直线
x
3，与
x
轴相交于
A，B
两点（点
B
在点
A
2
右侧），与
y
轴交于点C
．
（1）求抛物线的解析式和
A，
B
两点的坐标；
（2）如图
1，若点
P
是抛物线上
B
、C
两点之间的一个动点（不与
B
、C
重合），是否存
在点
P
，使四边形
PBOC的面积最大？若存在，求点
P
的坐标及四边形
PBOC面积的最大值；
若不存在，请说明理由；
温馨提示：（1）由抛物线的对称轴是直线
x
3，解出
a
的值，即可求得抛物线解析式，在
令其
y
值为零，解一元二次方程即可求出
A和
B
的坐标；
（2）易求点C
的坐标为
(0,4)，设直线
BC
的解析式为
y kx b(k
0)，将B(8,0)，C(0,4)
代入
y
kx b
，解出
k
和
b
的值，即得直线
BC
的解析式；设点
P
的坐标为
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(x,
1
x2
3
x
4)
PD/
/y
(x,
1
，过点
P
作
轴，交直线
BC
于点D，则点
D的坐标为
x
4)，
4
2
2
利用关系式
S四边形PBOC
S BOC
S PBC
得出关于
x
的二次函数，从而求得其最值；
y
1
2
3略解：（1）
x
x
4，
A的坐标为
( 2,0)，点
B
的坐标为
(8,0)．
4
2
1
2
3
（2）当
x
0时，
y
x
x
4
4，
4
2
1点C
的坐标为
(0,4)． 直线
BC
的解析式为
y
x
4．
2
假设存在点
P
，使四边形
PBOC的面积最大，
(x,
1P
x2
3
设点
的坐标为
x
4)，如图
1所示，过点
P
作PD/
/y轴，交直线
BC
于点D，
4
2
1
则点
D的坐标为
(x,
x
4)，
2
PD
1
x2
3
x
4
(
1
1
x
4)
x2则
2x，
4
2
2
4
S四边形PBOC
S BOC
S PBC
1
8
1
1
1
4
PD
OB
16
8(
x2
2x)
x2
8x 16
(x
4)2
32
2
2
2
4
当
x
4时，四边形
PBOC的面积最大，最大值是
32
存在点P(4,6)，使得四边形
PBOC的面积最大．
考查目的：本题属于二次函数压轴题，综合考查了待定系数法求解析式，解析法求面积最大
值等问题，难度较大．是常考的题型。
4.已知直线
y
1
1
x
2
2分别交
x
轴、
y
轴于
A、B
两点，抛物线
y
x
mx
2经过点
A，
2
2
和
x
轴的另一个交点为C
．
乐博思
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（1）求抛物线的解析式；
（2）如图
1，点
D是抛物线上的动点，且在第三象限，求
ABD面积的最大值；
（3）如图
2，经过点M( 4,1)的直线交抛物线于点
P
、Q，连接CP
、CQ分别交
y
轴于
点
E
、
F
，求
OE·OF
的值．
温馨提示：（1）先求得点
A的坐标，再将点
A的坐标代入抛物线的解析式求得m的值即可；
（2）过点D作DH
/
/y
1
2
3
1轴，交
AB于点H，设D(n,
n
n
2)，H(n,
n
2)，然后用含
2
2
2
n
的式子表示
DH
的长，接下来，利用配方法求得
DH
的最大值，从而可求得
ABD面
积最大值；
（3）先求得点C
的坐标，然后设直线CQ的解析式为
y
ax
a，CP
的解析式为
y
bx b，
接下来求得点Q和点
P
的横坐标，然后设直线PQ的解析式为
y
x d，把M( 4,1)代
入得：
y
kx 4k
1，将PQ的解析式为与抛物线解析式联立得到关于
x
的一元二次方
1
程，然后依据一元二次方程根与系数的关系可求得
ab
，最后，由
ab的值可得到
2
OE·OF
的值．
y
1
2
3略解：
x
x
2．
2
2
（2）过点
D作DH
/
/y轴，交
AB于点H，
乐博思
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16
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设D(n,
1
n2
3
n
2)
H(n,
1
n
2)
DH
(1
n
1
3
1
9，
．
2)
(
n2
n
2)
(n
1)2
．
2
2
2
2
2
2
2
2
9
1
9当
n
1时，
DH
最大，最大值为
，此时 ABD面积最大，最大值为
4 9．
2
2
2
（3）OE·OF=
12
考查目的：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次
函数的解析式、一次函数的解析式、一元二次方程根与系数的关系，建立关于
a
、
b
的方
程组求得
ab的值是解题的关键．
5.
1
y
ax2
3
如图
，已知二次函数
x
c(a
0)的图象与
y
轴交于点
A(0,4)，与
x
轴交于点
B
、
2
C
，点C
坐标为
(8,0)，连接
AB、
AC．
3
（1
2）请直接写出二次函数
y
ax
x c的表达式；
2
（2）判断
ABC
的形状，并说明理由；
（3）若点
N
在
x
轴上运动，当以点
A、
N
、C
为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出
此时点
N
的坐标；
（4）如图
2，若点
N
在线段
BC
上运动（不与点
B
、C
重合），过点
N
作
NM
/
/AC
，交
AB
于点M，当
AMN
面积最大时，求此时点
N
的坐标．
温馨提示：（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据抛物线的解析式求得
B
的坐标，然后根据勾股定理分别求得
AB2
20，AC2
80，
BC10
，然后根据勾股定理的逆定理即可证得
ABC
是直角三角形．
（3）分别以
A、C
两点为圆心，
AC
长为半径画弧，与
x
轴交于三个点，由
AC的垂直平
分线与
x
轴交于一个点，即可求得点
N
的坐标；
（4）设点
N
的坐标为
(n,0)，则
BN
n
2，过M点作MD
x轴于点
D，根据三角形相似
2
对应边成比例求得MD
(n 2)，构建二次函数，根据函数解析式求得即可．
5
乐博思
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1
2
3
略解：（1）
y
x
x
4；
4
2
（2）
ABC
是直角三角形．
（3）①以
A为圆心，以
AC
长为半径作圆，交
x
轴于
N
，此时
N
的坐标为
( 8,0)，
②以C
为圆心，以
AC
长为半径作圆，交
x
轴于
N
，此时
N
的坐标为
(8
4
5
，0)或
(8
4
5
，
0)
③作
AC
的垂直平分线，交
x
轴于
N
，此时
N
的坐标为
(3,0)，
点
N
的坐标分别为
( 8,0)、
(8
4
5
，0)、
(3,0)、
(8
4
5
，0)．
（4）如图，
AB
OA2
OB2
2
5，
BC 8 ( 2) 10，
AC
OC2
OA2
4
5，
AB2
AC2
BC2， BAC
90 ．
AC
AB
．
AC
/
/MN， MN
AB．
设点
N
的坐标为
(n,0)
BM
BN，则
BN
n
2， MN
/
/AC
BMN∽ BAC
，
BA
BC
MN
BN
BM
BN
BA
5(n
2)
MN
BN
AC
2
5(n
2)，
，
，
AC
BC
BC
5
BC
5
AM
AB
BM
2
5
5(n
2)
8
5
5n
5
5
S
1 AMN
AM
MN
1
8
5
5n
2
5n
4
5
1
(n 3)2
5，
2
2
5
5
5
当
n
3时，
AMN
面积最大是
5，
N
点坐标为
(3,0)．
当
AMN
面积最大时，
N
点坐标为
(3,0)．
考查目的：本题是二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法求解析式，解（2）的关
键是勾股定理和逆定理，解（3）的关键是等腰三角形的性质，解（4）的关键是三角形相似
的判定和性质以及函数的最值等．
6.如图，抛物线
y a(x 1)(x 3)(a 0)与
x
轴交于
A、B
两点，抛物线上另有一点C
在
x
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轴下方，且使
OCA∽ OBC
．
（1）求线段OC的长度；
（2）设直线
BC
与
y
轴交于点M，点C
是
BM
的中点时，求直线
BM
和抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线
BC
下方抛物线上是否存在一点
P
，使得四边形
ABPC面积最
大？若存在，请求出点
P
的坐标；若不存在，请说明理由．
温馨提示：（1）令
y 0，求出
x
的值，确定出
A与
B
坐标，根据已知相似三角形得比例，
求出OC的长即可；
（2）根据C
为
BM
的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OC
BC
，
确定出C
的坐标，利用待定系数法确定出直线
BC解析式，把C
坐标代入抛物线求出
a
的
值，确定出二次函数解析式即可；
（3）过
P
作
x
轴的垂线，交
BM
于点Q，设出
P
与Q的横坐标为
x
，分别代入抛物线与
直线解析式，表示出坐标轴，相减表示出
PQ，四边形
ACPB面积最大即为三角形
BCP面
积最大，三角形
BCP面积等于PQ与
B
和C
横坐标之差乘积的一半，构造为二次函数，
利用二次函数性质求出此时
P
的坐标即可．
略解：（1）OC
3；
3
（2）
y
x
3
y
2
3
x2
8
3
，
x
2
3；
3
3
3
（3）点
P
存在，
设点
P
坐标为
(x,
2
3
x2
8
3
x
2
3)
，过点
P
作PQ
x轴交直线
BM
于点Q，
3
3
则Q(x,
3
x
3)
3
， PQ
x
3
(2
3
x
2
8
3
x
2
3)
2
3
x
2
3
3x
3
3
，
3
3
3
3
3
当 BCP
面积最大时，四边形
ABPC
的面积最大，
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S
1 BCP
PQ(3
x)
1
PQ(x
3
3
3
9
3
)
PQ
x2
x
9
3
，
2
2
2
4
2
4
4
x
b
9
9当
时，
S BCP有最大值，四边形
ABPC的面积最大，此时点
P
的坐标为
(
，2a
4
4
5
3
)
．
8
考查目的：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数图象与性质，待定系数法确
定函数解析式，相似三角形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握各自的性质
是解本题的关键．三角形
ACB面积固定，要使四边形
ACPB面积最大，只需三角形
BCP
面积最大即可，学会转化是关键。
7.
2如图，在平面直角坐标系中，二次函数
y
ax
bx
c交
x
轴于点
A( 4,0)、B(2,0)，交
y
轴于点C(0,6)，在
y
轴上有一点E(0, 2)，连接
AE．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点
D为抛物线在
x
轴负半轴上方的一个动点，求
ADE面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点
P
，使
AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有
P
点的坐标，若不存在，请说明理由．
温馨提示：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；
乐博思
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（2）根据函数解析式设出点
D坐标，过点D作
DG
x轴于G
，交
AE于点
F
，表示 ADE
的面积，运用二次函数分析最值即可；
（3）设出点
P
坐标，分
PA
PE，
PA
AE
，
PE
AE三种情况讨论分析即可．
3
2
3
略解：（1
y
x
x
6，
4
2
（2）由
A( 4,0)，E(0, 2)
1，可求
AE所在直线解析式为
y
x 2，
2
过点D作
DG
x轴于G
，交
AE于点
F
，交
x
轴于点G
，过点
E
作
EH
DF
，垂足为H，
如图
设D(m,
3
3
m2
m
6)
1，则点
F(m,
m 2)，
4
2
2
DF
3
3
1
3
m2
m
6
(
m
2)
m2
m 8，
4
2
2
4
S
S
1
1
1
1 ADE
ADF
S EDF
DF
AG
DF
EH
DF
(AG
EH
)
4 DF2
2
2
2
2
(
3m2
m
8)
3
(m
2)2
50
，
4
2
3
3
m
2
50当
时，
ADE的面积取得最大值为
．
3
3
（3）
P
点的坐标为：
( 1,1)，
( 1,
11)
，
( 1, 2
19)．
考查目的：此题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三
角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．第（2），
（3）问是常见的中考题型，应引起高度重视。
8.
2如图，已知抛物线
y
ax
bx与
x
轴分别交于原点
O
和点
F(10,0)，与对称轴
l交于点
E(5,5)．矩形
ABCD的边
AB在
x
轴正半轴上，且
AB
1，边
AD，
BC
与抛物线分别交
于点M，N
．当矩形
ABCD沿
x
轴正方向平移，点M，N
位于对称轴
l的同侧时，连接MN
，
乐博思
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此时，四边形
ABNM
的面积记为
S
；点M，N
位于对称轴
l的两侧时，连接
EM
，EN
，
此时五边形
ABNEM
的面积记为
S
．将点
A与点O
重合的位置作为矩形
ABCD平移的起
点，设矩形
ABCD平移的长度为
t(0 t 5)．
（1）求出这条抛物线的表达式；
（2）当
t
0
时，求
S OBN的值；
（3）当矩形
ABCD沿着
x
轴的正方向平移时，求
S
关于
t(0
t 5)的函数表达式，并求出
t
为何值时，
S
有最大值，最大值是多少？
温馨提示：（1）根据点
E
、
F
的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）找出当
t
0
时，点
B
、
N
的坐标，进而可得出OB
、
BN
的长度，再根据三角形的面
积公式可求出
S OBN的值；
（3）分
0
t 4
和
4
t 5
两种情况考虑：①当
0
t 4
时（图1)，找出点
A、B
、M、N
的
坐标，进而可得出
AM
、BN
的长度，利用梯形的面积公式即可找出
S
关于
t的函数关系
式，再利用二次函数的性质即可求出
S
的最大值；②当
4
t 5
时，找出点
A、B
、M、
N
的坐标，进而可得出
AM
、
BN
的长度，将五边形分成两个梯形，利用梯形的面积公
式即可找出
S
关于
t的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求出
S
的最大值．将①
②中的
S
的最大值进行比较，即可得出结论．
y
11
x2略解：（
）
2x．
5
1
9
（2） S OBN
BN OB
．2
10
（3）①当
0
t 4
时（图1)，点
A的坐标为
(t,0)，点
B
的坐标为
(t
1,0)，
1
1M
2
2点
的坐标为
(t,
t
2t)，点
N
的坐标为
(t
1，
(t
1)
2(t
1))，
5
5
AM
1
1
t2
2t
2
5
，
BN
(t
1)
2(t
1)，
5
乐博思
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页
S
1
1
1
1
1
9
9
(AM
BN) AB
1 [
t2
2t
(t
1)2
2(t
1)]
t2
t
，
2
2
5
5
5
5
10
1
(t
9)2
99
1
0
49
，
，
当
t
4时，
S
取最大值，最大值为
；
5
2
20
5
10
②当
4
t 5
时（图2)，点
A的坐标为
(t,0)，点
B
的坐标为
(t
1,0)，
1点M
2的坐标为
(t,
t
2t)，点
N
的坐标为
(t
1
1，
(t
1)2
2(t
1))，
5
5
AM
1
1
t2
2t
2，
BN
(t
1)
2(t
1)，
5
5
S
1
(5
t)(
1
t2
2t
5)
1
(t
4)[5
1
(t
1)2
2(t
1)]，
2
5
2
5
1
(1
t3
3t2
5t
25)
1
(
1
t3
12
t2
2
136
3
27
11
3
9
199
t
)
t2
t
(t
)2
，
2
5
2
5
5
5
5
10
10
10
10
2
40
3
0
t
9
199
，
当
时，
S
取最大值，最大值为
．
10
2
40
49
196
199
9
199
， 当
t
时，
S
有最大值，最大值是
．
10
40
40
2
40
考查目的：本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次
函数的性质、梯形的面积以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用
待定系数法求出二次函数关系式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当
t
0
时
点
N
的坐标；（3）两种情况找出
S
关于
t的函数关系式（分段函数）．
9.
2如图，在平面直角坐标系中，抛物线
y
ax
bx
5交
y
轴于点
A，交
x
轴于点B( 5,0)和
点C(1,0)，过点
A作
AD
/
/
x轴交抛物线于点
D．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点
E
是抛物线上一点，且点
E
关于
x
轴的对称点在直线
AD上，求
EAD的面积；
（3）若点
P
是直线
AB下方的抛物线上一动点，当点
P
运动到某一位置时，
ABP的面积
最大，求出此时点
P
的坐标和
ABP的最大面积．
乐博思
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温馨提示：（1）根据题意可以求得
a
、
b
的值，从而可以求得抛物线的表达式；
（2）根据题意可以求得
AD的长和点
E
到
AD的距离，从而可以求得 EAD的面积；
（3）根据题意可以求得直线
AB的函数解析式，再根据题意可以求得
ABP的面积，然后
根据二次函数的性质即可解答本题．
略解：（1）
y
x2
4x
5；
4 10
（2） EAD的面积是：
20；
2
（3）设点
P
的坐标为
(p,
p2
4p
5)，如右图所示，
设过点
A(0, 5)，点B( 5,0)的直线
AB的函数解析式为
y
mx
n，
n
5
m 1
5m
n
0，得
n
5，即直线
AB的函数解析式为
y x 5，
当
x
p
时，
y p 5，
( p
5)
(p2
4p
5)
5
5
25
OB
5， ABP
2的面积是：
S
5
[ (p
)
]，
2
2
2
4
点
P
是直线
AB下方的抛物线上一动点， 5
p 0，
p
5
S
125
(
5
35当
时，
S
取得最大值，此时
，点
p
的坐标是
，
)，
2
8
2
4
5
35
125
即点
p
的坐标是
(
，
)时，
ABP的面积最大，此时
ABP的面积是
．
2
4
8
考查目的：本题考查二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条
乐博思
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件，利用数形结合的思想和二次函数的性质解答．
小结归纳：从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通
常与二次函数相结合．使解题具有一定难度，通过上面题例，我觉得，求面积最大值的方法
一般有：（1）补形、割形法；（2）“铅垂高，水平宽”面积法；（3）切线法（铅垂高，水平宽”
面积法与切线法相较，前者比较简）解题时应灵活应用，若是规则图形面积最值问题（这
里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴）首先表示
出所需的边长及高，利用求面积公式表示出面积得到一个面积关于自变量的二次函数，将其
化为顶点式，并根据
a的正负及自变量的取值范围判断最值；（或利用大减小，不规则图形
的面积可由规则的图形面积减去一个或几个规则小图形的面积来得到一个面积关于自变量
的二次函数；将其化为顶点式，并根据
a的正负及自变量的取值范围判断最值）
要是遇见不规则图形面积最值问题，首先分割，将已有的不规则图形经过分割后得到几个规
则图形，再分别表示出分割后的几个规则图形面积，求和得到一个面积关于自变量的二次函
数，最后将其化为顶点式，并根据
a的正负及自变量的取值范围判断最值。
2021.3.31
乐博思
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25
页谈中考数学中的二次函数最值问题（三）
在数学问题中，当某元素在给定条件变动时，求某几何量或所用时间的最大（多）值或
最小（少）值问题，称为最值问题。中考时，最值问题一般都在压轴题出现。常见的题型中
有求线段、面积、时间的最值问题，也有求线段之和（差）或面积之比的最值问题；还有胡
不归问题等。解题的关键是灵活运用所学知识解决问题。常用的方法有：轴对称﹣最短路线
问题丶求二次函数最值方法、构造相似三角形、添加辅助圆等。
二次函数中与面积有关的最值问题
例
1（.
缩编题）已知直线
l1
:
y
2x
10交
y轴于点
A，交
x轴于点
B，二次函数的图象过
A，
B两点，交
x轴于另一点C
，BC
4，且对于该二次函数图象上的任意两点
P1(x1，y1)，P2
(x2，
y2
)，当
x1
x2 5时，总有
y1
y2．
（1）求二次函数的表达式；
（2）E
为线段BC
上不与端点重合的点，直线l3
:
y
=2x
+q
过点C
且交直线
AE
于点F
，求
ABE
与 CEF
面积之和的最小值．
乐博思
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例
2.（缩编题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线
y
x2
bx
c与直线
AB相交于
A，
B两点，其中
A( 3, 4)，
B(0, 1)．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点
P为直线
AB下方抛物线上的任意一点，连接
PA，
PB，求
PAB面积的最大值；
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例
3.
1（缩编题）如图，直线
y
x
2
交
y
轴于点
A
，交
x
轴于点
C
，抛物线
2
y
1
x2
bx
c经过点
A，点C，且交
x轴于另一点
B．
4
（1）直接写出点
A，点
B，点C
的坐标及拋物线的解析式；
（2）在直线
AC
上方的抛物线上有一点M
，求四边形
ABCM
面积的最大值及此时点M
的
坐标；
乐博思
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例
4.
如图
1，抛物线
y
ax2
bx
3(a
0)与
x轴交于
A( 1,0)，B(3,0)，与
y轴交于点C
．已
知直线
y
kx
n过
B，C两点．
（1）求抛物线和直线
BC的表达式；
（2）点
P是抛物线上的一个动点．
①如图
1，若点
P在第一象限内，连接
PA，交直线
BC于点
D．设
PDC
的面积为
S1， ADC
S
的面积为
S
，求
12
的最大值；S2
②如图
2，抛物线的对称轴
l与
x轴交于点
E，过点
E作
EF
BC，垂足为
F
．点Q是对称
轴
l上的一个动点，是否存在以点
E，
F
，
P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，
求出点
P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．
乐博思
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例
5.
（缩编题）
在平面直角坐标系
xOy中，等腰直角 ABC
的直角顶点C
在
y轴上，另两
个顶点
A，
B在
x轴上，且
AB
4，抛物线经过
A，
B，C三点，如图
1所示．
（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．
（2）过原点任作直线
l交抛物线于M
，
N两点，如图
2所示．求
CMN
面积的最小值．
乐博思
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第
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例
6.
（缩编题）
如图所示，抛物线
y
x2
2x
3与
x轴相交于
A、
B两点，与
y轴相交
于点C
，点M
为抛物线的顶点．
（1）求点C
及顶点M
的坐标．
（2）若点
N
是第四象限内抛物线上的一个动点，连接
BN
、CN
，求
BCN
面积的最大值
及此时点
N的坐标．
（3）若点
D是抛物线对称轴上的动点，点G
是抛物线上的动点，是否存在以点
B、C
、D、
G
为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G
的坐标；若不存在，试说明理由．
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变式训练
1.在平面直角坐标系xOy
中，已知抛物线
y
=ax2
+bx
+c
与x
轴交于A( 1,0)
，B(4,0)
两点，与
y
轴交于点C(0, 2)
．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图
1，点D
为第四象限抛物线上一点，连接AD
，BC
交于点E
，连接BD
，记 BDE
S
的面积为
S1，
ABE的面积为
S
12
，求
的最大值；S2
（3）如图
2，连接AC
，BC
，过点O
作直线l
/
/BC
，点P
，Q
分别为直线l
和抛物线上的
点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P
，Q
，使 PQB∽ CAB
．若存在，请求出所
有符合条件的点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
乐博思
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乐博思
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第
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3.已知抛物线
y
ax2
3
x
4的对称轴是直线
x
3，与
x
轴相交于
A，B
两点（点
B
在点
A
2
右侧），与
y
轴交于点C
．
（1）求抛物线的解析式和
A
，B
两点的坐标；
（2）如图
1，若点P
是抛物线上B
、C
两点之间的一个动点（不与B
、C
重合），是否存在
点P
，使四边形PBOC
的面积最大？若存在，求点P
的坐标及四边形PBOC
面积的最大值；若
不存在，请说明理由；
乐博思
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1
1
4.已知直线
y
x
2分别交
x
轴、
y
轴于
A、B
2两点，抛物线
y
x
mx
2经过点
A，
2
2
和
x
轴的另一个交点为C
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图
1，点
D是抛物线上的动点，且在第三象限，求
ABD面积的最大值；
（3）如图
2，经过点M( 4,1)的直线交抛物线于点
P
、Q，连接CP
、CQ分别交
y
轴于
点E
、F
，求
OE·OF
的值．
乐博思
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3
5.
2如图
1，已知二次函数
y
ax
x
c(a
0)的图象与
y
轴交于点
A(0,4)，与
x
轴交于点
B
、
2
C
，点C
坐标为
(8,0)，连接
AB、
AC．
2
3
（1）请直接写出二次函数
y
ax
x c的表达式；
2
（2）判断
ABC
的形状，并说明理由；
（3）若点
N
在
x
轴上运动，当以点
A、
N
、C
为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出
此时点
N
的坐标；
（4）如图
2，若点
N
在线段
BC
上运动（不与点
B
、C
重合），过点
N
作
NM
/
/AC
，交
AB
于点M，当
AMN
面积最大时，求此时点
N
的坐标．
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6.如图，抛物线
y a(x 1)(x 3)(a 0)与
x
轴交于
A、B
两点，抛物线上另有一点C
在
x
轴下方，且使
OCA∽ OBC
．
（1）求线段OC的长度；
（2）设直线
BC
与
y
轴交于点M，点C
是
BM
的中点时，求直线
BM
和抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线
BC
下方抛物线上是否存在一点
P
，使得四边形
ABPC面积最
大？若存在，请求出点
P
的坐标；若不存在，请说明理由．
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7.如图，在平面直角坐标系中，二次函数
y
ax2
bx
c交
x
轴于点
A( 4,0)、B(2,0)，交
y
轴于点C(0,6)，在
y
轴上有一点E(0, 2)，连接
AE．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点
D为抛物线在
x
轴负半轴上方的一个动点，求
ADE面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点
P
，使
AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有
P
点的坐标，若不存在，请说明理由．
乐博思
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8.
2如图，已知抛物线
y
ax
bx与
x
轴分别交于原点
O
和点
F(10,0)，与对称轴
l交于点
E(5,5)．矩形
ABCD的边
AB在
x
轴正半轴上，且
AB
1，边
AD，
BC
与抛物线分别交
于点M，N
．当矩形
ABCD沿
x
轴正方向平移，点M，N
位于对称轴
l的同侧时，连接MN
，
此时，四边形
ABNM
的面积记为
S
；点M，N
位于对称轴
l的两侧时，连接
EM
，EN
，
此时五边形
ABNEM
的面积记为
S
．将点
A与点O
重合的位置作为矩形
ABCD平移的起
点，设矩形
ABCD平移的长度为
t(0 t 5)．
（1）求出这条抛物线的表达式；
（2）当
t
0
时，求
S OBN的值；
（3）当矩形
ABCD沿着
x
轴的正方向平移时，求
S
关于
t(0
t 5)的函数表达式，并求出
t
为何值时，
S
有最大值，最大值是多少？
乐博思
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第
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9.
2如图，在平面直角坐标系中，抛物线
y
ax
bx
5交
y
轴于点
A，交
x
轴于点B( 5,0)和
点C(1,0)，过点
A作
AD
/
/
x轴交抛物线于点
D．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点
E
是抛物线上一点，且点
E
关于
x
轴的对称点在直线
AD上，求
EAD的面积；
（3）若点
P
是直线
AB下方的抛物线上一动点，当点
P
运动到某一位置时，
ABP的面积
最大，求出此时点
P
的坐标和
ABP的最大面积．
乐博思
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小结归纳：从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通
常与二次函数相结合．使解题具有一定难度，通过上面题例，我觉得，求面积最大值的方法
一般有：（1）补形、割形法；（2）“铅垂高，水平宽”面积法；（3）切线法（铅垂高，水平宽”
面积法与切线法相较，前者比较简）解题时应灵活应用，若是规则图形面积最值问题（这
里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴）首先表示
出所需的边长及高，利用求面积公式表示出面积得到一个面积关于自变量的二次函数，将其
化为顶点式，并根据
a的正负及自变量的取值范围判断最值；（或利用大减小，不规则图形
的面积可由规则的图形面积减去一个或几个规则小图形的面积来得到一个面积关于自变量
的二次函数；将其化为顶点式，并根据
a的正负及自变量的取值范围判断最值）
要是遇见不规则图形面积最值问题，首先分割，将已有的不规则图形经过分割后得到几个规
则图形，再分别表示出分割后的几个规则图形面积，求和得到一个面积关于自变量的二次函
数，最后将其化为顶点式，并根据
a的正负及自变量的取值范围判断最值。
2021.3.31
乐博思
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页谈中考数学中的二次函数最值问题（四）
在数学问题中，当某元素在给定条件变动时，求某几何量或所用时间的最大（多）值或
最小（少）值问题，称为最值问题。中考时，最值问题一般都在压轴题出现。常见的题型中
有求线段、面积、时间的最值问题，也有求线段之和（差）或面积之比的最值问题；还有胡
不归问题等。解题的关键是灵活运用所学知识解决问题。常用的方法有：轴对称﹣最短路线
问题丶求二次函数最值方法、构造相似三角形、添加辅助圆等。
二次函数中“PA+k·PB”型的最值问题
“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点题型。当
k
值为
1
时，
即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型
来处理，
即可以转化为轴对称问题来处理。而当
k
取任意不为
1
的正数时，若再以常规
的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理
通常以动点
P所在图像的不同来分类，一般分为二类。
即点
P
在直线上运动和
点
P
在圆上运动。
其中点
P
在直线上运动的类型也就是通常称之为“胡不归”
问题；
点
P
在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。这里我们重点探讨“胡
不归”问题。
例
1.在平面直角坐标系中，将二次函数
y
ax2
(a
0)的图象向右平移
1
个单位，再向下平
移
2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与
x轴交于点
A、B（点
A在点
B的左侧），
OA
1，经过点
A的一次函数
y
kx
b(k
0)的图象与
y轴正半轴交于点C
，且与抛物线
的另一个交点为
D，
ABD的面积为
5．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点
E在一次函数的图象下方，求
ACE
面积的最大值，并求出此时点
E
的坐标；
（3
3）若点
P为
x轴上任意一点，在（2）的结论下，求
PE
PA的最小值．
5
1
乐博思
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温馨提示：（1）先写出平移后的抛物线解析式，经过点
A( 1,0)，可求得
a的值，由
ABD的
面积为
5
可求出点D的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，由
A、
D的坐标可求出一
次函数解析式；
（2）作
EM
/
/
y轴交
AD于M
，如图，利用三角形面积公式，由
S ACE
S AME
S CME
构建
二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
（3）作
E
关于
x
轴的对称点
F
，过点
F
作
FH
AE
于点
H
，交
x
轴于点
P
，则
BAE
HAP
HFE
EP
3，利用锐角三角函数的定义可得出
AP
FP
HP，此时
FH
5
最小，求出最小值即可．
1
y
1略解：（
）
x2
x
3
．直线
AD的解析式为
y
1
1
x
．
2
2
2
2
1
3
1
1
（2）过点
E作
EM
/
/
y轴交
AD于M
，如图，设
E(m,
m2
m
)，则M
(m,
m
)，
2
2
2
2
EM
1m
1
1m2
m
3
1
3
m2
m
2，
2
2
2
2
2
2
1
(m
3
25
)2
．
4
2
16
m
3
ACE
25
3
15 当
时，
的面积有最大值，最大值是
，此时
E点坐标为
(
,
)．
2
16
2
8
（3）作
E关于
x轴的对称点
F
，连接
EF
交
x轴于点G
，过点
F
作
FH
AE
于点H，交
x
轴于点
P，
5
E(3
,
15
AG
4
)
OA
1
3
5
15，
， AG
1
，EG
，
2
15
， AGE
AHP
90 2
8
2
2
8
EG
3
8
sin
EAG
PH
EG
3
PH
3
，
AP， E
、
F
关于
x轴对称， PE
PF
，
AP
AE
5
5
PE
3
AP
FP
15
15
HP
FH
，此时
FH
最小， EF
2
， AEG
HEF，
5
8
4
2
乐博思
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sin AEG
sin HEF
AG
FH
4
FH
4
15
，
3． PE
3
PA的最小值是
3．
AE
EF
5
5
4
5
解题感悟：主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会
利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从
3
3而求出线段之间的关系，解决相关问题．第（
）问的关键是如何转化
,
需要构造某角
5
1
的正弦值等于
k(如
k
值＞1
则要先提取
k
去构造某角的正弦值等于
).
例
2.（
缩编题）如图，在平面直角坐标中，抛物线
y
ax2
bx
c过点
A( 1,0)，
B(3,0)，
C(0,3)，点
P是直线
BC上方抛物线上的一动点，
PE
/
/
y轴，交直线
BC于点
E连接
AP，
2
交直线
BC于点
D．（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求线段
PE
CE的最大值；
2
2
（3）当线段
PE
CE最大时，若点
F
在直线
BC上且 EFP
2 ACO，直接写出点
F
的
2
坐标．
温馨提示：（1）由于抛物线与
x轴的两个交点坐标已知，可把抛物线的解析式设成交点式，
再代入另一已知点坐标便可求出解析式；
2
（2）根据
PE
CE关于
t的函数解析式，由函数的性质求出其最大值便可；
2
（3）分两种情况：①当
F
点在
PE
的左边时，过点
P作
PM
BC于点M
，过
E作
EN
x
轴于点
N
，过点
F
作
FQ
x轴于点Q，过点O作OG
AC
于点G
，取
AC
的中点
H，连
接OH
，通过三角形相似求出MF
的值便可；②将求得的
F
点坐标，关于
PM
对称点便是另
一
F
点．
略解：（1）
y
x2
2x
3；
（2）设
P(t, t2
2t
3)，
由点
B、C的坐标得，直线
BC的表达式为：
y
x
3，
3
乐博思
数学组
2
直线
BC与
x轴的负半轴的夹角为
45 ，则
xP
CE
t，2
PE
2
CE
t
2
2t
3
t
3
t
t
2
4t
，
2
PE
2 1
0，故
CE有最大值，当
t
2时，其最大值为
4，此时点
P(2,3)；
2
（3）①当
F
点在
PE
的左边时，
过点
P作
PM
BC于点M
，过
E作
EN
x轴于点
N，过点
F
作
FQ
x轴于点Q，过点O
作OG
AC
于点G
，取
AC的中点H，连接OH
，
由（2）知，当
PE
取最大值时，
P(2,3)，
PE
2，
E(2,1)， OB
OC
3，
OBC
OCB
45 ， BE
2BN
2(3
2)
2
， PEM
45 ，
PM
EM
2
， AC
OA2
OC2
10
1， OH
CH
AC
10
，
2
2
OG
AO
CO
3
10
2
10
， HG
HO
2
OG
2
， OHG
2 ACO，
AC
10
5
EFP
2 ACO， EFP
OHG， OGH
PMF
， OGH∽ PMF，
MF
PM
MF
2
4
10
2
，即
， MF
2， BF
BE
EM
MF
，
HG
OG
2
10
3
10
3
3
5
10
FQ
BQ
2
BF
10
OQ
3
10
1
1
10
，
， F
(
，
)，
2
3
3
3
3
3
②当
F
点在
PE
的右边时，
1
10
此时的
F
点恰好与
(
，
)
7
2关于
PM
对称，易求此时
F
(
,
)．
3
3
3
3
F
(
1
10故
的坐标为
，
)，
(7
,
2)．
3
3
3
3
解题感悟：本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的
性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理的应用，求二次函数的最值，难度较大，是中考
的压轴题，第（2）题的突破口是把线段的最大值转化为二次函数，利用二次函数求最值的
4
乐博思
数学组
方法解决；第（3）题难度很大，作的辅助线较多，关键要把 EFP
2 ACO利用起来，需
要作多条辅助线，构造直角三角形，相似三角形．
例
3..已知抛物线
y＝ax2+bx+c与
x轴交于
A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，
抛物线的对称轴交
x轴于点
D，连接
BC，且
tan∠CBD＝
，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设
P是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点
P作
x轴的平行线交线段
BC于点
E，过点
E作
EF⊥PE交抛物线于点
F，连接
FB、
FC，求△BCF的面积的最大值；
②连接
PB，求
PC+PB的最小值．
温馨提示:（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣5），可得对称轴为直线
x＝2，由
锐角三角函数可求点
C坐标，代入解析式可求解析式；
（2）①先求出直线
BC解析式，设
P（2，t），可得点
E（5﹣
t，t），点
，
可求
EF的长，由三角形面积公式和二次函数性质可求解；
②根据图形的对称性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，过点
P作
PG⊥AC于
G，可得
PG＝
PC，可得
，过点
B作
BH⊥AC于点
H，则
PG+PB≥BH，即
BH
是
PC+PB的最小值，由三角形面积公式可求解．
略解：（1）
＝﹣
x2+
+
；
（2）∴当
t＝2时，△BCF的面积最大，且最大值为
；
②如图，据图形的对称性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，
5
乐博思
数学组
∴
，
过
点
P
作
PG
⊥
AC
于
G
，
则
在
Rt
△
PCG
中
，
，∴
，过点
B作
BH⊥AC于点
H，
则
PG+PB≥BH，∴线段
BH的长就是
的最小值，
∵
，又∵
，
∴
，即
，∴
的最小值为
．
解题感悟：本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，三
角形面积公式，锐角三角函数，二次函数的性质等知识，利用数形结合思想解决问题是
3
本题的关键．第（2）②问先转化
=PG,再根据垂线段最短解决问题。
5
1
例
4.如图，在平面直角坐标系
xOy中，已知直线
y
x
2与
x轴交于点
A，与
y轴交于点
B，
2
过
A、
B两点的抛物线
y
ax2
bx
c与
x轴交于另一点C( 1,0)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点
P，使
S PAB
S OAB
？若存在，请求出点
P的坐标，若不存
在，请说明理由；
（3）点M
为直线
AB下方抛物线上一点，点
N为
y轴上一点，当 MAB的面积最大时，求
MN
1
ON的最小值．
2
6
乐博思
数学组
温馨提示：（1）先求出点
A，点
B坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）分两种情况讨论，利用平行线之间的距离相等，可求OP解析式，
EP 的解析式，联
立方程组可求解；
（3）过点M
作MF
AC
，交
AB于
F
，设点M
(m,
1m2
3
m
2)，则点
F
(m,
1m
2)，可
2
2
2
求MF的长，由三角形面积公式可求
MAB的面积
(m
2)2
4，利用二次函数的性质可
求点M
坐标，过点O作 KOB
30 ，过点
N作
KN
OK
于
K点，过点M
作MP
OK
于
P
1，
延
长
MF
交
直
线
KO
于
Q
，
由
直
角
三
角
形
的
性
质
可
得
KN
ON
，
可
得
2
MN
1ON
1
MN
KN
，则当点M
，点
N，点
K三点共线，且垂直于OK
时，MN
ON
2
2
有最小值，即最小值为MP，由直角三角形的性质可求解．
略解：（1）
y
1
(x
1)(x
4)
1
3
x2
x
2；
2
2
2
（2）点
P坐标为
(2
2
2，1
2)或
(2
2
2
，1
2)或
(2, 3)；
（3）如图
2，过点M
作MF
AC
，交
AB于
F
，
1
3
设点M
(m,
m2
m
2)
1，则点
F
(m,
m
2)，
2
2
2
1
MF
m
2
(1
m2
3
m
2)
1
(m
2)2
2，
2
2
2
2
1
1
MAB的面积
4 [
(m
2)2
2]
(m
2)2
4， 当m
2时，
MAB的面积有最
2
2
大值， 点M
(2, 3)，
如图过点O作 KOB
30 ，过点
N作
KN
OK
于
K点，过点M
作MP
OK
于
P，延长
MF
交直线
KO于Q，
7
乐博思
数学组
KOB
1
1
30 ，
KN
OK
， KN
ON
， MN
ON
MN
KN
，
2
2
1
当点M
，点
N，点
K三点共线，且垂直于OK时，MN
ON有最小值，即最小值为MP，
2
KOB
30 ， 直线OK解析式为
y
3x，当
x
2时，点Q(2，
2
3)，
QM
2
3
3， OB
/
/QM
， PQM
PON
30
，
PM
1
QM
3
3
1
3
， MN
ON
的最小值为
3
．
2
2
2
2
解题感悟：本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，直角三
角形的性质，一次函数图像相互平行的性质，垂线段最短等知识，利用数形结合的思想把代
1
数和几何图形结合起来，转化
=
是解答第（3）问的关键．
2
例
5.（缩编题）如图，在平面直角坐标系中，点
A在抛物线
y
x2
4x上，且横坐标为
1，
点
B与点
A关于抛物线的对称轴对称，直线
AB与
y轴交于点C
，点D为抛物线的顶点，点
E的坐标为
(1,1)．
（1）求线段
AB的长；
（2）点
P为线段
AB上方抛物线上的任意一点，过点
P作
AB的垂线交
AB于点H，点
F
为
y
1轴上一点，当
PBE的面积最大时，求
PH
HF
FO的最小值；
2
温馨提示：（1）求出
A、
B两点坐标，即可解决问题；
8
乐博思
数学组
（2）如图
1中，设
P(m, m2
4m)，作
PN
/
/
y轴交
BE
于
N．构建二次函数利用二次函数
的性质求出满足条件的点
P坐标，作直线OG交
AB于G
，使得 COG
30 ，作HK
OG
于
K
OC
F
FK
1交
于
，因为
OF
，推出
PH
HF
1
FO
PH
FH
Fk
PH
HK
，此
2
2
1
时
PH
HF
OF
的值最小，解直角三角形即可解决问题；
2
略解：（1）AB=2（2）如图
1中，设
P(m, m2
4m)，作
PN
/
/
y轴交
BE
于
N．
1直线
BE
的解析式为
y
x， N
(m,m)， S
2
( m2 PEB
3m)
m
2
3m，
2
3
3
15
3
15
3
当m
时，
PEB的面积最大，此时
P(
，
)，
H
(
，
3)， PH
3
，作直
2
2
4
2
4
4
线
OG
交
AB
于
G
，使得
COG
30
，作
HK
OG
于
K
交
OC
于
F
， FK
1
OF
，
2
PH
HF
1
FO
1
PH
FH
FK
PH
HK
，
此
时
PH
HF
OF
的
值
最
小
，
2
2
3
1
HG
OC
1
3
(
3
)
OG
HK
， HK
3
3
3
1
2
， PH
HF
OF的最小值为
2
2
2
3
2
4
2
9
3
3
．
4
4
解题感悟：本题考查二次函数综合题、最短问题、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的
关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会添加常用辅助线，根据垂线段最短解决最短问
1
题，学会用分类讨论的思想思考问题，转化
=
是解题的关键；属于中考压轴题．
2
例
6.在平面直角坐标系中，抛物线
y
ax2
bx
3与
x轴交于点
A( 3,0)、B(1,0)，交
y轴于
点
N，点M
为抛物线的顶点，对称轴与
x轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图
1，连接
AM
，点
E是线段
AM
上方抛物线上一动点，EF
AM
于点
F
，过点
E
作
EH
x轴于点H，交
AM
于点
D．点
P是
y轴上一动点，当
EF
取最大值时：
9
乐博思
数学组
①求
PD
PC
的最小值；
1
②如图
2，Q点为
y轴上一动点，请直接写出
DQ
OQ的最小值．
4
温馨提示：（1）抛物线的表达式为：
y
a(x
3)(x
1)
ax2
2ax
3a，即
3a
3，即可求
解；（2）①点C( 1,0)关于
y轴的对称点为点
B(1,0)，连接
BD交
y轴于点
P，则点
P为所
1
求点，PD
PC
PD
PB
DB
为最小，即可求解；②过点O作直线OK，使
sin NOK
，
4
过点
D作
DK
OK
于点
K，交
y轴于点Q，则点Q为所求点，则
DQ
1
OQ
DQ
QK
DK
为最小，即可求解．
4
略解：（1）抛物线的表达式为：
y
x2
2x
3；
（2）由抛物线的表达式得，点M
( 1,4)，点
N
(0,3)，则
tan MAC
MC
2，
AC
则设直线
AM
的表达式为：
y
2x
b，将点
A的坐标代入上式并解得：
b
6，
故直线
AM
的表达式为：
y
2x
6， EFD
DHA
90 ， EDF
ADH
，
5
MAC
DEF
，则
tan DEF
2，则
cos DEF
，
5
设点
E(x, x2
2x
3)，则点
D(x,
2x
6)，
则
FE
ED
cos DEF
( x
2
2x
3
2x
6)
5
5
( x
2
4x
3)
，
5
5
5
0，故
EF
有最大值，此时
x
2，故点
D( 2,2)；
5
①点C( 1,0)关于
y轴的对称点为点
B(1,0)，连接
BD交
y轴于点
P，则点
P为所求点，
10
乐博思
数学组
PD
PC
PD
PB
DB
为最小，则
BD
(1
2)2
(0
2)2
13；
O
OK
sin
NOK
1②过点
作直线
，使
，过点D作DK
OK
于点
K，交
y轴于点Q，则点
4
Q为所求点，
DQ
1
OQ
DQ
QK
DK
为最小值，则直线OK
的表达式为：
y
15x，
4
1
DK
OK，故设直线
DK
的表达式为：
y
x
b，
15
将点
D
b
2
2
DK
1
2的坐标代入上式并解得：
，而直线
的表达式为：y
x
2
，
15
15
15
2
故点Q(0,2
)，由直线
KD的表达式知，QD与
x轴负半轴的夹角（设为
)的正切值为
15
1
cos
15
xQ
x
2
8
1
，则
D，则
DQ
，而
OQ
1
(2
2
)，
15
4
cos
15
15
4
4
15
4
1
8
1
2
15
1
则
DQ
OQ为最小值
(2
)
．
4
15
4
15
2
解题感悟：本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、点的对称性、解直角
三角形等，综合性强，难度适中．本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PC”的最小值，关
键是如何转化。
11
乐博思
数学组
变式训练
1.已知抛物线
y
x2
bx
c(b，
c为常数，
b
0)经过点
A( 1,0)，点M
(m,0)是
x轴正半轴
上的动点．
（1）当
b
2时，求抛物线的顶点坐标；
（2）点
D(b,
yD
)在抛物线上，当
AM
AD，m
5时，求
b的值；
（3）点Q(b
1
33
2
，
yQ
)在抛物线上，当
2AM
2QM
的最小值为
时，求b的值．2
4
温馨提示：（1）将点
A( 1,0)代入
y
x2
bx
c，求出
c关于
b的代数式，再将
b代入即可
求出
c的值，可进一步写出抛物线解析式及顶点坐标；
（2）将点D(b,
y
)代入抛物线
y
x2D
bx
b
1，求出点D纵坐标为
b
1，由
b
0判断出
点D(b, b
b 1)在第四象限，且在抛物线对称轴
x
的右侧，过点D作
DE
x轴，可证
ADE
2
为等腰直角三角形，利用锐角三角函数可求出
b的值；
（3）将点Q(b
1
，
yQ
)代入抛物线
y
x
2
bx
b
1
b
3，求出Q纵坐标为
，可知点
2
2
4
Q(b
1
b
3
，
)在第四象限，且在直线
x
b的右侧，点
N
(0,1)，过点Q作直线
AN
的垂
2
2
4
线，垂足为G
，QG
1与
x轴相交于点M
，过点Q作QH
x轴于点H，则点
H
(b
，
0)，
2
在Rt MQH中，可知 QMH
MQH
45 ，设点M
(m,0)，则可用含
b的代数式表示m，
因为
2AM
2QM
33
2
b
1
，所以
2[(
)
( 1)]
2
2[(b
1
)
(b
1
)]
33
2
，解方程
4
2
4
2
2
4
4
即可．
略解：（1）抛物线的顶点坐标为
(1, 4)；（2） b
3
2
1；
1
（3） 点Q(b
，
yQ
)在抛物线
y
x
2
bx
b
1上，
2
y
(b
1
Q
)
2
b(b
1
)
b
b
3 1
，
2
2
2
4
Q(b
1
b
3可知点
，
)在第四象限，且在直线
x
b的右侧，
2
2
4
2AM
2
2QM
2(
AM
QM
)
， 可取点
N
(0,1)，
2
如图
2，过点Q作直线
AN
的垂线，垂足为G
，QG与
x轴相交于点M
，
12
乐博思
数学组
2
由 GAM
45 ，得
AM
GM
，则此时点M
满足题意，
2
过点Q作QH
x
1轴于点H，则点
H
(b
，0)，在Rt MQH中，可知 QMH
MQH
45 ，
2
QH
MH
QM
b
3
1，
2MH
， 点M
(m,0)， 0
(
)
(b
)
m，
2
4
2
b
1
33
2
解得，m
，
2AM
2QM
，
2
4
4
2[(b
1
)
( 1)]
2
2[(b
1
b
1
33
2
)
(
)]
， b
4．
2
4
2
2
4
4
考查目的：本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程等，解题
关键是能够根据给定参数判断点的位置，从而构造特殊三角形来求解．
2.如图
1，在平面直角坐标系中，直线
y
5x
5与
x轴，
y轴分别交于
A，C
两点，抛物
线
y
x2
bx
c经过
A，C
两点，与
x轴的另一交点为
B
．
（1）求抛物线解析式及
B
点坐标；
（2）如图
2，若
P
点是半径为
2的 B上一动点，连接
PC、
PA，当点
P
运动到某一位置
1
时，
PC
PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
2
温馨提示：（1）由直线
y
5x
5求点
A、C
坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而
求得点
B
坐标．
13
乐博思
数学组
（2
BD
BP
1）作点D坐标为
(4,0)，可得
BD
1，进而有
，再加上公共角 PBD
ABP，
BP
AB
2
PD
1
根据两边对应成比例且夹角相等可证
PBD∽ ABP
，得
等于相似比
，进而得
PA
2
PD
1
AP
1，所以当C
、
P
、
D在同一直线上时，
PC
PA
PC
PD
CD最小．用两
2
2
点间距离公式即求得CD的长．
2
略解：（1）抛物线解析式为
y
x
6x
5
B(5,0)
（2）如图
2，在
x轴上取点
D(4,0)，连接
PD、CD BD
5
4
1
AB
4，
BP
2
BD
BP
1
PD
BD
1
1
PBD
ABP
PBD∽ ABP
， PD
AP
BP
AB
2
AP
BP
2
2
PC
1
PA
PC
1
PD
当点C
、
P
、
D在同一直线上时，
PC
PA
PC
PD
CD最
2
2
小
CD
OC2
OD2
52
42
41
PC
1
PA的最小值为
41
2
考查目的:本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数最大值，解一次方程（组
)和一元
二次方程，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短．求线段与线段的几分之几的和的
1
最小值，一般将“线段的几分之几”进行转换，变
PD
AP是解题的关键；能用“两点之
2
间线段最短”的图形来求最小值．
3.如图，抛物线
y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点
C（0，﹣2），顶点
D的坐标为（1，﹣
），与
x轴交于
A、B两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）连接
AC，E为直线
AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点
E的坐标和
的值．
（3）在（2）的条件下，点
F（0，y）是
y轴上一动点，当
y为何值时，
FC+BF的值最
小．并求出这个最小值．
14
乐博思
数学组
温馨提示：（1）将点
C、D的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）当△AOC∽△AEB时，
＝（
）2＝（
）2＝
，求出
yE＝﹣
，由△
AOC∽△AEB得：
，即可求解；
（3）如图
2，连接
BF，过点
F作
FG⊥AC于
G，当折线段
BFG与
BE重合时，取得最
小值，即可求解；
略解：（1）抛物线解析式为：y＝
x2﹣
x﹣2；
（2）∴
；
（3）如图
2，连接
BF，过点
F作
FG⊥AC于
G，
则
FG＝CFsin∠FCG＝
CF，∴
CF+BF＝GF+BF≥BE，
当折线段
BFG与
BE重合时，取得最小值，由（2）可知∠ABE＝∠ACO
∴BE＝ABcos∠ABE＝ABcos∠ACO＝4×
＝
，
|y|＝OBtan∠ABE＝OBtan∠ACO＝3×
＝
，
∴当
y＝﹣
时，即点
F（0，﹣
），
CF+BF有最小值为
；
15
乐博思
数学组
考查目的：本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、点的对称性、三角形相似、
等，用转化的思想转化有关的线段是解题关键也是考查的重点。
4.（缩编题）已知抛物线
y
ax2
bx
c(a
0)过点
A(1,0)，
B(3,0)两点，与
y轴交于点C
，
OC
3．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2
1）若点Q为线段OC
上的一动点，问：
AQ
QC是否存在最小值？若存在，求岀这个
2
最小值；若不存在，请说明理由．
温馨提示：（1）函数的表达式为：
y
a(x
1)(x
3)
a(x2
4x
3)，即可求解；
（2）过点C
作与
y轴夹角为
30 的直线CH
，过点
A作
AH
CH
，垂足为H
1，则
HQ
CQ，
2
AQ
1
QC最小值
AQ
HQ
AH
，即可求解．
2
略解：（1）
y
x2
4x
3，顶点
D(2, 1)；
（2）存在，理由：
如上图，过点C
作与
y轴夹角为
60
度的直线CH
，作QH
CH
，垂足为H，
HQ
1则
CQ
AQ
1，
QC最小值
AQ
HQ
AH
，
2
2
直线
HC所在表达式中的
k值为
3，直线
HC的表达式为：
y
3x
3 ①
16
乐博思
数学组
3
则直线
AH
所在表达式中的
k值为
，
3
3
则直线
AH
的表达式为：
y
x
s，将点
A的坐标代入上式并解得：
3
则直线
AH
的表达式为：
y
3
3
1
3
3
x
②，联立①②并解得：
x
，
3
3
4
故点H
(1
3
3
3
3
)
A(1,0)
AH
3
3，
，而点
，则
，
4
4
2
1
3
3
即：
AQ
QC的最小值为
．
2
2
考查目的：本题是二次函数综合运用，涉及到一次函数、特殊四边形性质等；第（2）问，
1
过点C
作与
y轴夹角为
60
度的直线CH
，则
HQ
CQ，是本题的难点也是解题的关键．
2
5.（缩编题）已知直线
y
kx
2与抛物线
y
x2
bx
c(b，
c为常数，b
0)的一个交点为
A( 1,0)，点M
(m,0)是
x轴正半轴上的动点．
（1）当直线
y
kx
2与抛物线
y
x2
bx
c(b，
c为常数，
b
0)的另一个交点为该抛物
线的顶点
E时，求
k，
b，
c的值及抛物线顶点
E的坐标；
（2）点D
1
27
2在抛物线上，且点D的横坐标为
b
，当
2AM
2DM
的最小值为
时，
2
4
求
b的值．
温馨提示：（1）将
A点坐标代入直线与抛物线的解析式中求得
k的值和
b与
c的关系式，再
将抛物线的顶点坐标代入求得的直线的解析式，便可求得
b、c的值，进而求得
E点的坐标；
（2）取点
N
(0,1)，则 OAN
45 ，过
D作直线
AN
的垂线，垂足为G
，
DG
与
x轴相交
27
2
于点M
，此时
2AM
2DM
2DG的值最小，由
2DG
列出关于
b的方程求解便可．
4
略解：（1）故
k
2，b
2，
c
3，
E(1, 4)；
2
1（
） 点D(b
，
y
)在抛物线
y
x2
bx
b
1上，
2
D
y
(b
1)2
b(b
1
D
)
b
1
b
3
，
2
2
2
4
可知点
D(b
1
b
3
，
)在第四象限，且在直线
x
b的右侧，
2
2
4
2AM
2DM
2
2(
AM
DM
)
， 可取点
N
(0,1)，则 OAN
45 ，
2
如图
2，过
D作直线
AN
的垂线，垂足为G
，
DG
与
x轴相交于点M
，
17
乐博思
数学组
2 GAM
90
OAN
45 ，得
AM
GM
，则此时点M
满足题意，
2
过D
1作
DH
x轴于点H，则点
H
(b
，0)，在Rt MDH中，可知 DMH
MDH
45 ，
2
DH
MH
，DM
2MH
b
3
1， 点M
(m,0)， 0
(
)
(b
)
m，
2
4
2
b
1
27
2
解得，m
，
2AM
2DM
，
2
4
4
2[(b
1
)
( 1)]
2
2[(b
1)
(b
1
27
2
)]
，解得，
b
3，
2
4
2
2
4
4
3
1
5
此时，m
0，符合题意，
2
4
4
b
3．
考查目的：本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，等
腰直角三角形的性质，第（2）问，确定点
D
的位置并能画出相应的图形至关重要，确定
2
2AM
2DM
的最小值为
2DG是难点，把
2
+
2
化为
2
+
是解题
2
的关键。
，
6.（缩编题）如图，抛物线
y
ax2
2ax
c的图象经过点C(0, 3)，顶点D的坐标为
(1, 4)，
与
x轴交于
A、
B两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点
F
(0,
y)
10是
y轴上一动点，点C
关于
x轴的对称点为H，当
FC
BF
取最小值时，
10
在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使
QHF
是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的
坐标；若不存在，请说明理由．
18
乐博思
数学组
温馨提示：（1）利用待定系数法转化为解方程组即可．
（
2
）
过
点
F
作
FT
AC
于
T
．
由
题
意
sin ACO
OA
10
，
推
出
AC
10
FT
CF
sin ACO
10
CF
，可得
BF
10
CF
BF
FT
，根据垂线段最短可知
10
10
BF
FT BE，设
BE
交
y轴于
F
，推出当点
F
与
F
重合时，
BF
10
CF的值最小，此
10
时
F (0, 1)，接下来分三种情形求解即可解决问题．
略解：（1）
y
x2
2x
3．
（2）过点
F
作
FT
AC于T
.在Rt AOC中， AOC
90 ，OA
1，OC
3，
AC
OA2
OC2
12
32
10
， sin ACO
OA
10
，
FT
AC
，
AC
10
FT
CF
sin
ACO
10
CF
10， BF
CF
BF
FT
，
BE
AC
于
E，
10
10
BF
FT BE，设
BE
交
y轴于
F
，
10
当点
F
与
F
重合时，
BF
CF的值最小，此时
F (0, 1)，
10
①当 Q HF
90 时， C
，H关于
x轴对称，C(0, 3)， H
(0,3) Q (1,3)．
②当 Q F H
90 时，Q (1, 1)．
③当 HQF
90 时，设Q(1,m)，
QH
2
F Q2
F H
2
， 1
(3 m)2
1
(m
1)2
42
，解得m
1
3，
Q(1,1
3)或
(1,1
3)，
综上所述，满足条件的点Q的坐标为
(1，3或
(1, 1)或
(1,1
3)或
(1,1
3)，
19
乐博思
数学组
考查目的：本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，解直角三
角形，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，学会利用垂线段最短解决最值问题，学
会分类讨论的方法来解决没有明确结论的问题；属于中考压轴题．
7.（缩编题）如图，抛物线
y
ax2
bx
c与
x轴交于
A(
3，
0)，
B两点（点
B在点
A的
左侧），与
y轴交于点C
，且OB
3OA
3OC， OAC的平分线
AD交
y轴于点D，过点
A
且垂直于
AD的直线
l交
y轴于点
E
，点
P
是
x轴下方抛物线上的一个动点，过点
P
作
PF
x轴，垂足为
F
，交直线
AD于点
H．
（1）求抛物线的解析式；
1
（2）当直线
PF
为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，
HC为半径作 H
，点Q为 H
上
2
1
的一个动点，求
AQ
EQ的最小值．
4
温馨提示：（1）求出
A、
B、C
的坐标，利用两根式求出抛物线的解析式即可；
（2）首先求出圆
H的半径，在
HA上取一点
K，使得HK
1
K
(
7
3
15
，此时
，
)，由
4
8
8
20
乐博思
数学组
HQ2
HK
HA
QHK
AHQ
KQ
HQ
1
1，可得
∽
，推出
，可得
KQ
AQ
，推出
AQ
AH
4
4
1
AQ
QE
KQ
EQ
E
Q
K
1
，可得当
、
、
共线时，
AQ
QE的值最小，由此求出点
E坐
4
4
标，点
K坐标即可解决问题；
略解：（1
y
1
x2
2）
3x
3．
3
3
（2）如图， PF是对称轴， F
(
3，
0)，
H
(
3，
2)，
AH
AE，
EAO
60
，
EO
3OA
3
，
E(0,3)
，
C(0, 3)
，
HC
(
3)2
12
2
，
AH
2FH
4
QH
1
CH
1，
2
在HA上取一点
K
HK
1
7
15，使得
，此时
K
(
3，
)， HQ2
1，
HK
HA
1，
4
8
8
HQ2
HK
HA
HQ
KH，
， QHK
AHQ
， QHK∽ AHQ
，
AH
HQ
KQ
HQ
1
1
1
， KQ
AQ，
AQ
QE
KQ
EQ，
AQ
AH
4
4
4
E
Q
K
1
AQ
QE
(7
3
)2
(15
3)2
417 当
、
、
共线时，
的值最小，最小值
．
4
8
8
4
方法二：（可以不求点
K坐标，在Rt AKE
中，利用勾股定理即可）．
考查目的：本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、圆的有关知识、相似三角形的判定
和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化
的思想思考问题，在解题时，应关注直线与坐标轴交点坐标（解与函数相关的题目，都要用
到交点坐标），属于中考压轴题．
8.抛物线
y＝﹣
x2﹣
x+
与
x轴交于点
A，B（点
A在点
B的左边），与
y轴交于点
C，点
D是该抛物线的顶点．
21
乐博思
数学组
（1）如图
1，连接
CD，求线段
CD的长；
（2）如图
2，点
P是直线
AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点
F，PF与线段
AC交于
点
E；将线段
OB沿
x轴左右平移，线段
OB的对应线段是
O1B1，当
PE+
EC的值最大
时，求四边形
PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点
O1的坐标；
温馨提示：（1）分别表示
C和
D的坐标，利用勾股定理可得
CD的长；
（2）令
y＝0，可求得
A（﹣3
，0），B（
，0），利用待定系数法可计算直线
AC的
解析式为：y＝
，设
E（x，
），P（x，﹣
x2﹣
x+
），表示
PE的长，利用勾股定理计算
AC的长，发现∠CAO＝30°，得
AE＝2EF＝
，
计算
PE+
EC，利用配方法可得当
PE+
EC的值最大时，x＝﹣2
，此时
P（﹣2
，
），确定要使四边形
PO1B1C周长的最小，即
PO1+B1C的值最小，将点
P向右平移
个单位长度得点
P1（﹣
，
），连接
P1B1，则
PO1＝P1B1，再作点
P1关于
x轴的对
称点
P2（﹣
，﹣
），可得结论；
略解：（1）CD＝
＝
＝
；
（2）在
y＝﹣
x2﹣
x+
中，令
y＝0，
则﹣
x2﹣
x+
＝0，
解得：x1＝﹣3
，x2＝
，∴A（﹣3
，0），
B（
，0），∵C（0，
），易得直线
AC的解析式为：y＝
，
设
E（x，
），P（x，﹣
x2﹣
x+
），
∴PF＝﹣
x2﹣
x+
，EF＝
，Rt△ACO中，AO＝3
，OC＝
，
∴AC＝2
，
∴∠CAO＝30°，∴AE＝2EF＝
，
22
乐博思
数学组
∴PE+
EC＝（﹣
x2﹣
x+
）﹣（
x+
）+
（AC﹣AE），
＝﹣
﹣
x+
[2
﹣（
）]，
＝﹣
﹣
x﹣
x＝﹣
（x+2
）2+
，
∴当
PE+
EC的值最大时，x＝﹣2
，此时
P（﹣2
，
），∴PC＝2
，
∵O1B1＝OB＝
，∴要使四边形
PO1B1C周长
的最小，即
PO1+B1C的值最小，
如图
2，将点
P向右平移
个单位长度得点
P1（﹣
，
），连接
P1B1，则
PO1＝P1B1，
再作点
P1关于
x轴的对称点
P2（﹣
，﹣
），
则
P1B1＝P2B1，∴PO1+B1C＝P2B1+B1C，
∴连接
P2C与
x轴的交点即为使
PO1+B1C的值最小时的点
B1，∴B1（﹣
，0），
将
B1向左平移
个单位长度即得点
O1，
此时
PO1+B1C＝P2C＝
＝
，对应的点
O1的坐标为（﹣
，0），
∴四边形
PO1B1C周长的最小值为
+3
；
考查目的：本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、轴对称变换、勾股定理、等腰三
角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建轴对称解决最值问
题，属于中考压轴题．
9.
2如图
1，在平面直角坐标系中，抛物线
y
ax
bx
4与
x轴交于点
A( 2,0)
、B(4,0)，与
y轴交于点C
．
E
为抛物线上一点，直线
AE交
y轴于点
D，且OD
OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点
P
是第四象限内的抛物线上一点，过点
P
作
PQ
/
/
y轴交直线
AE于点Q，交
x轴于
2
点
F
，过点
P
作
PG
AE
于点G
，交
x轴于点H，求
PQ
GQ的最大值，并求出此时
2
点
P
的坐标；
23
乐博思
数学组
温馨提示：（1）由待定系数法即可求解；
（2）证明
PQG为等腰直角三角形，则
PQ
2GQ
PQ
QK
1
1
1
PK
PQ
(x
2
x
2
x
4)
1
x
2
x
3，即可求解；
2
2
2
2
4
1
略解：（1）抛物线的表达式为
y
x2
x
4①；
2
（2） OA
OD
2，故点D(0,2)，
由点
A、D的坐标得，直线
AE的表达式为
y
x
2，
1
设点
P
的坐标为
(x,
x2
x
4)，则点Q(x,
x
2)，
2
OA
OD，故
∠
=
450，
而GP
AE
，则
PQG为等腰直角三角形，
过点G
作GK
PQ于点
K，则QK
2
PK
GQ
，
2
PQ
2则
GQ
PQ
QK
PK
1
PQ
1
(x
2
1
x
2
1
x
4)
x
2
x
3，
2
2
2
2
4
1
0
2
2，故抛物线开口向下， PQ
GQ
有最大值，当
x
2时，
PQ
GQ的最大
4
2
2
值为
4，
此时点
P(2, 4)；
考查目的：本题是二次函数综合题，主要考查的是一次函数的性质、等腰直角三角形的性质
2
等，转化
=
是解题的难点也是关键。
2
10.(
缩编题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线
y＝ax2+bx+c与
x轴交于点
A（﹣2，0），
点
B（4，0），与
y轴交于点
C（0，2
），连接
BC，位于
y轴右侧且垂直于
x轴的动直线
l，沿
x轴正方向从
O运动到
B（不含
O点和
B点），且分别交抛物线、线段
BC以及
x轴于
点
P，D，E，连接
AC，BC，PA，PB，PC．
（1）求抛物线的表达式；
24
乐博思
数学组
（2）如图
2，抛物线的对称轴交
x轴于点
Q，过点
B作
BG∥AC交
y轴于点
G．点
H、K
分别在对称轴和
y
轴上运动，连接
PH、HK，当△PCB
的面积最大时，请直接写出
PH+HK+
KG的最小值．
温馨提示：（1）根据
A和
B的坐标设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣4），把点
C（0，
2
）代入可得：a＝﹣
，即可求解；
（2）易知△PCB的面积最大时，P（2，2
），则
OP＝
＝4，如图
2，将直
线
GO绕点
G逆时针旋转
60°，得到直线
a，作
PM⊥直线
a于
M，KM′⊥直线
a于
M′，
则
PH+HK+
KG＝PH+HK+KM′≥PM，求出
PM即可解决问题．
略解：（1）y＝﹣
（x+2）（x﹣4）＝﹣
x2+
x+2
；
（2）如图
2中，
△AOC中，OA＝2，OC＝2
，∴AC＝4，∴∠ACO＝30°，∵BG∥AC，
25
乐博思
数学组
∴∠BGO＝∠ACO＝30°，Rt△BOG中，OB＝4，∴OG＝4
，
易知：△PCB的面积最大时，P（2，2
），则
OP＝
＝4，
如图
2，将直线
GO绕点
G逆时针旋转
60°，得到直线
a，
作
PM⊥直线
a于
M，KM′⊥直线
a于
M′，则
PH+HK+
KG＝PH+HK+KM′≥PM，
∵P（2，2
），∴∠POB＝60°，∵∠MOG＝30°，
∴∠MOG+∠BOC+∠POB＝180°，∴P，O，M共线，Rt△OMG中，OG＝4
，MG＝2
，
∴OM＝6，可得
PM＝10，∴PH+HK+
KG的最小值为
10．
考查目的：本题属于二次函数综合题，考查了一次函数的性质，二次函数的性质，垂线段最
短，等知识，解题的关键是，学会用转化的思想思考问题，把最短问题转化为垂线段最短，
3
学会利用参数构建方程解决问题，如何转化
是解题的难点也是关键。
2
小结归纳
在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与
kPB相等的线段，将
“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．再把最短问题转化为垂线段最短来解决。在解题
过程中应注意
K的一些特殊值，如
，
，
，
等
，它们都是特殊角的三角函数值，
所以一般都可以构造一些特殊角并利用它来转化
kPB
，当然，这里
的
PB必须是一条方向
不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到
kPB的等线段．如上面的例
2，例
4，例
5
变式训练第
2、4、10
题；若
K>
时,又该如何呢？提取系数
k
即可转化如前；
例如变式训练的第
1、第
5题，若
K的值并非前面所说的，那么就应该构造某
角正弦值等于小于
1的系数
起点构造所需角（k=sin∠CAE）→过终点作所构
角边的垂线→
利用垂线段最短解决问题，如上面变式训练的第
3题、第
6题、
第
7题等。
总而言之，“胡不归”问题是一类解决最短距离问题，即“PA+k·PB”（k≠1
的常数）型
的最值问题。问题所蕴含的是数学的转化思想，即将
k·PB
这条线段的长度转化为某条具体
线段
PC的长度，进而根据“垂线段最短或两点之间线段最短”的原理构造最短距离。此类问
题的难点在于如何对
k值进行转化，“胡不归”需要构造某角的正弦值等于
k(如
k
值＞1则要
先提取
k
去构造某角的正弦值等于
1/k
或等于
k2/k1)将
k
倍线段转化，把“胡不归问题”通
过相似等几何方法转化成普通的“将军饮马问题”，再利用“垂线段最短”解决问题。
2021.4.2
26
乐博思
数学组谈中考数学中的二次函数最值问题（四）
在数学问题中，当某元素在给定条件变动时，求某几何量或所用时间的最大（多）值或
最小（少）值问题，称为最值问题。中考时，最值问题一般都在压轴题出现。常见的题型中
有求线段、面积、时间的最值问题，也有求线段之和（差）或面积之比的最值问题；还有胡
不归问题等。解题的关键是灵活运用所学知识解决问题。常用的方法有：轴对称﹣最短路线
问题丶求二次函数最值方法、构造相似三角形、添加辅助圆等。
二次函数中“PA+k·PB”型的最值问题
“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点题型。当
k
值为
1
时，
即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型
来处理，
即可以转化为轴对称问题来处理。而当
k
取任意不为
1
的正数时，若再以常规
的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理
通常以动点
P所在图像的不同来分类，一般分为二类。
即点
P
在直线上运动和
点
P
在圆上运动。
其中点
P
在直线上运动的类型也就是通常称之为“胡不归”
问题；
点
P
在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。这里我们重点探讨“胡
不归”问题。
例
1.在平面直角坐标系中，将二次函数
y
ax2
(a
0)的图象向右平移
1
个单位，再向下平
移
2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与
x轴交于点
A、B（点
A在点
B的左侧），
OA
1，经过点
A的一次函数
y
kx
b(k
0)的图象与
y轴正半轴交于点C
，且与抛物线
的另一个交点为
D，
ABD的面积为
5．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点
E在一次函数的图象下方，求
ACE
面积的最大值，并求出此时点
E
的坐标；
（3
3）若点
P为
x轴上任意一点，在（2）的结论下，求
PE
PA的最小值．
5
1
乐博思
数学组
例
2.（
缩编题）如图，在平面直角坐标中，抛物线
y
=ax2
+bx
+c
过点
A( 1,0)
，B(3,0)
，
C(0,3)，点
P是直线
BC上方抛物线上的一动点，
PE
/
/
y轴，交直线
BC于点
E连接
AP，
2
交直线
BC于点
D．（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求线段
PE
CE的最大值；
2
2
（3）当线段
PE
CE最大时，若点
F
在直线
BC上且 EFP
2 ACO，直接写出点
F
的
2
坐标．
3
乐博思
数学组
例3..已知抛物线
y＝ax2+bx+c
与
x
轴交于
A（﹣1，0），B（5，0）两点，C
为抛物线的顶
点，抛物线的对称轴交
x
轴于点
D，连接
BC，且
tan∠CBD＝
，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设
P是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点
P作
x轴的平行线交线段
BC于点
E，过点
E作
EF⊥PE交抛物线于点
F，连接
FB、
FC，求△BCF的面积的最大值；
②连接
PB，求
PC+PB的最小值．
5
乐博思
数学组
例
4.如图，在平面直角坐标系
xOy中，已知直线
y
x
2与
x轴交于点
A，与
y轴交于点
B，
2
过
A、
B两点的抛物线
y
ax2
bx
c与
x轴交于另一点C( 1,0)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点
P，使
S PAB
S OAB
？若存在，请求出点
P的坐标，若不存
在，请说明理由；
（3）点M
为直线
AB下方抛物线上一点，点
N为
y轴上一点，当 MAB的面积最大时，求
MN
1
ON的最小值．
2
1
6
乐博思
数学组
例5.（缩编题）如图，在平面直角坐标系中，点
A
在抛物线
y
=x2
+4x
上，且横坐标为
1，
点B
与点
A
关于抛物线的对称轴对称，直线
AB
与
y
轴交于点C
，点D
为抛物线的顶点，点
E的坐标为
(1,1)．
（1）求线段
AB的长；
（2）点
P为线段
AB上方抛物线上的任意一点，过点
P作
AB的垂线交
AB于点H，点
F
为
y
1轴上一点，当
PBE的面积最大时，求
PH
HF
FO的最小值；
2
8
乐博思
数学组
例
6.在平面直角坐标系中，抛物线
y
ax2
bx
3与
x轴交于点
A( 3,0)、B(1,0)，交
y轴于
点
N，点M
为抛物线的顶点，对称轴与
x轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图
1，连接
AM
，点
E是线段
AM
上方抛物线上一动点，EF
AM
于点
F
，过点
E
作
EH
x轴于点H，交
AM
于点
D．点
P是
y轴上一动点，当
EF
取最大值时：
①求
PD
PC
的最小值；
②如图
2
Q
1，
点为
y轴上一动点，请直接写出
DQ
OQ的最小值．
4
10
乐博思
数学组
变式训练
1.已知抛物线
y
x2
bx
c(b，
c为常数，
b
0)经过点
A( 1,0)，点M
(m,0)是
x轴正半轴
上的动点．
（1）当
b
2时，求抛物线的顶点坐标；
（2）点
D(b,
yD
)在抛物线上，当
AM
AD，m
5时，求
b的值；
1
33
2
（3）点Q(b
，
yQ
)在抛物线上，当
2AM
2QM
的最小值为
时，求b的值．2
4
12
乐博思
数学组
2.如图
1，在平面直角坐标系中，直线
y
5x
5与
x轴，
y轴分别交于
A，C
两点，抛物
y
x2线
bx
c经过
A，C
两点，与
x轴的另一交点为
B
．
（1）求抛物线解析式及
B
点坐标；
（2）如图
2，若
P
点是半径为
2的 B上一动点，连接
PC、
PA，当点
P
运动到某一位置
PC
1时，
PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
2
13
乐博思
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3.如图，抛物线
y＝ax2﹣2ax+c
的图象经过点
C（0，﹣2），顶点
D
的坐标为（1，﹣
），与
x轴交于
A、B两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）连接
AC，E为直线
AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点
E的坐标和
的值．
（3）在（2）的条件下，点
F（0，y）是
y轴上一动点，当
y为何值时，
FC+BF的值最
小．并求出这个最小值．
14
乐博思
数学组
4.（缩编题）已知抛物线
y
=ax2
+bx
+c(a
≠0)
过点
A(1,0)
，B(3,0)
两点，与
y
轴交于点C
，
OC
=3
．
（1）求抛物线的解析式及顶点D
的坐标；
（2）若点Q为线段OC
1上的一动点，问：
AQ
QC是否存在最小值？若存在，求岀这个
2
最小值；若不存在，请说明理由．
16
乐博思
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5.（缩编题）已知直线
y
=kx
2
与抛物线
y
=x2
bx
+c(b
，c
为常数，b
>0)
的一个交点为
A( 1,0)，点M
(m,0)是
x轴正半轴上的动点．
（1）当直线
y
kx
2与抛物线
y
x2
bx
c(b，
c为常数，
b
0)的另一个交点为该抛物
线的顶点
E时，求
k，
b，
c的值及抛物线顶点
E的坐标；
（2
1
27
2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为
b
，当
2AM
2DM
的最小值为
时，
2
4
求b
的值．
17
乐博思
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6.（缩编题）如图，抛物线
y
ax2
2ax
c的图象经过点C(0, 3)，顶点D的坐标为
(1, 4)，
与
x轴交于
A、
B两点．
（1）求抛物线的解析式．
10
（2）点
F
(0,
y)是
y轴上一动点，点C
关于
x轴的对称点为H，当
FC
BF
取最小值时，
10
在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使
QHF
是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的
坐标；若不存在，请说明理由．
18
乐博思
数学组
7.（缩编题）如图，抛物线
y
=ax2
+bx
+c
与x
轴交于
A(
3
，0)
，B
两点（点B
在点
A
的
左侧），与
y轴交于点C
，且OB
3OA
3OC， OAC的平分线
AD交
y轴于点D，过点
A
且垂直于
AD的直线
l交
y轴于点
E
，点
P
是
x轴下方抛物线上的一个动点，过点
P
作
PF
x轴，垂足为
F
，交直线
AD于点
H．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当直线
PF
1为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，
HC为半径作 H
，点Q为 H
上
2
1
的一个动点，求
AQ
EQ的最小值．
4
20
乐博思
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8.抛物线
y＝﹣
x2﹣
x+
与
x轴交于点
A，B（点
A在点
B的左边），与
y轴交于点
C，点
D是该抛物线的顶点．
（1）如图
1，连接
CD，求线段
CD的长；
（2）如图
2，点
P是直线
AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点
F，PF与线段
AC交于
点
E；将线段
OB沿
x轴左右平移，线段
OB的对应线段是
O1B1，当
PE+
EC的值最大
时，求四边形
PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点
O1的坐标；
22
乐博思
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9.如图
1，在平面直角坐标系中，抛物线
y
ax2
bx
4与
x轴交于点
A( 2,0)
、B(4,0)，与
y轴交于点C
．
E
为抛物线上一点，直线
AE交
y轴于点
D，且OD
OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点
P
是第四象限内的抛物线上一点，过点
P
作
PQ
/
/
y轴交直线
AE于点Q，交
x轴于
点
F
，过点
P
2作
PG
AE
于点G
，交
x轴于点H，求
PQ
GQ的最大值，并求出此时
2
点
P
的坐标；
23
乐博思
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10.(
缩编题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线
y＝ax2+bx+c与
x轴交于点
A（﹣2，0），
点
B（4，0），与
y轴交于点
C（0，2
），连接
BC，位于
y轴右侧且垂直于
x轴的动直线
l，沿
x轴正方向从
O运动到
B（不含
O点和
B点），且分别交抛物线、线段
BC以及
x轴于
点
P，D，E，连接
AC，BC，PA，PB，PC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图
2，抛物线的对称轴交
x轴于点
Q，过点
B作
BG∥AC交
y轴于点
G．点
H、K
分别在对称轴和
y
轴上运动，连接
PH、HK，当△PCB
的面积最大时，请直接写出
PH+HK+
KG的最小值．
24
乐博思
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小结归纳
在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与
kPB相等的线段，将
“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．再把最短问题转化为垂线段最短来解决。在解题
过程中应注意
K的一些特殊值，如
，
，
，
等
，它们都是特殊角的三角函数值，
所以一般都可以构造一些特殊角并利用它来转化
kPB
，当然，这里
的
PB必须是一条方向
不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到
kPB的等线段．如上面的例
2，例
4，例
5
变式训练第
2、4、10
题；若
K>
时,又该如何呢？提取系数
k
即可转化如前；
例如变式训练的第
1、第
5题，若
K的值并非前面所说的，那么就应该构造某
角正弦值等于小于
1的系数
起点构造所需角（k=sin∠CAE）→过终点作所构
角边的垂线→
利用垂线段最短解决问题，如上面变式训练的第
3题、第
6题、
第
7题等。
总而言之，“胡不归”问题是一类解决最短距离问题，即“PA+k·PB”（k≠1
的常数）型
的最值问题。问题所蕴含的是数学的转化思想，即将
k·PB
这条线段的长度转化为某条具体
线段
PC的长度，进而根据“垂线段最短或两点之间线段最短”的原理构造最短距离。此类问
题的难点在于如何对
k值进行转化，“胡不归”需要构造某角的正弦值等于
k(如
k
值＞1则要
先提取
k
去构造某角的正弦值等于
1/k
或等于
k2/k1)将
k
倍线段转化，把“胡不归问题”通
过相似等几何方法转化成普通的“将军饮马问题”，再利用“垂线段最短”解决问题。
2021.4.2
26
乐博思
数学组谈中考数学中的二次函数最值问题（一）
在数学问题中，当某元素在给定条件变动时，求某几何量或所用时间的最大（多）值或
最小（少）值问题，称为最值问题。中考时，最值问题一般都在压轴题出现。常见的题型中
有求线段、面积、时间的最值问题，也有求线段之和（差）或面积之比的最值问题；还有胡
不归问题等。解题的关键是灵活运用所学知识解决问题。常用的方法有：轴对称﹣最短路线
问题丶求二次函数最值方法、构造相似三角形、添加辅助圆等。
二次函数中与线段有关的最值问题
例
1.
2（缩编题）如图，二次函数
y
x
bx
c的图象交
x
轴于点
A( 3,0)，B(1,0)，交
y
轴
于点C
．点P(m,0)是
x
轴上的一动点，
PM
x轴，交直线
AC
于点M，交抛物线于点
N
．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点
P
仅在线段
AO上运动，如图，求线段MN
的最大值；
温馨提示：（1）把
A( 3,0)，
B(1,0)代入
y
x2
bx
c中，构建方程组解决问题即可．
（2）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
2
略解：
y
x
2x 3．
b
3
（2）设直线
AC
的表达式为
y
kx b，把
A( 3,0)，C(0, 3)代入
y kx b ．得
3k
b
0
，
k
1
解得
， y x 3， 点P(m,0)b
3
是
x
轴上的一动点，且
PM
x轴．
M(m, m 3)
2，
N(m,m
2m
3)，
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MN
(
m
3)
(m2
2m
3)
m2
3m
(m
3)2
9
，
2
4
3
a
1
0， 此函数有最大值．又
Q点
P
在线段OA上运动，且
3
0，
2
m
3
9当
时，
MN
有最大值
．
2
4
解题感悟：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，待定系数法，一次
函数的性质等，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题。第（2）问是属于
平行于
y
轴的线段最值问题，求解时应首先表示出线段两个端点的坐标，用上面端点的纵坐标减去下
面端点的纵坐标，得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式，再将其化为顶点式，并根
据
a的正负及自变量的取值范围判断最值。若是平行于
x轴的线段最值问题，先表示出线段
两个端点的坐标，用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标，用同样的方法可求得。
2
例
2．（缩编题）如图，抛物线
y
ax
bx
2与
x
轴交于
A，B
两点，且OA
2OB，与
y
1
轴交于点C
，连接
BC
，抛物线对称轴为直线
x
，D为第一象限内抛物线上一动点，过
2
点D作
DE
OA于点
E
，与
AC
交于点
F
，设点
D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
1
1
温馨提示：（1）点
A、
B
的坐标分别为
(2t,0)、
( t,0)，则
x
(2t
t)，即可求解；
2
2
（2）点D(m, m2
m
2)，则点F(m, m 2)，则DF
m2
m
2
( m
2)
m2
2m，
即可求解；
略解：（1）
y
x2
x
2；
2
y
x2（
）对于
x
2，令
x
0，则
y 2，故点C(0,2)，
由点
A、C
的坐标得，直线
AC
的表达式为：
y x 2，
设点
D的横坐标为m，则点D(m, m2
m
2)，则点F(m, m 2)，
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则DF
m2
m
2
( m
2)
m2
2m， 1
0，故DF有最大值，DF最大时m
1，
点D(1,2)；
解题感悟：本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要
会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，
从而求出线段之间的关系．
例
3.综合与探究
y
1
x2
1如图，抛物线
x
4与
x
轴交于
A，B
两点（点
A在点
B
的左侧），与
y
轴交于
3
3
点C
，连接
AC，
BC
．点
P
是第四象限内抛物线上的一个动点，点
P
的横坐标为m，
过点
P
作
PM
x轴，垂足为点M，PM
交
BC
于点Q，过点
P
作
PE
/
/AC
交
x
轴于点
E
，
交
BC
于点
F
．
（1）求
A，
B
，C
三点的坐标；
（2）试探究在点
P
运动的过程中，是否存在这样的点
Q，使得以
A，C
，Q为顶点的三角
形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点
Q
的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）请用含m的代数式表示线段
QF
的长，并求出m为何值时
QF
有最大值．
1
2
1
温馨提示：（1）解方程
x
x
4
0得
A( 3,0)，B(4,0)，计算自变量为
0时的二次函数
3
3
值得C
点坐标；
（2）利用勾股定理计算出
AC
5，利用待定系数法可求得直线
BC
的解析式为
y
x 4，
2
则可设Q(m，m 4)(0 m 4)，讨论：当
CQ=CA
时，则m
(m
4
4)2
52
，当
AQ=AC
时，(m
3)2
(m
4)2
52；当
QA=QC
2
2
2
2时，(m 3)
(m
4)
m
(m
4
4)
，然后分
别解方程求出m即可得到对应的
Q
点坐标；
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（3）过点
F
作
FG PQ于点G
，如图，由 OBC为等腰直角三角形．可判断 FQG为等腰
2
FG
PG
2
2
直角三角形，则
FG
QG
FQ，再证明
FGP
~
AOC
得到
，则
PG
FQ，
2
3
4
3
3
2
1
2
1
所以
PQ
7
2
FQ
，于是得到
FQ
PQ
，设
P(m，
m
m
4)(0
m
4)，则
6
7
3
3
Q(m,m 4)，利用
PQ
1
m2
4
m
FQ
3
2得到
(
1
m2
4
m)，然后利用二次函数的
3
3
7
3
3
性质解决问题．
略解：（1）A(-3,
0),B(4,0),C(0,-4)
5
2
5
2
（2）满足条件的Q点坐标为
(
，
4)或
(1, 3)；
2
2
（3）解：过点
F
作
FG PQ于点G
，如图，则
FG
/
/
x轴．由B(4,0)，C(0, 4)得 OBC为
等腰直角三角形 OBC QFG 45
度
FQG
2为等腰直角三角形， FG
QG
FQ，
PE
/
/
AC
，
PG
/
/CO，
2
FG
PG
FG
PG
FPG
ACO
， FGP
AOC
90 ， FGP
~
AOC
．
，即
，
OA
CO
3
4
PG
4
FG
4
2
FQ
2
2
FQ， PQ
PG
GQ
2
2
FQ
2
7
2
FQ
FQ，
3
3
2
3
3
2
6
3
2
1
1
FQ
PQ，设
P(m，
m2
m
4)(0
m
4)，则Q(m,m 4)，
7
3
3
PQ
m
4
(1
1
m2
m
4)
1m2
4
m
FQ
3
2
(
1m
2
4m)
2
(m
2)2
4
2
3
3
3
3
7
3
3
7
7
2
0， QF有最大值． 当
m
2时，QF
有最大值．
7
解题感悟：本题考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函
数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会
利用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．线段
FQ是既不平
行于
x
轴，又不平行于
y
轴的线段最值问题。解这类题一般以此线段为斜边构造一个直角三
角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于
x轴、y轴,
根据线段两个端点的坐标表
示出直角顶点坐标,根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长,再根据勾股定理表示出斜
边的平方（即两直角边的平方和），得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数，将其化为
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顶点式，并根据
a
的正负及自变量的取值范围判断最值，最后根据所求得的斜边平方的最值
求出斜边的最值即可。
例
4.（缩编题）如图，在平面直角坐标系中，已知点
A的坐标是
(4,0)，并且OA
OC
4OB，
动点
P在过
A，
B，C
三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过动点
P作
PE
垂直于
y轴于点
E，交直线
AC
于点
D，过点
D作
x轴的垂线，垂足
为
F
，连接
EF
，当线段
EF
的长度最短时，求出点
P的坐标；
温馨提示：（1）根据题意可以求得点C
和点
B的坐标，然后利用待定系数法即可求得抛物
线的解析式；
（2）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据点到直线的所有线段中，垂线段最短即可求
得点
P的坐标；
略解：（1）
y
x2
3x
4；
（2）连接OD，则四边形OFDE
是矩形，则OD
EF
，
垂线段最短， 当OD
AC
时，OD最短，即
EF最短， OA
OC，OD
AC
，
点D是线段
AC
1的中点，又 DF
/
/OC
， DF
OC
2， 点
P的纵坐标是
2，
2
2
x2
3x
4
3
17，解得，
x
，
2
当线段
EF的长度最短时，点
P的坐标是
(
3
17
3
17，
，
2)或
(
，
2)；
2
2
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乐博思
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解题感悟：本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的
条件，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答．本题利用矩形对角线相等的性
质，EF最短，实际就是
OD最短就行（转化的数学思想），再利用垂线段最短即可求的。
5.
2例
（缩编题）如图
1，抛物线
y
ax
2x
c与
x
轴交于
A( 4,0)，B(1,0)两点，过点
B
2
的直线
y
kx
分别与
y
轴及抛物线交于点C
，D．
3
（1）求直线和抛物线的表达式；
（2）如图
2，将直线
BD沿
y
轴向下平移
4个单位后，与
x
轴，
y
轴分别交于
E
，F
两点，
在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线
EF
上是否存在点
N
，使DM
MN
的值最小？
若存在，求出其最小值及点M，
N
的坐标；若不存在，请说明理由．
温馨提示：（1）利用待定系数法求解可得；
（2）通过作对称点，将折线转化成两点间距离，应用两点之间线段最短．
2
2
2
2
8
略解：（1）
y
x
；
y
x
2x
，
3
3
3
3
2
10
（2）由已知直线
EF
解析式为：
y
x
，
3
3
在抛物线上取点
D的对称点D ，过点D 作
D N
EF
于点
N
，交抛物线对称轴于点M
过点
N
作
NH
DD 于点H，此时，
DM
MN
D N
最小．则
EOF∽ NHD
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10
2
10
OE
OF
5
设点
N
坐标为
(a,
a
)，
，即
3
，
3
3
NH
HD
4
(
2
a
10
)
2
a
3
3
3
解得：
a
2，则
N
点坐标为
( 2, 2)，求得直线
ND
的解析式为
y
x
1，
2
3
5
3
5
当
x
时，
y
，
M
点坐标为
(
，
)，
2
4
2
4
此时，
DM
MN
的值最小为
D H
2
NH
2
42
62
2
13．
解题感悟：本题是二次函数和几何问题综合题，应用了二次函数性质以及转化的数学思想、
分类讨论思想．解题时注意数形结合．在解题过程中利用二次函数轴对称性（对称轴是对
应点连线的垂直平分线）及两点之间线段最短找到两条变化的边，并求其和的最小值是解
题的关键。
变式训练
3
9
1.
（缩编题）如图
1，在平面直角坐标系中，直线
y
x
与
x
轴交于点
A，与
y
轴
4
4
2
9
交于点
B
；抛物线
y
ax
bx
(a
0)过
A，B
两点，与
x
轴交于另一点C( 1,0)，抛物
4
线的顶点为
D
（1）求出
A，
B
两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（3）在直线
AB上方的抛物线上有一动点
E
，求出点
E
到直线
AB的距离的最大值；
9
温馨提示：（1）令
x
0，则
y
，令
y 0，则
x
3，即可求解；
4
（2）将点
A、C
的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（3）
E
到直线
AB的距离
EF
EH
cos FEH
EH
cos BAC
，即可求解；
9
答案：（1）点
A、
B
的坐标分别为
(3,0)、
(0,
)
；
4
y
3
x2
3
9（2）
x
，顶点D的坐标为
(1,3)；
4
2
4
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（3）过点
E
作EH
/
/y轴交
AB于点H，过点
E
作
EF
AB，
则 FEH
BAC，
E
到直线
AB的距离
EF
EH
cos
FEH
EH
cos
BAC
(
3
x2
3
x
9
3
x
9)
4
3
x2
9
x，
4
2
4
4
4
5
5
5
当
x
3
27
时，
EF有最大值为
；
2
20
考查目的：主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会
利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，
从而求出线段之间的关系．
1
1
2.
2如图①，抛物线
y
x
x
4与
y
轴交于点
A，与
x
轴交于点
B
，C
，将直线
AB绕
8
2
点
A逆时针旋转
90 ，所得直线与
x
轴交于点
D．
（1）求直线
AD的函数解析式；
（2）如图②，若点
P
是直线
AD上方抛物线上的一个动点
当点
P
到直线
AD的距离最大时，求点
P
的坐标和最大距离；
温馨提示：（1）根据抛物线
y
1
1
x2
x
4与
y
轴交于点
A，与
x
轴交于点
B
，C
，可
8
2
以求得点
A
、B
、C
的坐标，再根据将直线
AB
绕点
A
逆时针旋转90
°，所得直线与
x
轴
交于点D
，可以求得点D
的坐标．从而可以求得直线
AD
的函数解析式；
（2）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据二次函数的性质即可求得点P
到直线
AD
的
距离最大值，进而可以得到点P
的坐标；
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答案：（1）直线
AD的函数解析式为
y x 4；
1
1
（2）作
PN
x轴交直线
AD
2于点
N
，如右图①所示，设点
P
的坐标为
(t,
t
t
4)，
8
2
1
1
则点
N
2的坐标为
(t, t 4)， PN
(
t
t
4)
( t
4)
1
t2
3
t
， PN
x
轴，
8
2
8
2
PN
/
/y轴， OAD
PNH
45 ，作
PH
AD于点H，则 PHN
90 ，
PH
2
PN
2
(
1
t
2
3
t)
2
t
2
3
2
t
2
(t
6)2
9
2
，
2
2
8
2
16
4
16
4
5当
t
6
时，
PH
9
2取得最大值
，此时点
P
的坐标为
(6,
)
，
4
2
(6,
5即当点
P
9
2到直线
AD的距离最大时，点
P
的坐标是
)
，最大距离是
；
2
4
考查目的：本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的
条件，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．应掌握一次函数
y x 4的图像与
X轴的夹角为
45度。
3.
（缩编题）如图，在平面直角坐标系中，矩形
ABCD的边
BC与
x轴、
y轴的交点分别为
C(8,0)
15，B(0,6)，CD
5，抛物线
y
ax2
x
c(a
0)过
B
，C
两点，动点M
从点D开
4
始以每秒
5个单位长度的速度沿
D
A
B
C的方向运动到达C
点后停止运动．动点
N
从点O
以每秒
4个单位长度的速度沿OC
方向运动，到达C
点后，立即返回，向CO方向运
动，到达O
点后，又立即返回，依此在线段OC
上反复运动，当点M
停止运动时，点
N也
停止运动，设运动时间为
t．（1）求抛物线的解析式；
（2）求点
D的坐标；
（3）过点
D与
x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段
BA沿过点
B
的直线翻
折，点
A的对称点为
A ，求
A Q
QN
DN
的最小值．
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1
15温馨提示：（
）将C(8,0)
，
B(0,6)代入
y
ax2
x
c计算即可；
4
（2）作
DE
x轴于点
E
，证明
BOC∽ CED，可得CE
，DE长度，进而得到点
D的坐
标；
（3）作点
D关于
x轴的对称
F
，连接QF
，可得QN
DN
的最小值；连接
BQ减去
BA 可
得
A Q的最小值，综上可得
A Q
QN
DN
的最小值．
1
y
3
x2
15答案：（
）
x
6；
8
4
（2）D
(11,4)
（3）如答图
2，作点D关于
x轴的对称点
F
，连接QF
交
x轴于点
N，
点D(11,4)， 点
F
(11,
4)
y
3
x2
15
．由
x
6得对称轴为
x
5， 点Q(5,4)．
8
4
QF
(5 11)2
(4
4)2
10
BQ
(0
5)2，
(6
4)2
29．
A Q
QN
DN
BQ
BA
QF
29
5
10
29
5
．
故
A Q
QN
DN
的最小值为
29
5．
考查目的：本题考查了二次函数与几何图形的综合，涉及相似三角形的性质与判定，最短
路径问题的计算，熟知以上知识的应用是解题的关键．
4.
2（缩编题）在平面直角坐标系中，过点
A(3,4)的抛物线
y
ax
bx
4与
x
轴交于点
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B( 1,0)，与
y
轴交于点C
，过点
A作
AD
x轴于点
D．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图，G
是线段OC上一个动点，连接DG，过点G
作GM
DG交
AC
于点M，过点
M作射线MN
，使 NMG
60 ，交射线GD于点
N
；过点G
作GH
MN
，垂足为点H，
连接
BH．请直接写出线段
BH的最小值．
温馨提示：（1）利用待定系数法求解可得；
（2）证 GHM
90 ，再证点C
、G
、H、M共圆得 GCH
GMH
60 ，据此知点H
在与
y
轴夹角为
60 的定直线上，从而得
BH
CH
时，BH最小，作
HP
x
轴，并延长
PH
3
交
AC
于点Q，证
BHP
HCM
30
，设
OP
a
，知CQ a，从而得
QH
a
，
3
BP
1
a
，在
Rt BPH
中，得出HP
3(a
1)，BH 2(1 a)，根据QH HP AD 4可
求得
a
的值，从而得出答案．
1
y
x2答案：（
）
3x
4；
（2
2）抛物线的解析式为
y
x
3x
4， C(0,4)， A(3,4)，
AC
/
/x轴， OCA
90 ，
GH
MN
，
GHM
90
，
在四边形CGHM
中， GCM
GHM
180 ，
点C
、G
、H、M共圆，
如图
2，连接CH
，
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则 GCH
GMH
60 ，
点H在与
y
轴夹角为
60 的定直线上，
当
BH
CH
时，
BH最小（为什么）过点H作
HP
x
轴于点
P
，并延长
PH交
AC
于点
Q， GCH
60
， HCM
30 ，又
BH
CH
， BHC
90 ， BHP
HCM
30 ，
3
设OP
a
，则CQ a， QH
a， B( 1,0)， OB
1，
BP
1
a，
3
HP
BP
BP在
Rt BPH
中，
3(a
1)，
BH
2(1
a)， QH
HP
AD 4，
tan30
sin30
3
a
3(a
1)
4
4
3
3
4
3
1
，解得
a
， BH
2
1
a
．
3
4
最小
2
考查目的：本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、
四点共圆、解直角三角形的应用等知识点．
5.
2如图，在平面直角坐标系中，抛物线
y
ax
bx
2(a
0)与
x
轴交于
A，B
两点（点
A
在点
B
的左侧），与
y
轴交于点C
，抛物线经过点D( 2, 3)和点E(3,2)，点
P
是第一象限抛
物线上的一个动点．
（1）求直线DE和抛物线的表达式；
（2）在
y
轴上取点F(0,1)，连接
PF
，PB，当四边形OBPF的面积是
7时，求点
P
的坐标；
（3）在（2）的条件下，当点
P
在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点
M在点
N
的上方），且MN
2
2，动点Q从点
P
出发，沿
P
M
N
A的路线运动到
终点
A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点
N
的坐标．
温馨提示：（1）将点
D、
E
的坐标代入函数表达式，即可求解；
1
1
（2）
S
S
S
4 1
PH
BO四边形OBPF
OBF
PFB
，即可求解；2
2
（3）过点M作
A M
/
/AN，过作点
A 直线DE的对称点
A
，连接
PA 交直线DE于点M，
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此时，点Q运动的路径最短，即可求解．
1
2
3
答案：（1）y
=x-
1
，
y
x
x
2，
2
2
3
25
（2）点
P(2,
3)
或
(
，
)；
2
8
（3）当点
P
在抛物线对称轴的右侧时，点
P(2,
3)，
过点M作
A M
/
/AN，过点
A 作直线DE的对称点
A
，连接
PA 交直线DE于点M，此时，
点Q运动的路径最短，
MN
2
2，相当于向上、向右分别平移
2个单位，故点
A (1,2)，
A A
DE
，则直线
A A 过点
A ，则其表达式为：y=-x+3，
y
=
x
1
联立
y
=
x
+
3
并解得
x
2，则
A A 中点坐标为
(2,1)，
由中点坐标公式得：点
A (3,0)，同理可得：直线
A P的表达式为：y=-3x+9，
y
=
x
1
5
5
3
联立
y
=
3x
+
9并解得：
x
，即点M(
，
)，点M沿
ED向下平移
2
2个单位得：2
2
2
N(1
1，
)．
2
2
考查目的：本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的平移、面积的计算等，
其中（3），通过平移和点的对称性，确定点Q运动的最短路径，是本题解题的关键．
1
6.如图，抛物线
y
x2
bx c
1
与直线
y
x
3分别相交于
A，
B
两点，且此抛物线与
x
2
2
轴的一个交点为C
，连接
AC
，
BC．已知
A(0,3)，C( 3,0)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴
l上找一点M，使
|MB MC
|的值最大，并求出这个最大值；
（3）点
P
为
y
轴右侧抛物线上一动点，连接
PA，过点
P
作PQ PA交
y
轴于点Q，问：
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是否存在点
P
使得以
A，
P
，
Q为顶点的三角形与
ABC
相似？若存在，请求出所有符合
条件的点
P
的坐标；若不存在，请说明理由．
1
2
温馨提示：（1）①将
A(0,3)，C( 3,0)代入
y
x
bx c，即可求解；
2
（2）分当点
B
、C
、M三点不共线时、当点
B
、C
、M三点共线时，两种情况分别求解
即可；
PG
BC
1
PG
AC
（3）分当
时、当
3时两种情况，分别求解即可．
AG
AC
3
AG
BC
略解：
（1）
y
1
x2
5
x
3；
2
2
（2）将直线
y
1
x
3表达式与二次函数表达式联立并解得：
x
0或
4
，
2
A
(0,3)， B( 4,1)
①当点
B
、C
、M三点不共线时，
|MB MC
| BC
②当点
B
、C
、M三点共线时，
|MB MC
| BC
当点
B
、C
、M三点共线时，
|MB MC
|取最大值，即为
BC的长，
如图
1，过点
B
作
BE
x
轴于点
E
，在Rt BEC中，由勾股定理得
BC
BE2
CE2
2，
|MB MC
|取最大值为
2；
（3）存在点
P
使得以
A、
P
、Q为顶点的三角形与
ABC
相似．
1
2
5
设点
P
坐标为
(x，
x
x 3)(x
0)
2
2
在
Rt BEC中，
BE
CE
1， BCE
45 ，
在Rt ACO中，
AO
CO
3， ACO
45 ，
ACB
180
45
45
90 ，
AC
3
2，
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如图
2，过点
P
作PQ PA交
y
轴于点Q，则 APQ 90 ，
过点
P
作PG
y轴于点G
， PGA APQ 90 ， PAG QAP， PGA∽ QPA
PG
BC
1
PGA
ACB
90
①当
时，
PAG∽ BAC
，
AG
AC
3
x
1
1
51
5
，解得
x1
1，x2
0，（舍去） 点
P
1
2
的纵坐标为
1
3
6，
x2
x
3
3
3
2
2
2
2
点
P
为
(1,6)；
PG
AC
x
②当
3时，
PAG∽ ABC
，
3，
AG
BC
1
x2
5
x
3 3
2
2
13
解得
x1
（舍去），
x2
0（舍去）， 此时无符合条件的点
P3
综上所述，存在点P(1,6)．
考查目的：本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似、勾股定理运用
等知识点，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．
小结归纳：中考的压轴题通常是函数搭台，几何唱戏。初中所学函数就是将生活中的实际
问题转化为数学问题，即构建函数数学模型的有效载体，特别是二次函数；而数形结合思想
是分析、解决问题的关键。有关线段最值问题与二次函数的综合是中考压轴题中的常客，分
值高，难度较大，得分率偏低。实际上解这类试题关键是要理清题意，将线段最值问题借助
相关的概念、性质与思想，进而转化为相应的数学模型进行分析，让学生理解并掌握在二次
函数背景下借助基本图形研究线段最值问题的方法；在分析解决问题的过程中体会数形结合
与转化等数学思想；在这过程中培养学生构建二次函数模型并借助基本图形解决最值问题的
意识及能力是至关重要的。常见的类型有：（1）求竖直线段长的最值问题（2）求水平线段
长的最值问题（3）求斜线段长的最值问题等。
2021.3.24
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数学组谈中考数学中的二次函数最值问题（一）
在数学问题中，当某元素在给定条件变动时，求某几何量或所用时间的最大（多）值或
最小（少）值问题，称为最值问题。中考时，最值问题一般都在压轴题出现。常见的题型中
有求线段、面积、时间的最值问题，也有求线段之和（差）或面积之比的最值问题；还有胡
不归问题等。解题的关键是灵活运用所学知识解决问题。常用的方法有：轴对称﹣最短路线
问题丶求二次函数最值方法、构造相似三角形、添加辅助圆等。
二次函数中与线段有关的最值问题
例
1.（缩编题）如图，二次函数
y
x2
bx
c
的图象交
x
轴于点
A( 3,0)，B(1,0)，交
y
轴
于点C
．点
P(m,0)是
x
轴上的一动点，
PM
x
轴，交直线
AC
于点M，交抛物线于点
N
．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点
P
仅在线段
AO
上运动，如图，求线段
M
N
的最大值；
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例
2．（缩编题）如图，抛物线
y
ax2
bx
2与
x
轴交于
A
，B
两点，且OA
2OB
，与
y
轴交于点C
，连接
BC
，抛物线对称轴为直线
x
1
，D
为第一象限内抛物线上一动点，过
2
点D
作DE
⊥OA
于点E
，与
AC
交于点F
，设点D
的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）DF最大值是多少？
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例3.综合与探究
1
2
1
如图，抛物线
y
x
x
4与
x
轴交于
A
，B
两点（点
A
在点
B
的左侧），与
y
轴交于
3
3
点C
，连接
AC
，
BC
．点
P
是第四象限内抛物线上的一个动点，点
P
的横坐标为m，
过点
P
作
PM
x
轴，垂足为点M，PM
交
BC
于点Q，过点
P
作
PE
/
/AC
交
x
轴于点
E
，
交
BC
于点
F
．
（1）求
A
，
B
，C
三点的坐标；
（2）试探究在点
P
运动的过程中，是否存在这样的点
Q，使得以
A
，C
，Q为顶点的三角
形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点
Q
的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）请用含m的代数式表示线段
QF
的长，并求出m为何值时
QF
有最大值．
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例
4.
（缩编题）如图，在平面直角坐标系中，已知点
A
的坐标是(4,0)
，并且OA
=OC
=4OB
，
动点
P
在过
A
，
B
，C
三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过动点
P
作
PE
垂直于
y
轴于点
E
，交直线
AC
于点
D
，过点
D
作
x
轴的垂线，垂足
为F
，连接EF
，当线段EF
的长度最短时，求出点P
的坐标；
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例5.
2
（缩编题）如图
1，抛物线
y
=ax
+2x
+c
与
x
轴交于A( 4,0)，B(1,0)两点，过点B
y
kx
2的直线
分别与
y
轴及抛物线交于点C
，
D
．
3
（1）求直线和抛物线的表达式；
（2）如图
2，将直线
BD
沿
y
轴向下平移
4个单位后，与
x
轴，
y
轴分别交于
E
，F
两点，
在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线
EF
上是否存在点
N
，使
DM
MN
的值最小？
若存在，求出其最小值及点M，
N
的坐标；若不存在，请说明理由．
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变式训练
3
9
1.
（缩编题）如图
1，在平面直角坐标系中，直线
y
x
与
x
轴交于点
A
，与
y
轴
4
4
交于点
B
；抛物线
y
9
ax2
bx
(a
0)过
A
，B
两点，与
x
轴交于另一点C( 1,0)，抛物
4
线的顶点为
D
（1）求出
A
，
B
两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式及顶点
D
的坐标；
（3）在直线
AB
上方的抛物线上有一动点
E
，求出点
E
到直线
AB
的距离的最大值；
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1
1
2.
2如图①，抛物线
y
x
x
4与
y
轴交于点
A
，与
x
轴交于点
B
，C
，将直线
AB
绕
8
2
点
A
逆时针旋转
90 ，所得直线与
x
轴交于点
D
．
（1）求直线
AD的函数解析式；
（2）如图②，若点
P
是直线
AD上方抛物线上的一个动点
当点
P
到直线
AD的距离最大时，求点
P
的坐标和最大距离；
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3.
（缩编题）如图，在平面直角坐标系中，矩形
ABCD
的边
BC
与
x
轴、
y
轴的交点分别为
C(8,0)
15，B(0,6)，CD
5，抛物线
y
ax2
x
c(a
0)过
B
，C
两点，动点
M
从点
D
开
4
始以每秒
5个单位长度的速度沿
D
A
B
C
的方向运动到达C
点后停止运动．动点
N
从点O
以每秒
4个单位长度的速度沿OC
方向运动，到达C
点后，立即返回，向CO
方向运
动，到达O
点后，又立即返回，依此在线段OC
上反复运动，当点
M
停止运动时，点
N
也
停止运动，设运动时间为
t
．（1）求抛物线的解析式；
（2）求点
D
的坐标；
（3）过点
D
与
x
轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q
，将线段
BA
沿过点
B
的直线翻
折，点
A
的对称点为
A ，求
A Q
QN
DN
的最小值．
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4.
（缩编题）在平面直角坐标系中，过点
A(3,4)
y
ax2的抛物线
bx
4与
x
轴交于点
B( 1,0)，与
y
轴交于点C
，过点
A
作
AD
x
轴于点
D
．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图，G
是线段OC
上一个动点，连接DG
，过点G
作GM
⊥DG
交
AC
于点M，过点M
作射线M
N
，使∠NMG
=60
°，交射线GD
于点N
；过点G
作GH
⊥MN
，垂足为点H
，连接
BH
．请直接写出线段BH
的最小值．
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5.
2
如图，在平面直角坐标系中，抛物线
y
=ax
+bx
+2(a
≠0)
与
x
轴交于
A
，B
两点（点
A
在点B
的左侧），与
y
轴交于点C
，抛物线经过点D( 2 ,3)
和点E(3,2)，点P
是第一象限抛
物线上的一个动点．
（1）求直线DE
和抛物线的表达式；
（2）在
y
轴上取点F(0,1)，连接PF
，PB
，当四边形OBPF
的面积是
7
时，求点P
的坐标；
（3）在（2）的条件下，当点P
在抛物线对称轴的右侧时，直线DE
上存在两点M，N
（点M在
点N
的上方），且MN
=2
2
，动点Q从点P
出发，沿P
→M
→N
→A
的路线运动到终点
A
，
当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N
的坐标．
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1
6.如图，抛物线
y
x2
bx c与直线
y
1
x 3分别相交于
A
，
B
两点，且此抛物线与
x
2
2
轴的一个交点为C
，连接
AC
，
BC
．已知
A(0,3)，C( 3,0)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴
l
上找一点M，使
|MB MC
|的值最大，并求出这个最大值；
（3）点
P
为
y
轴右侧抛物线上一动点，连接
PA
，过点
P
作PQ PA交
y
轴于点Q，问：
是否存在点
P
使得以
A
，
P
，
Q为顶点的三角形与
ABC
相似？若存在，请求出所有符合
条件的点
P
的坐标；若不存在，请说明理由．
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小结归纳：中考的压轴题通常是函数搭台，几何唱戏。初中所学函数就是将生活中的实际
问题转化为数学问题，即构建函数数学模型的有效载体，特别是二次函数；而数形结合思想
是分析、解决问题的关键。有关线段最值问题与二次函数的综合是中考压轴题中的常客，分
值高，难度较大，得分率偏低。实际上解这类试题关键是要理清题意，将线段最值问题借助
相关的概念、性质与思想，进而转化为相应的数学模型进行分析，让学生理解并掌握在二次
函数背景下借助基本图形研究线段最值问题的方法；在分析解决问题的过程中体会数形结合
与转化等数学思想；在这过程中培养学生构建二次函数模型并借助基本图形解决最值问题的
意识及能力是至关重要的。常见的类型有：（1）求竖直线段长的最值问题（2）求水平线段
长的最值问题（3）求斜线段长的最值问题等。
2021.3.24
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