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华师大版数学八年级下册20.3数据的离散程度导学案
课题 数据的离散程度 单元 20 学科 数学 年级 八年级
知识目标 1.了解刻画数据离散程度的三个量的概念，能借助计算器求出相应标准差和方差. 2.能在具体情境中用方差刻画一组数据的波动大小，并解决实际问题. 3.主动参与探究活动，开拓思路，在复杂的关系中寻找问题关键.
重点难点 重点：理解识记方差公式，灵活运用方差公式解题． 难点：灵活运用方差公式解决实际问题.
教学过程
知识链接 1．某学校初三一班甲、乙两名同学参加最近5次数学测试的成绩(单位：分)统计如下： 甲：65 94 95 98 98 乙：62 71 98 99 100 (1)分别写出甲、乙成绩的平均分和中位数. (2)写出甲、乙两名同学所有测试成绩的众数. 2．用平均数、中位数或众数代表数有什么不同？
合作探究 一、教材第150页 下表显示的是上海市2001年2月下旬和2002年同期的每日最高气温： 上海市每日最高气温统计表（单位：℃ ） (1)从表20.3.1中可以看出，2002年2月下旬和2001年同期的气温相比，有4天的温度相对高些，有3天的温度相对低些，还有1天的温度相同．我们可以由此认为2002年2月下旬的气温总体上比2001年同期高吗 （2）比较两段时间气温的高低，求平均气温是一种常用的方法．请求平均数。 （3）经计算可以看出，对于2月下旬的这段时间而言，2001年和2002年上海地区的平均气温相等，都是12℃．这是不是说，两个时段的气温情况总体上没有什么差异呢 二、教材第151页 观察图，你感觉它们有没有差异呢？ 通过观察，可以发现：图(a)中折线波动的范围比较 ——从6℃到22℃， 图(b)中折线波动的范围则比较 ——从9℃到16℃.) 思考：什么样的指标可以反映一组数据变化范围的大小 三、教材第151页 思考：为什么说北京四季分明，新加坡四季温差不大？ 四、教材第151页 问题2：小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的5次测试成绩如表所示，谁的成绩较为稳定 为什么 (1)计算出两人的平均成绩. (2)画出两人测试成绩的折线图，如图. (3)观察发现什么 思考：什么样的数能反映一组数据与其平均值的离散程度 我们已经看出，小兵的测试成绩与平均值的偏差较大，而小明的较小.那么如何加以说明呢 可以直接将各数据与平均值的差进行累加吗 五、教材第152页 试一试： (1)在表中，写出你的计算结果. 通过计算，依据最后的结果可以比较两组数据围绕其平均值的波动情况吗 (2)如果不行，请你提出一个可行的方案，在表中，写上新的计算方案，并将计算结果填入表中. (3)思考：如果一共进行7次测试，小明因故缺席了两次，怎样比较谁的成绩更稳定 请将你的方法与数据填入表中. 我们可以用“先 ，再求 ，然后 ，最后再 ”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况.这类结果通常称为 . 我们通常用S2表示一组数据的方差，用表示一组数据的平均数，x1、x2、…、xn表示各个数据，方差的计算公式： 。 六、教材第154页 计算可得： 小明 5 次测试成绩的方差为_______， 小兵 5 次测试成绩的方差为_______. 计算结果是否是小明的成绩比较稳定呢？ 七、教材第154页 下表显示的是上海市2002年2月下旬的上海市每日最高气温，请用计算器计算一下方差.
自主尝试 1.小明和小强同学分别统计了自己最近10次“一分钟跳绳”的成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是( ) A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 2.甲、乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是( ) A．甲、乙两班的平均水平相同 B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同 C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定 D．甲班成绩优异的人数比乙班多 3.如果一组数据6，7，x，9，5的平均数是2x，那么这组数据的方差为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【方法宝典】 根据方差的相关知识解题即可.
当堂检测 1.体育课上，某班两名同学分别进行了5次短跑训练，要判断哪一名同学的成绩比较稳定，通常需要比较两名同学成绩的( ) A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差 2.为筹备期末座谈会，班长对全班同学爱吃哪几种水果作了民意调查．根据调查数据决定最终买什么水果应参照的统计量是（ ） A.众数 B.中位数 C.平均数 D.方差 3.如果一组数据a1，a2，…，an的方差是2，那么一组新数据2a1+1，2a2+1，…，2an+1的方差是（ ） A.2 B.3 C.4 D.8 4.某次射击比赛中，甲队员的射击成绩统计如下： 成绩（环）56789次数12421
则下列说法正确的是（ ） A.甲队员射击成绩的极差是3环 B.甲队员射击成绩的众数是1环 C.甲队员射击成绩的众数是7.5环 D.经计算，甲队员射击成绩的平均数是7环，另外一名乙队员射击成绩的平均数也是7环，甲队员射击成绩的方差是1.2，乙队员射击成绩的方差是3，则甲队员的成绩比乙队员的成绩稳定 5.2016年5月4日，某校举行“我说我校训”演讲比赛，参赛选手共有12名．梦梦根据比赛中七位评委所给的某位参赛选手的分数制作了表格，如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ） 众数中位数平均数方差9.29.19.10.2
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 6.已知一组数据1，3，5，7，9，则这组数据的方差是 ． 7.某机床生产一种零件，在6月6日至9日这4天中出现次品的数量如下表： 若出现次品数量的唯一众数为1，则数据1，0，2，a的方差等于 ． 8.甲、乙两人进行射击测试，每人射击10次．射击成绩的平均数都是8.5环，方差分别是：S甲2=3，S乙2=3.5．则射击成绩比较稳定的是 （填“甲”或“乙“） 9.已知一组数据1，2，3，4，5的方差为2，则另一组数据11，12，13，14，15的方差为_______． 10.已知一组数据共有5个数，它们的方差是0.4，众数、中位数和平均数都是8，最大的数是9，则最小的数是 ． 11.八(2)班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表(10分制)： (1)甲队成绩的中位数是 分，乙队成绩的众数是 分； (2)计算乙队的平均成绩和方差； (3)已知甲队成绩的方差是1.4，则成绩较为整齐的是 队.
小结反思 通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案： 当堂检测： 1.D 2.A 3.D 4.D 5.C 6.答案为：8． 7.答案为：0.5. 8.答案为：甲; 9.答案为：2． 10.答案为：7. 11.解：
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华师大版 八下数学
20.3数据的离散程度
知识回顾
平均数、中位数、众数的选用：
联系：
区别：
都反映了一组数据的集中趋势
平均数能充分利用各数据，在实际中较为常用，但受极端值影响，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动；
中位数仅与数据的排列位置有关，不受极端值或某些数据的变动；
侧重于数据的“中等水平”；
众数主要研究各数据出现的次数，其大小只与这组数据中的某些数据有关.
思考
在统计学中，除了平均数、中位数、众数这类刻画数据集中趋势的量以外，还有一类刻画数据波动(离散)程度的量，其中最重要的就是方差. 本节我们将在实际问题情境中，了解方差的统计意义并运用方差解决问题.
探究新知
下表显示的是上海市2001年2月下旬和2002年同期的每日最高气温：
上海市每日最高气温统计表（单位：℃ ）
试对这两段时间的气温进行比较.2002年2月下旬的气温比2001年高吗？
两段时间的平均气温分别是多少？
2月 21日 2月 22日 2月 23日 2月 24日 2月 25日 2月 26日 2月 27日 2月
28日
2001年 12 13 14 22 6 8 9 12
2002年 13 13 12 9 11 16 12 10
探究新知
分 析：
由计算可知这两个时段的平均气温相等，都是12℃ ，
这是不是说，两个时段的气温情况总体上没有什么差异呢？
思考：
探究新知
总结
通过观察，我们可以发现：
图（a）中的点波动范围比较大——从6℃到22℃，最大值与最小值之间差距很大，相差16℃；
图（b）中的点波动范围比较小——从9℃到16℃,最大值与最小值相差7℃，总体上气温变化的范围不太大.
思考
为什么说北京四季分明，新加坡四季温差不大？
北京一年四季温差较大，气温波动大；
新加坡四季温差不大，气温比较稳定.
探究新知
小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的5次测试成绩如表所示.谁的成绩较为稳定？为什么？
测试次数 1 2 3 4 5
小明 10 14 13 12 13
小兵 11 11 15 14 11
通过计算分析，两人测试成绩的平均数都是12.4，成绩的最大值与最小值也都相差4.相比之下，小明的成绩大部分集中在平均数附近，而小兵的成绩与其平均数的离散程度略大.如果一组数据与其平均数的离散程度较小，就比较稳定.
怎样的指标能反映一组数据与其平均数的离散程度呢？
我们已经看出，小兵的测试成绩与平均数的偏差与小明相比略大.那么如何加以说明呢？可以直接将各数据与平均数的差进行累加吗？
思考
1 2 3 4 5 求和
小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13
每次成绩-平均成绩
小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11
每次成绩-平均成绩
在下表中写出你的计算结果.
-2.4
1.6
0.6
-0.4
0.6
0
-1.4
-1.4
2.6
1.6
-1.4
0
填一填
依据最后求和的结果可以比较两组数据围绕其平均数的波动情况吗？
如果不行，请你提出一个可行的方案，在下表中写上新的计算方案.
1 2 3 4 5 平均
小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13
小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11
(每次成绩-平均成绩)2
5.76
2.56
0.36
0.16
0.36
1.84
(每次成绩-平均成绩)2
1.96
1.96
6.76
2.56
1.96
3.04
想一想
如果一共进行了7次测试，小明因故缺席了2次，怎样比较谁的成绩更稳定？
1 2 3 4 5 6 7 平均
小明 每次测试成绩 10 14 13 缺席 12 缺席 13
小兵 每次测试成绩 11 11 15 11 14 14 11
(每次成绩-平均成绩)2
5.76
2.56
0.36
0.16
0.36
1.84
(每次成绩-平均成绩)2
1.96
1.96
6.76
2.56
1.96
2.56
1.96
2.82
思考
小结
用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果称为方差.
知识要点
测试次数 1 2 3 4 5
小明 10 14 13 12 13
小兵 11 11 15 14 11
上表中，小明和小兵5次测试成绩的方差的计算式是
计算可得：
小明 5 次测试成绩的方差为_______，
小兵 5 次测试成绩的方差为_______.
计算结果是否是小明的成绩比较稳定呢？
1.84
3.04
∵1.84＜3.04,∴小明的成绩比较稳定.
探究新知
知识要点
方差的意义
方差用来衡量一组数据的波动大小(即这组数据偏离平均数的大小).
方差越大，数据的波动越大；
方差越小，数据的波动越小．
练一练
在这次篮球联赛中,最后是九班和三班争夺这次篮球赛冠军, 赛前两个班的拉拉队都表演了啦啦操,参加表演的女同学的身高(单位:cm)分别是：
九班 163 163 165 165 165 166 166 167
三班 163 164 164 164 165 166 167 167
哪班啦啦操队女同学的身高更整齐
（1）你是如何理解“整齐”的？
（2）从数据上看，你是如何判断哪个队更整齐？
练一练
方法一：
方法二：
解: 取 a = 165
九班新数据为： -2，-2， 0， 0，0，1，1，2
直接求原数据的方差.
（一个学生在黑板上板书，其他学生在本上作答）
三班新数据为： -2，-1，-1，-1，0，1，2，2
求两组新数据方差.
任取一个基准数a
将原数据减去a，得到一组新数据
求新数据的方差
1
2
3
求一组较大数据的方差，有如下简便计算方法：
方法拓展
探究新知
1.不同品牌的计算器的操作步骤有所不同，操作时需要参阅计算器的使用说明书.
2.通常需要先按动开关键，使计算器进入统计状态；
然后依次输入数据x1，x2，…，xn ；最后按动求方差的功能键（例如 键），计算器便会求出方差 的值.
（1）打开计算器；
，启动统计计算功能；
（2）
（3）输入第一个数据，按键 ，第二个数据，按键 ，……
输入最后一个数据，按键 ，输入所有数据；
=
=
=
AC
（STAT）
4
3
=
得到一个数值；最后将该数值平方，即是我们要计算的方差.
计算器计算方差的步骤：
MODE
2
1
（4）
SHIFT
1
探究新知
例、下表显示的是上海市2002年2月下旬的上海市每日最高气温，请计算一下方差.
2月21日 2月22日 2月23日 2月24日 2月25日 2月26日 2月27日 2月28日
2002年 13 13 12 9 11 16 12 10
典例精析
ON
MODE
2
1
10
=
AC
13
=
13
=
SHIFT
1
43
=
典例精析
课堂练习
1.已知一组数据：5，4，3，4，9，关于这组数据的下列描述：
①平均数是5；②中位数是4；
③众数是4；④方差是4.4.
其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D
2.已知一组数据为7，2，5，x，8，它们的平均数是5，则这组数据的方差( )
A．3 B．4.5 C．5.2 D．6
C
课堂练习
3.如果一组数据x1，x2，…，xn的方差是4，则另一组数据x1＋3，x2＋3，…，xn＋3的方差是( )
A．4 B．7 C．8 D．19
4．在进行统计计算时，为了清除前一步输错的数据，应按键( )
A．STAT B．DEL C．DCA D．DATA
A
B
课堂练习
甲 9.9 10.2 9.8 10.1 9.8 10 10.2
乙 10.1 9.6 10 10.4 9.7 9.9 10.3
5．已知甲、乙两组数据如下表：
x甲＝x乙
甲
课堂练习
解：甲命中环数的众数为8环，乙命中环数的众数为10环．
6.在学校组织的社会实践活动中，甲、乙两人参加了射击比赛，每人射击七次，命中的环数如下表：
序号 一 二 三 四 五 六 七
甲命中的环数 7 8 8 6 9 8 10
乙命中的环数 5 10 6 7 8 10 10
根据以上信息，解决下面的问题：
(1)求甲、乙两人命中环数的众数；
课堂练习
(2)已知通过计算器求得x甲＝8环，甲命中环数的方差约为1.43，试比较甲、乙两人谁的成绩更稳定．
解：通过计算可得x乙＝8环，乙命中环数的方差约为3.71，
∴甲、乙两人的平均成绩一样，而甲命中环数的方差小于乙命中环数的方差，∴甲的成绩更稳定．
课堂小结
方差是用来衡量一组数据的波动大小的特征量
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，通过比较方差的大小来判断数据的稳定性.
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