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19.2菱形的判定导学案
课题 菱形的判定 单元 19 学科 数学 年级 八年级
知识目标 1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算； 2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．
重点难点 重点：菱形的两个判定方法. 难点：判定方法的证明方法及运用.
教学过程
知识链接 1.菱形的定义： ； 2.菱形的性质1 ； 性质2 ； 3.运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？
合作探究 一、教材第114页 要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？ 二、教材第114页 试一试：如图，作一个四条边都相等的四边形. 作法： 归纳：菱形的判定定理1： 。 三、教材第114页 例4、如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是四条边的中点，试问四边形EFGH是什么样的图形？并说明理由. 四、教材第116页 思考：你能从对角线的角度得到什么关于菱形判定的猜想？ 探索 用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？ 五、教材116页 试一试：作一条两条对角线互相垂直的平行四边形. 作法： 归纳：菱形判定方法2 ． 六、教材第117页 例5已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F． 求证：四边形AFCE是菱形．
自主尝试 1．填空： （1）对角线互相平分的四边形是 ； （2）对角线互相垂直平分的四边形是________； （3）对角线相等且互相平分的四边形是________； （4）两组对边分别平行，且对角线 的四边形是菱形． 2．画一个菱形，使它的两条对角线长分别为6cm、8cm． 3．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：四边形OCED是菱形。 【方法宝典】 根据菱形的判定定理解题即可.
当堂检测 1.如图所示,方格纸中有一个四边形ABCD(A,B,C,D均为格点).若方格纸中每个小正方形的边长都为1,则四边形ABCD是 ( ) A.矩形 B.菱形 C.梯形 D.以上都不是 2.如图，在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,添加下列条件后,不能判定四边形ABCD是菱形的是 ( ) A.AB=AD B.AC=BD C.AC⊥BD D.∠ABO=∠CBO 3.如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连结AD.下列条件能判定四边形ACED为菱形的是( ) A.AB=BC B.AC=BC C.∠B=60° D.∠ACB=60° 4.如图,四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形,且OB=OD,请你添加一个适当的条件: ,使四边形ABCD是菱形.(只需添加一个即可) 5.如图,在 ABCD中,AC平分∠DAB,AB=3,则 ABCD的周长为 . 6.如图,在 ABCD中,AC,BD相交于点O,过点C作CE∥BD,交AB的延长线于点E.如果AC⊥BD,那么∠ACB= °时,四边形BECD是菱形. 7.如图，所示,在∠MON的两边上分别截取OA,OB,使OA=OB.分别以点A,B为圆心,OA长为半径作弧,两弧交于点C.连结AC,BC,AB,OC.若AB=2 cm,四边形OACB的面积为4 cm2,则OC的长为 cm. 8.在平面直角坐标系中,已知A,B,C三点的坐标分别是A(0,4),B(-3,0),C(m,0)(m≠-3).如果存在点D,使得以A,B,C,D为顶点的四边形是菱形,那么m的值为 . 9. 如图,在 ABCD中,E,F分别是AD,BC上的点,且DE=BF,AC⊥EF.求证:四边形AECF是菱形. 10. 如图,AC=8,分别以点A,C为圆心,以长度5为半径作弧,两条弧分别相交于点B和D.依次连结点A,B,C,D,连结BD交AC于点O. (1)判断四边形ABCD的形状并说明理由; (2)求BD的长.
小结反思 通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案： 当堂检测： 1. B 2. B 3. B 4. OA=OC答案不唯一 5. 12 6. 30 7. 4 8. 2或-8或3或 9.证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,AD∥BC. ∵DE=BF,∴AE=CF. ∵AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形. 又∵AC⊥EF,∴四边形AECF是菱形. 10.解:(1)四边形ABCD为菱形.理由:由作法得AB=AD=CB=CD=5,∴四边形ABCD为菱形. (2)∵四边形ABCD为菱形,∴OA=OC=4,OB=OD,AC⊥BD.在Rt△AOB中,OB==3,∴BD=2OB=6.
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华师大版 八下数学
19.2.2菱形的判定
复习导入
菱形的定义是什么？性质有哪些？
一组邻边相等
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
平行四边形
菱形
我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形．除此之外，还能找到其他的判定方法吗？
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法：
∵四边形ABCD是平行四边形，
AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
几何语言
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
A
B
C
D
探究新知
试一试
如图，作一个四条边都相等的四边形.
1.画两条相等的线段AB、AD；
2.分别以点B和点D为圆心、AB长为半径画弧，两弧相交于点C
3.连结BC、CD，即得一个四条边都相等的四边形ABCD.
A
B
D
C
观察你所画的图形，它是菱形吗？
所画图形是菱形
证一证
证明：∵AB=BC=CD=AD;
∴AB=CD , BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
要点归纳
四条边都相等的四边形是菱形
AB=BC=CD=AD
几何语言：
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四边形 ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
四边形ABCD
A
B
C
D
菱形的判定定理：
典例精析
解：四边形EFGH是菱形，理由如下.
因为在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是四条边的中点，所以AH=DH=BF=CF，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AE=BE=CG=DG，所以△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DGH，所以EH=EF=GF=GH，所以四边形EFGH是菱形.
A
H
D
E
C
F
B
G
例4、如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是四条边的中点，试问四边形EFGH是什么样的图形？并说明理由.
练一练
如图，在四边形ABCD中，AD//BC ，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE. 求证：四边形ABED是菱形.
A
B
C
D
E
证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE.
∵AB=AD ，
∴△BAE≌△DAE.∴BE=DE.
∵AD//BC ， ∴∠DAE=∠AED ，∠BAE=∠AEB ，
∴AB=BE=DE=AD ，
∴四边形ABED是菱形.
思考
菱形的两条对角线互相垂直
这是菱形所特有的性质.你能从对角线的角度得到什么关于菱形判定的猜想？
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
试一试
前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形 对此你有什么猜想？
做一做
作一条两条对角线互相垂直的平行四边形.
步骤:
1.作两条互相垂直的直线m、n,记交点为点O;
2.以点 O为圆心、适当长为半径画弧，
在直线 m，n上分别截取相等的
两组线段OA、OC和OB、OD ；
3.连接A、B、C、D四点 ，显然，
它是一个对角线互相垂直的平行四边形.
m
n
O
A
B
C
D
证一证
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O ，AC⊥BD.求证：□ABCD是菱形.
A
B
C
O
D
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形.
∴OA=OC.
又∵AC⊥BD,
∴BD是线段AC的垂直平分线.
∴BA=BC.
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
归纳总结
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
AC⊥BD
几何语言：
∵在□ABCD中，AC⊥BD,
∴ □ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
菱形的判定定理2：
例5、如图，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F.
求证：四边形AFCE是菱形.
典例精析
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥FC，
∴∠1＝∠2.
∵EF平分AC，∴OA＝OC.
又∵∠AOE＝∠COF＝90°，
∴△AOE≌△COF, ∴OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四
边形是菱形).
典例精析
如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，求平行四边形ABCD的周长.
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠DAC=∠ACB，∠BAC=∠ACD，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠DAC=∠ACD，
∴AD=DC，
∴四边形ABCD为菱形，
∴四边形ABCD的周长=4×2=8．
练一练
课堂练习
1．如图所示，四边形ABCD是矩形，AE∥BD，DE∥AC，则四边形AODE是( )
A．平行四边形但不是菱形 B．矩形
C．菱形 D．无法确定
C
课堂练习
2．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是( )
A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD
B．AB＝BC
C．AB＝CD，AD＝BC
D．∠DAB＋∠BCD＝180°
D
课堂练习
3．如图所示，AE是 ABCD的∠DAB的平分线，且交BC于点E，EF∥AB交AD于点F，则四边形ABEF一定是_______．
菱形
4．如图所示，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，CD，BC，DA的中点，则四边形EGFH是______形．
菱
课堂练习
课堂练习
5.如图，在 ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF.求证：四边形AECF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵DE＝BF，∴AE＝CF，
∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴平行四边形AECF是菱形
课堂练习
6．如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连结AF，BE.
(1)求证：△AGE≌△BGF；
(2)试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．
课堂练习
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEG＝∠BFG，∵EF垂直平分AB，∴AG＝BG，∠AGE＝∠BGF，∴△AGE≌△BGF(AAS)
(2)四边形AFBE是菱形，理由如下：
∵△AGE≌△BGF，∴AE＝BF，∵AD∥BC，∴四边形AFBE是平行四边形，又∵EF⊥AB，∴四边形AFBE是菱形
课堂小结
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
判定定理1：四边都相等的四边形是菱形
菱形的判定
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
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