吉林省梅河口五高2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 扫描版含答案

梅河口市第五中学2020-2021学年下学期高一年级期中考试答案
单选题
1-5BDDCB 6-8CAC
1.在简单随机抽样中每个个体被抽到的可能性相等故选B
? 5 4 5 4 ?5 4?
2.设 z 1 1
z ?a?bi， ? i，解得a ? ,b?? 则z ? ? i在复平面对应点为? ，? ?
z?1 2 3 3 3 3 ?3 3?
故选D
3.正四棱锥如图，
设四棱锥的高OE ?h，
由底面边长为4，可知OF ?2，斜高 2
EF ? h ?4，
1
故 2 2
h ? ? 2
4? h ?4，解得h =2?2 5，
2
1
故侧面积为 2 2
4? ?4? h ?4 ?4h ?8?8 5 ?8?1? 5?
2
故选D
???? ???? ???? ???? ????
4.由 2 2
BC ? AC? AB ?(1,t?3) ， BC ? 1 ?(t?3) ?1，得 t ?3 ，则 BC ?(1,0) ，
???? ????
AB?BC ?(2,3)?(1,0)?2?1?3?0?2．故选C．
5.∵sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，sin(A＋B)＝sinC≠0，
∴sin(A－B)＝sin(A＋B)，∴cosAsinB＝0，
∵sinB≠0，∴cosA＝0，∴A为直角．故选B
6.A.因为m?n，m??，所以n//?或n??，又n//?，则?,?位置不确定，故错误；
B.因为m?n，m??，所以n//?或n??，又n??，所以???，故错误；
C. 因为m//n?，m??，所以n??，又n??，所以?//?，故正确；
D.如果?//?，m与?所成的角和n与?所成的角相等，那么m//n，相交或异面，故错误．
故选C
50
7.根据题意，750+850+900=2500，750? ?15．故选A．
2500
8.如图，不妨设N 在B处，AM ?h，CQ ?m
则 2 2 2 2 2 2
MB ?h ?4，BQ ?m ?4，MQ ??h?m? ?4
由 2 2 2 2
MB ?BQ ?MQ 得： 2 2
m ?hm?2?0，则??h ?8?0，即h ?8
?该直角三角形斜边 2
MB ? 4?h ? 4?8 ?2 3
故选：C
多选题
9. ABD 10.AC 11.ABC 12.ABC
? ???? ??????
AB AC ????
9A，因为非零向量? ???? ? ???? ??BC ? 0，所以?BAC的平分线与BC垂直，
? AB AC ?
? ?
???? ?????
AB AC 1 ?
?ABC 为等腰三角形，又 ???? ? ???? ? ，所以?BAC? ，
AB AC 2 3
所以?ABC 为等边三角形，故A正确；
B，设正三角形ABC内切圆半径r，
1 1 ?
由面积相等可得 ?2 3?3?r ? ?2 3?2 3?sin ，
2 2 3
解得r ?1，令AB 的中点为D，从而DA? DC ? 3,
???? ???? ???? ???? ???? ???? ????
则PA?PB?2PD，PA?PB ? BA?2DA,
两式平方作差可得 ???? ???? ????2 ????2
4PA?PB ?4PD ?4DA ,
2
即???? ???? ???? ???? ????
，若要使 最大，只需????2最大
PA?PB ? PD ?3 PA?PB PD
????
由于D为AB的中点，也为圆O与AB的切点，所以 PD 的最大值为2r ?2，
2
所以???? ???? ????
，故 正确
PA?PB ? PD ?3?4?3?1 B
? ? ? ? ???? ???? ???? ????
C，a?b?c?d ?OA?OB?OC?OD,
???? ???? ???? ???? ???? ????
?CA?DB?CD?DA?DA? AB，
???? ????
在平行四边形ABCD中，有AB?DC，
???? ?
所以原式?2DA?0，故C错误；
? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ?2 ?2 ?2
D，(a?b)?(a?b)?a ?a?b?b?a?b ?a ?b ，所以D正确.
2 2 3
10.z ?(m ?i)(1?mi)?(m ?m)?(m ?1)i
2 3
(m ?m)?0，(m ?1)?0，m?1或0故选：AC
11.考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内
接正方形。故选：ABC
12.A选项，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，BD//B1D1，又B1D1 ?平面CB1D1，BD?平
面CB1D1，所以BD//平面CB1D1，即A正确；
B选项，连接A1C1，C1D，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，B1D1 ? A1C1，DC1 ?CD1，
AD?平面C1D1DC，AA1 ?平面A1B1C1D1，
因为CD1 ?平面C1D1DC，B1D1 ?平面A1B1C1D1，
所以CD1 ? AD，AA1 ? B1D1，
又DC1?AD ? D，DC1 ?平面AC1D，AD?平面AC1D，所以CD1 ?平面AC1D，
因此CD1 ? AC1；
同理B1D1 ? AC1，
又CD1?B1D1 ?D1，CD1 ?平面CB1D1，B1D1 ?平面CB1D1，
所以AC1 ?平面CB1D1；即B正确；
C选项，因为B1D1//BD，所以?CB1D1即等于异面直线CB1与BD所成角，
又 2 2
CB1 ? B1D1 ?CD1 ? 2 ?2 ?2 2 ，即?CB1D1为等边三角形，即异面直线CB1与BD
所成角为 ?
60 ，故C正确；
D选项，三棱锥D?CB1D1的体积为
1 1 1 4
VD?CB1D1 ?VB1?CDD1 ? S?CDD1 ?B1C1 ? ? ?2?2?2? .故D错；
3 3 2 3
故选：ABC
填空题
?
13. 3 14.19 15. 52? 16. 6
? ?
13.因为a,b为单位向量
? ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? ?
所以 a?b ? ，解得 ，
?a?b? ? a ? 2a?b? b ? 2? 2a?b ?1 2a?b??1
? ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2
所以 a?b ? ?a?b? ? a ?2a?b? b ? 3，故答案为 3．
x2＋x3 13＋25
14.19 因为8×25%＝2,8×80%＝6.4，所以25%分位数为 ＝ ＝19.
2 2
15.52?解：如上图作BD的中点E，?ABD和?CBD的中心G、F ，过点G、F 分别作
平面 ABD和平面CBD 的垂线，交于点O，连接
OC
由题可知AE ?CE ?3 3
则EG ? EF ? 3
?
?AEC ?60 可得OG ?OF ?1
则FD ?2 3，r ?OD ? 13
2
S
球 ?4?r ?52?
16.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，
所以b2＋c2－2bccosA＝3b2＋3c2－2 3bcsinA，
b2＋c2 2＋ 2
3sinA－ π b c
cosA＝ ，2sin(A－ )＝ ≥2，
bc 6 bc
π－2π
因此b＝c， π π 2π π
A－ ＝ ?A＝ ，所以C＝ 3＝ .
6 2 3 2 6
解答题
17.(1)由题意(0.050＋0.100＋0.150＋0.125＋x)×2＝1，解得x＝0.075.…………3分
(2)设样本中身高小于100厘米的频率为p1，则p1＝(0.050＋0.100)×2＝0.300.
而 36 36 36
p1＝ ，∴N＝ ＝ ＝120.……………………………………………………6分
N p1 0.300
(3)
— 97?12?99?24?101?36?103?30?105?18
x ? 120 …………………10分
—x ?97?0.1?99?0.2?101?0.3?103?0.25?105?0.15?101.3
18.(1)证明：连接AC，由AE平行等于CG可知四边形AEGC为平行四边形．
所以EG∥AC，而AC⊥BD，AC⊥BF，
所以EG⊥BD，EG⊥BF，
因为BD∩BF＝B，所以EG⊥平面BDHF，又DF?平面BDHF，所以EG⊥DF.…4分
(2)取EG和HF交点为O，连结OB
由EG⊥平面BDHF可知?EBO为BE与平面BDHF所成角………………………6分
由(1)可知四边形AEGC为平行四边形且DA＝DB＝4
则AC ? EG ?4 3
则EO ?2 3
由题可知EB ?5
EO 2 3
sin?EBO ? ? ……………………………………………………………10分
EB 5
19.(1)解：由于A1C1//AC
所以?CAB1（或其补角）即为异面直线AB1与A1C1所成角……………………………2分
连接CB1，在△AB1C中，由于AB1 ?B1C ? AC ?2 2 ，所以△AB1C是等边三角形，
? ?
所以?CAB1 ? ，所以异面直线AB1与A1C1所成角的大小为 ．……………………5分
3 3
(2)由题可知MO//平面A1B1C，MO?平面A1BC，平面A1BC?平面A1B1C ? A1C
则MO// A1C
由于O是棱A1B1上中点
则M 是棱BC上中点．
?MN ?CB1
?
过点M 作MN ?CB1交CB1于N，由?MN ? A1B1 ?MN ? 平面A1B1C．………9分
??CB1 A
? 1B1 ?B1
?
在Rt?CMN中，由 2
?MCN ? ，CM ?1，得MN ? ，
4 2
所以，点 2
M 到平面A1B1C的距离等于 ．…………………………………………12分
2
B?C B?C
20.（1）因为bcos ?asinB，由正弦定理可得sinBcos ?sin AsinB，
2 2
B?C
又sinB?0，所以cos ?sin A，因为A?B?C ??，
2
B?C ?? A A A A A
所以cos ?cos ?sin ，则sin ?sin A?2sin cos ，
2 2 2 2 2 2
A A 1
又sin ?0，所以cos ? ，………………………………………………………4分
2 2 2
A ? A ? 2?
因为 ?(0， )，所以 ? ? A? ；…………………………………………6分
2 2 2 3 3
???? ???? ???? ???? 2???? ???? 2 ???? ???? 1???? 2????
（2）根据题意可得AD ? AB?BD ? AB? BC ? AB? (AC? AB)? AB? AC，
3 3 3 3
????2 1???? 2???? 1????2 4 4 2
所以 2 ???? ???? ????
AD ?( AB? AC) ? AB ? AB?AC? AC ，……………………8分
3 3 9 9 9
即 2 1 2 2 2
36=c ?4bc(? )?4b ?2 c ?4b ?2bc ?2bc ，所以bc?18，当且仅当
2
b?3,c?6 等号成立……………………………………………………………………10分
?
所以 1 2 1 3 9 3 9 3
S
△ABC ? bcsin ? ?18? ? ，?ABC 面积的最大值为 .……12分
2 3 2 2 2 2
21.（1）证明：?四边形ABCD为菱形，?DA?DC ，
??ADC ?60? ，??ADC 为等边三角形，?CA?CD，
在?ADC 中，E 是AD 中点，?CE ? AD，
?PA? 平面ABCD，CE?平面ABCD，?CE ? PA，
?PA AD? A， ?平面 ，
? PA PAD AD? 平面PAD ，
?EC ?平面PAD ，…………………………………………………………………………4分
?CE ?平面PCE ，?平面PCE ?平面PAD ．…………………………………………6分
（2）解：在平面PAD 中，过点E 作EM ?PD，垂足为M ，连结CM ，
?EC ?平面PAD ，PD?平面PAD ，?EC ? PD，
?EM CE ?E，? ?平面EMC，
? PD
?CM ?平面EMC ，?PD ?CM ，
??EMC 是二面角A?PD?C 的平面角，………………………………………………9分
在 2
Rt?EMD中，ED?1，?ADP?45? ，?EM ?MD? ，
2
在 2 2 2 14
Rt?CMD中，MD? ，CD?2，?CM ? CD ?MD ? ，
2 2
在?EMC中，EC ? 3，
1 7
2 2 2 ? ?
? ? 3
ME MC EC 1
由余弦定理得cos?EMC ? ? 2 2 ? ，
2ME?MC 2 14 7
2? ?
2 2
?二面角 42
A?PD?C 的正弦值为 ．…………………………………………………12分
7