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专题09
反比例函数与一次函数综合
知识点精讲
知识点1反比例函数解析式的确定
1．待定系数：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
1）设反比例函数解析式为（k≠0）；
2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
3）解这个方程求出待定系数k；
4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
1．（2021·浙江丽水市·九年级一模）如图，已知一次函数y1＝kx＋b与反比例函数y2＝的图象交
于、两点．分别求出y1和y2的解析式．
【答案】，．
【分析】把点代入，解得，得到反比例函数的解析式，再代入，得到点，最后把，代入y1＝kx＋b利用待定系数法解得一次函数的解析式．
【详解】解：把点代入
当时，
把，代入y1＝kx＋b，
-②得，
把代入①得，即．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法求一次函数的解析式、求反比例函数的解析式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2．（2021·湖南永州市·九年级期末）已知y与x成反比例，且当x1时y2，则反比例函数的表达式为（
）
A．y
B．y
C．
D．y
【答案】A
【分析】根据反比例定义设解析式，代入求值即可.
【详解】∵y与x成反比例∴设
∵当x1时y2∴∴反比例函数为
【点睛】本题考查反比例函数的定义，熟记反比例函数的三种书写形式是解题的关键.
3．（2021·广东深圳市·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，对角线BDx轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0）、D（0，4），则反比例函数的解析式为_____．
【答案】
【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B（x，4）．利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB＝90°．根据线段中点坐标公式得出E（x，4）．由勾股定理得出AD2+AB2＝BD2，列出方程求出x，得到E点坐标，即可求得反比例函数的解析式．
【详解】解：∵BD∥x轴，D（0，4），∴B、D两点纵坐标相同，都为4，∴可设B（x，4）．
∵矩形ABCD的对角线的交点为E，∴E为BD中点，∠DAB＝90°．∴E（x，4）．
∵∠DAB＝90°，∴AD2+AB2＝BD2，∵A（2，0），D（0，4），B（x，4），
∴22+42+（x﹣2）2+42＝x2，解得：x＝10，∴E（5，4）．
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点E，∴k＝5×4＝20，
∴反比例函数的解析式为：y＝故答案为：y＝．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知识，求出E点坐标是解题的关键．
4．（2020·广西河池·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，2）．
（1）将点A向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点B，则点B的坐标是 ．
（2）点C与点A关于原点O对称，则点C的坐标是
．
（3）反比例函数的图象经过点B，则它的解析式是
．
（4）一次函数的图象经过A，C两点，则它的解析式是
．
【答案】（1）（2,3）；（2）（1，-2）；（3）；（4）
【分析】（1）根据“上加下减，左减右加”法则判断即可确定出B的坐标；（2）根据关于原点对称的点的坐标特征判断即可；（3）设反比例函数解析式为y＝，把B坐标代入确定出k，即可求出解析式；（4）设一次函数解析式为y＝mx+n，把A与C坐标代入求出m与n的值，即可求出解析式．
【解析】（1）将点A向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点B，则点B的坐标（2，3）；（2）点C与点A关于原点O对称，则点C的坐标是（1，﹣2）；
（3）设反比例函数解析式为y＝，把B（2，3）代入得：k＝6，∴反比例函数解析式为y＝；
（4）设一次函数解析式为y＝mx+n，把A（﹣1，2）与C（1，﹣2）代入得： ，
解得：，则一次函数解析式为．
故答案为：（1）（2，3）；（2）（1，﹣2）；（3）y＝；（4）y＝﹣2x．
【点睛】本题主要考查一次函数点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形变化﹣平移以及关于原点对称的点的坐标．
知识点1-2反比例函数中|k|的几何意义
1．反比例函数图象中有关图形的面积
2．涉及三角形的面积型
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
1．（2020·河南洛宁·初二期中）如图，直线轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△的面积为2，则的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为，△BOP的面积为，由题意可知△AOB的面积为?．
【解析】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为，△BOP的面积为，
∴△AOB的面积为?，∴?=2，∴k1-k2=4，故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，解题关键是正确理解k的几何意义，本题属于中等题型，
2．（2020·河南南乐·初三一模）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD为（ ）
A．36
B．12
C．6
D．3
【答案】D
【解析】设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点B的坐标，
根据三角形的面积公式结合反比例函数系数k的几何意义以及点B的坐标即可得出结论．?
解：设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，?则点B的坐标为（a+b，a﹣b）．
∵点B在反比例函数的第一象限图象上，?∴（a+b）×（a﹣b）=a2﹣b2=6．?
∴S△OAC﹣S△BAD=a2﹣b2=（a2﹣b2）=×6=3．?故选D．
点睛：本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质以及面积公式，解决该题型题目时，要设出等腰直角三角形的直角边并表示出面积，再用其表示出反比例函数上点的坐标是关键．
3．（2020·广西兴业·初三月考）如图，在以为原点的平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点，与相交于点，若，且的面积是，则的值为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设点D的横坐标为m，根据反比例函数的图象与相交于点，得D点坐标；再根据矩形的性质，并结合题意，可分别的点A、B、C、E的坐标；根据矩形面积，通过计算即可得到答案．
【解析】设点D的横坐标为m
∵反比例函数的图象与相交于点∴
∴
∵∴
∵矩形∴，∴
∵反比例函数的图象与相交于点∴
矩形面积
∵矩形面积
∵的面积是
∴
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数、矩形的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、矩形的性质，从而完成求解．
4．（2020·山东牡丹·初三期末）如图，矩形的中心为直角坐标系的原点，各边分别与坐标轴平行，其中一边交轴于点，交反比例函数图像于点，且点是的中点，已知图中阴影部分的面积为，则该反比例函数的表达式是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数的对称性以及已知条件，可得矩形的面积是8，设，则，根据，可得，再根据反比例函数系数的几何意义即可求出该反比例函数的表达式．
【解析】∵矩形的中心为直角坐标系的原点O，反比例函数的图象是关于原点对称的中心对称图形，且图中阴影部分的面积为8，∴矩形的面积是8，设，则，
∵点P是AC的中点，∴，设反比例函数的解析式为，
∵反比例函数图象于点P，∴，∴反比例函数的解析式为．故选：B．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数系数的几何意义，得出矩形的面积是8是解题的关键．
知识点1-3反比例函数与一次函数的综合
1．涉及自变量取值范围型
当一次函数与反比例函数相交时，联立两解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或．
2．求一次函数与反比例函数的交点坐标
1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.
①k值同号，两个函数必有两个交点；
②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；
2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
1．（2021·陕西西安市·西北工业大学附属中学九年级二模）若直线y＝kx与双曲线y＝﹣交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则3x1y2+2x2y1的值为_____．
【答案】10．
【分析】先根据点
，是双曲线上的点可得出，再根据直线与双曲线交于点，两点可得，，再把此关系代入所求代数式进行计算即可．
【详解】解：∵点，是双曲线上的点，∴，
∵直线与交于点，两点，即A、B两点关于原点对称．
∴，，∴．故答案为：10．
【点睛】本题为反比例函数与一次函数的综合．根据反比例函数上点的坐标特征推出与、与的关系，直线与双曲线交点的特征推出与、与的关系是解答本题的关键．
2．（2020·福建泉州外国语学校初三月考）如图，过直线上一点作轴于点，线段交函数的图像于点，点为线段的中点，点关于直线的对称点的坐标为．（1）求、的值；（2）求直线与函数图像的交点坐标；（3）直接写出不等式的解集．
【答案】（1）3，；（2）（2，）；（3）0＜x＜
【分析】（1）根据点C′在反比例函数图像上求出m值，利用对称性求出点C的坐标，从而得出点P坐标，代入一次函数表达式求出k值；（2）将两个函数表达式联立，得到一元二次方程，求解即可；
（3）根据（2）中交点坐标，结合图像得出结果.
【解析】解：（1）∵C′的坐标为(1，3)，代入中，得：m=1×3=3，
∵C和C′关于直线y=x对称，∴点C的坐标为（3，1），
∵点C为PD中点，∴点P（3，2），将点P代入，∴k=；∴k和m的值分别：3，；
（2）联立：，得：，解得：，（舍），
∴直线与函数图像的交点坐标为（2，）；
（3）∵两个函数的交点为：（2，），由图像可知：当0＜x＜时，反比例函数图像在一次函数图像上面，∴不等式的解集为：0＜x＜.
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一元二次方程，图像法解不等式，解题的关键是利用数形结合的思想，结合图像解决问题.
3．（2020·舒城县棠树乡八里中学月考）如图，已知A（-4，n），B（2，-4）是一次函数y1=kx+b的图像和反比例函数的图像的两个交点.（1）求反比例函数和一次函数的解析式;（2）求直线与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积;（3）当x取何值时，y1=y2；当x取何值时，y1>y2.
【答案】（1）y2=，y1=-x-2；（2）6；（3）x=-4或x=2；x＜-4或0＜x＜2
【分析】（1）根据题意，点A、B在一次函数及反比例函数图象上，则点A、B的坐标均符合两个解析式，将点B、A分别代入反比例函数求k、n的值，再将点A、B分别代入一次函数解析式中即可解题；（2）令直线，解得直线与x轴的交点坐标C，根据及三角形面积公式解题即可；（3）观察图象，图象的公共点即为解析式的公共解，两个交点将图象分成四个区域，找到的区域，写出其x的取值范围即可．
【解析】（1）在反比例函数的图象上，
在上，经过点A、B
解得：
（2）直线与x轴的交点：，
即
（3）由图象知，，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点，或；当图象在点A的左侧，或图象在点B的左侧且在y轴的右侧时，或时，．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图象与性质，其中涉及一次函数解析式求法、反比例函数图象解析式求法、直线与x轴交点、三角形面积公式、数形结合等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4．（2021·内蒙古呼和浩特市·九年级一模）如图，在平面直角坐标系内，反比例函数y=（x>0）的图象过点A（m，4）和点B，且点B的横坐标大于1，过A作x轴的垂线,垂足为C（1，0），过点B作y轴的垂线，垂足为D，且△ABD的面积等于4．记直线AB的函数解析式为y=ax+b（a≠0）．（1）求点B的坐标；（2）求直线AB的函数解析式；（3）请直接写出>ax+b成立时，对应的x的取值范围．
【答案】（1）点B的坐标为（3，）；（2）y=-x+；（3）03．
【分析】（1）直接将A的值代入函数y=中，即可得出k的值，然后根据△ABD的面积等于4即可求出点B的坐标；（2）根据A点和B点的坐标，用待定系数法可求出直线AB的解析式；（3）根据图象直接解答即可；
【详解】解：（1）由题意可知A(1，4)．∵反比例函数y=(x>0)的图象过点A(1，4)，
∴k=4，∴反比例函数解析式为y=(x>0)，∴设点B的坐标为(x，)，则点D的坐标为(0，)．
∴△ABD的面积为·x·(4-)=4，解得x=3，且x=3是分式方程的解，则点B的坐标为(3，)．
（2）将A(1，4)，B(3，)的坐标代入y=ax+b(a≠0)，
得，解得，∴直线AB的函数解析式为y=-x+．
（3）当>ax+b成立时，从图象可知x的取值范围为：03．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标与图形的性质，利用函数图形解不等式，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．
知识点1-4反比例函数的实际应用
解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．
1．（2021·山西吕梁市·九年级期末）近似眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于400度的近似眼镜，则镜片焦距的取值范围是（
）
A．0米米
B．米
C．0米米
D．米
【答案】B
【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再利用反比例函数的性质即可得．
【详解】设反比例函数的解析式为，
由题意，将点代入得：，解得，
则反比例函数的解析式为，当时，，
在范围内，y随x的增大而减小，当时，，
即若要配制一副度数小于400度的近似眼镜，则镜片焦距的取值范围是米，故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法和反比例函数的性质是解题关键．
2．（2021·山西晋中市·九年级期末）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（ ）
A．4月份的利润为50万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．治污改造完成前后共有3个月的利润低于100万元
D．8月份该厂利润达到200万元
【答案】D
【分析】直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．
【详解】解：A、设反比例函数的解析式为y=，
把（1，200）代入得，k=200，∴反比例函数的解析式为：y=，
当x=4时，y=50，∴4月份的利润为50万元，故此选项正确，不合题意；
B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，故此选项正确，不合题意；
C、当y=100时，则100=，解得：x=2，则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，故此选项正确，不符合题意．
D、设一次函数解析式为：y=kx+b，则，解得：，
故一次函数解析式为：y=30x-70，故y=200时，200=30x-70，解得：x=9，
则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，故不正确，符合题意．选：C．
【点睛】此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析是解题关键．
3．（2020·河南遂平·初二期中）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y
（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；
（2）求恒温系统设定的恒定温度；（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
【答案】（1）y关于x的函数解析式为；（2）恒温系统设定恒温为20°C；（3）恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
分析：（1）应用待定系数法分段求函数解析式；（2）观察图象可得；（3）代入临界值y=10即可．
【解析】（1）设线段AB解析式为y=k1x+b（k≠0）
∵线段AB过点（0，10），（2，14）代入得解得∴AB解析式为：y=2x+10（0≤x＜5）
∵B在线段AB上当x=5时，y=20∴B坐标为（5，20）∴线段BC的解析式为：y=20（5≤x＜10）
设双曲线CD解析式为：y=（k2≠0）∵C（10，20）∴k2=200
∴双曲线CD解析式为：y=（10≤x≤24）
∴y关于x的函数解析式为：
（2）由（1）恒温系统设定恒温为20°C
（3）把y=10代入y=中，解得，x=20∴20-10=10
答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
点睛：本题为实际应用背景的函数综合题，考查求得一次函数、反比例函数和常函数关系式．解答时应注意临界点的应用．
4．（2021·山西运城市·九年级期末）受新冠肺炎疫情的影响，运城市某化工厂从2020年1月开始产量下降．借此机会，为了贯彻“发展循环经济，提高工厂效益”的绿色发展理念；管理人员对生产线进行为期5个月的升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例函数；到5月底开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元．设2020年1月为第1个月，第个月的利润为万元，其图象如图所示，试解决下列问题：
（1）分别写出该化工厂对生产线进行升级改造前后，与的函数表达式．
（2）到第几个月时，该化工厂月利润才能再次达到100万元？
（3）当月利润少于50万元时，为该化工厂的资金紧张期，问该化工厂资金紧张期共有几个月？
【答案】（1）（，且为整数），（且为整数）；（2）第13个月；（3）5个月．
【分析】（1）结合图像利用待定系数法求函数解析式；（2）把y=100代入y=10x-30即可得到结论；（3）对于，y=50时，得到x=2，得到x＜2时，y＜50，对于y=10x-30，当y=50时，得到x=8，于是得到结论．
【详解】解：（1）由题意得，设前5个月中y=，把x=1，y=100代入得，k=100，
∴y与x之间的函数关系式为y=（，且为整数），
把x=5代入，得y=20，由题意设5月份以后y与x的函数关系式为y=10x+b，
把x=5，y=20代入得，20=10×5+b，解得：b=-30，
∴y与x之间的函数关系式为y=10x-30（且为整数）；
（2）在函数中，令，得解得：
答：到第13个月时，该化工厂月利润再次达到100万元．
（3）在函数中，当时，，
∵，随的增大而减小，∴当时，
在函数中，当时，得解得：
∴且为整数；∴可取3，4，5，6，7；共5个月．
答：该化工厂资金紧张期共有5个月．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用，正确的理解题意是解题的关键．
5．（2021·辽宁抚顺市·九年级三模）教师办公室有一台可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热．每分钟水温上升10℃，待加热到100℃时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温y（℃）和通电时间x（）成反比例关系．直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（）之间的关系如图所示，回答下列问题：（1）分别求出当和时，y和x之间的函数关系式；（2）求出图中a的值；（3）李老师这天7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在通电多长时间内接水？
【答案】（1）当时，，当时，；（2）；（3）在通电8~20内（包括端点）接水可喝到不低于40℃的开水
【分析】（1）直接利用反比例函数解析式和一次函数解析式求法得出答案；
（2）利用（1）中所求解析式，当时，得出答案；
（3）当时，代入反比例函数解析式，结合水温的变化得出答案．
【详解】解：（1）当时，设y和x之间的函数关系式为：（），
将，分别代入中，则，解得，
∴当时，一次函数解析式为；
当时，设y和x之间的函数关系式为：（），
将代入，解得．∴当时，反比例函数的解析式为．
（2）将代入，得，即．
（3）对于，当时，，
所以，要想喝到不低于40℃的开水，x需满足．（即在通电8~20内（包括端点）接水可喝到不低于40℃的开水．）
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．
重难点题型
题型1
反比例函数K的几何意义
【解题技巧】反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线
（）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。
1．（2020·广东广州·初三其他）如图，在反比例函数的图象（x＞0）上，有点P1，P2，P3，P4，…，点P1横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1，P2，P3，P4，…分别作x轴，y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…则S1+S2+S3+…+Sn＝_____．
【答案】4﹣
【分析】易求得P1的坐标得到矩形P1EOB的面积；而把所有的阴影部分平移到左边，阴影部分的面积之和就等于矩形P1ACB的面积，即可得到答案．
【分析】解：如图，过点P1、点Pn作y轴的垂线段，垂足分别是点B、点C，过点P1作x轴的垂线段，垂足是点E，P1E交CPn于点A，
则点A的纵坐标等于点Pn的纵坐标等于，AC＝2，AE＝，
故S1+S2+S3+…+Sn＝S矩形P1EOB﹣S矩形AEOC＝2×﹣2×＝4﹣．故答案为4﹣．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图像上任何一点到坐标轴的垂线段及坐标轴所组成的矩形面积相等的知识；通过分析图像得出：把所有的阴影部分平移到左边，阴影部分的面积之和就等于矩形P1ACB的面积，是解题的关键所在．
2．（2020·深圳市福田区南华实验学校初三其他）如图，双曲线经过四边形的顶点，平分与轴正半轴的夹角，轴，
将沿翻折后得，点落在上，则三角形的面积是________．
【答案】
【分析】延长BC，交x轴于点D，设点C（x，y），AB=a，由翻折的性质得，由AB∥x轴，得出BD⊥轴，由角平分线的性质得，，即可得出从而得到点A（x-a，2y），根据反比例函数系数k的几何意义从而得出三角形ABC的面积．
【解析】解：延长BC，交x轴于点D，
设点C（x，y），AB=a，
由翻折的性质得，∵AB∥x轴，
∴BD⊥轴，
∵OC平分OA与x轴正半轴的夹角，
∴，
∴
∴B（x，2y），
∴点A（x-a，2y），
∴2y（x-a）=3，
∵xy=3
∴
∴故答案为
【点评】本题考查反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，翻折的性质以及角平分线的性质，表示出A的坐标是解题的关键．
3．（2020·厦门市翔安区教师进修学校其他）如图，直线交双曲线于、，交轴于点为线段的中点，过点作轴于，连结.若，则的值为______．
【答案】
【分析】过A点作AH⊥x轴于H点，连接OB，得到BM是△AHC的中位线，进而得到AH=2BM，再由△AOH面积等于△OBM面积得到OH=HM=MC，进而得到△OAC的面积为，由此即可求解．
【解析】解：过A点作AH⊥x轴于H点，连接OB，如下图所示，
由B是线段AC的中点知，BM是△AHC的中位线，∴MH=MC，AH=2BM，
又S△OBM=×OM×BM=k，S△OAH=×OH×AH=k，由AH=2BM得到OH=OM，
由此H、M将线段OC平分成三份，∴，
解得：k=8，故答案为：8．
【点睛】本题考查反比例函数图像及性质，反比例函数中k的几何意义等，熟练掌握反比例函数的图形性质是解决本题的关键．
4．（2021·浙江温州市·九年级一模）如图，反比例函数（k＞0）在第一象限经过A，B两点．过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，BE⊥x轴于点E，连接AD，AB．若BD＝4AC，△ADB的面积为9，则k的值为_____．
【答案】6
【分析】作轴于点F，交BD于点G．由题意可知，．再由BD=4AC，即可推出．最后由得出，解出k即可．
【详解】如图，作轴于点F，交BD于点G．
由比例系数k的几何意义可知，．
∵BD=4AC，∴，∵，∴，
∵，∴，即．∴．
故答案为：6．
【点睛】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义的应用，作出辅助线和了解反比例函数比例系数k的几何意义是解答本题的关键．
5．（2021·江西九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点在轴上，若点的坐标为，经过点的双曲线交边于点，则的面积为______．
【答案】10
【分析】先利用勾股定理计算出OA=5，再利用菱形的面积公式计算出S菱形ABCO=20，然后根据三角形面积公式，利用S△OAD=S菱形ABCO进行即可．
【详解】解：∵点A坐标为（3，4），∴OA==5，
∵四边形ABCO为菱形，∴S菱形ABCO=5×4=20，∴S△OAD=S菱形ABCO=×20=10．故答案为10．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了菱形的性质．
题型2
求反比例函数的解析式
1．（2020·江西余干·初三零模）已知y=y1+y2，y1与x+1成正比例，y2与x+1成反比例，当x=0时，y=﹣5；当x=2时，y=﹣7．（1）求y与x的函数关系式；（2）当x=5时，求y的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设y1=a（x+1）（a≠0），y2=
（b≠0），得到y=a（x+1）+
，把（0，-5），（2，-7）代入得到方程组，求出方程组的解即可；（2）把x=5代入解析式求出即可．
【解析】（1）∵y1与x+1成正比例，y2与x+1成反比例，设y1=a(x+1)(a≠0)，y2=
(b≠0)．
∵y=y1+y2，∴y=a(x+1)+
，把(0，﹣5)，(2，﹣7)代入得：，
解得：，∴y=﹣2(x+1)﹣，答：y与x的函数关系式是y=﹣2(x+1)﹣．
（2）当x=5时，y=﹣2(x+1)﹣=﹣2×(5+1)﹣=﹣12
，答：当x=5时，y的值是﹣12．
【点睛】本题主要考查对解二元一次方程组，用待定系数法求函数的解析式，求代数式的值等知识点的理解和掌握，能正确求出函数的解析式是解此题的关键．
2．（2020·北京市昌平区第四中学初三期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A（2，1），B（-1，）两点．求反比例函数和一次函数的解析式；
【答案】y=，y=x-1；
【分析】把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出m，即可得到反比例函数的解析式，把B（-1，n）代入即可求得n，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式．
【解析】解：（1）∵反比例函数y=的图象过点A（2，1），∴m=2×1=2，∴反比例函数为y=，
∵B（-1，n）在反比例函数y=图象上，∴n=，∴B（-1，-2），
把A、B代入y=kx+b得，解得：，∴一次函数的解析式为y=x-1．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式，函数的图象的应用，主要考查学生的计算能力和观察图象的能力，用了数形结合思想．
3．（2020·陕西清涧·期末）已知y是x的反比例函数，且当时，．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当时，求y的值．
【答案】（1）y=；
（2）-4
【分析】（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）直接利用x=4代入求出答案．
【解析】解：（1）∵y是x的反比例函数，∴设y=，
当x=-2时，y=8，∴k=（-2）×8=-16，∴y=；
（2）当x=4时，代入，y=-16÷4=-4．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，正确假设出解析式是解题关键．
4．（2020·广西平桂·初三期中）已知：反比例函数的图象过点A（-3，-2）；
（1）求反比例函数的解析式；（2）若点B（1，m）在该函数图象上，求m的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）反点B（1，m）代入已求得的反比例函数的解析式中，即可求得m的值．
【解析】（1）
把A（-3，-2）代入得，，解得k
=6，∴反比例函数的表达式为；
（2）由（1）知，反比例函数的表达式为，把B（1，m）代入得∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，正确的理解题意是解题的关键．
5．（2020·河南初二期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋b（b＜0）与坐标轴交于A，B两点，与双曲线y＝（x＞0）交于D点，过点D作DC⊥x轴，垂足为C，连结OD．已知△AOB≌△ACD，（1）试探究k与b的数量关系；（2）直接写出直线OD的解析式；（3）过点D作OD的垂线交轴于点E，当b＝﹣2时，求直线DE的解析式．
【答案】（1）k＝b2；（2）y＝x；（3）y＝﹣x＋4．
【分析】（1）点A、B的坐标分别为：（﹣b，0）、（0，b），而△AOB≌△ACD，则CD＝OB，AO＝AC，故点D的坐标为（﹣b，﹣b），进而求解；（2）由点D的坐标即可求解；
（3）b＝﹣2时，则点D的坐标为（2，2），进而求出点E的坐标为（4，0），进而求解．
【解析】解：（1）对于直线y＝2x＋b，令x＝0，则y＝b，令y＝0，则x＝﹣b，
则点A、B的坐标分别为：（﹣b，0）、（0，b）．
∵△AOB≌△ACD，∴CD＝OB，AO＝AC，∴点D的坐标为（﹣b，﹣b）．
∵点D在双曲线y＝（x＞0）的图象上，∴k＝（﹣b）?（﹣b）＝b2．k与b的数量关系：k＝b2；
（2）∵点D的坐标为（﹣b，﹣b），∴直线OD的解析式为y＝x；
（3）b＝﹣2时，则点D的坐标为（2，2），故OC＝DC＝2，∴∠DOC＝45°，
∵DE⊥DO，∴∠DEO＝∠DOC＝45°，∴DO＝DE，∵DC⊥OE，∴CE＝OC＝2，
∴点E的坐标为（4，0），设直线DE的表达式为：y＝mx＋n，则，解得，
故直线DE的表达式为：y＝﹣x＋4．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及反比例函数图象的特征，此题难度不大，但综合性强．
题型4
实际背景的反比例函数问题
1．（2020·全国初二课时练习）若一个水池内蓄水40m?，设放完满池水的时间为h，每小时放水量为m?，则与之间的函数关系式是______；当m?时，______.
【答案】
20h
【分析】依据放净全池污水所需的时间为h，每小时的放水量为m?，即可得到与之间的函数关系式；将m?函数关系式中，求出T的值即可．
【解析】解：由题可得，与之间的函数关系式为：，
当m?时，=20h．故答案为：
；
20h.
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据题意求出函数解析式是解答本题的关键.
2.（2020·全国初二课时练习）已知三角形的面积是12cm?，则三角形的高cm与底cm的函数关系式是______，这时是的______.
【答案】
反比例函数
【分析】根据等量关系“三角形的面积=×底边×底边上的高”列出函数关系式求解即可.
【解析】解：∵，
∴三角形的高h与底a的函数关系式是h=，
由于面积为定值，故h是a的反比例函数．故答案为：
；反比例函数．
【点睛】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，找出等量关系是解决此题的关键．
3．（2021·广东佛山市·九年级期末）一个菱形的面积为20cm2，它的两条对角线长分别为ycm，xcm，则y与x之间的函数关系式为y＝_____．
【答案】
【分析】根据菱形面积对角线的积可列出关系式．
【详解】解：由题意得：，可得，故答案为．
【点睛】本题考查菱形的性质，反比例函数知识，解题的关键是记住菱形的面积公式，属于中考常考题型．
4．（2021·广西钦州市·九年级期末）已知圆柱的体积是30cm2，它的高h（单位：cm）关于底面面积S（单位：cm2）的函数解析式为_____．
【答案】h=．
【分析】直接利用圆柱体积公式进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：Sh=30，则h=，故答案为：h=．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确掌握圆柱体积求法是解题关键．
题型4
反比例函数与一次函数结合
1．（2021·浙江杭州市·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y的图象在第二象限交于点B，与x轴交于点C（﹣3，0）．点A在y轴上，满足条件：OA＝6，∠ACB＝90°，且CA＝CB．（1）求反比例函数的表达式；（2）直接写出当x＜0时，kx＋b的解集．
【答案】（1）y；（2）x＜﹣9
【分析】（1）作BD⊥x轴于D，如图，证明△BCD≌△CAO得到BD＝OC＝3，CD＝OA＝6，则B（﹣9，3），然后把B点坐标代入y中求出m得到反比例函数解析式；
（2）在第二象限内，写出一次函数图象再反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】（1）作BD⊥x轴于D，如图，∵C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∵∠ACB＝90°，∴∠ACO＋∠BCD＝90°，∵∠ACO＋∠OAC＝90°，∴∠BCD＝∠OAC，
在△BCD和△CAO中，∴△BCD≌△CAO（AAS），
∴BD＝OC＝3，CD＝OA＝6，∴B（﹣9，3）；
把B（﹣9，3）代入y得m＝﹣9×3＝﹣27，∴反比例函数解析式为y；
（2）当x＜0时，kx＋b的解集为x＜﹣9．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握函数解析式的求法以及利用数形结合根据函数图象的上下位置关系得出不等式的解集是重点．
2．（2021·邹城市看庄中学九年级一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标为（，3）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）作轴，垂足为，求的面积．
【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；（2）△ABM的面积为．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求得B点坐标，再利用三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）∵点的坐标为（，3），∴，，∴，，
∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）由题意得：，整理得：，解得：，
经检验，都是原方程的解，
当时，，当时，，
∵点的坐标为（，3），∴B点的坐标为（6，），
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出函数的解析式等知识点，能用待定系数法求出函数的解析式是解此题的关键．
3．（2021·四川达州市·达州中学九年级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y1＝﹣2x的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（﹣1，n），B两点．
（1）求出反比例函数的解析式及点B的坐标；（2）观察图象，请直接写出满足y2≤y1的x的取值范围；（3）点P是第四象限内反比例函数的图象上一点，若△POB的面积为1，求点P的横坐标．
【答案】（1）；（1，-2）；（2）x≤-1或0＜x≤1；（3）
【分析】（1）把A（-1，n）代入y=-2x，可得A（-1，2），把A（-1，2）代入y=，可得反比例函数的表达式为y=，再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标；（2）观察函数图象即可求解；（3）设P（m，），根据==1，可得方程（2+）（m-1）=1或（2+）（1-m）=1，求得m的值，即可得到点P的横坐标．
【详解】解：（1）把A（-1，n）代入y=-2x，可得n=2，
∴A（-1，2），把A（-1，2）代入y=，可得k=-2，∴反比例函数的表达式为y=，
∵点B与点A关于原点对称，∴B（1，-2）．
（2）∵A（-1，2），B（1，-2），∴y2≤y1的取值范围是x≤-1或0（3）作BM⊥x轴于M，PN⊥x轴于N，连结BP，
∵三角形OPN的面积=三角形OBM的面积=1
∵==1，
设P（m，-），则（2+）（m-1）=1或（2+）（1-m）=1，
整理得，-m-1=0或+m-1=0，解得m=或m=，∴P点的横坐标为．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．
4．（2021·浙江九年级月考）如图，直线与函数的图象相交于点，与轴交于点，且，点是线段上一点．（1）直接写出的值与一次函数的解析式；（2）若直线与反比例函数的另一支交于点，直接写出自变量的取值范围，并求出的面积；（3）若，求点的坐标．
【答案】（1）k1=-6，y1=-x+5；（2）-1＜x＜0或x＞6，；（3）（1，4）
【分析】（1）将点A代入求出k2值，再求出点C的坐标，然后用待定系数法可求出一次函数解析式；（2）联立函数解析式，求出点B坐标，结合图像得出不等式对应的x的取值范围，根据S△AOB=得出△AOB的面积；（3）作DF⊥x轴，垂足为F，设点D（x，-x+5），根据DF：AE=2：3列方程即可求解．
【详解】解：（1）∵反比例函数经过点A（-1，6），∴k2=-1×6=-6，
如图，作AE⊥x轴，交x轴于点E，∴E（-1，0），AE=6，
∵∠ACO=45°，∴CE=AE=6，∴C（5，0），∴，∴，∴直线y1=-x+5；
（2）联立：，解得：x=-1或x=6，∴B（6，-1），
如图，当y1＜y2时，-1＜x＜0或x＞6，∴S△AOB===；
（3）如图，作DF⊥x轴，垂足为F，∵S△COD：S△AOC=2：3，∴DF：AE=2：3，
设点D（x，-x+5），则有（-x+5）：AE=2：3，解得：x=1，∴D（1，4）．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，待定系数法求解析式，三角形面积等，解题的关键是熟练运用反比例函数的性质．
题型5
反比例函数与几何图形综合
1．（2021·四川成都市·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴，，∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y＝的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为时，k的值为_____．
【答案】14．
【分析】设OA=3a，则OB=4a，直线AB的解析式是y=kx+b，根据题意得：
，可得直线AB的解析式是y=﹣x+4a，由直线CD是∠AOB的平分线，可知OD的解析式是y=x，联立解方程组，可得D的坐标是（，），由OA的中垂线的解析式是x=
，可得C的坐标是（，），可得k=，由以CD为边的正方形的面积，可得2（﹣）2=，求出2即可
【详解】解：设OA=3a，则OB=4a，设直线AB的解析式是y=kx+b，
根据题意得：
，解得：
，则直线AB的解析式是y=﹣x+4a，
直线CD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y=x，
根据题意得：
，解得：
，则D的坐标是（，），
OA的中垂线的解析式是x=
，则C的坐标是（，），则k=，
∵以CD为边正方形的面积，∴2（﹣）2=，则2=
，∴k==14，答案：14．
【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数、正方形的面积等，根据题意表示出C、D的坐标是解题的关键．
2．（2021·西安市铁一中学九年级其他模拟）如图，在平面直角坐标系中，OA是第四象限的角平分线，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∠OAC＝90°，AB平分∠OAC且交y轴于点B，CD⊥AC于点D．若△ACD的面积比△AOB的面积少5，则k的值为为_____．
【答案】-10
【分析】作CF⊥y轴于F，延长CD交x轴于E，由题意得△OAB、△ACD都是等腰直角三角形，根据△ACD的面积比△AOB的面积少5，得到，即可求出k的值．
【详解】解：作CF⊥y轴于F，延长CD交x轴于E，
由题意得△OAB、△ACD都是等腰直角三角形，可以得到四边形CFBD都是矩形，∴BF=CD，BD=CF，
∴，，∴，∴，∵点C在第四象限，∴k=-10．故答案为：10
【点睛】本题考查了反比例函数k的意义，等腰直角三角形的性质等知识，通过添加辅助线证明是解题关键．
3．（2020·浙江八年级月考）已知点分别是轴、轴上的动点，点是某个函数图象上的点，当四边形（各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的“”正方形．例如：如图，正方形是一次函数图象的其中一个“”正方形．（1）若某函数是一次函数，则它的图象的所有“”正方形的边长______；（2）若某函数是反比例函数，他的图的“”正方形为，点在反比例函数图象上，则的值_____．
【答案】或
1
【分析】（1）由一次函数可得与x轴、y轴的交点坐标分别为、，则由题意可分：当点A在x轴的正半轴，点B在y轴的负半轴时和当点A在x轴的负半轴，点B在y轴的正半轴时，进而问题可求解；（2）作DE、CF分别垂直于x、y轴，由题意易证，进而可得，，然后根据反比例函数的性质可求解．
【详解】解：（1）由一次函数可得与x轴、y轴的交点坐标分别为、，
如图1，当点A在x轴的正半轴，点B在y轴的负半轴时，
∴OC=OD=1，∴正方形的边长；
当点A在x轴的负半轴，点B在y轴的正半轴时，设正方形的边长为a，∴，∴，
∴一次函数图象的“”正方形的边长为或；故答案为或；
（2）作DE、CF分别垂直于x、y轴，如图所示：∴∠DEA=∠AOB=∠CFB=90°，
∵四边形是正方形，∴，
∴∠BAO+∠DAE=∠BAO+∠ABO=90°，∴∠DAE=∠ABO，∴，
同理可得：，∴，
∵，∴，∴，，
∴，∴C点的坐标为，
∵点C、D都在反比例函数图象上，∴，解得：；故答案为1．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合及正方形的性质，熟练掌握反比例函数与几何的综合及正方形的性质是解题的关键．
4．（2020·浙江八年级月考）如图，等腰直角三角形的一条直角边在轴上，点是边上的一个动点，过点的反比例函数的图象交斜边于点，（1）当为中点时，_________（2）若为的三等分点，当的面积为时，的值为________．
【答案】
2或
【分析】（1）设，根据线段中点的性质找出点、的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征可找出点的坐标，由此即可得出结论；（2）设，，根据三等分点的定义找出点的坐标（两种情况），由此即可得出直线的解析式，联立直线和反比例函数解析式得出点的坐标，再根据三角形的面积公式找出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【详解】解：（1）设，为中点，，，
，，．故答案为：．
（2）设，．为的三等分点分两种情况：
①，，，直线的解析式为，
联立直线与反比例函数解析式，得：，解得：，或（舍去）．
，解得：；
②，，，，直线的解析式为，
联立直线与反比例函数解析式，得：，解得：，或（舍去）．
，解得：．
综上可知：的值为2或．故答案为：2或．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）求出点的坐标；（2）分两种情况考虑．本题属于中档题，难度不小，在解决第二问时，需要联立直线与反比例函数的解析式找出交点坐标，再结合三角形的面积公式找出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．
题型6
反比例函数的实际应用
1．（2020·河北省中考真题）“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．科学证实：近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例．如果500度近视眼镜片的焦距为0.2m，则表示y与x函数关系的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，可设y=，由于点（0.2，500）在此函数解析式上，故可先求得k的值．
【解析】根据题意近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，设y=，
由于点（0.2，500）在此函数解析式上，∴k=0.2×500=100，∴y=．故选B．
2．（2021·南昌市二十八中教育集团青云学校九年级期末）由于天气炎热，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量y(毫克)与燃烧时间x(分钟)之间的关系如图所示(即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分)，当空气中每立方米的含药量达到2毫克以上（包括2毫克）时能有效消毒，则有效消毒时间为_______分钟．
【答案】72
【分析】首先根据题意，药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；进一步求解可得答案．
【详解】解：设反比例函数解析式为y=（k≠0），将（25，6）代入解析式得，k=25×6=150，
则函数解析式为y=（x≥15），当y=2时，=2，解得x=75．
在y=中令y=10，则x=15，则A的坐标是（15，10）．设OA的解析式是y=ax，
把（15，10）代入，得a=，即正比例函数的解析式是y=x．令y=2，解得x=3．
则有效消毒消毒时间为75-3=72分钟．故答案为：72．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
3．（2021·江西景德镇市·九年级期末）小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间（分）与骑车速度（千米/分）关系如图所示．一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需不超过分钟赶到学校，那么他骑车的速度至少是__________千米/分．
【答案】
【分析】先求出小宇家到学校的距离和函数关系式，再把t=15代入函数关系式即可得到结果．
【详解】解：由图知小宇家到学校的距离是：0.15×20=3（km），
设函数的解析式为：（t＞0）又s=3，∴（t＞0）
当t=15时，（千米/分）．故答案为：0.2．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
4．（2021·河北九年级专题练习）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v（千米/小时）与所用时间t（小时）的函数关系如图所示，其中60≤v≤120。（1）求v与t的函数关系式及t值的取值范围；
（2）客车上午8点从甲地出发．①客车需在当天14点40分至15点30分（含14点40分与15点30分）间到达乙地，求客车行驶速度v的范围；②客车能否当天12点30分前到达乙地？说明理由．
【答案】（1）v＝（5≤t≤10）；（2）①80千米/小时≤v≤90千米/小时；②不能，见解析
【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）①分别求出t＝（8点到下午14点40分）与t＝时对应的速度，即可求解；②当天12点30分到达时，t＝4.5小时＜5，而5≤v≤10，即可求解．
【详解】解：（1）设v与t的函数关系式为v＝，
将（5，120）代入v＝，得：120＝，解得：t＝600，
∴v与t的函数关系式为v＝（5≤t≤10）；
（2）①当t＝（8点到下午14点40分）时，v＝＝600÷＝90（千米/小时），当t＝时，v＝＝600÷＝80（千米/小时），∴客车行驶速度的范围为80千米/小时≤v≤90千米/小时；
②当天12点30分到达时，t＝4.5小时＜5，而5≤t≤10，故客车不能在当天12点30分前到达乙地．
【点睛】本题考查反比例函数的图像，解析式和实际意义，熟练掌握解析式的确定方法是解题的关键．
5．（2020·成都市·初二期中）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：（1）求出线段AB，曲线CD的解析式，并写出自变量的取值范围；（2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？（3）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
【答案】（1）AB解析式：y1=2x+20（0≤x≤10）．曲线CD的解析式：y2=（x≥25）；（2）第30分钟注意力更集中．（3）经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
【分析】（1）利用待定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，进而得出答案；（2）利用（1）中所求解析式，计算出第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断；（3）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能．
【解析】（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20，
把B（10，40）代入得，k1=2，∴AB解析式为：y1=2x+20（0≤x≤10）．
设C、D所在双曲线的解析式为y2=，把C（25，40）代入得，k2=1000，
∴曲线CD的解析式为：y2=（x≥25）；
（2）当x1=5时，y1=2×5+20=30，当x2=30时，y2=，∴y1＜y2∴第30分钟注意力更集中．
（3）令y1=36，∴36=2x+20，∴x1=8令y2=36，∴36=，∴x2=≈27.8，
∵27.8-8=19.8＞19，∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的应用．解题的关键是根据图像求出函数关系式，并从中找到对应的自变量的取值范围．
题型7
反比例函数中的新定义问题
1．（2020·重庆巴蜀中学初三开学考试）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“相等点”，例如点(1，1)，(0．5，0．5)，(-2，-2)，
都是“相等点”，显然“相等点”有无数个．
（1）若点P（3，m）
是反比例函数
（
n为常数，
）的图象上的“相等点”，求这个反比
例函数的解析式．
（2）一次函数（
k为常数，）的图象上存在“相等点”吗？若存在，请用含k的式子表示出“相等点”的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，（，）
【分析】（1）根据相等点的定义求得m的值，再用待定系数法求得解析式；（2）设（m，m）是一次函数y=kx-1（k为常数，k≠0）的图象上的“相等点”，代入解析式求得m即可．
【解析】解：（1）∵点P（3，m）是反比例函数（n为常数，n≠0）的图象上的“相等点”，
∴m=3，∴P（3，3），把P（3，3）代入中，得n=3×3=9，∴反比例的解析式为；
（2）设（m，m）是一次函数y=kx-1（k为常数，k≠0）的图象上的“相等点”，则mk-1=m，（k-1）m=1，
当k-1=0，即k=1时，方程无解，则此时一次函数y=kx-1（k为常数，k≠0）的图象上不存在“相等点”，
当k-1≠0，即k≠1时，得m=，
则此时一次函数y=kx-1（k为常数，k≠0）的图象上的“相等点”是（，），
故当k=1时，一次函数y=kx-1（k为常数，k≠0）的图象上不存在“相等点”；当k≠1时，一次函数y=kx-1（k为常数，k≠0）的图象上的“相等点”是（，）．
【点睛】本题是新定义与一次函数、反比例函数结合的一个综合题，关键是把新定义知识转化为常规知识进行解答，有一定的难度．
2．（2020·怀柔区第五中学月考）当值相同时，我们把正比例函数与反比例函数叫做“关联函数"，可以通过图象研究“关联函数”的性质．小明根据学习函数的经验，先以与为例对“关联函数”进行了探究．下面是小明的探究过程，请你将它补充完整；
（1）如图，在同一坐标系中画出这两个函数的图象．设这两个函数图象的交点分别为A，B，则点A的坐标为(-2，-1)，点B的坐标为_______．
（2）点是函数在第一象限内的图象上一个动点（点不与点重合)，设点的坐标为，其中且．
①结论1：作直线分别与轴交于点，则在点运动的过程中，总有．
证明：设直线的解析式为，将点和点的坐标代入，
得，解得
则直线的解析式为，令，可得，则点的坐标为，同理可求，直线的解析式为，点的坐标为_________．
请你继续完成证明的后续过程：②结论2：设的面积为，则是的函数．请你直接写出与的函数表达式．
【答案】（1）；（2）①，；证明见解析；②．
【分析】（1）联立直线与反比例函数，然后求解即可；
（2）①设直线的解析式为，将点和点的坐标代入，然后可得直线的解析式，进而可得点C坐标，同理可得点D坐标，如图，过点作
轴于点，则点的坐标为，则有，进而可进行求解；②根据题意可分两种情况进行分类求解，即当时和当时，则的面积为与t的函数关系式可求解．
【解析】解：（1）∵①与②，联立①②解得，（是的纵横坐标），
故答案为：；
①设直线的解析式为，将点和点的坐标代入，
得，解得，则直线的解析式为，
令，，则点的坐标为，同理．直线的解析式为；
令，，，点的坐标为，
如图，过点作
轴于点，则点的坐标为，
；，，
为的中点，垂直平分，，故答案为；
②当时，，
当时，．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是解题的关键．
3．（2020·上海初二期末）函数和的图像关于轴对称，我们把函数和叫做互为“镜子”函数．类似地，如果函数和的图像关轴对称，那么我们把函数和叫做互为“镜子”函数．则函数的“镜子”函数是__________．
【答案】
【分析】根据题目中的新定义，可以直接写出函数的“镜子”函数．
【解析】利用关于轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数得出：
函数的“镜子”函数是，故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的性质、关于x轴、y轴对称的点的坐标，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
4．（2020·湖南省初三一模）定义：（一）如果两个函数y1，y2，存在x取同一个值，使得y1＝y2，那么称y1，y2为“合作函数”，称对应x的值为y1，y2的“合作点”；（二）如果两个函数为y1，y2为“合作函数”，那么y1+y2的最大值称为y1，y2的“共赢值”．（1）判断函数y＝2x+4m与y＝是否为“合作函数”，如果是，请求出m＝1时它们的“合作点”；如果不是，请说明理由；（2）判断函数y＝2x+4m与y＝x﹣1（|x|≤2）是否为“合作函数”，如果是，请求出“合作点”；如果不是，请说明理由；（3）已知函数y＝x+2m与y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）（0≤x≤5）是“合作函数”，且有唯一“合作点”．①求出m的取值范围；②若它们的“共赢值”为24，试求出m的值．
【答案】（1）是，x＝﹣3或x＝1；（2）不是，见解析；（3）①﹣3≤m＜1或2＜m≤6；②m＝2﹣或m＝3．
【分析】（1）由于与都经过第一、第三象限，所以两个函数有公共点，可以判断两个函数是“合作函数”，再联立，解得或，即可求“合作点”；
（2）假设是“合作函数”，可求“合作点”为，再由，可得当时，是“合作函数”；当或时，不是“合作函数”；
（3）①由已知可得：，解得或，再由已知可得当时，，当时，，因为只有一个“合作点”则或；②，由①可分两种情况求的值：当时，时，在的有最大值为，当时，时，在的有最大值为，分别求出符合条件的值即可．
【解析】（1）是经过第一、第三象限的直线，是经过第一、第三象限的双曲线，
两函数有公共点，存在取同一个值，使得，函数与是“合作函数”；
当时，，，解得或，
“合作点”为或；
（2）假设函数与是“合作函数”，，，
，，，
当时，函数与是“合作函数”；当或时，函数与不是“合作函数”；
（3）①函数与是“合作函数”，
，，或，
时有唯一合作点，当时，，当时，，
或时，满足题意；
②，
对称轴为，或，
当时，时，在的有最大值为，
，或，；
当时，时，在的有最大值为，
，或，；综上所述：或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；理解题意，熟练掌握一次函数、二次函数的图象及性质是解题的关键．
题型8
与反比例函数有关的存在性问题
1．（2020·扬州市梅岭中学初二期中）在平面直角坐标系xOy中，点A、B为反比例函数的图像上两点，A点的横坐标与B点的纵坐标均为1，将的图像绕原点O顺时针旋转90°，A点的对应点为A’，B点的对应点为B’．
（1）点A’的坐标是
，点B’的坐标是
；（2）在x轴上取一点P，使得PA+PB的值最小，直接写出点P的坐标．
此时在反比例函数的图像上是否存在一点Q，使△A’B’Q的面积与△PAB的面积相等，若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AB’，动点M从A点出发沿线段AB’以每秒1个单位长度的速度向终点B’运动；动点N同时从B’点出发沿线段B’A’以每秒1个单位长度的速度向终点A’运动．当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒，试探究：是否存在使△MNB’为等腰直角三角形的t值．若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）(4，﹣1)，(1，﹣4)；（2）存在，；（3）存在，8﹣8
【分析】（1）利用旋转的性质即可解决问题；（2）由题意A和B′关于x轴对称，B和A′关于x轴对称，连接BB′交x轴于P，连接AP，此时PA+PB的值最小，因为直线BB′的解析式为，根据A′B′的解析式得到p点的坐标，最后利用面积相等求出PQ的解析式，解方程组即可得到答案；
（3）分两种情形分别求解即可解决问题；
【解析】解：（1）∵点A、B为反比例函数的图像上两点，
A点的横坐标与B点的纵坐标均为1，∴得到：A（1，4），B（4，1），
根据旋转的性质可知（4，-1），（1，-4）；故答案为（4，-1），（1，-4）；
（2）∵A（1，4），B（4，1），根据旋转的性质可知（4，-1），（1，-4），
∴A和关于x轴对称，B和关于x轴对称，连接BB′交x轴于P，连接AP，此时PA+PB的值最小，
∵直线BB′的解析式为，∴P（，0），过点P作PQ∥A′B′交y＝于Q，如图
∴S△PA’B’＝S△QA’B’，∴直线PQ的解析式为y＝x﹣，根据，消去y得到：，解得或者（舍去）∴点Q的横坐标为.
（3）如图：①当时，，∴8﹣t＝t，∴解得：t＝8﹣8．
②当时，∴t＝（8﹣t），∴解得：t＝16﹣8（不合题意），
综上，t＝()s时，是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查反比例函数综合题、旋转变换、平行线的性质、一次函数的应用，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
2．（2020·四川乐山·期末）如图，函数的图象过点和两点
（1）求和的值；（2）将直线沿轴向左移动得直线，交轴于点，交轴于点，交于点，若，求直线的解析式；（3）在（2）的条件下，第二象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）n=4，k=8；（2）；（3）存在点，点的坐标为或或．
【分析】（1）把、点坐标代入反比例函数解析式列出、的方程组便可求得、的值；
（2）由点坐标求得直线的解析式，设，过作轴与交于点，根据，列出的方程求得点坐标，由平移性质设直线的解析式，再代入点坐标便可求得结果；
（3）先求出、的坐标，再分三种情况：①当，时，②当，时，③当，时，分别构造全等三角形求得点坐标便可．
【解析】解：（1）函数的图象过点和，两点．
，解得，；
（2）由（1）知，，
设直线的解析式为，则，，直线的解析式为：，
由（1）知反比例函数的解析式为：，
设，过作轴与交于点，如图1，
则，，，，
解得，（舍，或，，
将直线沿轴向左移动得直线，设直线的解析式为：，
把代入中，得，解得，，直线的解析式为：；
（3）令，得，令，得，解得，，，
①当，时，如图2，过作轴于点，
，，
，，，
，，；
②当，时，如图3，过作轴于点，
，，
，，，，，；
③当，时，如图4，过点作轴于点，作轴于点，
，，
，，，，，
，四边形为正方形，，即，
，，；综上，第二象限内存在点，使得为等腰直角三角形，其点的坐标为或或．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法，三角形的面积，平移的性质，一次函数的图象与性质，全等三角形的性质与判定，第（3）题的关键在于构造全等三角形和分情况讨论．
3．（2020·温州市第二十三中学初三开学考试）如图，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴y轴上，顶点B在第一象限，AB=6，点E，F分别在AB和射线OB上运动（E，F不与正方形的顶点重合），，设BE=t。（1）当时，则AE=____________；BF=________________；（2）当点F在线段OB上运动时，若的面积为，求t的值（3）在整个运动的过程中①平面上是否存在点P，使得以P，O，E，F为顶点的四边形是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②若函数（
，a为常数）的图像同时经过E，F，直接写出a的值．
【答案】（1）AB=4，BF=
；（2）；见解析；（3）①或4或；见解析；②-4．
【分析】（1）由题意可直接得出答案；（2）由题意易得
EB=t，BF=，进而得到，然后求解即可；（3）①根据题意易得OF、EF、EO的长，要使以P，O，E，F为顶点的四边形是菱形，故而有三种情况：一是OF=
EF，二是EF
=
OE，三是OF=
OE，然后分别求解即可；
②根据题意易得E、F点的坐标，然后代入解析式求解即可．
【解析】（1）AB=4，BF=
．
（2）由题意，得
EB=t，BF=由面积得解得
（3）①
由已知得：
(Ⅰ)OF=
EF
则有
解得
(Ⅱ)
EF
=
OE
则有
解得t=4，
(Ⅲ)
OF=
OE
则有
解得
②由题意及图像可得：，设BE=t，四边形OABC是正方形，AB=6，，AE=6-t，
同时经过点E、F，，解得．故答案为-4．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、菱形的性质及函数，关键是能灵活利用数形结合思想及分类讨论思想进行分析问题，所以这题难度还是较大的．
4．（2020·四川南江·初二期末）如图1，直线与双曲线交于、两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点、点．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）将沿直线翻折，点落在第一象限内的点处，直接写出点的坐标；（3）如图2，过点作直线交轴的负半轴于点，连接交轴于点，且的面积与的面积相等．①求直线的解析式；②在直线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）点的坐标为或．
【分析】（1）待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式，将已知点坐标代入并解方程（组）即可；（2）先求出直线l1与坐标轴的交点坐标，可得：△COE是等腰直角三角形，再由翻折可得：OCHE是正方形．即可求出H的坐标；（3）①先待定系数法求直线AO解析式为y=3x，再由△AEG的面积与△OFG的面积相等可得：EF∥AO，即可求直线l2的解析式；②存在，由S△PBC=S△OBC可知：点P在经过点O或H平行于直线l1：y=-x+4的直线上，易求得点P的坐标为P（-1，1）或P（1，7）．
【解析】解：（1）将、点代入得，解得：
直线的解析式为：；将代入中，得，
双曲线的解析式为：．
（2）如图1中，
在中，令，得：是等腰直角三角形，
由翻折得：，是正方形．．
（3）如图2，连接，
①、．设直线解析式为，，直线解析式为，
直线的解析式为：；
②存在，点坐标为：或．解方程组得：，；；
，点在经过点或平行于直线的直线上，
易得：或
分别解方程组或得：或点的坐标为或．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、翻折的性质、正方形的性质、三角形面积等；解题时要能够将这些知识点联系起来，灵活运用．
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精品试卷·第
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专题09
反比例函数与一次函数综合（专题检测卷）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·湖南永州市·九年级期末）已知y与x成反比例，且当x1时y2，则反比例函数的表达式为（
）
A．y
B．y
C．
D．y
【答案】A
【分析】根据反比例定义设解析式，代入求值即可.
【详解】∵y与x成反比例∴设
∵当x1时y2∴∴反比例函数为
【点睛】本题考查反比例函数的定义，熟记反比例函数的三种书写形式是解题的关键.
2．（2021·甘肃兰州市·九年级一模）如图，于点A，AB交反比例函数（x＜0）的图象于点C，且，若，则k＝（ ）
A．4
B．﹣4
C．2
D．﹣2
【答案】D
【分析】连接，根据反比例函数的几何意义可知，由线段比例结合可计算的面积，则可建立等式求解，再根据图像所在象限判断的正负即可．
【详解】解：连接，则，
，，
，，解得，
又反比例函数图像在第二象限，，，故选．
【点睛】本题考查了反比例函数函数系数的几何意义；能据反比例函数的几何意义作辅助线，结合已知条件计算的面积是本题的关键．
3．（2021·河北石家庄市·石家庄外国语学校九年级月考）如图，点A、P在函数（x＜0）的图象上，AB⊥x轴，则△ABO的面积为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】根据反比例函数中k的几何意义可得，过反比例函数图象的一点，向x轴、y轴作垂线，所构成的长方形的面积等于k的绝对值，原点与垂足所构成的三角形的面积为k的绝对值的一半．由此可得△ABO的面积等于k的绝对值的一半．
【详解】解：点
P（﹣1，2）在函数（x＜0）的图象上，∴k＝﹣1×2＝﹣2，
设点A（a，b），则OB＝﹣a，AB＝b，点
A（a，b）也在函数（x＜0）的图象上，
∴k＝ab＝﹣2，∴S△ABO=．故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，准确理解是解题的关键．
4．（2020·宁夏回族自治区中考真题）如图，函数与函数的图象相交于点．若，则x的取值范围是（
）
A．或
B．或
C．或
D．或
【答案】D
【分析】根据图象可知函数与函数的图象相交于点M、N，若，即观察直线图象在反比例函数图象之上的x的取值范围．
【解析】解：如图所示，直线图象在反比例函数图象之上的x的取值范围为或，
故本题答案为：或．
故选：D
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
5．（2020·山东牡丹·初三期末）如图，矩形的中心为直角坐标系的原点，各边分别与坐标轴平行，其中一边交轴于点，交反比例函数图像于点，且点是的中点，已知图中阴影部分的面积为，则该反比例函数的表达式是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数的对称性以及已知条件，可得矩形的面积是8，设，则，根据，可得，再根据反比例函数系数的几何意义即可求出该反比例函数的表达式．
【解析】∵矩形的中心为直角坐标系的原点O，反比例函数的图象是关于原点对称的中心对称图形，且图中阴影部分的面积为8，∴矩形的面积是8，设，则，
∵点P是AC的中点，∴，设反比例函数的解析式为，
∵反比例函数图象于点P，∴，∴反比例函数的解析式为．故选：B．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数系数的几何意义，得出矩形的面积是8是解题的关键．
6．（2020·河南南乐·初三一模）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD为（ ）
A．36
B．12
C．6
D．3
【答案】D
【解析】设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点B的坐标，
根据三角形的面积公式结合反比例函数系数k的几何意义以及点B的坐标即可得出结论．?
解：设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，?则点B的坐标为（a+b，a﹣b）．
∵点B在反比例函数的第一象限图象上，?∴（a+b）×（a﹣b）=a2﹣b2=6．?
∴S△OAC﹣S△BAD=a2﹣b2=（a2﹣b2）=×6=3．?故选D．
点睛：本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质以及面积公式，解决该题型题目时，要设出等腰直角三角形的直角边并表示出面积，再用其表示出反比例函数上点的坐标是关键．
7．（2021·全国九年级一模）为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例；药物释放完毕后，与成反比例，如图所示．根据图象信息，下列选项错误的是（
）
A．药物释放过程需要小时
B．药物释放过程中，与的函数表达式是
C．空气中含药量大于等于的时间为
D．若当空气中含药量降低到以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过4.5小时学生才能进入教室
【答案】D
【分析】先求出反比例函数的解析式，再求出一次函数的解析式，结合图像，逐项判断即可
【详解】根据题意：设药物释放完毕后与的函数关系式为，
结合图像可知经过点（，）
与的函数关系式为
设药物释放过程中与的函数关系式为
结合图像当时药物释放完毕代入到中，则，故选项A正确，
设正比例函数为，将（，1）代入得：，解得，则正比例函数解析式为，故选项B正确，当空气中含药量大于等于时，有，解得，结合图像，即，故选项C正确，当空气中含药量降低到时，即，解得，故选项D错误，故选：D．
【点睛】本题考查了函数，不等式的实际应用，以及识图和理解能力，解题关键是利用图像的信息求出函数解析式．
8．（2021·山西晋中市·九年级期末）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（ ）
A．4月份的利润为50万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．治污改造完成前后共有3个月的利润低于100万元
D．8月份该厂利润达到200万元
【答案】D
【分析】直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．
【详解】解：A、设反比例函数的解析式为y=，
把（1，200）代入得，k=200，∴反比例函数的解析式为：y=，
当x=4时，y=50，∴4月份的利润为50万元，故此选项正确，不合题意；
B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，故此选项正确，不合题意；
C、当y=100时，则100=，解得：x=2，则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，故此选项正确，不符合题意．
D、设一次函数解析式为：y=kx+b，则，解得：，
故一次函数解析式为：y=30x-70，故y=200时，200=30x-70，解得：x=9，
则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，故不正确，符合题意．选：C．
【点睛】此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2021·河南商丘市·）在平面直角坐标系中，点在双曲线上，点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为______．
【答案】0
【分析】由点M(m，n)（m＞0，n＜0）在双曲线上，可得k1=mn，由点M与点N关于y轴对称，可得到点N的坐标，进而表示出k2，然后得出答案．
【详解】解：∵点M(m，n)（m＞0，n＜0）在双曲线上，∴k1=mn，
又∵点M与点N关于y轴对称，∴N(-m，n)，
∵点N在双曲线上，∴k2=-mn，∴k1+k2=mn+（-mn）=0，故答案为：0．
【点睛】本题考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于y轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0的性质．
10．（2020·江苏东海·初二期末）已知与y=x-3相交于点，则的值为__________．
【答案】-3
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可得出，，进而可得出，，再将其代入中即可求出结论．
【解析】∵与相交于点，∴，，
∴，，∴．故答案为：-3．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征以及分式的
加减法，利用反比例函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征，找出，是解题的关键．
11．（2021·南昌市二十八中教育集团青云学校九年级期末）由于天气炎热，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量y(毫克)与燃烧时间x(分钟)之间的关系如图所示(即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分)，当空气中每立方米的含药量达到2毫克以上（包括2毫克）时能有效消毒，则有效消毒时间为_______分钟．
【答案】72
【分析】首先根据题意，药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；进一步求解可得答案．
【详解】解：设反比例函数解析式为y=（k≠0），将（25，6）代入解析式得，k=25×6=150，
则函数解析式为y=（x≥15），当y=2时，=2，解得x=75．
在y=中令y=10，则x=15，则A的坐标是（15，10）．设OA的解析式是y=ax，
把（15，10）代入，得a=，即正比例函数的解析式是y=x．令y=2，解得x=3．
则有效消毒消毒时间为75-3=72分钟．故答案为：72．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
12．（2021·陕西西安市·西北工业大学附属中学九年级二模）若直线y＝kx与双曲线y＝﹣交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则3x1y2+2x2y1的值为_____．
【答案】10．
【分析】先根据点
，是双曲线上的点可得出，再根据直线与双曲线交于点，两点可得，，再把此关系代入所求代数式进行计算即可．
【详解】解：∵点，是双曲线上的点，∴，
∵直线与交于点，两点，即A、B两点关于原点对称．
∴，，∴．故答案为：10．
【点睛】本题为反比例函数与一次函数的综合．根据反比例函数上点的坐标特征推出与、与的关系，直线与双曲线交点的特征推出与、与的关系是解答本题的关键．
13．（2021·广东深圳市·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，对角线BDx轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0）、D（0，4），则反比例函数的解析式为_____．
【答案】
【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B（x，4）．利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB＝90°．根据线段中点坐标公式得出E（x，4）．由勾股定理得出AD2+AB2＝BD2，列出方程求出x，得到E点坐标，即可求得反比例函数的解析式．
【详解】解：∵BD∥x轴，D（0，4），∴B、D两点纵坐标相同，都为4，∴可设B（x，4）．
∵矩形ABCD的对角线的交点为E，∴E为BD中点，∠DAB＝90°．∴E（x，4）．
∵∠DAB＝90°，∴AD2+AB2＝BD2，∵A（2，0），D（0，4），B（x，4），
∴22+42+（x﹣2）2+42＝x2，解得：x＝10，∴E（5，4）．
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点E，∴k＝5×4＝20，
∴反比例函数的解析式为：y＝故答案为：y＝．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知识，求出E点坐标是解题的关键．
14．（2020·广东广州·初三其他）如图，在反比例函数的图象（x＞0）上，有点P1，P2，P3，P4，…，点P1横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1，P2，P3，P4，…分别作x轴，y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…则S1+S2+S3+…+Sn＝_____．
【答案】4﹣
【分析】易求得P1的坐标得到矩形P1EOB的面积；而把所有的阴影部分平移到左边，阴影部分的面积之和就等于矩形P1ACB的面积，即可得到答案．
【分析】解：如图，过点P1、点Pn作y轴的垂线段，垂足分别是点B、点C，过点P1作x轴的垂线段，垂足是点E，P1E交CPn于点A，
则点A的纵坐标等于点Pn的纵坐标等于，AC＝2，AE＝，
故S1+S2+S3+…+Sn＝S矩形P1EOB﹣S矩形AEOC＝2×﹣2×＝4﹣．故答案为4﹣．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图像上任何一点到坐标轴的垂线段及坐标轴所组成的矩形面积相等的知识；通过分析图像得出：把所有的阴影部分平移到左边，阴影部分的面积之和就等于矩形P1ACB的面积，是解题的关键所在．
15．（2021·四川成都市·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴，，∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y＝的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为时，k的值为_____．
【答案】14．
【分析】设OA=3a，则OB=4a，直线AB的解析式是y=kx+b，根据题意得：
，可得直线AB的解析式是y=﹣x+4a，由直线CD是∠AOB的平分线，可知OD的解析式是y=x，联立解方程组，可得D的坐标是（，），由OA的中垂线的解析式是x=
，可得C的坐标是（，），可得k=，由以CD为边的正方形的面积，可得2（﹣）2=，求出2即可
【详解】解：设OA=3a，则OB=4a，设直线AB的解析式是y=kx+b，
根据题意得：
，解得：
，则直线AB的解析式是y=﹣x+4a，
直线CD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y=x，
根据题意得：
，解得：
，则D的坐标是（，），
OA的中垂线的解析式是x=
，则C的坐标是（，），则k=，
∵以CD为边正方形的面积，∴2（﹣）2=，则2=
，∴k==14，答案：14．
【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数、正方形的面积等，根据题意表示出C、D的坐标是解题的关键．
16．（2020·浙江八年级月考）如图，等腰直角三角形的一条直角边在轴上，点是边上的一个动点，过点的反比例函数的图象交斜边于点，（1）当为中点时，_________（2）若为的三等分点，当的面积为时，的值为________．
【答案】
2或
【分析】（1）设，根据线段中点的性质找出点、的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征可找出点的坐标，由此即可得出结论；（2）设，，根据三等分点的定义找出点的坐标（两种情况），由此即可得出直线的解析式，联立直线和反比例函数解析式得出点的坐标，再根据三角形的面积公式找出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【详解】解：（1）设，为中点，，，
，，．故答案为：．
（2）设，．为的三等分点分两种情况：
①，，，直线的解析式为，
联立直线与反比例函数解析式，得：，解得：，或（舍去）．
，解得：；
②，，，，直线的解析式为，
联立直线与反比例函数解析式，得：，解得：，或（舍去）．
，解得：．
综上可知：的值为2或．故答案为：2或．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）求出点的坐标；（2）分两种情况考虑．本题属于中档题，难度不小，在解决第二问时，需要联立直线与反比例函数的解析式找出交点坐标，再结合三角形的面积公式找出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．
三、解答题（本大题共7小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2021·山东临沂市·九年级期末）如图，取一根长1米的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将其吊起来，在中点的左侧距离中点处挂一个种9.8牛顿的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧称与中点的距离（单位：），看弹簧秤的示数（单位：牛顿）有什么变化，小明在做此《数学活动》时，得到下表的数据：
1
10
15
20
25
30
35
40
45
/牛顿
125
24.5
16.5
12.3
9.8
8.2
7
■
5.4
结果老师发现其中有一个数据明显有错误，另一个数据却被墨水涂黑了．
（1）当________时的数据是错了；（2）被墨水途黑了的数据你认为大概是________；
（3）你能求出与的函数关系式吗？（4）请你在直角坐标系中画出此函数的图象．
【答案】（1）1；（2）6.1；（3），（）；（4）见解析．
【分析】（1）根据杠杆原理，即可计算出当时的数据是错误的．
（2）同理当时，（牛顿）．（3）根据，即可得出答案．
（4）利用描点法即可画出图象．
【详解】（1）根据杠杆原理知．
∴当时，（牛顿）．
故当时的数据是错误的．
（2）当时，（牛顿）．故答案为6.1．
（3）根据，即可得出（）．
（4）函数图象如图：
【点睛】本题为反比例函数的实际应用，为一道跨学科题，掌握杠杆原理的公式是解答本题的关键．
18．（2020·山东省初三一模）水产公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第8天
售价(元/千克)
400
300
250
240
200
150
125
120
销售量(千克)
30
40
48
50
60
80
96
100
观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品每天的销售量(千克)与销售价格(元/千克)之间的关系．现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量(千克)与销售价格(元/千克)之间都满足这一关系．
（1）写出这个反比例函数的解析式；（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？
（3）在按（2）中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？
【答案】（1）；（2）20；（3）新确定的价格最高不超过60元/千克才能完成销售任务．
【分析】（1）根据图中数据求出反比例函数，再分别将y=30和x=400代入求出相对应的x和y；
（2）先求出8天销售的总量和剩下的数量m，将x=150代入反比例函数中得到一天的销售量y，即为所需要的天数；（3）求出销售15天后剩余的数量除2得到后两天每天的销售量y，将y的值代入反比例函数中即可求出x．
【解析】（1）设，∵当x=400时y=30，∴k=400×30=12000，∴函数解析式为．
（2）2104-(30+40+48+50+60+80+96+100)=1600．即8天试销后，余下的海产品还有1?600千克．
当=150时，=80．1600÷80=20(天)．
答：余下的这些海产品预计再用20天可以全部售出．
（3）1600-80×15=400(千克)，设新确定的价格为每千克x元．
，解得：x≤60，答：新确定的价格最高不超过60元/千克才能完成销售任务．
【点睛】考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
19．（2020·广西右江·初三二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点作轴的垂线，垂足为点，△的面积为4．（1）分别求出和的值；（2）结合图象直接写出的解集．
【答案】（1）a=2，b=-1；（2）或
【分析】（1）根据的面积求出A的坐标，代入反比例函数解析式得到系数k的值，再求出B的坐标；（2）解不等式，就是看反比例函数图象在一次函数图象上方的部分横坐标的取值范围．
【解析】解：（1）∵，轴，∴AC=4，
∵，∴，∴，则
将代入，解得，当时，，则，，
综上：，；
（2）反比例函数图象与一次函数图象的交点是、，
不等式的解集从图象上来看就是反比例函数图象在一次函数图象上方的部分横坐标的取值范围，
从图象来看，当或时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
∴不等式的解集是：或．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，以及利用函数图象解不等式，解题的关键是掌握反比例函数的图象性质，掌握利用函数图象求不等式解集的方法．
20．（2020·徐州市新城实验学校）已知，矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，为边上的点，反比例函数在第一象限内的图像经过点和边上的点．
（1）求反比例函数的表达式和的值；（2）若将矩形进行折叠，使点与点重合，折痕分别与轴、轴正半轴交于点、，求折痕所在直线的函数表达式．
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）根据题意由点E的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，再由点B在反比例函数图象上，代入即可求出m值；（2）根据题意设OG=x，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x值，从而得出点G的坐标，进而得出点F的坐标，结合点G、F的坐标利用待定系数法即可求出结论．
【解析】解：（1）∵反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象经过点E（4，1），
∴k=4×1=4，∴反比例函数的表达式为．
又∵点D（m，2）在反比例函数的图象上，∴2m=4，解得：m=2．
（2）如图，设OG=x，则CG=OC-OG=2-x，
∵点D（2，2），∴CD=2．在Rt△CDG中，∠DCG=90°，CG=2-x，CD=2，DG=OG=x，
∴CD2+CG2=DG2，即4+（2-x）2=x2，解得：x=2，∴点G（0，2）．∴点F的坐标为（2，0）．
设折痕FG所在直线的函数关系式为y=ax+b，∴则有，解得．
∴折痕FG所在直线的函数关系式为．
【点睛】本题考查一次函数的性质以及反比例函数的性质，待定系数法，矩形的性质，翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（2021·郓城育人中学九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO=2．①求该反比例函数和一次函数的解析式；②求点B的坐标；③在x轴上求点E，使△ACE为直角三角形．（直接写出点E的坐标）
【答案】①，；②；③，；
【分析】①过点A作AD⊥x轴于D，根据A、C的坐标求出AD=6，CD=n+2，已知tan∠ACO=2，可求出n的值，把点的坐标代入解析式即可求得反比例函数和一次函数解析式；②求出反比例函数和一次函数的另外一个交点即可；③分两种情况：AE⊥x轴②EA⊥AC，分别写出E的坐标即可．
【详解】解：①过点作轴于，
的坐标为，的坐标为，，，
，，解得：，经检验为原方程解；
故，，反比例函数表达式为：，
又点、在直线上，，解得：，
一次函数的表达式为：；
②由得：，解得：或，
，；
③分两种情况：当轴时，即点与点重合，此时；
当时，此时，则，，
又的坐标为，．综上所述，，．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，涉及了点的坐标的求法以及待定系数法求函数解析式的知识，主要考查学生的计算能力和理解能力．
22．（2021·广东佛山市·九年级一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点和点，连接，其中．
（1）求双曲线和直线的表达式；（2）求的面积；（3）如图2，将直线沿着轴向下平移得到直线，且直线与双曲线在第三象限内的交点为，若的面积为20，求直线与轴的交点坐标．
【答案】（1），；（2）；（3）(0，-5)
【分析】（1）根据两点间得距离公式，求出a的值，从而得到A，B的坐标，进而即可求解；
（2）设直线与x轴的交点为C，则C(-3，0)，根据的面积=，即可求解；
（3）设C的坐标为(m，)，过点C作CM⊥x轴，交直线于点M，列出关于m的方程，从而求出C的坐标，进而即可求解．
【详解】解：（1）∵，，∴，解得：a=1，∴，
∵直线与双曲线交于点和点，
∴m=1×4=4，∴反比例函数解析式为：，∴，即：，
∴，解得：，∴直线的表达式为：；
（2）设直线与x轴的交点为C，则C(-3，0)，
∴的面积=；
（3）设C的坐标为(m，)，过点C作CM⊥x轴，交直线于点M，则M的坐标为：(m，m+3)，
∵的面积为20，∴，即：，
∴（舍去）或，∴C的坐标为(，)，
∵直线沿着轴向下平移得到直线，∴可设直线的表达式为：，
把(，)代入得：，解得：b=-5．
∴直线的表达式为：，∴直线与轴的交点坐标为(0，-5)．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法以及函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．
23．（2020·浙江八年级月考）我们知道求函数图像的交点坐标，可以联立两个函数解析式组成方程组，方程组的解就是交点的坐标．如：求直线与的交点坐标，我们可以联立两个解析式得到方程组，解得，所以直线与的交点坐标为．请利用上述知识解决下列问题：
（1）已知直线和双曲线，①当时，求直线与双曲线的交点坐标；
②当为何值时，直线与双曲线只有一个交点？（2）已知点是轴上的动点，，以为边在右侧做正方形，当正方形的边与反比例函数的图像有4个交点时，试求的取值范围．
【答案】（1）①（-1，-6），（，4）；②0或；（2）a＞2或-16＜a＜-4
【分析】（1）①联立两函数解析式，解方程可得交点坐标；②分k=0和k≠0两种情况，结合根的判别式列方程求解；（2）分a＞0、a＜0两种情况，探讨正方形的边与反比例函数图象交点的情况，进而求解．
【详解】（1）①由题意得：，化简得：，
当时，，解得：x=-1或x=，代入，得y=-6，y=4，
∴交点坐标为（-1，-6），（，4）；
②当k=0时，直线为，，则，则x=-3，满足只有一个交点；
当k≠0时，由①可得：，则，解得：k=，
综上：当为0或时，直线与双曲线只有一个交点；
（2）①当a＞0时，如图1，
点A、B的坐标分别为：（a，0）、（0，），
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：，
当线段AB与双曲线有一个交点时，联立AB表达式与反比例函数表达式得：，
整理得：4x2-4ax+2a=0，△=（-4a）2-16×2a=0，解得：a=2，
故当a＞2时，如图，正方形ABCD与反比例函数的图象有4个交点；
②当a＜0时，如图2，
（Ⅰ）当边AD与双曲线有一个交点时，过点D作ED⊥x轴于点E，
∵∠BAO+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠BAO，
∵AB=AD，∠AOB=∠DEA=90°，∴△AOB≌△DEA（AAS），
∴ED=AO=-a，AE=OB=，故点D（a+，a），
由点A、D的坐标可得，直线AD的表达式为：，
联立AD与反比例函数表达式并整理得：ax2-a2x-16=0，
△=（-a2）2-4a×（16）=0，解得：a=-4（不合题意值已舍去）；
（Ⅱ）当边BC与双曲线有一个交点时，同理可得：a=-16，
所以当正方形ABCD的边与反比例函数的图象有4个交点时，a的取值范围为：-16＜a＜-4；
综上所述，a的取值范围是a＞2或-16＜a＜-4．
【点睛】本题考查的是反比例函数的综合运用，涉及到一次函数的性质、根的判别式的应用、三角形全等等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
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专题08
反比例函数图象与性质
知识点精讲
知识点1反比例函数的概念
1）反比例函数的概念
一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．k是比例系数。
2）反比例函数（k是常数，k0）中x，y的取值范围
反比例函数（k是常数，k≠0）的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y的取值范围也是非零实数．
1．（2020·浙江长兴·初二月考）反比例函数的比例系数是（
）
A．-1
B．-2
C．
D．
2．（2020·浙江泰顺·初二开学考试）下列选项中的函数，关于成反比例函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·浙江杭州市·八年级月考）函数是反比例函数，则a的值是（
）
A．
B．1
C．
D．
4．（2020·四川省绵阳市初二期中）写出下列问题中的函数关系式，并指出其比例系数.
（1）当圆锥的体积是150cm?时，它的高（cm）与底面积（cm?）的函数关系式；
（2）功是常数时，力与物体在力的方向上通过的距离的函数关系式；
（3）某实验中学八（2）班同学为校运动会制作小红花1000朵，完成的天数与该班同学每天制作的数量之间的函数关系式；
（4）某商场推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑售价1.2万元，首期付款4千元后，分次付清，每次付款相同.
每次的付款数（元）与付款次数的函数关系式.
知识点2反比例函数的图象和性质
1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
表达式
（k是常数，k≠0）
k
k>0
k<0
大致图象
所在象限
第一、三象限
第二、四象限
增减性
在每个象限内，y随x的增大而减小
在每个象限内，y随x的增大而增大
1．（2021·浙江九年级专题练习）关于反比例函数y＝，下列说法中错误的是（ ）
A．它的图象分布在一、三象限
B．当x＞﹣1时，y＜﹣3
C．当x＞0时，y的值随x的增大而减小
D．若点（a，b）在它的图象上，则（b，a）也在图象上
2．（2020·石家庄市第二十八中学初三其他）在双曲线的任一分支上，都随的增大而增大，则下列说法错误的是（ ）
A．的值有可能为
B．图象位于第二、四象限
C．若图象过点，也必过点
D．图象与轴只有一个交点
3．（2020·浙江初二月考）已知，都在反比例函数的图象上，若，则的值为______.
4．（2020·浙江八年级月考）已知都在反比例函数的图象上，则的大小关系的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2021·江苏九年级专题练习）已知反比例函数的表达式为y＝，它的图象在各自象限内具有y随x的增大而增大的特点，则k的取值范围是_____．
6．（2021·黑龙江哈尔滨市·九年级其他模拟）若双曲线图象的一个分支于第四象限，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2021·江西吉安市·九年级期末）已知，两点在反比例函数的图象上，且，则m的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点1.3反比例函数图象的对称性
反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．
注：1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数中x≠0且y≠0．3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
1．（2020·全国初三课时练习）对于反比例函数，下列说法错误的是（
）
A．它的图象与坐标轴永远不相交
B．它的图象绕原点旋转180°能和本身重合
C．它的图象关于直线对称
D．它的图象与直线有两个交点
2．（2021·河南商丘市·）在平面直角坐标系中，点在双曲线上，点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为______．
3．（2020·耒阳市冠湘中学初二期中）反比例函数y＝的图象如图所示，以下结论：①常数m＞0；
②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；④若P（x，y）在图象上，则P'（﹣x，﹣y）也一定在图象上．其中正确的是（ ）
A．①④
B．①③
C．②③④
D．①③④
4．（2020·浙江八年级月考）下列命题：①在函数：；；；；中，随增大而减小的有3个函数；②对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；③反比例函数图象是两条无限接近坐标轴的曲线，它只是中心对称图形；其中是真命题的个数是（
）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
重难点题型
考点1
反比例函数的定义
【满分技巧】一般，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。(自变量的取值:
)
反比例函数的等价形式：
（）
②()
③xy=k()
1．（2020·河南孟津·初二期中）下面的等式中，y是x的反比例函数的是（
）
A．
B．
C．y＝5x+6
D．
2．（2020·山东微山·初三期末）下列函数中，y是x反比例函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·成都市·九年级一诊）下列函数中，y与x之间是反比例函数关系的是（
）
A．xy=
B．3x+2y=0
C．y=
D．y=
4．（2021·辽宁抚顺市·）下列函数中，y是x的反比例函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2021·辽宁抚顺市·九年级三模）下列函数中，y是x的反比例函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
考点2
利用反比例函数定义求参数
1．（2020·全国初三课时练习）若函数是反比例函数，则m的值为（
）
A．m＝－2
B．m＝1
C．m＝2或m＝1
D．m＝－2或m＝－1
2．（2021·陕西咸阳市实验中学九年级月考）若是反比例函数，则m满足的条件是（
）
A．m≠0
B．m=3
C．m=3或m=0
D．m≠3或m≠0
3．（2020·江苏常州·正衡中学初二一模）若函数y＝（m+2）x|m|﹣3是反比例函数，则m的值为_____．
4．（2020·广东罗湖·深圳中学初二期中）函数y＝是y关于x的反比例函数，那么m的值是_____．
5．（2021·湖南怀化市·九年级期末）已知函数是反比例函数，那么的值是
．
考点3
反比例函数图象上坐标的特征
1．（2021·陕西咸阳市实验中学九年级月考）已知函数的图像过点A(6，-1)，则下列点中不在该函数图像上的是（
）
A．(-2，3)
B．(-1，-6)
C．(1，-6)
D．(2，-3)
2．（2020·郴州市第九中学九年级月考）已知点在反比例函数的图象上，则的值是（
）
A．50
B．2
C．
D．
3．（2020·江苏淮安·）反比例函数y＝图象经过A（1，2），B（n，﹣2）两点，则n＝（ ）
A．1
B．3
C．﹣1
D．﹣3
4．（2020·廉江市实验学校初三期末）点P（﹣4，1）在曲线y＝上，则下列点一定在该曲线上的是（ ）
A．（2，2）
B．（﹣4，﹣1）
C．（1，﹣4）
D．（1，4）
5．（2021·陕西师大附中九年级其他模拟）在平面直角坐标系中，若函数（a为常数）的图象经过其中的两点，则______．
考点4
根据函数值求自变量的值（范围）
1．（2021·全国九年级专题练习）已知函数，当函数值为3时，自变量x的值为（ ）
A．﹣2
B．﹣
C．﹣2或﹣
D．﹣2或﹣
2．（2020·浙江九年级期中）已知反比例函数，当，且时，自变量的取值范围为____________________．
3．（2020·湖北武汉市·九年级一模）若点A(-2，-2)在反比例函数的图象上，则当函数值y≥-2时，自变量x的取值范围是_________________
4．（2021·山东省青岛第二十六中学九年级其他模拟）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上.若，则自变量的取值范围是(
)
A．
B．
C．且
D．或
5．（2021·陕西西安市·九年级期中）已知反比例函数经过点,当时自变量的取值范围为（
）
A．
B．
C．或
D．或
考点5
反比例函数的性质（一）过象限
增减性
对称性
【满分技巧】反比例函数性质如下表：
的取值
图像所在象限
函数的增减性
一、三象限
在每个象限内，值随的增大而减小
二、四象限
在每个象限内，值随的增大而增大
1．（2021·湖北武汉市·九年级一模）下列反比例函数图象的一个分支在第三象限的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·河北泊头·初三期末）若点是反比例函数图象上一点，则下列说法正确的是（
）
A．图象位于二、四象限
B．当时，随的增大而减小
C．点在函数图象上
D．当时，
3．（2020·广西兴业·初三月考）关于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．函数图象分别位于第二、四象限
B．函数图象关于原点成中心对称
C．函数图象经过点（﹣6，﹣2）
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
4．（2021·江西九年级月考）已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ）
A．图象必经过点
B．随的增大而增大
C．图象在第二、四象限
D．当时，
5．（2020·石家庄外国语教育集团初三开学考试）对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上
B．它的图象在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
考点6
反比例函数的性质（二）根据象限求参数
1．（2020·桂林·广西师大附属外国语学校月考）已知反比例函数y＝的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是_____．
2．（2020·湖南澧县·月考）若反比例函数的图像在第二、四象限，则m的值是______．
3．（2020·江苏丹阳·初二期末）反比例函数经过二、四象限，则________．
4．（2020·广东省高州市教育局初三其他）若函数的图象分别位于第二、四象限，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·天津东丽·其他）已知反比例函数y=的图像分别位于第一、第三象限，则m的取值m范围是
()
A．m<
B．m>
C．m≤
D．m≥
考点7
反比例函数的性质（三）根据增减性求参数
1．（2020·辽宁新宾·初三其他）反比例函数y＝的图象上，当x＜0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是_____．
2．（2020·河南初二期末）反比例函数y＝（m为常数），在每个象限内，y随x的增大而减小，则m取值范围是（
）
A．m＞0
B．m＞2
C．m＜0
D．m＜2
3．（2020·吉林长春·初二期末）己知反比例函数，在每个象限内，都是随的增大而增大，请你写出一个符合条件的的值是__________．
4．（2020·淮北市西园中学初三月考）若反比例函数的图象在其每个象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围____________.
5．（2020·黑龙江道里·初三其他）如果反比例函数的图象在每一个象限内，随的增大而减小，那么值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
考点8
反比例函数值大小比较
【满分技巧】灵活运用反比例函数的图象和性质进行推理是解此类题的关键，反比例函数的增减性只指在同一象限内．
1．（2020·浙江湖州·初三二模）若A（-3，y1）、B（-1，y2）、C（1，y3）三点都在反比例函数y=（k＞0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（
）
A．
y1＞y2＞y3
B．
y3＞y1＞y2
C．
y3＞y2＞y1
D．
y2＞y1＞y3
2．（2020·江苏丹阳·初二期末）若点（1，），（2，），（-3，）在图象上，则大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·浙江金华·初三学业考试）已知点(－2，a)，(2，b)，(3，c)在函数的图象上，则下列判断正确的是（
）
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．a＜c＜b
D．c＜b＜a
4．（2021·胶州市初级实验中学九年级一模）若点，都在反比例函数的图象上，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2021·天津市咸水沽第三中学九年级一模）若点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3
B．y1＜y3＜y2
C．y2＜y3＜y1
D．y2＜y1＜y3
考点9
与反比例函数有关的图象问题
1．（2020·贵州印江·初三期末）如图，反比例函数的大致图象为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·安徽合肥·初三三模）函数与在同一坐标系中的图象可能是
A．
B．
C．
D．
3．（2020·山东威海·中考真题）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（
）
A．B．C．D．
4．（2020·青海中考真题）若，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（
）
A．B．C．
D．
5．（2020·湖南娄底·初三其他）函数y＝的大致图象是（
）
A．
B．
C．
D．
题型10
反比例函数的对称性问题
1．（2021·湖南益阳市·九年级期末）关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（
）
A．必经过点
B．两个分支分布在第一、三象限
C．两个分支关于轴成轴对称
D．两个分支关于原点成中心对称
2．（2020·西安市第二十三中学九年级月考）对于函数，下列说法错误的是（
）
A．它的图象分布在第一、三象限，关于原点中心对称B．它的图象分布在第一、三象限，是轴对称图形
C．当时，y的值随x的增大而增大
D．当时，y的值随x的增大而减小
3．（2020·安徽安庆市·九年级期末）已知直线（，k是常数）与双曲线交于点，两点，则的值为（ ）
A．5
B．0
C．
D．
4．（2020·广东梅州市·）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于两点，若点的坐标为，则点的坐标为_____________________．
5．（2021·江苏九年级专题练习）若一次函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），则（x1+y1）+（x2+y2）的值为_____．
6．（2020·贵州铜仁市·九年级期末）点P、Q两点均在反比例函数的图象上，且P、Q两点关于原点成中心对称，P（2，3），则点Q的坐标是_____．
7．（2020·陕西九年级专题练习）已知、两点分别在反比例函数和的图象上，且点与点关于轴对称，则的值为____．
8．（2021·江苏九年级专题练习）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为，则的值为_______．
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专题09
反比例函数与一次函数综合
知识点精讲
知识点1反比例函数解析式的确定
1．待定系数：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
1）设反比例函数解析式为（k≠0）；
2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
3）解这个方程求出待定系数k；
4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
1．（2021·浙江丽水市·九年级一模）如图，已知一次函数y1＝kx＋b与反比例函数y2＝的图象交
于、两点．分别求出y1和y2的解析式．
2．（2021·湖南永州市·九年级期末）已知y与x成反比例，且当x1时y2，则反比例函数的表达式为（
）
A．y
B．y
C．
D．y
3．（2021·广东深圳市·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，对角线BDx轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0）、D（0，4），则反比例函数的解析式为_____．
4．（2020·广西河池·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，2）．
（1）将点A向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点B，则点B的坐标是 ．
（2）点C与点A关于原点O对称，则点C的坐标是
．
（3）反比例函数的图象经过点B，则它的解析式是
．
（4）一次函数的图象经过A，C两点，则它的解析式是
．
知识点1-2反比例函数中|k|的几何意义
1．反比例函数图象中有关图形的面积
2．涉及三角形的面积型
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
1．（2020·河南洛宁·初二期中）如图，直线轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△的面积为2，则的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
2．（2020·河南南乐·初三一模）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD为（ ）
A．36
B．12
C．6
D．3
3．（2020·广西兴业·初三月考）如图，在以为原点的平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点，与相交于点，若，且的面积是，则的值为（
）．
A．
B．
C．
D．
4．（2020·山东牡丹·初三期末）如图，矩形的中心为直角坐标系的原点，各边分别与坐标轴平行，其中一边交轴于点，交反比例函数图像于点，且点是的中点，已知图中阴影部分的面积为，则该反比例函数的表达式是（
）
A．
B．
C．
D．
知识点1-3反比例函数与一次函数的综合
1．涉及自变量取值范围型
当一次函数与反比例函数相交时，联立两解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或．
2．求一次函数与反比例函数的交点坐标
1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.
①k值同号，两个函数必有两个交点；
②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；
2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
1．（2021·陕西西安市·西北工业大学附属中学九年级二模）若直线y＝kx与双曲线y＝﹣交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则3x1y2+2x2y1的值为_____．
2．（2020·福建泉州外国语学校初三月考）如图，过直线上一点作轴于点，线段交函数的图像于点，点为线段的中点，点关于直线的对称点的坐标为．（1）求、的值；（2）求直线与函数图像的交点坐标；（3）直接写出不等式的解集．
3．（2020·舒城县棠树乡八里中学月考）如图，已知A（-4，n），B（2，-4）是一次函数y1=kx+b的图像和反比例函数的图像的两个交点.（1）求反比例函数和一次函数的解析式;（2）求直线与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积;（3）当x取何值时，y1=y2；当x取何值时，y1>y2.
4．（2021·内蒙古呼和浩特市·九年级一模）如图，在平面直角坐标系内，反比例函数y=（x>0）的图象过点A（m，4）和点B，且点B的横坐标大于1，过A作x轴的垂线,垂足为C（1，0），过点B作y轴的垂线，垂足为D，且△ABD的面积等于4．记直线AB的函数解析式为y=ax+b（a≠0）．（1）求点B的坐标；（2）求直线AB的函数解析式；（3）请直接写出>ax+b成立时，对应的x的取值范围．
知识点1-4反比例函数的实际应用
解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．
1．（2021·山西吕梁市·九年级期末）近似眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于400度的近似眼镜，则镜片焦距的取值范围是（
）
A．0米米
B．米
C．0米米
D．米
2．（2021·山西晋中市·九年级期末）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（ ）
A．4月份的利润为50万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．治污改造完成前后共有3个月的利润低于100万元
D．8月份该厂利润达到200万元
3．（2020·河南遂平·初二期中）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y
（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；
（2）求恒温系统设定的恒定温度；（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
4．（2021·山西运城市·九年级期末）受新冠肺炎疫情的影响，运城市某化工厂从2020年1月开始产量下降．借此机会，为了贯彻“发展循环经济，提高工厂效益”的绿色发展理念；管理人员对生产线进行为期5个月的升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例函数；到5月底开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元．设2020年1月为第1个月，第个月的利润为万元，其图象如图所示，试解决下列问题：
（1）分别写出该化工厂对生产线进行升级改造前后，与的函数表达式．
（2）到第几个月时，该化工厂月利润才能再次达到100万元？
（3）当月利润少于50万元时，为该化工厂的资金紧张期，问该化工厂资金紧张期共有几个月？
5．（2021·辽宁抚顺市·九年级三模）教师办公室有一台可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热．每分钟水温上升10℃，待加热到100℃时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温y（℃）和通电时间x（）成反比例关系．直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（）之间的关系如图所示，回答下列问题：（1）分别求出当和时，y和x之间的函数关系式；（2）求出图中a的值；（3）李老师这天7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在通电多长时间内接水？
重难点题型
题型1
反比例函数K的几何意义
【解题技巧】反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线
（）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。
1．（2020·广东广州·初三其他）如图，在反比例函数的图象（x＞0）上，有点P1，P2，P3，P4，…，点P1横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1，P2，P3，P4，…分别作x轴，y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…则S1+S2+S3+…+Sn＝_____．
2．（2020·深圳市福田区南华实验学校初三其他）如图，双曲线经过四边形的顶点，平分与轴正半轴的夹角，轴，
将沿翻折后得，点落在上，则三角形的面积是________．
3．（2020·厦门市翔安区教师进修学校其他）如图，直线交双曲线于、，交轴于点为线段的中点，过点作轴于，连结.若，则的值为______．
4．（2021·浙江温州市·九年级一模）如图，反比例函数（k＞0）在第一象限经过A，B两点．过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，BE⊥x轴于点E，连接AD，AB．若BD＝4AC，△ADB的面积为9，则k的值为_____．
5．（2021·江西九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点在轴上，若点的坐标为，经过点的双曲线交边于点，则的面积为______．
题型2
求反比例函数的解析式
1．（2020·江西余干·初三零模）已知y=y1+y2，y1与x+1成正比例，y2与x+1成反比例，当x=0时，y=﹣5；当x=2时，y=﹣7．（1）求y与x的函数关系式；（2）当x=5时，求y的值．
2．（2020·北京市昌平区第四中学初三期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A（2，1），B（-1，）两点．求反比例函数和一次函数的解析式；
3．（2020·陕西清涧·期末）已知y是x的反比例函数，且当时，．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当时，求y的值．
4．（2020·广西平桂·初三期中）已知：反比例函数的图象过点A（-3，-2）；
（1）求反比例函数的解析式；（2）若点B（1，m）在该函数图象上，求m的值．
5．（2020·河南初二期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋b（b＜0）与坐标轴交于A，B两点，与双曲线y＝（x＞0）交于D点，过点D作DC⊥x轴，垂足为C，连结OD．已知△AOB≌△ACD，（1）试探究k与b的数量关系；（2）直接写出直线OD的解析式；（3）过点D作OD的垂线交轴于点E，当b＝﹣2时，求直线DE的解析式．
题型4
实际背景的反比例函数问题
1．（2020·全国初二课时练习）若一个水池内蓄水40m?，设放完满池水的时间为h，每小时放水量为m?，则与之间的函数关系式是______；当m?时，______.
2.（2020·全国初二课时练习）已知三角形的面积是12cm?，则三角形的高cm与底cm的函数关系式是______，这时是的______.
3．（2021·广东佛山市·九年级期末）一个菱形的面积为20cm2，它的两条对角线长分别为ycm，xcm，则y与x之间的函数关系式为y＝_____．
4．（2021·广西钦州市·九年级期末）已知圆柱的体积是30cm2，它的高h（单位：cm）关于底面面积S（单位：cm2）的函数解析式为_____．
题型4
反比例函数与一次函数结合
1．（2021·浙江杭州市·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y的图象在第二象限交于点B，与x轴交于点C（﹣3，0）．点A在y轴上，满足条件：OA＝6，∠ACB＝90°，且CA＝CB．（1）求反比例函数的表达式；（2）直接写出当x＜0时，kx＋b的解集．
2．（2021·邹城市看庄中学九年级一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标为（，3）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）作轴，垂足为，求的面积．
3．（2021·四川达州市·达州中学九年级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y1＝﹣2x的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（﹣1，n），B两点．
（1）求出反比例函数的解析式及点B的坐标；（2）观察图象，请直接写出满足y2≤y1的x的取值范围；（3）点P是第四象限内反比例函数的图象上一点，若△POB的面积为1，求点P的横坐标．
4．（2021·浙江九年级月考）如图，直线与函数的图象相交于点，与轴交于点，且，点是线段上一点．（1）直接写出的值与一次函数的解析式；（2）若直线与反比例函数的另一支交于点，直接写出自变量的取值范围，并求出的面积；（3）若，求点的坐标．
题型5
反比例函数与几何图形综合
1．（2021·四川成都市·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴，，∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y＝的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为时，k的值为_____．
2．（2021·西安市铁一中学九年级其他模拟）如图，在平面直角坐标系中，OA是第四象限的角平分线，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∠OAC＝90°，AB平分∠OAC且交y轴于点B，CD⊥AC于点D．若△ACD的面积比△AOB的面积少5，则k的值为为_____．
3．（2020·浙江八年级月考）已知点分别是轴、轴上的动点，点是某个函数图象上的点，当四边形（各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的“”正方形．例如：如图，正方形是一次函数图象的其中一个“”正方形．（1）若某函数是一次函数，则它的图象的所有“”正方形的边长______；（2）若某函数是反比例函数，他的图的“”正方形为，点在反比例函数图象上，则的值_____．
4．（2020·浙江八年级月考）如图，等腰直角三角形的一条直角边在轴上，点是边上的一个动点，过点的反比例函数的图象交斜边于点，（1）当为中点时，_________（2）若为的三等分点，当的面积为时，的值为________．
题型6
反比例函数的实际应用
1．（2020·河北省中考真题）“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．科学证实：近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例．如果500度近视眼镜片的焦距为0.2m，则表示y与x函数关系的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·南昌市二十八中教育集团青云学校九年级期末）由于天气炎热，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量y(毫克)与燃烧时间x(分钟)之间的关系如图所示(即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分)，当空气中每立方米的含药量达到2毫克以上（包括2毫克）时能有效消毒，则有效消毒时间为_______分钟．
3．（2021·江西景德镇市·九年级期末）小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间（分）与骑车速度（千米/分）关系如图所示．一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需不超过分钟赶到学校，那么他骑车的速度至少是__________千米/分．
4．（2021·河北九年级专题练习）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v（千米/小时）与所用时间t（小时）的函数关系如图所示，其中60≤v≤120。（1）求v与t的函数关系式及t值的取值范围；
（2）客车上午8点从甲地出发．①客车需在当天14点40分至15点30分（含14点40分与15点30分）间到达乙地，求客车行驶速度v的范围；②客车能否当天12点30分前到达乙地？说明理由．
5．（2020·成都市·初二期中）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：（1）求出线段AB，曲线CD的解析式，并写出自变量的取值范围；（2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？（3）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
题型7
反比例函数中的新定义问题
1．（2020·重庆巴蜀中学初三开学考试）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“相等点”，例如点(1，1)，(0．5，0．5)，(-2，-2)，
都是“相等点”，显然“相等点”有无数个．
（1）若点P（3，m）
是反比例函数
（
n为常数，
）的图象上的“相等点”，求这个反比
例函数的解析式．
（2）一次函数（
k为常数，）的图象上存在“相等点”吗？若存在，请用含k的式子表示出“相等点”的坐标，若不存在，说明理由．
2．（2020·怀柔区第五中学月考）当值相同时，我们把正比例函数与反比例函数叫做“关联函数"，可以通过图象研究“关联函数”的性质．小明根据学习函数的经验，先以与为例对“关联函数”进行了探究．下面是小明的探究过程，请你将它补充完整；
（1）如图，在同一坐标系中画出这两个函数的图象．设这两个函数图象的交点分别为A，B，则点A的坐标为(-2，-1)，点B的坐标为_______．
（2）点是函数在第一象限内的图象上一个动点（点不与点重合)，设点的坐标为，其中且．
①结论1：作直线分别与轴交于点，则在点运动的过程中，总有．
证明：设直线的解析式为，将点和点的坐标代入，
得，解得
则直线的解析式为，令，可得，则点的坐标为，同理可求，直线的解析式为，点的坐标为_________．
请你继续完成证明的后续过程：②结论2：设的面积为，则是的函数．请你直接写出与的函数表达式．
3．（2020·上海初二期末）函数和的图像关于轴对称，我们把函数和叫做互为“镜子”函数．类似地，如果函数和的图像关轴对称，那么我们把函数和叫做互为“镜子”函数．则函数的“镜子”函数是__________．
4．（2020·湖南省初三一模）定义：（一）如果两个函数y1，y2，存在x取同一个值，使得y1＝y2，那么称y1，y2为“合作函数”，称对应x的值为y1，y2的“合作点”；（二）如果两个函数为y1，y2为“合作函数”，那么y1+y2的最大值称为y1，y2的“共赢值”．（1）判断函数y＝2x+4m与y＝是否为“合作函数”，如果是，请求出m＝1时它们的“合作点”；如果不是，请说明理由；（2）判断函数y＝2x+4m与y＝x﹣1（|x|≤2）是否为“合作函数”，如果是，请求出“合作点”；如果不是，请说明理由；（3）已知函数y＝x+2m与y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）（0≤x≤5）是“合作函数”，且有唯一“合作点”．①求出m的取值范围；②若它们的“共赢值”为24，试求出m的值．
题型8
与反比例函数有关的存在性问题
1．（2020·扬州市梅岭中学初二期中）在平面直角坐标系xOy中，点A、B为反比例函数的图像上两点，A点的横坐标与B点的纵坐标均为1，将的图像绕原点O顺时针旋转90°，A点的对应点为A’，B点的对应点为B’．
（1）点A’的坐标是
，点B’的坐标是
；（2）在x轴上取一点P，使得PA+PB的值最小，直接写出点P的坐标．
此时在反比例函数的图像上是否存在一点Q，使△A’B’Q的面积与△PAB的面积相等，若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AB’，动点M从A点出发沿线段AB’以每秒1个单位长度的速度向终点B’运动；动点N同时从B’点出发沿线段B’A’以每秒1个单位长度的速度向终点A’运动．当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒，试探究：是否存在使△MNB’为等腰直角三角形的t值．若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
2．（2020·四川乐山·期末）如图，函数的图象过点和两点
（1）求和的值；（2）将直线沿轴向左移动得直线，交轴于点，交轴于点，交于点，若，求直线的解析式；（3）在（2）的条件下，第二象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2020·温州市第二十三中学初三开学考试）如图，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴y轴上，顶点B在第一象限，AB=6，点E，F分别在AB和射线OB上运动（E，F不与正方形的顶点重合），，设BE=t。（1）当时，则AE=____________；BF=________________；（2）当点F在线段OB上运动时，若的面积为，求t的值（3）在整个运动的过程中①平面上是否存在点P，使得以P，O，E，F为顶点的四边形是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②若函数（
，a为常数）的图像同时经过E，F，直接写出a的值．
4．（2020·四川南江·初二期末）如图1，直线与双曲线交于、两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点、点．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）将沿直线翻折，点落在第一象限内的点处，直接写出点的坐标；（3）如图2，过点作直线交轴的负半轴于点，连接交轴于点，且的面积与的面积相等．①求直线的解析式；②在直线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
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专题09
反比例函数与一次函数综合（专题检测卷）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·湖南永州市·九年级期末）已知y与x成反比例，且当x1时y2，则反比例函数的表达式为（
）
A．y
B．y
C．
D．y
2．（2021·甘肃兰州市·九年级一模）如图，于点A，AB交反比例函数（x＜0）的图象于点C，且，若，则k＝（ ）
A．4
B．﹣4
C．2
D．﹣2
3．（2021·河北石家庄市·石家庄外国语学校九年级月考）如图，点A、P在函数（x＜0）的图象上，AB⊥x轴，则△ABO的面积为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（2020·宁夏回族自治区中考真题）如图，函数与函数的图象相交于点．若，则x的取值范围是（
）
A．或
B．或
C．或
D．或
5．（2020·山东牡丹·初三期末）如图，矩形的中心为直角坐标系的原点，各边分别与坐标轴平行，其中一边交轴于点，交反比例函数图像于点，且点是的中点，已知图中阴影部分的面积为，则该反比例函数的表达式是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·河南南乐·初三一模）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD为（ ）
A．36
B．12
C．6
D．3
7．（2021·全国九年级一模）为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例；药物释放完毕后，与成反比例，如图所示．根据图象信息，下列选项错误的是（
）
A．药物释放过程需要小时
B．药物释放过程中，与的函数表达式是
C．空气中含药量大于等于的时间为
D．若当空气中含药量降低到以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过4.5小时学生才能进入教室
8．（2021·山西晋中市·九年级期末）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（ ）
A．4月份的利润为50万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．治污改造完成前后共有3个月的利润低于100万元
D．8月份该厂利润达到200万元
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2021·河南商丘市·）在平面直角坐标系中，点在双曲线上，点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为______．
10．（2020·江苏东海·初二期末）已知与y=x-3相交于点，则的值为__________．
11．（2021·南昌市二十八中教育集团青云学校九年级期末）由于天气炎热，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量y(毫克)与燃烧时间x(分钟)之间的关系如图所示(即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分)，当空气中每立方米的含药量达到2毫克以上（包括2毫克）时能有效消毒，则有效消毒时间为_______分钟．
12．（2021·陕西西安市·西北工业大学附属中学九年级二模）若直线y＝kx与双曲线y＝﹣交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则3x1y2+2x2y1的值为_____．
13．（2021·广东深圳市·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，对角线BDx轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0）、D（0，4），则反比例函数的解析式为_____．
14．（2020·广东广州·初三其他）如图，在反比例函数的图象（x＞0）上，有点P1，P2，P3，P4，…，点P1横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1，P2，P3，P4，…分别作x轴，y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…则S1+S2+S3+…+Sn＝_____．
15．（2021·四川成都市·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴，，∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y＝的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为时，k的值为_____．
16．（2020·浙江八年级月考）如图，等腰直角三角形的一条直角边在轴上，点是边上的一个动点，过点的反比例函数的图象交斜边于点，（1）当为中点时，_________（2）若为的三等分点，当的面积为时，的值为________．
三、解答题（本大题共7小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2021·山东临沂市·九年级期末）如图，取一根长1米的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将其吊起来，在中点的左侧距离中点处挂一个种9.8牛顿的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧称与中点的距离（单位：），看弹簧秤的示数（单位：牛顿）有什么变化，小明在做此《数学活动》时，得到下表的数据：
1
10
15
20
25
30
35
40
45
/牛顿
125
24.5
16.5
12.3
9.8
8.2
7
■
5.4
结果老师发现其中有一个数据明显有错误，另一个数据却被墨水涂黑了．
（1）当________时的数据是错了；（2）被墨水途黑了的数据你认为大概是________；
（3）你能求出与的函数关系式吗？（4）请你在直角坐标系中画出此函数的图象．
18．（2020·山东省初三一模）水产公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第8天
售价(元/千克)
400
300
250
240
200
150
125
120
销售量(千克)
30
40
48
50
60
80
96
100
观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品每天的销售量(千克)与销售价格(元/千克)之间的关系．现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量(千克)与销售价格(元/千克)之间都满足这一关系．
（1）写出这个反比例函数的解析式；（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？
（3）在按（2）中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？
19．（2020·广西右江·初三二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点作轴的垂线，垂足为点，△的面积为4．（1）分别求出和的值；（2）结合图象直接写出的解集．
20．（2020·徐州市新城实验学校）已知，矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，为边上的点，反比例函数在第一象限内的图像经过点和边上的点．（1）求反比例函数的表达式和的值；（2）若将矩形进行折叠，使点与点重合，折痕分别与轴、轴正半轴交于点、，求折痕所在直线的函数表达式．
21．（2021·郓城育人中学九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO=2．①求该反比例函数和一次函数的解析式；②求点B的坐标；③在x轴上求点E，使△ACE为直角三角形．（直接写出点E的坐标）
22．（2021·广东佛山市·九年级一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点和点，连接，其中．
（1）求双曲线和直线的表达式；（2）求的面积；（3）如图2，将直线沿着轴向下平移得到直线，且直线与双曲线在第三象限内的交点为，若的面积为20，求直线与轴的交点坐标．
23．（2020·浙江八年级月考）我们知道求函数图像的交点坐标，可以联立两个函数解析式组成方程组，方程组的解就是交点的坐标．如：求直线与的交点坐标，我们可以联立两个解析式得到方程组，解得，所以直线与的交点坐标为．请利用上述知识解决下列问题：
（1）已知直线和双曲线，①当时，求直线与双曲线的交点坐标；
②当为何值时，直线与双曲线只有一个交点？（2）已知点是轴上的动点，，以为边在右侧做正方形，当正方形的边与反比例函数的图像有4个交点时，试求的取值范围．
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精品试卷·第
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